特训02 期中解答压轴题（上海最新精选，七大题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训02 期中解答压轴题（上海最新精选，七大题型） 目录： 题型1：二次根式 题型2：一元二次方程 题型3：正比例函数 题型4：反比例函数 题型5：函数解析式与一元二次方程综合 题型6：函数解析式与几何证明 题型7：几何证明 题型1：二次根式 1．（22-23八年级上·上海静安·期中）（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 题型2：一元二次方程 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 4．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 5．（23-24八年级上·上海普陀·期中）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______． 6．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 题型3：正比例函数 7．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知正比例函数的图像经过点和点．    (1)求正比例函数的解析式和的值． (2)点在轴上，，求的面积． (3)如果一个正比例函数的比例系数与一个反比例函数的比例系数相同，那么其中一个函数叫做另一个函数的伴随函数，请写出这个正比例函数的伴随函数． 8．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如图，已知直线上有一点A，直线绕着原点O旋转得直线，过点A作，交直线于点B．    (1)当，且点A的横坐标是4，点B在第一象限内时，求点B的坐标和直线的解析式． (2)当点A的横坐标是时，求旋转后直线的解析式．（用含字母k的式子表示）． 9．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数图象上有一点，点在轴上，作直线，与轴交于点，且．    (1)求正比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标，请说明理由． 10．（23-24八年级上·上海松江·期中）如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且的面积为8．    (1)求正比例函数的解析式； (2)若点P是该正比例函数图像上一点，且使得的面积是面积的两倍，求点P的坐标； (3)已知，在直线上（除O点外）是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 题型4：反比例函数 12．（23-24八年级上·上海长宁·期中）如图，在中，直角顶点B在x轴正半轴上，反比例函数（）的图象分别与边、边交于点C、D． (1)如果点C的坐标为，且，求n的值及点B的坐标； (2)连结，如果，求的值． 13．（23-24八年级上·上海崇明·期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点，    (1)求a、k的值 (2)连接，求的面积 (3)P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标 14．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点，点 是正比例函数图象上的一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交反比例函数的图象于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 交正比例函数的图于点 ． (1)求正比例函数解析式、反比例函数解析式． (2)当点的纵坐标为6时，求 的面积． (3)在第（2）小题的条件下，若直线 上存在一点 ，且点 的横坐标为 ，的面积为 ，直接写出 关于 的解析式，并写出定义域． 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 题型5：函数解析式与一元二次方程综合 16．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如图，正方形分割成两个小正方形和两个长方形． (1)若正方形边长为，正方形的面积是正方形的一半，求正方形的边的长． (2)若正方形面积为，设，四边形的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域． (3)四边形的面积是否能够等于正方形面积的一半，如果能，请求出长，如果不能请说明理由． 题型6：函数解析式与几何证明 17．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如图，在四边形 中，，，点是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如果为为，则用含的代数式表示． 18．（22-23八年级上·上海·期中）如图，将一三角板放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线相交于Q，探究；设A、P两点间的距离为．    (1)当点Q在边上时，线段与之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想； (2)当点Q在边上时，设四边形的面积为，求与之间的函数关系，并写出函数自变量的取值范围； (3)当点P在线段上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值，如果不可能． 19．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，是边长为的等边三角形，、边上有两点E、F，，且，． (1)如图，若，证明为等边三角形． (2)若，其他条件不变，求的周长． (3)如图，当E、F分别在、延长线上时，若，则的周长＝ ．（用含x的代数式表示，直接写出答案） 20．（23-24八年级上·上海曹杨第二中学附属学校·期中）已知：如图1，在中，，∠ABC=30°，，点、E分别是边、AC上动点，点不与点、重合，DE∥BC． （1）如图1，当AE=1时，求长； （2）如图2，把沿着直线翻折得到，设 ①当点F落在斜边上时，求的值； ② 如图3，当点F落在外部时，EF、DF分别与相交于点H、G，如果△ABC和△DEF重叠部分的面积为，求与的函数关系式及定义域．（直接写出答案） 题型7：几何证明 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 22．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如图1，在中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC交AC于点D． (1)求证：BD=CD． (2)如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC． (3)如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 23．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）已知，，，是射线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，点落在点处，连接交射线于点． (1)如图，当点与点重合时，求的长； (2)如图，当点在线段上时，连接，在点的运动过程中，请问的面积是否会发生变化？如果不会，求出它的面积；如果会，请说明理由； (3)当时，求的长． 24．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）已知，是等边三角形，边．点P在射线上，点Q是延长线上一点，且，连接交直线于点D．    (1)如图5，当点P为中点时，求的长． (2)如图6，过点P作，垂足为点E，当点P、Q分别在射线和延长线上移动时，线段、、中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 25．（22-23八年级上·上海虹口·期中）已知（其中点、点，点、点，点、点分别对应），，； (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于），，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于），若，求的度数． 26．（23-24八年级上·上海罗南中学·期中）我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，图形语言说明：如图1所示，在中，，由是中线，可得． 请结合上述结论解决如下问题： 已知：P是边上的一动点(不与A，B集合)，分别过点A、点B向直线作垂线，垂是分别为点E点F，Q为边的中点．    (1)如图2所示，当点P与点Q重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________． (2)如图3所示，当点P在线段上不与点Q重合时，试判断与的数量关系，并给与证明． (3)如图4所示，当点P在线段的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 期中解答压轴题（上海最新精选，七大题型） 目录： 题型1：二次根式 题型2：一元二次方程 题型3：正比例函数 题型4：反比例函数 题型5：函数解析式与一元二次方程综合 题型6：函数解析式与几何证明 题型7：几何证明 题型1：二次根式 1．（22-23八年级上·上海静安·期中）（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 【答案】（1）与无关系，与有关系；当时，，当时，，当时，；（2） 【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，最后去绝对值计算即可； （2）由可得，再变形处理即可． 【解析】（1）与有关系，与无关系．理由如下： ，与无关系； ，与有关系； ， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 当时，， 当时，， （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴， 两边平方，再整理得：， 继续平方，得：， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了考查了二次根式的化简求值：．也考查了绝对值的含义以及代数式的变形能力． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理数，熟练掌握相分母有理化的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （2）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （3）根据（1）（2）的运算结果，将算式化简，根据平方差公式将分母有理化，再进行计算即可． 【解析】（1）解：根据题意可得： ， ， 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 题型2：一元二次方程 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 【答案】（1）9或；（2）9；（3）1 【分析】（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （3）设，则由原方程得到关于的一元二次方程，通过解该方程得到的值；然后将其代入所求的变形后的代数式进行求值． 【解析】解：（1）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或． 即值为9或． 故答案为：9或； （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即代数式的值为9； （3）设，则， 整理，得， 解得或， 当时，无解（舍去）， 即， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 4．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【答案】(1)1； (2)不存在，理由见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，再运用完全平方公式变形即可解答； （2）根据根与系数的关系可得，然后根据根与系数的关系、整式的混合运算即可解答； （3）结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． 【解析】（1）解：， ，解得：， ∴． 故答案为：1，． （2）解：方程有两个实数根， ， 解得： 与矛盾 不存在的值，使成立． （3）解： 的值为整数 或或， 又， ∴或或． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、完全平方公式、根的判别式、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 5．（23-24八年级上·上海普陀·期中）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用韦达定理直接求解； （2）对进行通分，然后利用韦达定理求解； （3）令，则由题得，，且，利用韦达定理可求的值，进而求解． 【解析】（1）解：，，且， ，是方程的两个不相等的实数根， ，． 故答案为：7，1； （2）解：，， ． （3）解：由，得． 令，则由，得． 由，得，即． ，，且， ，是方程的两个不相等的实数根， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，韦达定理的应用，熟练掌握韦达定理的原理是解题的关键． 6．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【解析】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 题型3：正比例函数 7．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知正比例函数的图像经过点和点．    (1)求正比例函数的解析式和的值． (2)点在轴上，，求的面积． (3)如果一个正比例函数的比例系数与一个反比例函数的比例系数相同，那么其中一个函数叫做另一个函数的伴随函数，请写出这个正比例函数的伴随函数． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，的值为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法可确定正比例函数的解析式，再根据点在正比例函数图像上，将点的坐标代入正比例函数解析式即可得出的值； （2）根据题意可得出点的坐标为或，然后根据，分两种情况计算即可； （3）根据伴随函数定义即可得出这个正比例函数的伴随函数． 【解析】（1）解：设正比例函数的解析式为， ∵正比例函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴正比例函数的解析式为， ∵正比例函数的图像经过点点， ∴， 解得：， ∴， ∴正比例函数的解析式为，的值为； （2）如图，    ∵点在轴上，， ∴点的坐标为或， ∵，， 当点在轴正半轴时，则， ∴ ， 当点在轴负半轴时，则， ∴ ， 综上所述，的面积为； （3）∴正比例函数的比例系数是， ∴这个正比例函数的伴随函数为． 【点睛】本题考查用待定系数法确定正比例函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，求三角形的面积，运用了分类讨论的思想．正确理解题意并利用数形结合的思想是解题的关键． 8．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如图，已知直线上有一点A，直线绕着原点O旋转得直线，过点A作，交直线于点B．    (1)当，且点A的横坐标是4，点B在第一象限内时，求点B的坐标和直线的解析式． (2)当点A的横坐标是时，求旋转后直线的解析式．（用含字母k的式子表示）． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）如图：过A作x轴的垂线与过B作y轴的垂线交于点M,即,然后证可得、,再根据坐标与图形求得，进而确定点B的坐标，最后运用待定系数法即可解答； （2）直线逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别按照（1）的方法解答即可． 【解析】（1）解：如图：过A作x轴的垂线与过B作y轴的垂线交于点M,即, ∴, ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴, ∴, ∴,, ∵， ∴直线的解析式为， ∵点A的横坐标是4， ∴点A的纵坐标坐标是2， ∴ ∴点B的横坐标为，纵坐标为，即点B的坐标为， 设直线的解析式为，则有，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①如图：当直线逆时针旋转时，    ∵点A的横坐标是m，， ∴点A纵坐标为，即， 由（1）可证：∴, ∴,, ∴点B的横坐标为，纵坐标为，即点B的坐标为， 设直线的解析式为，则有，解得：； ∴直线的解析式为； ②当直线顺时针旋转时，同理可得：直线的解析式为． 综上，当点A的横坐标是时，旋转后直线的解析式为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式、旋转的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 9．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数图象上有一点，点在轴上，作直线，与轴交于点，且．    (1)求正比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或，理由见解析 【分析】本题考查的是一次函数综合应用，面积的计算、点的坐标得确定； （1）由待定系数法即可求解； （2），则，即可求解； （3）由的面积，即可求解． 【解析】（1）解：设正比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则正比例函数的表达式为：； （2）， 则，即， 解得：， 即点的坐标为：； （3）存在，直线的表达式为 由点，， ∴ ∴ 直线的表达式为：， 当时，，则点， 则的面积 过点作轴交于点，设点，则点，    则， 则的面积 解得：或， 则点的坐标为：或． 10．（23-24八年级上·上海松江·期中）如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且的面积为8．    (1)求正比例函数的解析式； (2)若点P是该正比例函数图像上一点，且使得的面积是面积的两倍，求点P的坐标； (3)已知，在直线上（除O点外）是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)的长为或或 【解析】（1）解：∵点A的横坐标为4，， ∴点A的纵坐标为， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数的图像经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：存在， ∵， ∴， 设点P的坐标为， ∵的面积是面积的两倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． （3）解：当，点M在点A的上方时，； 点M在点A的下方时，；    当时，∵， ∴点M与点O重合， ∴此时点M不符合题意；    当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    综上分析可知，的长为或或． 【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式； （2）设点P的坐标为，根据三角形面积公式得出，求出或，即可求出点P的坐标； （3）分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，画出图形，注意进行分类讨论． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的值为或 【分析】（1）根据题意，得到，由直线（），交边于点，可知与重合时，最小；与重合时，最大；将点的坐标代入解析式求出值即可得到答案； （2）根据题意，有三种情况：当直线交于时；当直线经过点时；当直线交于点时；分别求解即可得到答案； （3）由（2）中分类，结合，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7，分情况讨论即可得到答案． 【解析】（1）解：长方形边，， ， ∵直线（），交边于点， ∴直线（）经过一、三象限， ∴， 把代入（），得，解得， ∴的取值范围为； （2）解：根据题意，有三种情况： ①当直线交于时，联立，解得， ∴， ∴，即（）； ②当直线经过点时，； ③当直线交于点时，联立，解得， ∴，即（）； 综上所述，关于的解析式为； （3）解：能， ∵，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7， ①当直线交于时，， ∵， ∴，解得； ②当直线交于点时，， ∵， ∴，解得； 综上所述，直线（），将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7时，的值为或． 【点睛】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、正比例函数图象与性质、正比例函数的取值范围、不规则图形面积的间接表示、三角形面积等知识，读懂题意，熟记正比例函数图象与性质，数形结合，准确分类是解决问题的关键． 题型4：反比例函数 12．（23-24八年级上·上海长宁·期中）如图，在中，直角顶点B在x轴正半轴上，反比例函数（）的图象分别与边、边交于点C、D． (1)如果点C的坐标为，且，求n的值及点B的坐标； (2)连结，如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入得，解得；待定系数法求直线的解析式为，设，则，， 由，计算求出满足要求的解，然后作答即可； （2）设，同理（1）可得直线的解析式，设，则，，由，，可得，计算求出，然后根据，计算求解即可． 【解析】（1）解：将代入得，，解得； 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴， 设，则，， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， 经检验，是分式方程的解， ∴， ∴； （2）解：设， 同理（1）可得直线的解析式， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，分式方程的应用．熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键． 13．（23-24八年级上·上海崇明·期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点，    (1)求a、k的值 (2)连接，求的面积 (3)P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是利用函数的解析式求出点坐标． （1）先根据反比例函数的图象求出a，在根据点B的坐标求出k的值即可； （2）过点B作，垂足为E，先根据正比例函数的图象求出点C的坐标 ，再根据点C和点A的横坐标相等和点A在反比例函数的图象上求出点A的坐标，即可求出和的长度，即可求出三角形的面积； （3）过点P作，垂足为F，根据三角形的面积求出的值，根据两种情况展开讨论，结合正比例函数的图象就可求出点P的坐标． 【解析】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：过点B作，垂足为E，    设点，， ∵正比例函数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，, ∴； （3）解；如下图所示，过点P作，垂足为F，设, ∵，    ∴， ∴， 当P在C点上方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， 当P在C点下方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 14．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点，点 是正比例函数图象上的一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交反比例函数的图象于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 交正比例函数的图于点 ． (1)求正比例函数解析式、反比例函数解析式． (2)当点的纵坐标为6时，求 的面积． (3)在第（2）小题的条件下，若直线 上存在一点 ，且点 的横坐标为 ，的面积为 ，直接写出 关于 的解析式，并写出定义域． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的综合应用．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据点坐标求出点的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）直接利用三角形的面积公式，列出函数关系式即可． 【解析】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点， ， ， 正比例函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）当时，， ， 把代入，得， ， ， ； （3）由题意得，， ∴关于的解析式为． 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【答案】(1)，，； (2)不变， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，在反比例函数的图像上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论，，两种情况，求出点的坐标即可． 【解析】（1）解：∵点是反比例函数图形上的动点， ∴， ∴点， ∵轴，轴， ∴，， ∵在反比例函数的图像上， ∴，， 即：点，点； （2）解：的面积不变，为，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：若以为直角边的和全等， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴， 解得：，（舍）， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴，解得：，（舍）， 综上所述：或时，以为直角边的和全等． 题型5：函数解析式与一元二次方程综合 16．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如图，正方形分割成两个小正方形和两个长方形． (1)若正方形边长为，正方形的面积是正方形的一半，求正方形的边的长． (2)若正方形面积为，设，四边形的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域． (3)四边形的面积是否能够等于正方形面积的一半，如果能，请求出长，如果不能请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）设，可得，根据：正方形的面积是正方形的一半，可列出关于的一元二次方程，求解并根据题意可得答案； （2）设，可得，，然后根据代入化简即可； （3）根据题意可知，得到方程，求解并根据题意可得答案． 【解析】（1）解：设， ∵正方形边长为，正方形分割成两个小正方形、和两个长方形、， ∴， 根据题意列方程得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的长是． （2）∵正方形面积为， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， ∴y关于的函数解析式为． （3）根据题意可知：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当的长为时，四边形的面积能够等于正方形面积的一半．    【点睛】本题考查列一元二次方程解决简单的实际问题，列函数的解析式并根据函数解析式和实际意义求定义域．根据题意列出一元二次方程和函数解析式是解题的关键． 题型6：函数解析式与几何证明 17．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如图，在四边形 中，，，点是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如果为为，则用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行线定理两直线平行同旁内角互补证明，进而证明，根据证明，即可得证； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质先证，再证； （3）过点作于，由等腰三角形和余角的性质证明； 【解析】（1）解：， ， ， ， ， 在和中， （2）解：， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 在和中， ． （3）解：过点作于， ，， ， 在中， ， 又， ， ， ， ． 即 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定；熟练掌握其定理进行推理论证是解题关键． 18．（22-23八年级上·上海·期中）如图，将一三角板放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线相交于Q，探究；设A、P两点间的距离为．    (1)当点Q在边上时，线段与之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想； (2)当点Q在边上时，设四边形的面积为，求与之间的函数关系，并写出函数自变量的取值范围； (3)当点P在线段上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值，如果不可能． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)或1 【分析】（1），过点作分别交、于点、，可以证明； （2）分别表示出与的面积就可以． （3）可能成为等腰三角形．①当点与点重合时，点与点重合，， ②当点在的延长线上，且时，就可以用表示出面积． 【解析】（1）， 过点作分别交、于点、， 在正方形中，为对角线， ， 又， ， ， ； 又， ， 在与中， ， ． （2）， ， ， ， 又， ， ， ； （3）可能成为等腰三角形． ①当点与点重合时，点与点重合， ，此时，． ②当点在的延长线上，且时， ，，，， 当时，．       【点睛】此题主要考查正方形及直角三角形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用解题的关键是熟练掌握以上知识点． 19．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，是边长为的等边三角形，、边上有两点E、F，，且，． (1)如图，若，证明为等边三角形． (2)若，其他条件不变，求的周长． (3)如图，当E、F分别在、延长线上时，若，则的周长＝ ．（用含x的代数式表示，直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和已知条件证明，得到，结合即可证明结论； （2）延长至点G，使，连接，利用三角形内角和定理和已知条件证明，得到，，角度代换进一步证明，有，即可知的周长为． （3）在上取点G，使，连接，同(2)可证，得，，进一步证明，得，则的周长为． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． （2）解：延长至点G，使，连接，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴． （3）解：在上取点G，使，连接，如图， 同(2)可证， ∴，， 同(2)可证， ∴， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质及三角形内角和定理，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，并利用全等三角形的性质求三角形的周长． 20．（23-24八年级上·上海曹杨第二中学附属学校·期中）已知：如图1，在中，，∠ABC=30°，，点、E分别是边、AC上动点，点不与点、重合，DE∥BC． （1）如图1，当AE=1时，求长； （2）如图2，把沿着直线翻折得到，设 ①当点F落在斜边上时，求的值； ② 如图3，当点F落在外部时，EF、DF分别与相交于点H、G，如果△ABC和△DEF重叠部分的面积为，求与的函数关系式及定义域．（直接写出答案） 【答案】（1）BD=；（2）①x=2；②. 【分析】（1）根据DE∥BC，可得∠ADE=30°，然后分别利用三角函数求出AB和AD即可； （2）①设，则AE=EF=4－x，然后证明△CEF是等边三角形即可解决问题； ②由①可知CE=x，AE=EF=4－x，△CEF是等边三角形，然后分别求出HF、FG和AD，利用三角形面积公式计算出和，进而得到，然后根据列式整理，并求出定义域即可. 【解析】解：（1）∵，∠ABC=30°，，AE=1， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=30°， ∴， ∴BD=AB－AD=； （2）①设，则AE=4－x， ∴EF=4－x， ∵∠ADE=∠B =30°， ∴∠AED=∠C =60°， ∴∠CEF=180°－60°－60°=60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴CE=EF，即x=4-x， ∴x=2； ②由①可知CE=x，AE=EF=4－x，△CEF是等边三角形， ∴HF=EF－EH=4－x－x=4－2x，∠FHG=∠CHE=60°， ∵∠F=∠A=90°， ∴FG=HF=， ∴， ∵AE= 4－x，∠ADE=30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当x=2时，点F落在斜边上， ∴定义域为：， 即. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质、等边三角形的判定和性质等知识，准确识别图形，求出△CEF是等边三角形是解题的关键. 题型7：几何证明 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，则，如图1，记的交点为，根据，，可得，进而可得； （2）如图2，过作于，则，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由翻折的性质可知，，，，如图3，过作于，过作于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵等腰直角，， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 如图1，记的交点为， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 如图2，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为； （3）解：由翻折的性质可知，，， ∴， 如图3，过作于，过作于， ∴， 同理（2）可知，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键． 22．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如图1，在中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC交AC于点D． (1)求证：BD=CD． (2)如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC． (3)如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不成立，正确的结论是BE-AB=AC，见解析 【分析】（1）根据三角形内角和可得，利用角平分线得出，由等角对等边即可证明； （2）过点E作交AC于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是．过点A作交BE于点F，由平行线的性质及等量代换可得，根据等角对等边得出，由角平分线可得，结合图形根据各角之间的数量关系得出，由等角对等边可得，结合图形进行线段间的等量代换即可得出结果． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∵BD平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：过点E作交AC于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵AE是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，正确的结论是．理由如下： 如图，过点A作交BE于点F， ∴， ∴， ∴， ∵AE是的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 23．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）已知，，，是射线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，点落在点处，连接交射线于点． (1)如图，当点与点重合时，求的长； (2)如图，当点在线段上时，连接，在点的运动过程中，请问的面积是否会发生变化？如果不会，求出它的面积；如果会，请说明理由； (3)当时，求的长． 【答案】(1)2 (2)不会，它的面积为8 (3)的长为或 【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解； （2）由旋转的性质可得，由“”可证，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【解析】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转， ∴， ∵点D与点C重合， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：的面积不会变化，理由如下： 如图，过点E作于H， ∵将绕点A逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线时，过点E作直线于H， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 24．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）已知，是等边三角形，边．点P在射线上，点Q是延长线上一点，且，连接交直线于点D．    (1)如图5，当点P为中点时，求的长． (2)如图6，过点P作，垂足为点E，当点P、Q分别在射线和延长线上移动时，线段、、中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长度保持不变，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质， （1）过点作交于，由题意可证是等边三角形，，即可求的长； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，． 【解析】（1）如图，过点作交于，    点和点同时出发，且速度相同， ， ， ，， 又， ， ， ， ，又， ，且是等边三角形 ， 是的中点，即， ； （2）分两种情况讨论，得为定值，是不变的线段 如图，如果点在线段上，    过点作交于， 由（1）证得，且是等边三角形 ， 为定值； 同理，如图，若在的延长线上，    作的延长线于， ， 又， ， ， ，且 ，是等边三角形 ，且 ， ， 综上所述，线段的长度保持不变． 25．（22-23八年级上·上海虹口·期中）已知（其中点、点，点、点，点、点分别对应），，； (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于），，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于），若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等边对等角，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得出，再根据等边对等角，得出，进而得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，即可得到结论； （3）在上取一点，使得，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，进而得出，设，，则，再根据等边对等角，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，得到的关系即可． 【解析】（1）证明： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键． 26．（23-24八年级上·上海罗南中学·期中）我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，图形语言说明：如图1所示，在中，，由是中线，可得． 请结合上述结论解决如下问题： 已知：P是边上的一动点(不与A，B集合)，分别过点A、点B向直线作垂线，垂是分别为点E点F，Q为边的中点．    (1)如图2所示，当点P与点Q重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________． (2)如图3所示，当点P在线段上不与点Q重合时，试判断与的数量关系，并给与证明． (3)如图4所示，当点P在线段的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】（1）根据得到，得到、，根据内错角相等两直线平行，得到； （2）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可； （3）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可 【解析】（1）如图1，    当点与点重合时，与的位置关系是，与的数量关系是， 理由： 为的中点， ， ，， ，， 在和中 ， ， ， 故答案为：；； （2） 证明：延长交于， ,    （3）当点在线段延长线上时，此时（）中结论成立 证明：延长交的延长于 ∵， ∴    【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：，平行线的性质，根据点位置不同，画出正确的图形，找到的条件是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$