辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年辽宁省沈阳二中高三（上)期中数学试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.(5分)已知集合A={xeZx2-2x-3<0;,则集合A的子集个数为() A.3 B.4 C.8 D.16 2.(5分)已知a=(2,1)b=(3x2-1,x),则“x=1”是“aWb”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 3.(5分)星载激光束与潜挺通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统在近海水下某深 度的能量货第公式为：是，×107中一是微光器输出的单歌冲能量。名是水下治艇接收到的 光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：k,光斑面积与卫星高度有关）.若水下 清起光学天线接收到胎号能量我我了湖足T=11:号〔华位。B.当卫跟造到定高定时。强火 器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75m2,则此时下大小约为(）（参考数据：g2≈0.301） A.-76.02 B.-83.98 C.-93.01 D.-96.02 4.(5分)已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-1,-1,2),则点C到直线AB的距 离为() A.6 3 B.③ C.√2 D.3 2 5.(5分)如图是函数∫(x)的图象，则函数f(x)的解析式可以为() A.f(x)=e+Inx B.f(x)=exte2r C.f(x)=x2+1 D.f(x)=x 1 x2 第1页（共26页）》 6.(5分)己知各项均为正数的等比数列{am}的前n项和为S,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为() A.30 B.10 C.9 D.6 7.(5分)已知直线/与圆x+y2=8相切，与抛物线y2=4x相交于A,B两点，以AB为直径的圆过坐标 原点，则直线1的方程为() A,x+y-4=0或x-+4=0 B.x-y-4=0或+y-4=0 C.x+2y+4=0或x-2y-4=0 D.x-2y+4=0或x+2+4=0 8.(5分)已知1log2a=log3b,log2h=log3c(b>1),则() A.2+1>2b+2 B.2+1>2+29 C.2logsb<logsa+log4c D.2logsb>log4a+logsc 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题给全对得5分，漏选得2分，错选不 得分。 (多选)9.(5分)已知复数z=1+i,则下列说法正确的是() A.z的共轭复数是1-i B.z的虚部是i C.三=i D.若复数0满足0-=1，则e0的最大值是√2+1 (多选)10.(5分)已知函数f(x)=sinxcos.2x,则下列结论正确的是(） A,「(x)既是奇函数，又是周期函数 B.了0的图象关于直线x空对称 C.f(x)的最大值为y6 D∫)在(0,2)上单调递增 (多选)1I.(5分)如图，在矩形AEFC中，AE=2√3，EF=4,B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则() A C B A,三棱锥P-ABC的体积为4 3 第2页（共26页）》 B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为3 C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为1 D.三棱锥P~ABC外接球的半径为V2 多选)12.(5分)已知数列a满足：a174t1s1n(分nneN,则下列结论正确的是 A.0<an<1 B.an>an+l C.sin( D.>1) 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上. 1B(5分)如图，角a的始边为x轴的丰负半输，终边与单位圆相之于点P(告，号》，将角心的锋边 绕若原点O顺时针旋转兀得到角B,则aB的值是 14.(5分)球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.如图， A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意 两点的大圆的劣弧分别为AB,BC,CA,由这三条劣弧围成的球面部分称为球面△ABC,已知地球半径 为R,北极为点N,若点P,Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面△NPQ的面积 为 A C 历为椭圆C的两个焦点，M为椭圆C上一点，MF=12,MF2三16，si 则椭圆C的离心率e= xe-2+4,x>0 16.(5分)已知函数f(x) 点M、N是函数f(x)图象上不同的两个点，则tan∠ V1+x2,x<0 第3页（共26页） MON(O为坐标原点)的取值范围是 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(10分)已知等差数列{am}的公差d=2,其前n项和为Sn=pm2+n,neN. (1)求p的值及通项公式am: (2)若bn=(-1)nan求数列m}的前n项和Tn: 18.(12分)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1,AC=3,点D在线段BC上，且BD=1DC (I)求AD的长： (Ⅱ)求cos∠DAC B 19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60”,△PAB为正 三角形，PD=√10，E为线段AB的中点，M为线段PD(不含端点)上的一个动点，且PM=入PD. (1)证明：PE⊥平面ABCD: (2)若二面角M-EC-D的大小为60°，求实数入的值. E B 20.(12分)某企业为响应国家号召，研发出一款特殊产品，计划生产投入市场，已知该产品的固定研发 成本为180万元，此外，每生产一台该产品需另投入450元.设该企业一年内生产该产品x(0<x≤50》 万台并委托一家销售公司全部售完.根据销售合同，0<x≤2时，销售公司按零售价支付货款给企业： 2<x≤50时，销售公司按批发价支付货款给企业.己知每万台产品的销售收入为/(x)万元，满足：/ 2(x-1)ex-2+2,0<x≤2 (x) 440+30509000 ,2<x<50 (1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万台)的函数关系式：（利润=销售收入 -固定研发成本-产品生产成本) (2)当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？并求出此时的最大利润. 第4页（共26页） 21.(12分)已知双曲线：x2-y2=1,点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直 线AM与y轴交于点D,点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上. (1)若点M(2,√3)，Q(2,0),过点Q作BM的垂线1交该双曲线C于S,T两点，求△OST的面 积： (2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①Od=DE:②BM⊥EQ:③Og=2. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。 22.(12分)已知函数f(x)=(x-1)Im(x-2)-a(x-3),aeR. (1)若a=1,讨论f(x)的单调性： (2)若当x>3时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围. 第5页（共26页） 2023-2024学年辽宁省沈阳二中高三（上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.(5分)已知集合A=xeZx2-2x-3<0,则集合A的子集个数为() A.3 B.4 C.8 D.16 【分析】求出集合A=0,1,2},由此能求出集合A的子集个数 【解答】解：集合A={xeZx2-2x-3<0}={xeZ-1<x<3}={0,1,2}, .集合A的子集个数为23=8. 故选：C 【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题。 2.(5分)已知a=(2,1)6=(3x2-1,x),则“x=1”是“a∥6”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解。 【解答】解：aWb,a=(2,1)6=(3x2-1,x) 则31=2，解得=1或子 故“x=1”是“a∥b”的充分不必要条件。 故选：A 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题. 3.(5分)星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统在近海水下某深 度的能量估算公式为L,。p×10了其中印是激光器输出的单脉冲能量，B,是水下潜艇接收到的 光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：k,光斑面积与卫星高度有关）.若水下 普能光学天线接收到信号能量衰液了满足P=101是；〔单位：B,当卫星达到定商度时。汽藏光 第6页（共26页）》 器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75m2,则此时「大小约为(）（参考数据：g2≈0.301） A.-76.02 B.-83.98 C.-93.01 D.-96.02 起X107可4x10,代入 已三，由对数的性质求解即可· 【解答】解。因为E,-号p×10-又，该激光器光珠冲在指餐接收平面的光黄面积为75， 所以品=是×107=是×101=4×10-9 Ep S Γ75 则P=101g4×109=101g4-90=10×0.602-90=-83.98. 故选：B 【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题， 4.(5分)已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-1,-1,2),则点C到直线AB的距 离为() A.6 B.V3 c.√② D.3 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算，即可得出答案 【解答】解：A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-1,-1,2), AC=(0,-1,2),AB=(1,1,-1) 2 则点C到直线AB的距离为 I AB I 5g@ 故选：C 【点评】本题考查空间向量的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题。 5.(5分)如图是函数(x)的图象，则函数∫(x)的解析式可以为() A.f(x）=e'+llr B.f(x)=exte2r C.f(x)=x2+1 D.f)= 1 【分析】先根据定义域和利用导数确定单调性，再逐一判断是否成立. 第7页（共26页》 【解答】解：对于A:f(x)=e+lmr定义域为{xx≠0， 当x>0时f(x)=e+,则f'(x)=e+>0,即函数在(0，+∞)上单调递增，故A错误： 对于B:f(x)=e+e2r定义域为R,且ex>0,e2r>0,所以f(x)=e+er>0,故B错误： 对 于 f(x)=x2+ 定 义 域 为 X 1x≠01，(x2x2x21.2✉102+2x4D 又 x2 x2 23x2+2x41=(2时x2+号>0，所以当x>32时.10>0 4 1 1 当x<0或0<r<2时，了)<0，即函数在(-∞，0)，(0,23)上单调递减，在(23，+oo) 上单调递增，故C错误： 对于D:(x)x安交 +1定义域为x≠0， 1 2 （x)=12=2=x-2）(x2+23x+23) 2x-2[x2)2- 2 23] 39 所以当x>2号或x<0时，了)>0，当0<x<23时/（)<0， 1 1 即函数在(-∞，0)，(23，+0)上单调递增，在(0,23)上单调递减，符合题意： 故选：D. 【点评】本题主要考查函数的解析式，属于中档题. 6.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sm:a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为() A.30 B.10 C.9 D.6 【分析】设等比数列{am;的公比为g,则g>0,由等比数列的性质可得a3=3,结合9S4=10S2,列出关 于a和g的方程组，求出a和g的值，进而求出a2+a4的值. 【解答】解：设等比数列{am}的公比为q,则q>0,且q≠1， m4=9,六a3 2=9 又am>0,∴.3=3， 第8页（共26页） a1g2=3 a1=27 9.811-g4 10.a1(1-g2),解得 _1 =10 1-g 1-q a 3 ata4=a19+a193=10, 故选：B。 【点评】本题主要考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于基础题. 7.(5分)己知直线1与圆x4+2=8相切，与抛物线2=4红相交于A,B两点，以AB为直径的圆过坐标 原点，则直线1的方程为() A,x+y-4=0或x-y+4=0 B.x-y-4=0或x+y-4=0 C.x+2+4=0或x-2y-4=0 D.x-2y+4=0或x+2+4=0 【分析】由题意，对直线/的斜率是否存在进行讨论，当直线/的斜率存在时，设出直线/的方程，利 用点到直线的距离公式得到㎡=8+82，将直线1的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和向量的坐 标运算再进行求解即可。 【解答】解：若直线1的斜率不存在， 因为直线1与圆x2+,2=8相切， 所以直线1的方程为x=2V2或x=-2V2, 因为直线1与抛物线)2=4x相交于A,B两点， 所以直线1的方程为x=2√2， 不妨设A(2V2,y0)B(2V2,-y0)且y斤4×2V=8V2, 此时0A0丽=(2W2,y0)·(2W2,-y0)=8-y子8-8V2≠0不符合题意： 若直线/的斜率存在， 不妨设直线1的方程为y=+m,A(x1,y1),B(x2,2), 因为直线1与圆x2+,2=8相切， 所以圆心(0,0)到直线1的距离d=m。=2√2， V1+k2 整理得m2=8+8k2,① y=kx+m 联立。 ，消去y并整得2x2+(2km-4)+m2=0. y2=4x 此时△=(2km-4)2-42m2=-16km+16>0, 第9页（共26页） 解得km<1, 由韦达定理得x1+x2=24 k2 2品 此时可A,0=x1x2*y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2m】 =（1+R)no+mG*n)+m2=（1+2n k26m2m 2+m2=0 整理得m2+4n=0,② 联立①②，解得k=1,m=-4或k=-1,m=4, 则直线1的方程为x-y-4=0或x+y-4=0. 故选：B. 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力， 8.(5分)已知1og2a=log3b,log2b=log3c(b>1),则() A.2+1>2+29 B.2+1>2+29 C.2logsb<logsa+log4c D.2logsb>log4a+logsc 【分析】分别取b=3,b=4可判断A,B,利用对数换底公式和基本不等式可判断C,D, 【解答】解：若b=3,则log2a=1,∴.a=2,1nc= (1n3)2 2+1=2,故A错： 1n2 若b=4,则10g24=1og3c,.c=9,2>2+1,故B错： 10g5a 10g5b 对于C,由log2a=1og3b得： ,即log5a=log32 logsb, 1o8521o853 同理由log2b=log3c得：log5c=log23log5b, 所 以 1og5a+10g4c>1og5a+10g5c=1og5b(1og23+10g32)>1og5b2W1o8231og32=21og5b ,故C正确： 对于D,同上得：log4a+log5c>logsa+og5c>2 logsb,故D错误. 故选：C. 【点评】本题考查对数的运算，考查特值法的应用，属于中档题. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题给全对得5分，漏选得2分，错选不 得分。 (多选)9.(5分)已知复数z=1+i,则下列说法正确的是() 第10页（共26页）