2.3 函数单调性、极值、最值-遇见最美的数学系列-——技巧篇2（章节综合版）

38 2.3函数单调性、极值、最值 题型:单调性、极值、最值 秒杀原理:导数求函数单调性、极值、最值，通过导数大于零、小于零的判断 及导数零点即函数的极值点。 秒杀结论:导数大题模板 秒杀用时: 1 分钟 秒杀步骤:根据题目已知条件和问题要求，套用相应的导数求单调性、极值、 最值模板。 单调性、极值、最值大题模板: 解:由题可知，函数 )(xf 的定义域为 求导可得: )(' xf 令 0)(' xf ,解得 为增区间， 令 0)(' xf ，解得 为减区间， 极小值)(xf 极大值)(xf ∵f(x)在 为（增、减）函数 ∴ 最小值)(xf 最大值)(xf 例 1:已知函数 xxxxf 10)1ln(16)( 2  ，求其单调区间 解:由题可知，函数 )(xf 的定义域为 ),1( x 求导可得:    1 312)('    x xxxf 令 0)(' xf ，解得   ，3)1,1(x 为增区间， 高中数学，并不难 39 令 0)(' xf ,解得  3,1x 为减区间， 故，函数 xxxxf 10)1ln(16)( 2  的增区间为   ，3)1,1( ，减区间为  3,1 例 2:求函数 xexxf  2)( 的极值。 解:由题可知，函数 )(xf 的定义域为 Rx 求导可得:  xxexf x   2)(' 令 0)(' xf ，解得  2,0x 为增区间， 令 0)(' xf ，解得     ，20,-x 为减区间， 0)0()(  fxf 极小值 24)2()(  efxf 极大值 故，函数 xexxf  2)( 的极大值为 24 e ，极小值为 0。 例 3:设函数   232ln)( xxxf  ，求 )(xf 在区间     4 1 4 3- ， 上的最值。 解:由题可知，函数 )(xf 的定义域为       ， 2 3- 求导可得:    32 1122 32 22)('      x xx x xxf 令 0)(' xf ，解得             ， 2 1-1-, 2 3-x 为增区间， 令 0)(' xf ，解得       2 1-,1-x 为减区间， 4 12ln) 2 1-()(  fxf 极小值 16 1 2 7ln 4 1)(       fxf 极大值 高中数学，并不难 40 故，函数 )(xf 的极大值为 16 1 2 7ln  ，极小值为 4 12ln  。 PS:根据题目要求，需要求单调区、极值还是最值，套用相应的模板即可，需 要注意最值并非极值，最值是在某一区间内的极值。 高中数学，并不难 41 刷题特训： [1]函数   xexxf 3)(  的单调增区间为         ,2D. 41C. 30B. 2-. ，，，A [2]若 xxxxf ln42)( 2  ，则 0)(' xf 的解集为           ,2D. 01-C. 201-B. 0. ，，，，A [3]设函数  Rxbxaxxxf  234 2)( ，其中 Rba , ，当 3 10-a 时，讨论 )(xf 的单调性 [4]已知函数 xkxxf ln)(  在区间 ),1(  上单调递增，则 k取值范围是（ ）         ，，，， 2D. 1C. 1--B. 2--.A [5]设函数 0,ln)( 22  aaxxxaxf ，求 )(xf 的单调区间 高中数学，并不难 高中数学，并不难 1.y=3x+12.e,e）3.-3435.1 2013 2.3刷题特训 1.D2.D 3.解：由题可知，f(x)的定义域为x∈R 当a=-10时求导得，m=x4r2+3ax+4=2x2x-1以x-2) 3 令fe>0,解得x0》+ 令f<0,解得xe(0小侣2 故，函数f的单调增区间为0》2+小.单调减区间为(m0小（行2 4,C 5,由题可知，f(x)的定义域为xe(0,+o) 求导得，r=.-a2r+a 令f(x)>0,解得xe(0,a) 令f'(x)<0,解得xe(a,+o) 故，函数f(x)的单调增区间为(0，a),单调减区间为(a,+∞) 2.4刷题特训 1,解：由题可知，f(x)的定义域为x∈R 求导得，f(m)=6xx-(a-) 令f(x)=0,解得x=0,x2=a-1 (1)当a=1时，f(x)=6x≥0，f(x)的单调增区间为(o,+o) (2)当a>1时，令(x)>0,解得x∈-o,0U(a-l,+oo) 令f(x)<0,解得x∈(0，a-1 246