第四章 对数运算与对数函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第四章 对数运算与对数函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C．1 D． 4．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（    ） （参考数据：，） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.4% 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“二倍函数”.若函数（且）是“二倍函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，且的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 13．已知函数，若，且，则的取值范围是 . 14．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 16．（15分）已知幂函数，对于任意给定的正实数，不等式恒成立， (1)求的值； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的取值范围. 17．（15分）已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 18．（17分）已知函数，其中且. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，判断的单调性； (3)当的定义域为时，的值域为，求的值. 19．（17分）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 对数运算与对数函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内． 【详解】解：， 所以， ， 所以， 故选：C． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数型函数的定义域及指数函数值域分别可得两集合，进而利用交集和并集运算判断各选项. 【详解】由对数型函数的定义域可知，，即， 又，则，所以，则，， 故选：D. 3．若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将指数式化成对数式，再利用换底公式和对数的运算性质计算即得. 【详解】由化成对数式，可得， 则. 故选：D. 4．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（    ） （参考数据：，） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.4% 【答案】C 【分析】由题意，代入解方程即可. 【详解】由题意可知，，即， 所以，解得. 故选：C 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助指数函数、幂函数与对数函数的性质判断即可得. 【详解】由函数在上单调递减，故， 由函数在上单调递增，故， 则， 即. 故选：C. 6．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用排除法.先判断函数的奇偶性，排除AB，再分析函数的单调性，排除C，可得问题答案. 【详解】是奇函数，既不是奇函数也不是偶函数，排除AB； C，D中函数都是偶函数，时，是减函数，排除C． 对于D，，当时，为增函数且, 而在为增函数，故在上为增函数， 故D正确． 故选：D． 7．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“二倍函数”.若函数（且）是“二倍函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复合函数单调性性质可得为单调递增函数，再由值域关系可得方程有两个不相等的实根，再由换元法以及二次函数根的分布情况可得结果. 【详解】根据题意可知当时，由复合函数单调性可得为单调递增， 当时，由复合函数单调性可得为单调递增； 因此可知为单调递增函数， 若函数是“二倍函数”，还需满足； 即可得，因此可得方程有两个不相等的实根； 令，可得关于的一元二次方程有两个不相等的正根， 因此，解得. 可得实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据“二倍函数”的定义得出关于的方程有两个不相等的实根；再转化成二次函数根的分布问题即可求得结果. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，且的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用指数函数的单调性，求解出的取值范围，从而求解出各个选项不等式的正确与否. 【详解】根据函数，且的图象， 知函数是单调递增函数，所以. 又时，，所以，解得， 所以是增函数，，A正确. 由，得，B正确. 由，得，C正确. 由是单调递减函数，得，D错误. 故选：ABC. 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据指数函数,对数函数,幂函数的单调性,结合不等式性质逐项分析即可. 【详解】对于A，根据在单调递增，结合，知，A正确． 对于B，根据在单调递增，结合，知，B错误． 对于C，根据在单调递增，结合，知，C错误． 对于D，根据，结合， 知，则，即，D正确． 故选：AD. 11．已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 【答案】ABD 【分析】利用特殊值代入判断A即得；由函数定义域为等价转化为对数真数恒大于零，即对应的一元二次不等式的判别式恒小于0判断B；令，则依题需使在上递减且恒大于0，求出的范围即可判断C；由求出的值,即可判断D. 【详解】对于A，在中，取，则， 此时函数的定义域为，且，即为偶函数，故A正确； 对于B，因的定义域为，则恒成立， 即，解得，故B正确； 对于C，令，因在定义域上单调递减， 故要使函数在区间上单调递增，则需使在上单调递减且恒大于0， 故有解得，故C错误； 对于D，因的值域是，即， 由复合函数的单调性可知，此时， 由知， 解得，即故D正确. 故选：ABD. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】首先根据分段函数求出，然后根据 的值求出的值即可． 【详解】由题意，可得， 又， 故， 故答案为：． 13．已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出的图象，数形结合可得，，故，然后利用对勾函数的单调性即可求出答案. 【详解】的图象如下： 因为且，所以且， 所以，所以，故， 由对勾函数在上单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 14．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知函数在上单调递增，且，由已知条件可得出，结合函数的单调性和奇偶性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 则函数在上单调递增，且， 因为，由， 可得，即， 即，所以，，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由对数的运算性质化简求解即可； （2）利用对数的换底公式进行化简求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，即， 所以，即，所以， 故. 16．已知幂函数，对于任意给定的正实数，不等式恒成立， (1)求的值； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先由已知判断为增函数，再结合幂函数的单调性解不等式即可； （2）结合二次函数的性质即可得到结果； （3）由对数函数和二次函数的性质得出结果即可； 【详解】（1）因为对于任意给定的正实数，不等式恒成立， 不妨设， 则， 所以在上为增函数， 所以，即， 所以或， （2）由已知， 要使函数不单调，则，则， （3）若函数的值域为， 则恒成立， 即恒成立， 所以， 17．已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【详解】（1））① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. （2）设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 18．已知函数，其中且. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，判断的单调性； (3)当的定义域为时，的值域为，求的值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)在和上都为减函数； (3). 【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着按奇偶性判定步骤去判断即可证明； （2）由为增函数，在和上都为减函数即可判断； （3）由题意结合（2）得在上为减函数，进而得，从而得，解该方程即可得解. 【详解】（1）函数为奇函数，证明如下： 由得或，即的定义域为或关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （2）由和复合而成， 当时，为增函数，在和上都为减函数， 所以由复合函数的单调性知在和上都为减函数. （3）由题意，所以由（2）可知在上为减函数， 因为当时，，故， 即，解得， 因为，所以. 19．对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上“友好” (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断； （2）根据单调性求出函数的最值，即可得到，参变分离得到，换元，利用函数的单调性求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， ， 所以， 即，有， 所以当时，函数在上是 “友好”的. （2）依题意可得在上单调递减， 则，， 则有， 即， 即，可得，即， 令，因为，则且， 则， 令，， 令， 令任意的且， 则， 即，所以函数在上单调递减， 同理可得在上单调递增， 又，， 当或时，取最大值，此时， 于是当或时，取最大值， 依题意， 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以，此时， 综上可得的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$