专题05 圆的方程（知识归纳+分层小练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

04 圆的方程 一、知识归纳： 1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于 的点的集合是圆，其中定点是 ，定长是圆的 ． 2．圆的标准方程 圆的标准方程是 （其中），圆心的坐标是 ，半径是 ． 3．圆的一般方程 当 时，二元二次方程叫做圆的一般方程． 其中圆心为 ，圆的半径为 . 4．点与圆的位置关系 圆，其圆心为，半径为，点， 设． 位置关系 几何法（利用距离判断） 代数法（利用方程判断） 点在圆外 点在圆上 点在圆内 5．如图，圆外一点到圆上任意一点距离的最小值 ，最大值 ． 自检自纠：1．定长，圆心，半径 2．，，r 3．，， 4．，，，， 5．， 二、分层小练： A.基础练习 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知的圆心，半径为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．以为圆心，经过原点的圆方程为（    ） A． B． C． D． 3．圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 4．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 6．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．若圆：过坐标原点，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．或 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有（    ） A． B． C． D． 10．点在圆的内部，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 11．若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．0 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．以两点和为直径端点的圆的标准方程是 . 13．已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ． 14．若直线是圆的一条对称轴，则 ． B.能力强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设圆的方程为，直线的方程为，点的坐标为(2,1)，那么（    ） A．点在直线上，但不在圆上 B．点在圆上，但不在直线上 C．点既在圆上，也在直线上 D．点既不在圆上，也不在直线上 2．两圆和的圆心连线方程为（    ） A． B． C． D． 3．若直线经过第一、二、四象限，则圆的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若直线始终平分圆的周长，则a的值为（    ） A．4 B．6 C．-6 D．-2 5．若方程表示圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．圆心在轴上，半径为2，且过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为（    ） A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 C．(x－1)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5 8．已知圆的圆心到直线的距离为，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 10．已知圆（为常数，）不经过第二象限，则实数的可取值为（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 11．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．圆关于直线的对称圆的标准方程为 ． 13．已知的三个顶点分别是点，记的外接圆为圆，则圆关于原点对称的圆的标准方程为 ． 14．若点在圆上，则的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04 圆的方程 一、知识归纳： 1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于 的点的集合是圆，其中定点是 ，定长是圆的 ． 2．圆的标准方程 圆的标准方程是 （其中），圆心的坐标是 ，半径是 ． 3．圆的一般方程 当 时，二元二次方程叫做圆的一般方程． 其中圆心为 ，圆的半径为 . 4．点与圆的位置关系 圆，其圆心为，半径为，点， 设． 位置关系 几何法（利用距离判断） 代数法（利用方程判断） 点在圆外 点在圆上 点在圆内 5．如图，圆外一点到圆上任意一点距离的最小值 ，最大值 ． 自检自纠：1．定长，圆心，半径 2．，，r 3．，， 4．，，，， 5．， 二、分层小练： A.基础练习 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知的圆心，半径为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的圆心，半径为2，所以的标准方程为.故选：D 2．以为圆心，经过原点的圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵圆经过原点，∴半径为2，∴以为圆心，经过原点的圆方程为.故选B. 3．圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以圆心和半径分别为.故选：D 4．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得或. 5．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【答案】A 【详解】，在圆外，故选：A. 6．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，圆的标准方程为，故，，又点在圆外，所以，，或，所以m的取值范围为．故选：D. 7．某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆经过两点，所以圆心在中垂线上，联立解得圆心，所以圆的半径，故所求圆的方程为，故选：D 8．若圆：过坐标原点，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．或 【答案】A 【详解】圆过原点，于是得，解得：或，当时，原方程为，它是一个点，不是圆，当时，原方程为，它是以为圆心，为半径的圆，所以实数的值为1.故选：A 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A中在圆外；选项B中在圆内；选项C中在圆内；选项D中在圆外.故选：AD. 10．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由已知条件可得，即，解得.故选：AD. 11．若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】AD 【详解】因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离为，所以或.故选：AD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．以两点和为直径端点的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】由题意，在圆中，圆过和，且以为直径，设圆心为，半径为，∴，，，∴，，∴以两点和为直径端点的圆的标准方程是：，故答案为：. 13．已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ． 【答案】 【详解】解：设圆M的一般式方程为：，因为圆M经过点，，，所以，解得，得圆M的一般式方程为：，故圆M的标准方程为：.故答案为： 14．若直线是圆的一条对称轴，则 ． 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在此直线上，所以，解得.故答案为： B.能力强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设圆的方程为，直线的方程为，点的坐标为(2,1)，那么（    ） A．点在直线上，但不在圆上 B．点在圆上，但不在直线上 C．点既在圆上，也在直线上 D．点既不在圆上，也不在直线上 【答案】C 【详解】将P点坐标代入，故在圆上，将P点坐标代入，故在直线上，故选：C 2．两圆和的圆心连线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意即，即， 故两圆的圆心坐标分别为，则连心线斜率为，则两圆心的连线方程为即，故选：A． 3．若直线经过第一、二、四象限，则圆的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为直线经过第一、二、四象限，所以，又因为圆的圆心坐标为，因为，所以圆心在第一象限.故选：A 4．若直线始终平分圆的周长，则a的值为（    ） A．4 B．6 C．-6 D．-2 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为,直线平分圆的周长，必经过圆心，点在直线上，，故选：C. 5．若方程表示圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得.故选：B. 6．圆心在轴上，半径为2，且过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设圆的标准方程为，将代入，求得，则圆的标准方程为，故选：B. 7．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为（    ） A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 C．(x－1)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5 【答案】A 【详解】由题意，圆心在直线2x－y－1＝0上，将点(a,1)代入可得a＝1，即圆心为(1,1)，半径为r＝＝，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5，故选A. 8．已知圆的圆心到直线的距离为，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，知圆心坐标为(1，4)，圆心到直线的距离为，则，解得或因为，所以所以，且，则，当且仅当时取“="，即的最小值为．故选D 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABD 【详解】可化为，即该圆圆心为，半径为.由圆的性质可知该圆关于点对称，故AB正确；因为圆心不在直线上，所以该圆不关于直线对称，故C错误；因为圆心在直线上，所以该圆关于直线对称，故D正确；故选：ABD 10．已知圆（为常数，）不经过第二象限，则实数的可取值为（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】CD 【详解】圆表示以C（a，0）为圆心，以2为半径的圆，此圆不经过第二象限，需|OC|≥2，故a≥2，故选：CD. 11．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【答案】BC 【详解】解：由，得， 当时，方程表示点，故A错误； 当时，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，方程表示的圆的半径为，与轴相交，故D错误． 故选：BC． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．圆关于直线的对称圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】圆的标准方程为，圆心(2,2),半径为2，圆心(2,2)关于直线的对称点为原点,所以所求对称圆的标准方程为. 13．已知的三个顶点分别是点，记的外接圆为圆，则圆关于原点对称的圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的标准方程为，代入的坐标得，解得.故圆的标准方程为．圆圆心关于原点对称的点为，半径为，故所求圆的标准方程为. 14．若点在圆上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，化为，圆心为，半径为，又表示点与点的距离的平方，圆心与点的距离为，所以点与点的距离的最小值为，故的最小值为，故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$