微专题11 二次函数在闭区间上的最值问题5种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2023-2024学年《题型通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题11 二次函数在闭区间上的最值问题5种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 定二次函数在定区间上的最值问题 题型2 定二次函数在动区间上的最值问题 题型3 动二次函数在定区间上的最值问题 题型4 动二次函数在动区间上的最值问题 题型5 逆向型二次函数最值问题 一、二次函数的图象和性质 函数 二次函数 图像 a>0 a<0 y 0 x y 0 x 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是； （3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大， （4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 二、二次函数的三种形式 1、一般式： 2、顶点式：若二次函数的顶点为，则其解析式为 3、两根式：若相应一元二次方程的两个根为，， 则其解析式为 三、二次函数在闭区间上的最值 二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论， 一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 将配方，得顶点为，对称轴为 （1）当时， 的最小值为， 的最大值为与中的较大值； （2）时， 若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为； 若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为； 四、二次函数在闭区间上的最值类型 1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）； 2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解； 3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论； 4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。 （一）正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 示例1：函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其对称轴在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 示例2：如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 综上讨论， 图3 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 示例3：求函数在上的最大值。 解： 函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）；由图可知 （2）；由图可知 （3） 时；由图可知 ；即 通过以上几个问题的分析可知，不管是哪种形式的二次函数的最值总在对称轴的位置或定义域的两个端点处取得，而我们要知道二次函数最值是在这三个位置中的哪个位置，所要做的工作就是去分析图像，讨论对称轴与定义域的位置关系。以上问题都是利用解析式和区间求最值得问题，我们称之为正向型问题。 （二）逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。 示例4：已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 解： （1）若，不符合题意。 （2）若则 由，得 （3）若时，则 由，得 综上知或 示例5：已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。 具体解法为： （1）令，得 此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意； （2）令，得 此时抛物线开口向上，对称轴方程为，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意； （3）若，得 此时抛物线开口向下，对称轴方程为，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。 综上，或 解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。 题型1 定二次函数在定区间上的最值问题 【例1】函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ） A． B． C． D．最小值是，无最大值 【变式1】函数在上的最大值是______________． 【变式2】已知函数，则函数的值域为__________. 【变式3】设，则函数的最大值为______. 题型2 定二次函数在动区间上的最值问题 【例2】已知函数. （1）若，求的单调区间和值域； （2）设函数在的最小值为，求的表达式. 【变式1】已知二次函数满足，且 （1）求的解析式. （2）求在，的最小值，并写出的函数的表达式. 【变式2】函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)． （1）求g(t)的解析式； （2）求g(t)的最大值． 【变式3】已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是． (1)求的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式． 【变式4】二次函数，且的解集为. （1）求a的值； （2）求在区间上的最大值. 题型3 动二次函数在定区间上的最值问题 【例3】求在区间上的最大值和最小值． 【变式1】已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最小值为a，求实数a的值. 【变式2】已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数．求在上的最大值与最小值． 【变式4】已知函数，. （1）求的最小值； （2）若的最小值是，求实数a的值. 【变式5】已知函数． 当时，求函数在区间上的值域； 当时，求函数在区间上的最大值； 求在上的最大值与最小值． 题型4 动二次函数在动区间上的最值问题 【例4】函数在区间上的最小值为，求的表达式. 【变式1】已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【变式2】设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式. 题型5 逆向型二次函数最值问题 【例5】若函数在上最小值为，求的值. 【变式1】若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________． 【变式2】若函数在上的最小值为．则____． 【变式3】已知函数在区间上最大值为，求实数的值． 【变式4】已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围. 【变式5】已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值. $$2023-2024学年《题型通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题11 二次函数在闭区间上的最值问题5种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 定二次函数在定区间上的最值问题 题型2 定二次函数在动区间上的最值问题 题型3 动二次函数在定区间上的最值问题 题型4 动二次函数在动区间上的最值问题 题型5 逆向型二次函数最值问题 一、二次函数的图象和性质 函数 二次函数 图像 a>0 a<0 y 0 x y 0 x 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是； （3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大， （4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 二、二次函数的三种形式 1、一般式： 2、顶点式：若二次函数的顶点为，则其解析式为 3、两根式：若相应一元二次方程的两个根为，， 则其解析式为 三、二次函数在闭区间上的最值 二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论， 一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 将配方，得顶点为，对称轴为 （1）当时， 的最小值为， 的最大值为与中的较大值； （2）时， 若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为； 若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为； 四、二次函数在闭区间上的最值类型 1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）； 2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解； 3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论； 4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。 （一）正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 示例1：函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其对称轴在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 示例2：如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 综上讨论， 图3 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 示例3：求函数在上的最大值。 解： 函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）；由图可知 （2）；由图可知 （3） 时；由图可知 ；即 通过以上几个问题的分析可知，不管是哪种形式的二次函数的最值总在对称轴的位置或定义域的两个端点处取得，而我们要知道二次函数最值是在这三个位置中的哪个位置，所要做的工作就是去分析图像，讨论对称轴与定义域的位置关系。以上问题都是利用解析式和区间求最值得问题，我们称之为正向型问题。 （二）逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。 示例4：已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 解： （1）若，不符合题意。 （2）若则 由，得 （3）若时，则 由，得 综上知或 示例5：已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。 具体解法为： （1）令，得 此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意； （2）令，得 此时抛物线开口向上，对称轴方程为，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意； （3）若，得 此时抛物线开口向下，对称轴方程为，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。 综上，或 解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。 题型1 定二次函数在定区间上的最值问题 【例1】函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ） A． B． C． D．最小值是，无最大值 【答案】C 【解析】，抛物线的开口向上，对称轴为， 在区间上，当时，有最小值；时，有最大值42， 函数在区间上的最大值、最小值分别是：42，．故选：C． 【变式1】函数在上的最大值是______________． 【答案】6 【解析】二次函数对称轴为， 故原函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知在时取最大值， 故答案为：6 【变式2】已知函数，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】由题意得：，为开口向下，对称轴为x=2的抛物线， 因为， 所以当x=2时，y有最大值，且为3， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式3】设，则函数的最大值为______. 【答案】 【解析】二次函数是开口向下的，对称轴为 ， ∴当 时， ； 故答案为：. 题型2 定二次函数在动区间上的最值问题 【例2】已知函数. （1）若，求的单调区间和值域； （2）设函数在的最小值为，求的表达式. 【答案】（1） 【解析】（1）可知函数的对称轴为，开口向上， ∴当[-1,]时，单调递减；当[,3]时，单调递增， ∴，， 综上，的单调递减区间为[-1,]，单调递增区间为，值域为[,12]； （2）对称轴为，开口向上， 当，即时，在单调递增，， 当，即时， ， 当，即时，在单调递减， ∴， 综上，. 【变式1】已知二次函数满足，且 （1）求的解析式. （2）求在，的最小值，并写出的函数的表达式. 【答案】（1） （2）当时，，当时，，当时，， 【解析】（1）设， ， 又，， 由知， （2），对称轴为：， 故当时，在上单调递增， 故在处取得最小值，， 当，即时，在上单调递减， 故在处取得最小值，， 当时，在上单调递减， 在上单调递增，故在处取得最小值，， 所以 【变式2】函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)． （1）求g(t)的解析式； （2）求g(t)的最大值． 【答案】（1）g(t)＝；（2）3. 【解析】（1）f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3. 当，即时，f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数， ∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2； 当，即时，g(t)＝f（2）＝3； 当时，f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， ∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1. 综上所述，g(t)＝ （2）当时，； 当时，； 当时，. ∴g(t)的最大值为3. 【变式3】已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是． (1)求的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式． 【解析】(1)是二次函数，且的解集是， 可设．(待定系数法，二次函数设为交点式) 在区间上的最大值是． 由已知得，， ． (2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为 (讨论对称轴与闭区间的相对位置) ①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧) 此时的最小值； ②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧) 此时的最小值； ③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间) 此时， 综上所述，得的表达式为：． 【点拨】 ① 利用待定系数法求函数解析式； ② 对于二次函数,对称轴是确定的，而函数的定义域 不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论. 【变式4】二次函数，且的解集为. （1）求a的值； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为的解集为 即，1是方程的两根， 所以，即； （2）由于的图象开口向下， 且对称轴为，则在上单调递增，在上单调递减， 当，即时，； 当，即时，； 当时，； 综上，. 题型3 动二次函数在定区间上的最值问题 【例3】求在区间上的最大值和最小值． 【解析】的对称轴为． ①当时，如图①可知，在上递增， ，． ②当时， 在上递减，在上递增， 而，(此时最大值为和中较大者) 当时，，， 当时， ，如图③， ③当时，由图④可知，在上递减， ，． 综上所述， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 【点拨】 ① 题目中的函数的对称轴是不确定的，定义域是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况(即)进行讨论. ② 在求最大值时，当，还需要判断和时谁离对称轴更远些，才能确定哪个是最大值，则还有分类; 【变式1】已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最小值为a，求实数a的值. 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）当时，， ∴函数的对称轴为直线， ∵， ∴. ∴当时，函数的值域为. （2）易知函数的图像开口向上，对称轴为直线， ①当时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，满足题意； ②当时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，不满足题意； ③当时，， ∴， ∴，解得或（舍）， 综上，或. 【变式2】已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，故在上递增，在上递减， 当，则上递减，故最大值， 当，则最大值， 当，则上递增，故最大值， 综上，的最小值为.故选：C 【变式3】已知函数．求在上的最大值与最小值． 【答案】见解析 【解析】函数 的对称轴为， ①当，即时，函数在上是增函数， 当时，函数y取得最小值为； 当时，函数取得最大值为． ②当，即时， 当时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为． ③当，即时， 当a时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为． ④当，即时，函数在上是减函数， 故当时，函数取得最大值为； 当时，函数取得最小值为． 综上，当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值为，最小值为， 当时，函数的最大值为，最小值为 【变式4】已知函数，. （1）求的最小值； （2）若的最小值是，求实数a的值. 【解析】（1），对称轴为， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，在上单调递减，则； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. （2）的最小值是， 由（1）得，，且或，解得. 【变式5】已知函数． 当时，求函数在区间上的值域； 当时，求函数在区间上的最大值； 求在上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) ； (3)时, 最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为．时，最大值为，最小值为． 【解析】 (1)当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，，，， 函数在区间上的值域是； (2)当时，， ，函数在区间上的最大值； ，函数在区间上的最大值； 函数在区间上的最大值； (3)函数 的对称轴为， ①当，即时，函数在上是增函数， 当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为． ②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为． ③当，即时，a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为． ④当，即时，函数在上是减函数，故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为． 题型4 动二次函数在动区间上的最值问题 【例4】函数在区间上的最小值为，求的表达式. 【答案】 【解析】由题意可知，二次函数的开口向下，对称轴方程为 ∵， ∴，即 【变式1】已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】若对任意的，恒成立，即当时， ∵二次函数， ∴函数的图象的对称轴为直线，且开口向上， 分以下三种情况讨论： ①当，即时，函数在区间上单调递增， 所以， 所以，即，解得或， 因为，所以； ②当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即， 因为，所以不等式无解； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以， 所以，即，解得或， 因为，所以； 综上可知，的取值范围为 【变式2】设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式. 【答案】， 【解析】函数的顶点坐标为，开口向上，对称轴为 分以下四种情况求最值： ①当，即时，在上单调递增， 所以，； ②当，且，即时，在单调递增， 所以，； ③当，且，即时，在单调递减， 所以， ④当，即时，在上单调递减， 所以，； 综上知，在的最大值与最小值分别为： ， 题型5 逆向型二次函数最值问题 【例5】若函数在上最小值为，求的值. 【答案】 【解析】函数图象的对称轴为，图象开口向上， （1）当时，函数在上单调递增．则，由，得，不符合； （2）当时．则，由，得或，，符合； （3）当时，函数在上单调递减， ，由，得，，不符合，综上可得． 【变式1】若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________． 【答案】或##或 【解析】， 抛物线开口向下，抛物线的对称轴为， ①当，即时，当时，函数最大值为3， ，解得：（舍去）； ②当，即时，当时，函数最大值为3， ，解得：． ③当，即时，当时，函数最大值为3， ，解得（舍去）或， 综上所述，或. 故答案为：或 【变式2】若函数在上的最小值为．则____． 【答案】1 【解】函数图象的对称轴为，图象开口向上， （1）当时，函数在上单调递增，则， 由，得，不符合； （2）当时．则， 由，得或，，∴符合； （3）当时，函数在上单调递减，则， 由，得，，不符合， 综上可得． 故答案为：1 【变式3】已知函数在区间上最大值为，求实数的值． 【解析】若，(注意函数不一定是二次函数) 则而在上的最大值, (2)若则的对称轴为， 则的最大值必定是这三数之一， 若，解得，此时 而为最大值与为最大值矛盾，故此情况不成立． 若，解得，此时 而 距右端点较远，最大值符合条件，. 若，解得， 当时，，则最大值不可能是； 当时，此时最大值为，； 综上所述或 【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是这三数之一，那逐一讨论求出值后再检验就行. 【变式4】已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围. 【答案】 【解析】， （1）若时，在上是减函数 ， 令 ，，即， 当时，，， 若解得，与矛盾； 当即时， 令解得或，所以； （2）若 即 解得，与矛盾； （3）若，则，与矛盾； 综上所述：. 【变式5】已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值. 【解析】解法1：讨论对称轴中与的位置关系。 ①若，则 解得 ②若，则，无解 ③若，则，无解 ④若，则，无解 综上， 解析2：由，知，则， 又∵在上当增大时也增大所以 解得 $$