精品解析：江西省赣州市瑞金第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题

瑞金一中2025届高三数学开学考考试试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的定义域与单调性可求得集合A，再结合交集的概念即可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可. 【详解】因为在单调递增，且, 所以，即 因为，所以,即, 所以存在两种情况：且，且， 因此推不出, 同样推不出, 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 设等差数列的前n项和为，且公差不为0，若，，，成等比数列，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 123 【答案】C 【解析】 【分析】设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案. 【详解】设公差为， 由题意可得， 即，解得舍去，或， 所以， 可得. 故选：C. 4. 已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，两边平方，结合数量积的定义和运算律及性质可求结论. 【详解】设与的夹角为，则， 因为， 所以， 所以， 所以，即 又，， 所以， 所以，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 5. 已知，且的图象的对称中心是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，由对称性求出，再求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数，则，所以函数图象的对称中心是， 依题意，，，求导得， 所以. 故选：B 6. 在平面直角坐标系xOy中，圆O是圆心为O的单位圆，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交圆O于A点，绕原点将x轴的正半轴顺时针旋转角交圆O于B点，若A点的纵坐标为，，则B点到y轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数定义求出，，利用三角形面积公式求出，进而求出，再利用差角的余弦求出即可得解. 【详解】由A点的纵坐标为，得，，， 因为，所以， 又，所以，所以， 所以，， 所以B点到y轴的距离为．故选：C． 7. 若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解. 【详解】令， 则或或或 解得或， 即实数m得取值范围为. 故选：C． 8. 在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则（ ） A. B. C. D. 若上有一动点P，则最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理，余弦定理完成边角互换，再结合基本不等式，即可判断A,B,在锐角中，,再结合和基本不等式即可判断C，利用向量数量积的运算来判断D. 【详解】对于A，，则，即， ，即, 又，, 由正弦定理得，，故A错； 对于B，由及余弦定理，可得， 即， 由基本不等式知，，当且仅当，即时等号成立， ，故B错； 对于C，在锐角中，由，且, 由基本不等式可得，，整理得， 当且仅当时，等号成立， 又由，，故C正确； 对于D，过作，则， 又在之间运动时，与的夹角为钝角，因此要求的最小值，应在之间运动，即， 又 当时，取最小值为,故D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数 在复平面内所对应的点分别为，且点均在以坐标原点 为圆心. 2为半径的圆上，点在第四象限，则 （ ） A. 点在第一象限 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，求解可得，进而逐项判断即可. 【详解】设，由题意可得， 解得或，所以点或， 因为点在第四象限，所以，从而可得， 所以点在第一象限，故A正确； 所以，故B正确； ，，所以， 所以与不垂直，故C错误； 所以，故D错误. 故选：AB. 10. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 弦的中点轨迹是圆 B. 直线的交点在定圆上 C. 线段的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断A；联立两直线方程消去判断B；由选项A、B及两圆的位置关系判断C；由数量积运算结合选项C求得数量积的最小值判断C． 【详解】对于选项A：设，因为，为弦的中点， 所以.而，半径为2， 则圆心到弦的距离为. 又圆心，所以， 即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确； 对于选项B：由，消去可得， 得，即，故选项B正确； 对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：， 又由选项B知，点的轨迹方程为：， 所以，，， 线段，故选项C不正确； 对于选项D：， 故，故， 由选项C知，， 所以，故选项D正确. 故选：ABD 11. 某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ） A. 甲队积分为9分的概率为 B. 四支球队的积分总和可能为15分 C. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断CD． 【详解】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率为，故A正确； 对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 所以四支球队的积分总和可能为15分，故B正确； 对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为， 则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故C错误； 对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】难点点睛：本题考查独立的概率与互斥事件的概率公式，难点在于分析丙在输第一场的情况下如何才能使得分超过其他三人，方法是结合列举法对六场比赛结果分步分析，确定每人的得分使之合乎题意． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质可得，取绝对值即可求解. 【详解】， ，则， 将不等式的两边同时乘以，可得， ， 故答案为：. 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两两角和差的正切公式，化简求值，即可得答案. 【详解】， 又， 所以， 所以 ， 故答案为： 14. 用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台．根据祖暅原理（“幂势既同，则积不容异”），推导出球台的体积，其中分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径，是两个平行平面之间的距离．已知圆台的上、下底面的圆周都在球的球面上，圆台的母线与底面所成的角为，若圆台上、下底面截球所得的球台的体积比圆台的体积大，则球O的表面积与圆台的侧面积的比值的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆台的上下底面半径分别为，根据母线与底面所成的角为，可得圆台的高为，母线长为，表示出圆台体积，由题意，可求得，进而可得，求值域即可得解． 【详解】设圆台的一条母线为，过点作的垂线，垂足为， 则即为母线与底面所成的角为， 设圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 则， 即，即， 圆台体积为， 球台的体积为 ， 由题意， 则， 即， 即，即， 设圆台外接球的球心为，半径为，则在所在直线上， 设，则， 由， 解得， 则球的表面积， 台体侧面积， 故， ， 由，可得，则，则， 故的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式，并求在区间上的值域； （2）若，且函数在区间上单调，求a的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，借助对称性求出，再利用正弦函数图象性质求出值域. （2）由（1）求出函数的单调区间，再借助集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 由向量， 则， 由函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的周期，则， 于是，当时，， 当，即时，，当，即时，， 所以，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知， 令，解得， 即函数的单调区间为，而函数在区间上单调， 因此，即， 解得，显然，且， 解得，则或，当时，；当时，， 所以实数的取值范围. 16. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2． （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF； （2）若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值． 【答案】（1） 取线段CF中点，连接OH、GH，如图， 由图1可知，四边形EBCF是矩形，，所以O是线段CE的中点， ∴且， 又且， ∴且 ∴四边形AOHG是平行四边形，则 由于平面，平面， ∴平面GCF． （2）. 【解析】 【分析】（1）取线段CF中点，连接OH、GH，可证明四边形AOHG是平行四边形，再由线面平行判定定理求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图1，，，折起后在图2中仍有， ∴即为二面角的平面角．∴， 以为坐标原点，，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，如图， 设，则、，， ∴，，， 设平面GCF的一个法向量， 由，得，取，则， 于是平面GCF的一个法向量， ∴， ∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为． 17. 为圆周率，为自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数； （3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 【答案】（1）增区间，减区间 （2）最大的数为，最小的数为 （3）从小到大的顺序排列为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）先将个数分成两组，然后结合（1）的结论以及函数的单调性等知识求得正确答案. （3）根据（2）得到最大的数和最小的数，然后结合（1）的结论以及函数的单调性等知识求得正确答案. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令解得， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减. 【小问2详解】 函数在上单调递增， 所以， 所以最大数为中最大的数，最小数为中最小的数. ①比较： 由于函数在上单调递增，所以， 由（1）得区间上单调递减， 所以，即， 所以， 所以最大的数为. ②比较： 由于函数在上单调递增，所以， 由（1）得区间上单调递减， 所以，即， 所以， 所以最小的数为. 【小问3详解】 由（2）得最大的数为，最小的数为， 故只需比较，，，这个数的大小关系， 其中， 由（1）得区间上单调递减， 所以，即， 所以. 函数在上单调递增，所以， 故只需比较与、与的大小关系. 由（1）得区间上单调递增， 而，所以，即， 从而③. 由③得， 即. 由③得， 即. 综上所述，， 所以从小到大排序为. 【点睛】本题涉及函数的单调性、比较多个数的大小关系以及排列这些数的顺序，是对导数和单调性综合应用的考查．题目难度适中，涵盖了求解单调区间、数的比较与排序的多种技巧，有助于学生深入理解函数的变化趋势和单调性对比较数值大小的影响． 18. 如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中e为双曲线的离心率. （1）求双曲线的方程; （2）设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点. (i) 若，求直线的斜率； (ii) 求证：是定值. 【答案】（1） （2）(i)；(ii) 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线的方程求解即可； （2）（I）构造平行四边形，求出，然后利用弦长公式求直线的斜率即可；（II）利用三角形相似和双曲线的性质，将转化为，然后结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 将点和代入双曲线方程得： ，结合，化简得：，解得， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 (i) 设关于原点对称点记为， 则． 因为，所以， 又因为，所以，即， 故三点共线． 又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故， 所以． 由题意知，直线斜率一定存在， 设的直线方程为，代入双曲线方程整理得： ，故， 直线与双曲线上支有两个交点，所以，解得． 由弦长公式得 ， 则，且由图可知，即， 代入解得． (ii) 因为，由相似三角形得， 所以 ． 因为． 所以，故为定值． 【点睛】关键点点睛：第二问(ii)的关键是将转化为，结合韦达定理即可顺利得解. 19. 一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． （1）请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 （2）一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 由题意得： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 35 20 55 女生 15 30 45 合计 50 50 100 有 （2）① 的分布列如下表： 0 1 2 P ②； ③为定值.证明如下： 由全概率公式可得： ， 即：，又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 可得的分布列 0 1 2 P 所以， ∴为定值1. 【解析】 【分析】（1）先计算，再根据独立性检验判断即可； （2）先写出分布列，再根据定义判断等比数列求解，应用全概率公式列式构造新数列再证明数学期望的定值. 【小问1详解】 由题意得： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 35 20 55 女生 15 30 45 合计 50 50 100 则的观测值为， 所以有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联 【小问2详解】 ①由题可知，的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知： ；； 故的分布列如下表： 0 1 2 P ②由全概率公式可知： ， 即：，所以， 所以， 又， 所以数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即． ③略 【点睛】方法点睛：先应用全概率公式列式，再构造新数列，进而证明数学期望的定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瑞金一中2025届高三数学开学考考试试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设等差数列的前n项和为，且公差不为0，若，，，成等比数列，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 123 4. 已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且的图象的对称中心是，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，圆O是圆心为O的单位圆，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交圆O于A点，绕原点将x轴的正半轴顺时针旋转角交圆O于B点，若A点的纵坐标为，，则B点到y轴的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则（ ） A. B. C. D. 若上有一动点P，则最小值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数 在复平面内所对应的点分别为，且点均在以坐标原点 为圆心. 2为半径的圆上，点在第四象限，则 （ ） A. 点在第一象限 B. C. D. 10. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 弦的中点轨迹是圆 B. 直线的交点在定圆上 C. 线段的最小值为 D. 的最大值为 11. 某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ） A. 甲队积分为9分的概率为 B. 四支球队的积分总和可能为15分 C. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围为______． 13. __________． 14. 用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台．根据祖暅原理（“幂势既同，则积不容异”），推导出球台的体积，其中分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径，是两个平行平面之间的距离．已知圆台的上、下底面的圆周都在球的球面上，圆台的母线与底面所成的角为，若圆台上、下底面截球所得的球台的体积比圆台的体积大，则球O的表面积与圆台的侧面积的比值的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式，并求在区间上的值域； （2）若，且函数在区间上单调，求a的取值范围． 16. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2． （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF； （2）若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值． 17. 为圆周率，为自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数； （3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 18. 如图， 在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，. 已知点和都在双曲线上， 其中e为双曲线的离心率. （1）求双曲线的方程; （2）设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点. (i) 若，求直线的斜率； (ii) 求证：是定值. 19. 一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． （1）请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 （2）一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $