精品解析：贵州省贵阳市清镇市博雅2024-2025学年第高一上学期第一次月考数学试题

清镇市博雅实验学校2024-2025学年度第一学期9月月考试题 高一数学 考试用时：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列元素与集合之间的关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据常用数集的范围逐项判断即可. 【详解】，，， 故选：C 2. 下列元素与集合、集合与集合之间的关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，中不含任何元素，0不是中元素，B错误； 对于C，中不含任何元素，而含有元素0，C错误； 对于D，方程无实数根，因此，D正确. 故选：D 3. 已知，，，，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】交集为公共元素，并集为所有元素，根据集合的运算即可判断. 【详解】解：∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故选项B错误，符合题意； ∵，， ∴， 故选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：B. 4. 在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ） A. p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； B. 一元二次方程中，有实数根，； C. ，； D. ，； 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的基本关系，利用韦恩图分析，即可判断. 【详解】对于A：因为三角形是等边三角形三角形是等腰三角形， 但是三角形是等腰三角形无法推出三角形是等边三角形， 所以p是q的必要不充分条件，故A正确； 对于B：在一元二次方程中，有实数根判别式， 即； 又因为在一元二次方程中，判别式，即有实数根，所以p是q的充要条件，故B错误； 对于C：因为；但是，不能推出，， 如下图所示， 所以，p是q的充分不必要条件，故C错误； 对于D：因为不能推出，如下图所示； 但是，；所以p是q的充分不必要条件，故D错误， 故选：A. 5. 下列命题中是存在量词命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. ， C. 对任意一个无理数x，也是无理数 D. 有一个偶数是素数 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断. 【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 6. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值，可知A错误；利用作差法即可判断比较出选项BCD的大小，得出结论. 【详解】对于A，若，则错误，如时，，所以A错误； 对于B，若，则，所以B正确； 对于C，若，则，所以C错误； 对于D，若，则，所以D错误. 故选：B 7. 下列函数的最值中错误的是（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，的最大值是 C. 已知，的最小值为3 D. 的最大值5 【答案】A 【解析】 【分析】举例，判断A选项；利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】当时，，故命题错误，A符合题意； 当时，， 当且仅当，即时取等号，命题正确，B不符合题意； 当时，，则， 当且仅当，即时取等号，故命题正确，C不符合题意； 由题意，，则， 当且仅当，即时取等号，故命题正确，D不符合题意. 故选：A 8. 下列一元二次不等式的解集正确的选项是（ ） ①的解集或；②的解集； ③的解集为； ④解集为 A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出不等式解集，进行验证即可. 【详解】对①：由或，故①正确； 对②：由且，故②正确； 对③：由，所以不等式解集为，故③正确； 对④：由，所以不等式的解集为，故④错误. 故选：A 二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得部分发，有选错得0分． 9. 若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意，是的真子集，则可以是，或，解之即得. 【详解】由可解得：或， 依题意，是真子集，则可以是，或. 当时，易得； 当，可得； 当，可得. 故选：BCD. 10. 若正数a，b满足，则下列值在的取值范围内的有（ ） A. 3 B. 4 C. 16 D. 17 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式将题设等式化成关于的不等式，解之即得的范围，即可判断. 【详解】因，由，可得， 移项得，即， 解得，即，当且仅当时等号成立. 故选：CD. 三、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 11. 命题“，”的否定是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定得出即可. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得. 故答案为：. 12. 已知,，则,的大小关系是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法直接比较大小. 【详解】解：因为, 所以 所以. 故答案为：. 13. “学科阅读课程”是清镇市博雅实验学校提升学生综合素养必开的课程之一，也深受学生们的喜爱.在对“学生阅读”与“物理阅读”这两项理科阅读问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“数学阅读”活动，87%的学生喜欢“物理阅读”活动，则我校既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占我校学生总数的比例是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】喜欢“数学阅读”活动的学生组成集合，喜欢“物理阅读”活动的学生组成集合，全校学生总数为， 依题意，， 由， 得， 所以既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占校学生总数的比例是. 故答案为： 14. 已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，函数图象在x轴上方，故，解不等式组即可得k的取值范围． 【详解】解：因为不等式为一元二次不等式，所以， 又一元二次不等式对一切实数x都成立， 所以有，解得，即， 所以实数k的取值范围是， 故答案为：． 15. 已知不等式的解集，________；则若对任意，不等式恒成立．则t的取值范围是________． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】根据解集可得和3为方程的根，进而结合韦达定理即可求解；转化问题为对任意，不等式恒成立，进而结合函数单调性和最值求解即可. 【详解】因为不等式的解集， 所以和3为方程的根， 则，解得，则. 不等式，即为， 又，则不等式化为， 因此题目问题转化为对任意，不等式恒成立， 又函数和在单调递增， 所以函数在单调递增， 则时，，则， 所以t的取值范围是. 故答案为：10；. 四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定： （1）平行四边形的对角线互相平分； （2）一元二次方程不总有实数根. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将其写成全称量词命题，它的否定为存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定； （2）将其写成存在量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【小问1详解】 该命题为全称量词命题：任意一个平行四边形，它的对角线互相平分， 命题的否定：存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分. 【小问2详解】 该命题为存在量词命题：存在一个一元二次方程没有实数根， 命题的否定：任意一个一元二次方程都有实数根. 17. （1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）； （ii）与． （2）已知，，求的范围． 【答案】（1）（i），（ii），（2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可求解， （2）根据不等式的性质即可求解. 【详解】（1）（i）， 所以； （ii）， 故． （2）由于，则，又，故. 18. （1）已知，，，求，； （2）设集合，，求，． 【答案】（1），;（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求出集合与的补集，再求和.（2）先求出集合与中的元素，分类讨论a，根据元素情况求并集和交集. 【详解】（1）对于，，全集， 故..故,. （2）先求集合中的元素，对于方程，解得或，所以.对于集合，方程，解得或. 当时，，此时，； 当时，，再分类讨论： 若，则，，则，； 若，则，，则，； 若且，则，，则，. 综上所得， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当且且时，，. 19. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元． （1）若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式． （2）当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1） （2）当时，总造价最低，为万元. 【解析】 【分析】（1）分别求出贮水池的底面积和侧面积，得到底面造价和侧面造价，即可得所求函数关系. （2）根据基本不等式，求函数的最小值及对应的值. 【小问1详解】 因为贮水池的体积为，深为3，所以贮水池的底面积为. 则底面造价为：元. 设底部长为，则宽为，贮水池侧面积为：，侧面造价为：. 所以：总造价为：. 【小问2详解】 因为（当且仅当即时取“”）， 此时有最小值，为元. 所以，当时，总造价最低，为万元. 20. 法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题. （1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值； （2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值； （3）已知集合有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值. 【答案】（1）另一个根为1， （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理即可求解， （2）由韦达定理代入即可求值， （3）根据二次函数的特征，将问题转化为函数与的图象恰好有3个交点，进而根据勾股定理以及韦达定理即可求解. 【小问1详解】 设另外一个根为由韦达定理得，解得 【小问2详解】 方程有两个实数根、，由韦达定理得，故， 代入得，解得或， 由得，故， 【小问3详解】 由题意可知：函数与的图象恰好有3个交点， 即方程有两个实数根、，不妨设且满足关于对称轴对称，第三个根，（），时，…① 故，，…② 由勾股定理得，进而得， 由于，所以，进而得，将其代入①②可得 由于，所以，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清镇市博雅实验学校2024-2025学年度第一学期9月月考试题 高一数学 考试用时：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列元素与集合之间的关系表达正确的是（ ） A B. C. D. 2. 下列元素与集合、集合与集合之间的关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，，错误的是（ ） A. B. C D. 4. 在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ） A. p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； B. 在一元二次方程中，有实数根，； C. ，； D. ，； 5. 下列命题中是存在量词命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. ， C. 对任意一个无理数x，也是无理数 D. 有一个偶数是素数 6. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 下列函数的最值中错误的是（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，的最大值是 C. 已知，的最小值为3 D. 的最大值5 8. 下列一元二次不等式解集正确的选项是（ ） ①的解集或；②的解集； ③的解集为； ④解集为 A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③ 二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得部分发，有选错得0分． 9. 若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（ ） A. 2 B. C. D. 0 10. 若正数a，b满足，则下列值在的取值范围内的有（ ） A. 3 B. 4 C. 16 D. 17 三、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 11. 命题“，”的否定是______． 12. 已知,，则,大小关系是 _____． 13. “学科阅读课程”是清镇市博雅实验学校提升学生综合素养必开的课程之一，也深受学生们的喜爱.在对“学生阅读”与“物理阅读”这两项理科阅读问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“数学阅读”活动，87%的学生喜欢“物理阅读”活动，则我校既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占我校学生总数的比例是________． 14. 已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是___________． 15. 已知不等式解集，________；则若对任意，不等式恒成立．则t的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定： （1）平行四边形的对角线互相平分； （2）一元二次方程不总有实数根. 17. （1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）； （ii）与． （2）已知，，求的范围． 18. （1）已知，，，求，； （2）设集合，，求，． 19. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元． （1）若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式． （2）当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？ 20. 法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题. （1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值； （2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值； （3）已知集合有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$