精品解析：山东省枣庄市滕州市荆河街道滕南中学2024-2025学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷

2024-2025滕南中学九年级第一次综合质量检测 数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题．（每题3分，共30分，在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分） 1. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形 D. 顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 2. 观察下表，一元二次方程的解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. B. C. D. 3. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 5. 菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 6. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 8. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 如图，点在正方形的对角线上，且，正方形的两边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（本题共6小题，每小题3分，共18分．直接填写答案） 11. 若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为______． 12. 如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为______ ． 13. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若，，则BE的长度为___________. 14. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__． 15. 已知是关于的方程的一个根，则______． 16. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是___． 三、解答题．（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （配方法） （公式法） ． ． 18. 某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为），已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为．根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个2米宽的门（如图），那么这个矩形车棚相邻两边长分别为多少米； 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 20. 某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为60元，每星期可卖出300个，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款台灯每个成本为40元， （1）若每个台灯降x元(),则每星期能卖出 个台灯，每个台灯的利润是 元． （2）在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？ 21. 如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，，，求四边形的面积． 23. 老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵ ∴ 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出；的最小值为______． （2）求出代数式的最小值______． 24. 如图，正方形中，点E是边上的一点，连接，交于点F，交于点G． （1）如图1求证：； （2）如图2，设Q是线段上的动点，于M，交于H．试猜想线段间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025滕南中学九年级第一次综合质量检测 数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题．（每题3分，共30分，在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分） 1. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形 D. 顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【详解】A、如图1，AC=BD，但ABCD不是矩形，故本选项错误；B如图2，对角线AC⊥BD，但ABCD不是菱形，故本选项错误；C、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项错误；D、正确；故选D. 点睛：有关图形类的命题判别是真命题还是假命题，对于假命题可以根据题意画出符合题设但不符合结论的图形即可． 2. 观察下表，一元二次方程的解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的估算，解题的关键是理解表格；因此此题可根据表格进行求解． 【详解】解：由表格可知：当时，； 当时，； ∴一元二次方程的一个根的范围一定在； 故选：C． 3. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合第三天的票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理及矩形的周长，解题的关键是求得矩形的长和宽． 先根据矩形的对角线相等可求得的长，然后再根据含角的直角三角形的性质求得矩形的宽，进一步根据勾股定理求得矩形的长，最后求得矩形的周长． 【详解】∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴矩形的周长为：． 故选：D． 5. 菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质和勾股定理，求出另一条对角线的长． 【详解】∵一条对角线长是6cm， ∴这条对角线的一半长是3cm， 由勾股定理得，另一条对角线的一半长4cm， ∴另一条对角线的长为8cm， 故选A． 【点睛】本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决． 6. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设参加会议有x人，再根据等量关系“每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手”列方程求解即可． 【详解】解：设参加会议有x人，依题意得： ， 整理得：， 解得（舍去） 所以参加这次会议的有12人． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 7. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果m和n是一元二次方程的两个根，那么，本题先求出，再对原式进行变形，随后代入求值即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴，   故选：B ． 8. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0． 在方程中， △=， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键． 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，点在正方形的对角线上，且，正方形的两边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，证明△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解即可． 【详解】解：作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， 又∵∠EPM=∠EQN=90°， ∴∠PEQ=90°， ∴∠PEM+∠MEQ=90°， ∵四边形是正方形， ∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°， ∴∠PEM=∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中，， ∴△EPM=△EQN(ASA)， ∴S△EQN=S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC=a， ∵， ∴EC=， ∴EP=PC=， ∴正方形PCQE的面积=×=， 四边形EMCN的面积=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN． 二、填空题．（本题共6小题，每小题3分，共18分．直接填写答案） 11. 若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法，代数式求值，先对方程配方得，再跟方程对照得到，，得到，，代入算式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：方程移项得，， 配方得，， 即， ∵一元二次方程 配方后得到方程 ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽应为米，由题意有 ，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有 ． 故答案为：． 13. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若，，则BE的长度为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】先判定△AOB是等边三角形，再判定△ABE是等腰直角三角形，即可得到BE=AB，进而得到BE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=AC=3，∠BAD=∠ABE=90°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45°， 又∵∠EAO=15°， ∴∠BAO=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=AO=3， ∵∠BAE=45°， ∴∠AEB=45°， ∴EB=AB= 3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定以及等腰直角三角形的性质的运用，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分． 14. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，以及一元二次方程根的判别式大于0，即可求解． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，以及一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 15. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是___． 【答案】1 【解析】 【分析】首先作点M关于AC的对称点，连接P，则当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值．然后证明四边形ABN为平行四边形，即可求出答案． 【详解】解：作点M关于AC的对称点，连接P， ∵菱形ABCD关于AC对称，点M关于AC的对称点，点M是AB的中点， ∴点是AD的中点，MP＝P， ∴MP+NP＝P +NP， ∴当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值为线段N的长． 当点、P、N三点共线时， ∵点是AD的中点，点N是BC边上的中点， ∴，， ∵在菱形ABCD中， ∴ADBC，AD＝BC， ∴ABN，A＝BN， ∴四边形ANB是平行四边形， ∴N＝AB＝1， ∴MP+NP的最小值是1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了菱形的性质和轴对称，判断当点、P、N三点共线时，MP+NP有最小值为线段N的长是解决本题的关键． 三、解答题．（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （配方法） （公式法） ． ． 【答案】 ，； ； ． 【解析】 【分析】（1）两边同时除以2，然后把常数项移到右侧，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边变为完全平方式，然后再进行求解即可； （2）先整理为一般形式，然后再根据公式法的步骤进行求解即可得； （3）利用因式分解法进行求解即可得； （4）把（3-m）看作一个整体，利用因式分解法进行求解即可得. 【详解】方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； 方程整理得：， 这里，，， ∵b2-4ac=52-4×3×（-1）=>0， ∴， ∴x1=，x2=； 分解因式得：， 解得：，； 分解因式得：， 开方得：， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的方法进行求解是解题的关键. 18. 某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为），已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为．根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个2米宽的门（如图），那么这个矩形车棚相邻两边长分别为多少米； 【答案】这个矩形车棚相邻两边长分别为10米、8米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米，根据矩形车棚的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙的可用长度为，即可得出结论； 【详解】解：设与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个矩形车棚相邻两边长分别为10米、8米． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程： （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，根据，得到关于的方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意，得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 20. 某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为60元，每星期可卖出300个，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款台灯每个成本为40元， （1）若每个台灯降x元(),则每星期能卖出 个台灯，每个台灯的利润是 元． （2）在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？ 【答案】（1）(300+30x) ，(20-x) ；（2）定价为52元. 【解析】 【分析】（1）根据“每降价1元，每星期可多卖30个”求出降x元多卖出台灯的个数，然后再加上300即可得出每星期卖出台灯的总数；用降价前的利润减去降价数即可得到每个台灯的利润； （2）设每个台灯降x元，根据题意列出方程，求解后结合“顾客得实惠的前提”取舍即可. 【详解】（1）∵每降价1元，每星期可多卖30个． ∴每个台灯降x元(),则可多卖出30x个， ∴每星期能卖出（300+30x）个台灯， 降价前每个台灯的利润为：60-40=20元， 由于每个台灯降价x元，所以降价后每个台灯的利润为：（20-x）元； （2）设每个台灯降x元，根据题意得， (20-x)(300+30x)=6480, 解得x=8,x=2(舍去） ∴定价为52元 答：在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为52元 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 21. 如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）菱形的面积为96 【解析】 【分析】（1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论； （2）由矩形的性质得出，由菱形的性质得出，由勾股定理求出，则，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）156 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）证明为等腰三角形，得到，勾股定理求出的长，再利用面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为：． 23. 老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵ ∴ 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出；的最小值为______． （2）求出代数式的最小值______． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用： （1）根据偶次方的非负性得到，则，据此可得答案； （2）利用配方法得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为8， ∴的最小值值为8， 故答案为：8． 24. 如图，正方形中，点E是边上的一点，连接，交于点F，交于点G． （1）如图1求证：； （2）如图2，设Q是线段上的动点，于M，交于H．试猜想线段间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）猜想， 证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定： （1）根据正方形的性质得到，再证明，进而可证明，则可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，再由全等三角形的性质得到，根据，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $