专题16 一次函数的性质（9大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题16 一次函数的性质 目录 【题型一 确定一次函数经过的象限】 1 【题型二 确定一次函数的增减性】 2 【题型三 有一次函数经过的象限求字母的取值范围】 2 【题型四 由一次函数的增减性求字母的取值范围】 2 【题型五 比较一次函数值的大小】 3 【题型六 一次函数中的对称性问题】 3 【题型七 有两直线的位置关系求解析式】 3 【题型八 由一次函数解决最值问题】 4 【题型九 一次函数与几何图形的综合运用】 4 【题型一 确定一次函数经过的象限】 例题：已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．一次函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 【题型二 确定一次函数的增减性】 例题：下列一次函数，y随x 增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若一次函数不经过第三象限，则下列说法正确的是（    ） A．，随的增大而减小 B．，随的增大而减小 C．，随的增大而增大 D．，随的增大而减小 2．已知一次函数，则函数值y随自变量x的增大而 ． 【题型三 有一次函数经过的象限求字母的取值范围】 例题：一次函数，且函数值y随自变量x的增大而减小，则k有可能是（    ） A．0 B．3 C．2 D．5 【变式训练】 1．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 2．已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【题型四 由一次函数的增减性求字母的取值范围】 例题：若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，y随x的增大而增大，则实数k的取值范围是 ． 【题型五 比较一次函数值的大小】 例题：点，在函数的图象上，则m、n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 一次函数上有两点，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．已知一次函数的图象经过点，，则 ．（填“”“”或“”） 【题型六 一次函数中的对称性问题】 例题：若点关于y轴的对称点在正比例函数的图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D．0 【变式训练】 1．在平而直角坐标系中，一次函数的图像关于直线对称后经过坐标原点，则m的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．一次函数的图象先向下平移4个单位，再向右平移2个单位，作关于x轴对称，对称后的直线的解析式为，求原函数图象的解析式． 【题型七 有两直线的位置关系求解析式】 例题：下列一次函数的图象中，与直线平行的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为，则直线的解析式为 ． 2．已知直线与直线平行，且将直线向下平移2个单位后得到直线，则 ． 【题型八 由一次函数解决最值问题】 例题：已知一次函数，当时，y的最大值是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D． 【变式训练】 1．当时，一次函数的最大值为18，则 2．已知一次函数当时，y的最大值是，最小值是 ． 【题型九 一次函数与几何图形的综合运用】 例题：如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，若一次函数的图象与三角形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．点在第二象限．若点坐标则四边形的面积 （用含的代数式表示）．    2．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 一、单选题 1．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，点是直线上的一点，且将分为面积相等的两部分，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．把直线向上平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式为（    ）． A． B． C． D． 4．下列函数图象不经过第二象限，且随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，若一次函数的图象与三角形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，是直线上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 7．一次函数． （1）该函数的图象一定过定点 ； （2）若该函数图象不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 8．一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是 ． 9．直线向下平移个单位所得到的直线不经过的象限是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 三、解答题 11．如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 12．已知一次函数（为常数且）． (1)当为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当为何值时，这个函数的值随着值的增大而减小？ (3)当为何值时，这个函数的图象与直线的交点在轴上？ 13．已知一次函数． (1)，为何值时，随的增大而增大？ (2)，为何值时，图象过第一、二、四象限？ 14．定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 15．如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 一次函数的性质 目录 【题型一 确定一次函数经过的象限】 1 【题型二 确定一次函数的增减性】 3 【题型三 有一次函数经过的象限求字母的取值范围】 4 【题型四 由一次函数的增减性求字母的取值范围】 6 【题型五 比较一次函数值的大小】 7 【题型六 一次函数中的对称性问题】 8 【题型七 有两直线的位置关系求解析式】 10 【题型八 由一次函数解决最值问题】 11 【题型九 一次函数与几何图形的综合运用】 12 【题型一 确定一次函数经过的象限】 例题：已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象经过一、三、四象限；，的图象经过一、二、四象限；，的图象经过二、三、四象限．根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A 【变式训练】 1．一次函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．根据一次函数中，的情况求解，即可解题． 【详解】解：一次函数中， 一次函数的图像经过一、三象限， ， 一次函数的图像经过第四象限， 一次函数的图像不经过第二象限， 故选：B． 2．直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键，据此求解即可． 【详解】解；∵直线经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 【题型二 确定一次函数的增减性】 例题：下列一次函数，y随x 增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数中中，y随x 增大而减小， ∴， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式训练】 1．若一次函数不经过第三象限，则下列说法正确的是（    ） A．，随的增大而减小 B．，随的增大而减小 C．，随的增大而增大 D．，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由一次函数不经过第三象限，可得，，进而由一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数不经过第三象限， ∴，， ∴随的增大而减小， ∴，随的增大而减小， 故选：． 2．已知一次函数，则函数值y随自变量x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，在中，若，则函数值y随自变量x的增大而增大，若，则函数值y随自变量x的增大而减小，根据一次函数图象和性质即可解题． 【详解】解：一次函数解析式为，且， 函数值y随自变量x的增大而减小， 故答案为：减小． 【题型三 有一次函数经过的象限求字母的取值范围】 例题：一次函数，且函数值y随自变量x的增大而减小，则k有可能是（    ） A．0 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】先根据函数值随自变量的增大而减小得出关于的不等式，求出的取值范围，进而可得出结论．本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当时，随的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：一次函数，且函数值随自变量的增大而减小， ， ． 故选：A． 【变式训练】 1．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 【答案】或 【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程． 【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； ∴或， 故答案为：或． 2．已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． （1）根据一次函数的图象与系数的关系得出关于的不等式组，求出的取值范围再根据是整数求出的值． （2）根据当时，直线的函数表达式为．所以随的增大而增大，再根据求出的范围． 【详解】解：（1）根据一次函数的性质，由题意可得 解得． 又因为是整数， 所以． 故答案为：2 （2）当时，直线的函数表达式为． ∵， ∴随的增大而增大， 当时，； 当时，， 故当时，的取值范围为． 故答案为： 【题型四 由一次函数的增减性求字母的取值范围】 例题：若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的增减性，根据正比例函数的增减性判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵当时，， ∴随的增大而增大， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式训练】 1．已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由且，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质可得出求解即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数图象上，，， ∴y随x的增大而减小， ∴，解得：， ∴m的取值范围是． 故选A． 2．已知函数，y随x的增大而增大，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵函数，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五 比较一次函数值的大小】 例题：点，在函数的图象上，则m、n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，对于一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，由此可解． 【详解】解：中，， y随x的增大而减小， ， ， 故选A． 【变式训练】 一次函数上有两点，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴y随x增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 2．已知一次函数的图象经过点，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数解析式得到随的增大而增大，即可判断与的大小． 【详解】解：一次函数的图象经过点，， 又，， ， 故答案为：． 【题型六 一次函数中的对称性问题】 例题：若点关于y轴的对称点在正比例函数的图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】求出点M关于y轴对称点的坐标，然后代入正比例函数进行求解即可． 【详解】解：由点关于y轴对称的点的坐标为， ∴， 解得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【变式训练】 1．在平而直角坐标系中，一次函数的图像关于直线对称后经过坐标原点，则m的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题意一次函数与y轴的交点为（0，），根据点（0，）与原点关于直线对称，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，在一次函数中， 令，则， ∴一次函数与y轴的交点为（0，）， ∵点（0，）与原点关于直线对称， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题． 2．一次函数的图象先向下平移4个单位，再向右平移2个单位，作关于x轴对称，对称后的直线的解析式为，求原函数图象的解析式． 【答案】 【分析】设原函数图象的解析式为，根据一次函数平移的规律，即可进行解答． 【详解】解：设原函数图象的解析式为， 原函数向下平移4个单位，得到的函数解析为：， 再向右平移2个单位，得到的函数解析为：， 关于x轴对称后，得到的函数解析式为：， 整理得： ∵变化为的函数解析式为：， ∴，解得：． ∴原函数的解析式为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移变化，解题的关键是掌握：上加下减，左加右减． 【题型七 有两直线的位置关系求解析式】 例题：下列一次函数的图象中，与直线平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当相同，且不相等，图象平行． 根据相同，且不相等判断即可． 【详解】解：直线与直线平行， 故选：A． 【变式训练】 1．若直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查两条直线相交或平行问题．根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出，根据“与轴交点的纵坐标为”计算求出值，即可得解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 又∵直线与轴交点的纵坐标为， ∴， ∴这条直线的解析式是， 故答案是：． 2．已知直线与直线平行，且将直线向下平移2个单位后得到直线，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数图象与平移变换，根据平移和平行求出的值，再代入计算即可． 【详解】∵直线与直线平行， ∴， ∵将直线向下平移2个单位后得到直线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型八 由一次函数解决最值问题】 例题：已知一次函数，当时，y的最大值是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，根据所给取值范围即可求解． 【详解】解：， 中y随x的增大而减小， 当时，时y取最大值，最大值， 故选：A． 【变式训练】 1．当时，一次函数的最大值为18，则 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据系数得出函数的增减性是解题关键．由一次函数的系数判断函数的增减性，可知当时，函数值最大，列出关于的方程，解之即可． 【详解】解：一次函数， ，即随的增大而减小， 当时，函数值最大， 由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 2．已知一次函数当时，y的最大值是，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的增减性，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据题意，得到，再由一次函数的增减性解题即可． 【详解】解：一次函数中， 随的增大而减小， 故当时， 的最大值是时，即， 的最小值是时，即， 故答案为：1． 【题型九 一次函数与几何图形的综合运用】 例题：如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，若一次函数的图象与三角形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移，数形结合是解答本题的关键．求出直线经过点B和点C 时b的取值即可． 【详解】解：根据题意，由上到下平移直线，可知直线最先经过点，最后经过点，在此之间该直线与三角形都有两个交点． 当直线经过点时，得，解得； 当直线经过点时，得，解得， 故的取值范围为． 故选C． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．点在第二象限．若点坐标则四边形的面积 （用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与轴、轴的交点，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出、两点的坐标，四边形的面积即可得到答案． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，， 当时，，解得， 故， ， ， ， 四边形的面积， 故答案为：． 2．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出、两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当，， 当时，， ∴， ，， ， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ． 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则，， ，即，解得， ， ． 故答案为：． 一、单选题 1．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，点是直线上的一点，且将分为面积相等的两部分，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意点是线段的中点，由一次函数的解析式求得、坐标，进而即可求得的坐标． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点， ， 点是直线上的一点，且将分为面积相等的两部分， 是的中点， ， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知三角形的中线的性质是解题的关键． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的性质和正比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解： A．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项A符合题意； B．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项B不符合题意； C．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项C不符合题意； D．一次函数中的，∴，则，正比例函数中的，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．把直线向上平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是一次函数图象的平移，根据平移规律：左加右减、上加下减，设直线的解析式为，将点代入，结合已知条件即可求出b的值，从而求出直线的解析式． 【详解】解：因为直线向上平移后得到直线， 所以直线的解析式可设为． 把点代入得， 解得． 因为，所以， 所以直线的解析式为． 故选D． 4．下列函数图象不经过第二象限，且随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，关键是熟练掌握一次函数的性质：当，随的增大而增大，函数从左到右上升；当，随的增大而减小，函数从左到右下降．当，函数图象与轴的正半轴相交；当，函数图象与轴的负半轴相交． 根据正比例函数的性质和一次函数的性质分析出函数的图象位置即可． 【详解】解：、的图象经过第二、四象限，随的增大而减小，故此选项不合题意； 、的图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大，故此选项不合题意； 、的图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故此选项不合题意； 、的图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故此选项符合题意； 故选：． 5．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，若一次函数的图象与三角形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移，数形结合是解答本题的关键．求出直线经过点B和点C 时b的取值即可． 【详解】解：根据题意，由上到下平移直线，可知直线最先经过点，最后经过点，在此之间该直线与三角形都有两个交点． 当直线经过点时，得，解得； 当直线经过点时，得，解得， 故的取值范围为． 故选C． 二、填空题 6．若，是直线上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，熟知上述性质是解题的关键．根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， 直线上的点，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 7．一次函数． （1）该函数的图象一定过定点 ； （2）若该函数图象不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，以及函数图象与系数的关系，对于与y轴交于，若函数图象不经过第四象限，则，，根据相关性质求解即可． 【详解】解：（1）， 当时，， 该函数的图象一定过定点； （2）该函数图象不经过第四象限， ， ， 故答案为：；． 8．一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，先求出一次函数与x轴，y轴分别交于，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， ∴一次函数与x轴，y轴分别交于， ∴一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是， 故答案为：． 9．直线向下平移个单位所得到的直线不经过的象限是 ． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的图象，根据一次函数图象的平移规律求出平移后直线的解析式，再根据解析式即可求解，掌握一次函数图象平移规律和性质是解题的关键． 【详解】解：把直线向下平移个单位得到的函数解析式为， ∵，， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题．作点关于直线的对称点，关于轴的对称点连接交直线于，交轴于，此时的周长最小，据此求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，连接交直线于，交轴于，如图： ，， ， 、、、四点共线， 最小，即周长最小，最小值为的长度， 由知，， ， 周长最小为， 故答案为：． 三、解答题 11．如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得； （2）利用直线的解析式求得，即可求得，，利用三角形面积求得，，然后分两种情况讨论，设的纵坐标为，列出关于的方程，解方程组求得的纵坐标，把纵坐标代入函数解析式求得横坐标即可． 本题是两条直线相交问题，考查了交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解， 得：， 一次函数与的图象交点为． （2）由可知， 由 可知， ， ， ， ， 设的纵坐标为， 当在的上方，则， 解得， 当在的下方，则， 解得， 把代入，得， 把代入，得， 点的坐标为或． 12．已知一次函数（为常数且）． (1)当为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当为何值时，这个函数的值随着值的增大而减小？ (3)当为何值时，这个函数的图象与直线的交点在轴上？ 【答案】(1)当m=5时，这个函数为正比例函数 (2)当m＜0时，函数y的值随着x值的增大而减小 (3)当m=3时，函数的图象与直线y=x-4的交点在y轴上 【分析】（1）根据正比例函数的性质得出2m-10=0，求出方程的解即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式m＜0且m≠0； （3）根据一次函数的图象交点的性质先求得交点的坐标，然后把交点坐标代入y=mx+2m-10（m≠0），求出m的值即可． 【详解】（1）解： y=mx+2m-10（m≠0）． ∵函数为正比例函数， ∴2m-10=0， 解得：m=5， 答：当m=5时，这个函数为正比例函数， （2）一次函数y=mx+2m-10（m≠0）． ∵函数y的值随着x值的增大而减小， ∴m＜0， 答：当m＜0时，函数y的值随着x值的增大而减小． （3）∵函数的图象与直线y=x-4的交点在y轴上， ∴x=0，y=-4， 把x=0，y=-4代入y=mx+2m-10得，m=3 答：当m=3时，函数的图象与直线y=x-4的交点在y轴上． 【点睛】本题主要考查对解一元一次方程，一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式或方程是解此题的关键． 13．已知一次函数． (1)，为何值时，随的增大而增大？ (2)，为何值时，图象过第一、二、四象限？ 【答案】(1)，为任意实数 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由一次函数，随的增大而增大，可得，为任意实数，求解作答即可； （2）由图象过第一、二、四象限，可得，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数，随的增大而增大， ∴，为任意实数， ∴，为任意实数； （2）解：∵图象过第一、二、四象限， ∴， 解得，． 14．定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 【答案】(1)，画图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图，解不等式、新定义等，数形集合是解题的关键. （1）由题意即可求出函数表达式，取点、描点、连线绘制图象即可； （2）同理可得：即可求解； （3）联立上式和得: 解得：联立和 同理可得： 当 时, 即 即可求解. 【详解】（1）由题意得: 当,, 当,, 当, 将上述点描点、连线绘制图象如下： （2）则, , 就点、在和上, 则, 同理可得:, ∵, 即, 解得: , 即； （3）由点的坐标知，点在直线 (下图,虚线)上, 联立上式和得: 解得： 联立和 同理可得： 当时, 即 即 15．如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）分别令，求出A、B的坐标即可； （2）设，勾股定理求出的长，等积法求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， 解：， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$