3.3勾股定理的应用 解答题专题提升训练 2024-2025学年苏科版八年级数学上册

2024-2025学年苏科版八年级数学上册《3.3勾股定理的应用》 解答题专题提升训练（附答案） 1．为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B＝90°），如图所示，通过测量得AC长为160m，BC长为128m，请求出图中A、B两点之间的距离． 2．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出的一段绳子长为1米，若将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度． 3．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 4．印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖面持平，且荷花与原来位置的水平距离为二尺，问湖水有多深． 5．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米． 求：（1）两棵景观树之间的距离； （2）点B到直线AC的距离． 6．如图，在距张大爷家房屋17米处有一棵大树．在一次强风中，这颗大树从距地面8米处折断倒下，量得倒下部分的长是17米．请你通过计算，判断这棵大树倒下时是否会砸到张大爷的房子． 7．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 8．大明宫国家遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，其地处长安城（今西安）北部的龙首原上，公园里视野开阔，障碍物极少，成为不少市民放风筝的绝佳场所．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.6米（）． 已知，，，请你帮他们求出风筝的垂直高度． 9．如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离． (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 10．将一根长是的细木棒置于内部底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设细木棒露在杯子外的部分的长为，请探究h的取值范围． 11．如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）． (1)求此时风筝离地面的高度； (2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？ 12．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处. 保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处. 测得顶端A距离地面的高度为2米，为米. (1)求梯子的长； (2)若顶端C距离地面的高度比多米, 求的长. 13．如图一架云梯斜靠在一面墙上，梯子的底端B离墙根O的距离长为7米，梯子的顶端A到地面的距离为24米． (1)求这个梯子的长； (2)如果梯子的顶端A下滑4米到点，梯子的底端B向右滑动到点，试求的长． 14．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某城市清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积． 15．我市某中学有一块四边形的空地（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求出空地的面积； (2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 16．如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100． (1)求B，C间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 17．如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 18．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由． (3)如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？ 19．如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家． (1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤； (2)求出小智走过的最短路程． 20．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 参考答案： 1．解：∵在Rt△ABC中，，，， ∴ ∴， ∴（m） 答：A、B两点之间的距离为96m． 2．解：设旗杆的长为， 根据题意，得，，， 在中，， ， 解方程得：． 答：旗杆的高为． 3．解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 4．解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5， 根据勾股定理得： 解得：x=3.75． 答：湖水深3.75尺． 5．解：（1）因为是直角三角形， 所以由勾股定理，得． 因为米，，所以． 因为，所以米． 即A，B两点间的 距离是40米． （2）过点B作于点D． 因为， 所以． 所以（米）， 即点B到直线AC的距离是24米． 6．解：在中   ∵ ∴       所以不会砸到 ． 7．解：（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中， ， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 8．解：因为， 所以， 在中，米，米， 所以（米）， 所以（米）， 答：风筝的垂直高度为19.6米． 9．（1）解：由题意可知：米， ∵， ∴， 又∵米， ∴， ∴米； （2）解：∵D点距地面米， ∴米， ∴米． 10．解∵，， ∴， 当点E与A重合时，最短为：， 当点E与B重合时，最长为：， ∴h的取值范围是：． 11．（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴此时风筝离地面的高度的长为米； （2）解：在中，由勾股定理， ∴， ∴引线的长度应加长米． 12．（1）解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， 即梯子的长为米； （2）解：由题意得：米，米， ∴（米）， ∴（米）． 13．（1）解：在中，米，米， 根据勾股定得米 ∴米； （2）解：米， 在中，根据勾股定理得， 所以米， 所以米． 14．解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴阴影部分的面积为． 15．（1）解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ （2）解：元， ∴总共需投入元． 16．（1）解：在中， ∵， ∴， 答：B，C间的距离为80； （2）这辆小汽车没有超速． 理由：∵小汽车速度为， ， ∴这辆小汽车没有超速． 17．（1）解：∵使得，两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 18．（1）解：∵村庄C到A、B两站点的距离分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∵， ∴宣讲车P宣传时，村庄C能听到； （3）解：如图所示，在上取两点E、F使得，连接， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ∵分， ∴村庄C一共能听到分钟的宣传． 19．解：（1）如图： 步骤：①作A关于的对称点， ②连接交于点， 点即为所求； （2）过作交其延长线于，则四边形为矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即小智走过的最短路程为1.7千米． 20．解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 学科网（北京）股份有限公司 $$