《专题16 一元一次不等式及其解法》培优讲义课件2024-2025学年浙教版数学八年级上册

专题16 一元一次不等式及其解法 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】凡是用不等号连接的式子都叫做不等式,常用的不等号有“ " "“ ”" ” ”. 含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。 【2】不等式的基本性质及应用不等式的基本性质可以对不等式进行变形. 【3】根据不等式的基本性质解一元一次不等式,基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤: ①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为 1. 知识梳理 【4】不等式的基本性质: ①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,即若 ,则 ; ②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若 ,且 ,则 或 ; ③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即若 ,且 ,则 或 . 知识梳理 【5】不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值的全体,叫做不等式的解集,简称不等式的解.不等式的解是一些具体的值,可以有无数个;不等式的解集是一个范围,用不等号表示.不等式的每一个解都在它的解集的范围内. 【6】用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”: 一是定边界点,一般在数轴上只标出原点和边界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集则为实心点,若不含于解集则为空心点. 二是定方向,定方向的原则是“小于向左,大于向右”. 知识梳理 【7】解一元一次不等式的步骤中,只有①去分母和⑤系数化为1可能用到性质3,即可能改变不等号方向,其他都不会改变不等号方向. 重点突破 知识点一:不等式及不等式的解集 【例1】已知 是有理数,它们在数轴上的对应点的位置如图,把 按照从小到大的顺序排列,用不等式可表示为_ _. <m></m> 思路点拨观察数轴,可知 ,且 ,进而可得出 . 重点突破 [解析] 解题过程 观察数轴,可知 ,且 .故答案为 . 重点突破 【跟踪训练1】某市2022年8月1日的气温是 ,这天的最高气温是 , 最低气温是 ,则当天该市气温 的变化范围是 ( ) D A. B. C. D. 重点突破 知识点二:不等式的基本性质 【例2】阅读下面解题过程,再解题. 已知 ,试比较 与 的大小. ,① ② ③ 问: 重点突破 (1)上述解题过程中,从第_步开始出现错误. ② 思路点拨(1)(2)根据不等式的基本性质,即可得知哪一步开始出现错误,同时能够得到错误原因, (2)错误的原因是什么? [答案] 解题过程 错误原因:不等式两边同时乘同一个负数,不等号的方向需要改变,但本题求解过程中没有变号. 重点突破 (3)请写出正确的解题过程. 思路点拨 当不等式两边同时乘同一个负数时,不等号方向改变,据此结合不等式的基本性质一步步计算即可得到正确结果. [答案] 解题过程 正确解题过程: 方法提炼 本题考查不等式的基本性质,正确理解并应用不等式的基本性质是解题的关键. 重点突破 【跟踪训练2】阅读下面的材料: 小明在学习了不等式的知识后,发现如下正确结论: 若 ,则 ; 若 ,则 ; 若 ,则 . 下面是小明利用这个结论解决问题的过程:试比较 与 的大小. , _ 回答下面的问题: 重点突破 (1)请完成小明的解题过程. [答案] (2)试比较 与 的大小(写出相应的 解答过程). [答案] . . . 重点突破 知识点三:解一元一次不等式 【例3】已知关于 的方程 (1)若该方程的解满足 ,求 的取值范围. 思路点拨首先要解这个关于 的方程,求出方程的解,根据方程的解满 足 ,可以得到一个关于a的不等式,就可以求出 的范围 [答案] 解题过程 解方程 ,得 该方程的解满足 ,解得 重点突破 (2)若该方程的解是不等式 的最小整数解, 求 的值. 思路点拨首先解不等式求得不等式的解集,然后确定解集中的最小整数值,代入方程求得 的值即可 重点突破 [答案] 解题过程解不等式 , 去括号,得 , 移项,得 , 合并同类项,得 , 系数化为1,得 该不等式的最小整数解是4. 把 代入 ,得 ,解得 重点突破 【跟踪训练3】解不等式: (1) [答案] (2) [答案] > 4. 重点突破 【例4】对于任意有理数 ,规定 ,已知 (1)用含 的代数式表示 思路点拨根据规定得出方程 ,即可求出 [答案] 解题过程 重点突破 (2)若 的正整数解只有3个,求 的取值范围. 思路点拨把 代入 得到关于 的不等式,解不等 式得到 ,根据题意得 ,解得 [答案] 解题过程 的正整数解只有3个, ,即 的正整数解只有3个. . 方法提炼 本题考查解一元一次不等式的整数解、有理数的混合运算,能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键. 课后练习 A组 基础巩固 1.不等式 的解集在数轴上表示正确的是( ) C A.&8& B.&9& C.&10& D.&11& 2.如果 ,那么下列各式中正确的是( ) A A. B. C. D. 课后练习 3.在 中,能使不等式 成立的数有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列变形错误的是( ) C A.由 ,可得 B.由 ,可得 C.由 ,可得 D.由 ,可得 课后练习 5.根据“ 的2倍与1的差不小于3”,可列出不等式:_ _. <m></m> 6.若 ,且 ,则 的取值范围是_ _. <m></m> 7.不等式 的非负整数解共有_个. 6 课后练习 8.解不等式,并将其解集在数轴上表示出来: (1) [答案] 移项,得 , 合并同类项,得 .在数轴上表示为: 课后练习 (2) [答案] 去分母,得 , 去括号,得 , 移项,得 , 合并同类项,得 , 的系数化为1,得 , 在数轴上表示为: 课后练习 9.在实数范围内定义一种新运算“ ”,其运算规则为 , 如: (1)计算:4 _. 2 [解析] 4 故答案为2. 课后练习 (2)求不等式 的正整数解. [答案] ,解得 不等式的正整数解是1,2. 课后练习 B组 能力提升 10.对于一个非整数的有理数 ( 为整数),我们规定: 表示不大于 的最大整数, 表示不小于 的最小整数, 表示 最接近 的整数.例如: ,则使 成立的 的取值范围是 ( ) A A. B. C. 且 D.以上答案都不对 课后练习 [解析] 当 < < ( 为整数)时, ,解 得 < < 3.5满足题意. 当 < < ( 为整数)时, , 解得 为整数, 不合题意,舍去. < < 3.5.故选 课后练习 11.已知 (1)当 时, 的取值范围是_ _. <m></m> [解析] , , , 即 .故答案为 . 课后练习 (2)当 时, 的取值范围是_ _. <m></m> [解析] . . 由(1)知 , 又 . ,即 的取值范围是 . 故答案为 . 课后练习 12.当 _时,关于 的方程 的解是非负数. <m></m> 课后练习 13.阅读材料:对于实数 ,我们定义符号 的意义:当 时, ;当 时, 如 根据上面的材料回答问题: (1) _ _. <m></m> (2)当 时,求 的取值范围. [答案] ,解得 课后练习 14.在实数范围内定义一种新运算“ ”,其运算规则为 ,如 (1)若 ,则 _. 12 [解析] , . ,解得 故答案为12. 课后练习 (2)解不等式: [答案] 由 > 3,可得 ,解得 . 课后练习 (3)求不等式 的负整数解. [答案] , . , ,解得 . 不等式的负整数解为 . 课后练习 C组 思维拓展 15.已知正整数 满足 ,且 (1)求证: [答案] , < 课后练习 (2)求所有符合条件的 [答案] , 或2. 当 时, , ,这与 为正整数矛盾. 当 时, , , , . , . 符合条件的只有一组: $$