专题04 有理数运算的重难点突破-2024-2025学年上学期七年级数学重难点复习（人教版新教材）

专题04有理数运算的重难点突破 题型一 新定义 例1．若规定这样一种运算：，例如： (1)计算：； (2)计算：． 【分析】本题主要考查新定义，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的法则的掌握． （1）根据，把相应的值代入计算即可； （2）根据，把相应的值代入先计算中括号内的运算，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【1-1】若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【1-2】对于有理数a，b，规定一种新运算※，用，如，请你计算以下式子的结果： (1) (2) 【1-3】对于有理数，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【1-4】涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题： (1)______；______；（直接写结果） (2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③（）； ④对于任何正整数n，都有（）； (3)计算：． 题型二 有理数运算的应用 例2．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是，    则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：． 【2-1】将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次，可以得到 条折痕． 【2-2】“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式转化为．请你观察图②，求算式的值是 ． 【2-3】幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数之和都相等，则图中“”代表的数字是 ． 5 7 【2-4】如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 题型三 规律探究类 例3．仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值． 解：令，则． 所以，即 所以 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1) (2) 【分析】本题考查了规律题——数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解题目中的运算方法是解题的关键. （1）根据材料中的方法，设原式，两边乘以5变形后，相减求出S即可； （2）根据材料中的方法，设原式，两边乘以3变形后，相加求出S即可. 【详解】（1）解：设， 则， ∴， ∴， ∴； （2）设， 则， ∴， ∴， ∴. 【3-1】【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①__________； ②__________． (2)计算：． 【3-2】观察下列各式，回答问题： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： (1)猜想并写出：第5个等式为______； (2)利用规律计算：的值； (3)探究并计算：的值． 【3-3】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式：（不要计算出结果） ① _______； ② ______． (2)计算：． 【3-4】观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 一、单选题 1．若规定“！”是一种数学运算符号，，的值为（    ） A． B． C． D．1 2．定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：①②，③若，则或，其中结论正确的序号是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 3．如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．若，则的值可能是（　　） A． B． C．1或5 D．或 5．对从左到右依次排列的三个有理数x，y，z，在x与y之间、y与z之间只添加一个四则运算符号“”“”“”“”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对有理数x，y，z进行“四则操作”．例如：对有理数1，2，3的“四则操作”可以是，也可以是；对有理数2，，的一种“四则操作”可以是，则对有理数2，，4进行“四则操作”后，所得的结果中最大的是（   ） A．1 B．3 C． D． 6．如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现在点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 7．定义关于有理数，的新运算：，其中，为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A． B． C． D． 8．已知下列方格中E、F、G、H、I五个字母各表示一个数，且任意3个连续方格中的数之和为10，则的值为（   ） A．19 B．26 C．37 D．39 9．已知，，且m、n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（　　） ①在的“分解”中，最大的数是17． ②在的“分解”中，最小的数是13． ③若的“分解”中最小的数是23，则． ④若的“分解”中最大的数是83，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ． 12．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：．如果正整数m最少经过7步运算可得到1，则满足m的所有的值的和为 ． 13．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 14．计算： ． 15．一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，且相对面上的两个数互为倒数，则x的值为 ． 16．算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形成一种运算（加、减、乘，除），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 三、解答题 17．设，，为有理数，定义新运算：．如，． （1）计算和的值． （2）若，化简． （3）请直接写出一组的具体值，说明不成立． 18．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、       B、 C、       D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________． 19．探究题 ，，，…… (1)以此规律，第5个式子是_________；第个式子是_________． (2)利用上面发现的规律计算 (3)计算 (4)计算 20．观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： × ； × ． (2)用你发现的规律计算： 21．观察下列图形与等式的关系： 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …… 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______； (2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______； (3)运用上述规律计算：． 22．【阅读】求值． 【运用】仿照此法计算： 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②①得：， 即：， (1)； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形． 完成下列问题： ①小正方形的面积等于 ； ②求正方形的面积和． 23．阅读材料，求值：； 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即 (1)请你仿照此法计算： ① ； ②   ( 其中n为正整数 ) (2)求的值． (3)计算． 24．【阅读理解】 求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般的，把记作，读作的圈次方”． （1）直接写出计算结果：_______； 【类比探究】 （2）有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： _______（且为正整数）； ______（且为正整数）； 【实践应用】 （3）计算： ①； ②（其中）． 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． (3)若，，，为四个不为0的有理数，则的值为________（直接写答案） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04有理数运算的重难点突破 题型一 新定义 例1．若规定这样一种运算：，例如： (1)计算：； (2)计算：． 【分析】本题主要考查新定义，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的法则的掌握． （1）根据，把相应的值代入计算即可； （2）根据，把相应的值代入先计算中括号内的运算，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【1-1】若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． （1）根据题意列出算式，计算即可得解； （2）先计算，再计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． 【1-2】对于有理数a，b，规定一种新运算※，用，如，请你计算以下式子的结果： (1) (2) 【答案】(1)(2)2 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）把相应的值代入到新的运算中，结合有理数的相应的法则进行运算即可； （2）把相应的值代入到新的运算中，结合有理数的相应的法则进行运算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【1-3】对于有理数，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【答案】(1)(2)(3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、新定义； （1）根据，计算出所求式子的值； （2）根据，先计算可以计算出所求式子的值； （3）分别根据进行计算即可判断是否成立． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：这种新定义不满足交换律，理由如下， ∵ ∴ ， ∴ 【1-4】涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题： (1)______；______；（直接写结果） (2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③（）； ④对于任何正整数n，都有（）； (3)计算：． 【答案】(1)，；(2)③④(3) 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的除法和乘法计算．熟练掌握新定义，有理数的除法和乘法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ； 故答案为：，； （2）解：①对于任何正整数n，当n为偶数时，有， 当n为奇数时，，故①错误； ②∵，， ∴，故②错误； ③∵，故③正确； ④对于任何正整数n，都有（偶数个负数进行除法计算），故④正确； 故答案为：③④； （3）解： ． 题型二 有理数运算的应用 例2．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是，    则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：． 【2-1】将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到条折痕，那么对折次，可以得到 条折痕． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用和探索规律，通过第一次折，第二次折，第三次折，……可以发现折痕数是以为底，以折叠次数为指数的乘方再减去，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第次对折，把纸分成部分，条折痕， 第次对折，把纸分成部分，条折痕， 第次对折，把纸分成部分，条折痕， …………， 依此类推，第次对折，把纸分成部分，条折痕， ∴对折次，可以得到折痕条， 故答案为：． 【2-2】“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式转化为．请你观察图②，求算式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力．根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可． 【详解】解：把正方形看作单位“1”，由图可得， 故答案为：． 【2-3】幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数之和都相等，则图中“”代表的数字是 ． 5 7 【答案】1 【分析】本题考查有理数的运算，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 故答案为：1． 【2-4】如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 【答案】(1)输出的值为124 (2)5或 (3)6380 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算： （1）根据流程图可得算式，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可； （2）根据输出的结果为380，得到平方后的结果为400，根据的平方为400，得到x乘以负4的结果为，据此求解即可； （3）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：）当时，，故输出的值为124． （2）解：，的平方为400， 或． （3）解：当时，，， 此时输出的值为6380． 题型三 规律探究类 例3．仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值． 解：令，则． 所以，即 所以 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1) (2) 【分析】本题考查了规律题——数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解题目中的运算方法是解题的关键. （1）根据材料中的方法，设原式，两边乘以5变形后，相减求出S即可； （2）根据材料中的方法，设原式，两边乘以3变形后，相加求出S即可. 【详解】（1）解：设， 则， ∴， ∴， ∴； （2）设， 则， ∴， ∴， ∴. 【3-1】【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①__________； ②__________． (2)计算：． 【答案】(1)14， (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的运算， （1）结合信息提取可知同号两个数和的绝对值，等于这两个数绝对值得和，异号两个数和的绝对值，等于较大数的绝对值减去较小数的绝对值，再根据规律可知，，再计算即可； （2）先结合已知条件去掉绝对值，再计算即可． 【详解】（1）①； ②. 故答案为：14；． （2）原式 ． 【3-2】观察下列各式，回答问题： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： (1)猜想并写出：第5个等式为______； (2)利用规律计算：的值； (3)探究并计算：的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了数字的变化类规律，根据已有等式发现规律成为解题的关键． （1）根据已有等式类比第5个等式即可； （2）根据已有等式，从而把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解即可； （3）根据已有等式，从而把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解即可． 【详解】（1）解：第一个等式： 第二个等式： 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 【3-3】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式：（不要计算出结果） ① _______； ② ______． (2)计算：． 【答案】(1)①；②；(2) 【分析】本题主要考查了去绝对值，有理数的加减法计算： （1）根据进行求解即可； （2）根据化简绝对值，然后计算加减法即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵。 ∴； （2）解：由题意得，原式   。 【3-4】观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 一、单选题 1．若规定“！”是一种数学运算符号，，的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了乘除混合运算．理解题意，确定运算规则是解题的关键． 根据求解作答即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 2．定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论：①②，③若，则或，其中结论正确的序号是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，根据新运算的法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：，故①正确； ， ∴，故②错误； ， ∴或， ∴或；故③正确； 故选B 3．如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据数轴可得：，，进而可得，，，，进一步即可判断求解． 【详解】解：根据数轴可得：，， 所以，，，，故①②错误， 所以，，故④⑤正确， 因为， 所以，故③正确． 故选：B． 4．若，则的值可能是（　　） A． B． C．1或5 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘除法法则及绝对值化简，根据，得到或，分情况代入化简计算即可． 【详解】解：， 或， 当时，则， 或，则， 综上，的值为， 故选：B． 5．对从左到右依次排列的三个有理数x，y，z，在x与y之间、y与z之间只添加一个四则运算符号“”“”“”“”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对有理数x，y，z进行“四则操作”．例如：对有理数1，2，3的“四则操作”可以是，也可以是；对有理数2，，的一种“四则操作”可以是，则对有理数2，，4进行“四则操作”后，所得的结果中最大的是（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数混合运算．理解题意，熟练掌握有理数混合运算是解题的关键． 对有理数2，，4进行“四则操作”，然后确定最大的结果即可． 【详解】解：由题意知，对有理数2，，4进行“四则操作”， 可以是或或或或或或或或或或或或或或或， ∴最大结果是， 故选：D． 6．如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现在点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律以及数轴上点的距离，根据题意，找到数轴上点所对应的数的变化规律，是解题的关键．由题意得：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为22，则可判断点与原点的距离不小于20时，n的最小值． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数为：； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为：； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为：； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为：； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为：； …； 以此类推： 表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：， 表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：， ∴点与原点的距离不小于20时，n的最小值是14． 故选：C． 7．定义关于有理数，的新运算：，其中，为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据可推出，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 8．已知下列方格中E、F、G、H、I五个字母各表示一个数，且任意3个连续方格中的数之和为10，则的值为（   ） A．19 B．26 C．37 D．39 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．先根据题意可求出，，，，再求出，最后将各数相加即可． 【详解】解：如图，设E和3之间的格表示的数为x， ∵任意3个连续方格中的数之和为10， ∴， ∴，，，， ∴， ∴． 故选B． 9．已知，，且m、n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（　　） ①在的“分解”中，最大的数是17． ②在的“分解”中，最小的数是13． ③若的“分解”中最小的数是23，则． ④若的“分解”中最大的数是83，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确分析题干中的规律． 通过观察可知：底数是几，分解成的奇数的个数为几，分解的最小的数是，由此规律进一步分析探讨得出正确的答案． 【详解】解：根据题意得，底数是几，分解成的奇数的个数为几，分解的最小的数是， ∴①在的“分解”中，最小的数是 ∴最大的数是，故该项正确； ②在的“分解”中，最小的数是，故该项正确； ③若，由的“分解”中最小的数是，故该项错误； ④若，由的“分解”中最小的数是， ∴最大的数是，故该项正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 10．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，有理数的减法运算，把代入数值转换器，判断得出结果即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：当时，， 则输出结果为：， 故选：． 二、填空题 11．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；根据题中所给运算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 因为这两个两位数相乘的结果为2176，所以， ∵m、n为正整数， ∴或， 当时，，因为b、c是10以内的正整数，所以不存在两个正整数的乘积是22，故不符合题意； ∴， ∴； 故答案为． 12．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：．如果正整数m最少经过7步运算可得到1，则满足m的所有的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查归纳推理的应用，有理数的混合运算，利用第步为出发，按照规则，逆向逐项即可求出的所有可能的取值． 【详解】解： 如果正整数按照上述规则施行变换后的第步为， 则变换中的第步一定是， 变换中的第步一定是； 变换中的第步一定是； 变换中的第步一定是， 变换中的第步可能是或 变换中的第步可能是或 则或或或 所以 故答案为：． 13．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 【答案】3 610 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据任意相邻三个台阶上数的和都相等，得到求出即可； （2）先求出，进而求出相邻三个数的和，根据每三个数一循环，且和等于，进行计算即可． 【详解】（1）∵任意相邻三个台阶上数的和都相等， ； （2） 每三个数一循环，且和等于 ， ． 故答案为：3，610． 14．计算： ． 【答案】0 【分析】此题考查了绝对值的化简，有理数的加减运算，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【详解】解： ， 故答案为：0． 15．一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，且相对面上的两个数互为倒数，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的性质，倒数，以及正方体相对两个面上的文字，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．根据正方体相对两个面，以及倒数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 解得： ，， ， 故答案为：． 16．算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形成一种运算（加、减、乘，除），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，从外向内三层中的每一层各取一个数字进行运算结果等于24，则能进入迷宫． 【详解】根据题意，得． 故答案为：． 三、解答题 17．设，，为有理数，定义新运算：．如，． （1）计算和的值． （2）若，化简． （3）请直接写出一组的具体值，说明不成立． 【答案】（1）0；4042；(2)；（3），，（答案不唯一） 【分析】(1)根据题意※表示前面的数与后面数的绝对值的积，直接代入数据求解计算； (2)有y<0，得到y为负数，进而得到-3y为正数，去绝对值后等于本身-3y，再代入数据求解即可； (3)按照题意要求写一组具体的的值再验算即可． 【详解】解：(1)根据题意得:； ； (2)因为， 所以， 所以； (3)由题意，当分别取，，时， 此时，而， 所以，不成立． 18．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、       B、 C、       D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________． 【答案】(1)①D；②1012 (2)①；②，1013 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减混合运算，平移和翻叠性质，读懂题意发现平移和翻折的规律是解题的关键． （1）①根据题意和有理数的加法法则进行计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①根据题意得折叠中点表示的数为1，再根据重合点表示的数与中点表示的数的差相等列式计算即可；②根据折叠中点表示的数为1，，可推出点所表示的数和点所表示的数与折叠中点表示的数的差为1022，结合在的左列式计算即可． 【详解】（1）解：①根据移动过程可得， 故选：D． ②机器人跳动过程可以用算式表示为： 当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012 故答案为：1012． （2）解：①表示的点与表示3的点重合 折叠中点表示的数为 表示2024的点与表示的点重合 故答案为：． ②折叠中点表示的数为1， 点所表示的数为： 点B所表示的数为： 故答案为：，1013； 19．探究题 ，，，…… (1)以此规律，第5个式子是_________；第个式子是_________． (2)利用上面发现的规律计算 (3)计算 (4)计算 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，解题关键在于理解题意找到计算规律． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第n个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （4）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：第5个式子是； 第n个式子是， 故答案为：， （2） （3） （4） 20．观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： × ； × ． (2)用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． 【详解】（1）解：依题意，， ； 故答案为：； （2）解： ． 21．观察下列图形与等式的关系： 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …… 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______； (2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______； (3)运用上述规律计算：． 【答案】(1)11， (2) (3)2025 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算等知识点， （1）根据题图找出规律即可得解； （2）根据题图找出规律即可得解； （2）根据题图找出的规律计算即可得解； 能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知：第5个空白小正方形的个数为，第6个空白小正方形的个数算式应为：， 故答案为：11，； （2）解：由题图知， 图①空白部分小正方形的个数是； 图②空白部分小正方形的个数是； 图③空白部分小正方形的个数是； …， 所以图n空白部分小正方形的个数是：， 故答案为：； （3）解：由（2）问规律可计算得， ． 22．【阅读】求值． 【运用】仿照此法计算： 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②①得：， 即：， (1)； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形． 完成下列问题： ①小正方形的面积等于 ； ②求正方形的面积和． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据例题，原式乘以5，然后两式相减即可求解． （2）①根据有理数乘方的意义，表示出，找到规律即可求解． ②根据（1）的方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）设 ，得： ，得： 则 （2）①∵，……， ∴， 故答案为：； ②①， 得：②， 得：， ∴， 即． 23．阅读材料，求值：； 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即 (1)请你仿照此法计算： ① ； ②   ( 其中n为正整数 ) (2)求的值． (3)计算． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值； ②同理即可得到所求式子的值； （2）根据解析（1）的方法即可得到所求式子的值； （3）设，将等式两边同时乘以得：,求出，得出，然后再利用解析（1）的结论求出结果即可． 【详解】（1）解：①设， 将等式两边同时乘以得：， 将下式减去上式得：， 即， 则； ②设， 将等式两边同时乘得： 将下式减去上式得：，即 则； （2）解： ； （3）解：设， 将等式两边同时乘以得：， 则， 即， ∴ ． 24．【阅读理解】 求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般的，把记作，读作的圈次方”． （1）直接写出计算结果：_______； 【类比探究】 （2）有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： _______（且为正整数）； ______（且为正整数）； 【实践应用】 （3）计算： ①； ②（其中）． 【答案】（1）；（2） ，；（3）①；②． 【分析】（1）根据除方的定义求解即可； （2）根据除方的定义即可解答； （3）①先根据（2）的结论计算乘除，再计算加减； ②先根据（2）的结论计算，再设，进而可得，再两式相减计算即可． 【详解】（1）． 故答案为． （2）， ． 故答案为；． （3）① ． ②原式． 设， 则． 因为， 所以，所以， 所以． 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． (3)若，，，为四个不为0的有理数，则的值为________（直接写答案） 【答案】(1)或1 (2)1 (3)，，0，2，4 【分析】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）由，可得，，中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （2）由，可得，，中有两个为负，一个为正，即可得的值； （3）根据题意分5种情况，然后利用绝对值的意义化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或1； （2）解：∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴； （3）解：∵，，，为四个不为0的有理数， ∴当，，，都为正数时，； 当，，，中有1个正数，3个负数时，不妨设a为正数，，，为负数 ∴； 当，，，中有2个正数，2个负数时，不妨设a，b为正数，，为负数 ∴； 当，，，中有3个正数，1个负数时，不妨设a，b，c为正数，为负数 ∴； ∴当，，，都为负数时，； 综上所述，的值为，，0，2，4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$