27.2.3.切线 课时作业 2024-—2025学年华东师大版数学九年级下册

　切线(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　切线的判定 1.(2024·扬州期中)如图所示,△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是( ) A.∠O+∠P=90° B.∠O+∠P=∠OMP C.OM2+PM2=OP2 D.点N是OP的中点 2.如图,已知∠AOB=30°,点M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM= cm时,☉M与OA相切.  3.(2023·扬州中考节选)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由. 知识点2　切线的性质 4.如图,AB切☉O于点B,连结OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连结CD,若∠A=34°,则∠OCD的大小为( ) A.68° B.56° C.34° D.28° 5.(2024·天津期中)如图,AB,AC是☉O的切线,B,C为切点,D是☉O上一点,连结BD,CD,若∠BDC=60°,AB=3,则☉O的半径长为( ) A.1.5 B. C. D. 6.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连结OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为 .  7.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .  【B层 能力进阶】 8.如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴上,且OA=OB.点P为☉C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为( ) A.14 B.15 C.16 D.8 9.(2023·鸡西中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连结BC,若∠B=28°,则∠P= °.  10.如图,PA与☉O相切于点A,PO与弦AB相交于点C,OB⊥OP,若OB=3,OC=1,则PA的长为 .  11.(2023·内江中考)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连结BD并延长交AC的延长线于点M. (1)求证:直线DE是☉O的切线; (2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,ME=1,连结BC交AD于点P,求AP的长. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(推理能力、几何直观、模型观念)知识重现:如图1,分三种情况探究了一条弧所对的圆周角∠BAC和它所对的圆心角∠BOC的数量关系. (1)直接写出∠BAC和∠BOC的数量关系 ;  (2)任选一种情况进行证明. 迁移应用:如图2,已知△ABC内接于☉O,直线DE是☉O的切线,切点为A,求证:∠CAE=∠ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　切线(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　切线的判定 1.(2024·扬州期中)如图所示,△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是(D) A.∠O+∠P=90° B.∠O+∠P=∠OMP C.OM2+PM2=OP2 D.点N是OP的中点 2.如图,已知∠AOB=30°,点M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM=　4　cm时,☉M与OA相切.  3.(2023·扬州中考节选)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由. 【解析】直线AB与☉O相切, 理由:连结OD(图略), ∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC, ∴∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD, ∴∠BCD=∠BOD, ∵∠BCD=∠A,∴∠BOD=∠A, ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°, ∴∠BOD+∠B=90°,∴∠BDO=90°, ∵OD是☉O的半径,∴直线AB与☉O相切. 知识点2　切线的性质 4.如图,AB切☉O于点B,连结OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连结CD,若∠A=34°,则∠OCD的大小为(D) A.68° B.56° C.34° D.28° 5.(2024·天津期中)如图,AB,AC是☉O的切线,B,C为切点,D是☉O上一点,连结BD,CD,若∠BDC=60°,AB=3,则☉O的半径长为(D) A.1.5 B. C. D. 6.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连结OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为　50°　.  7.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 　.  【B层 能力进阶】 8.如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴上,且OA=OB.点P为☉C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为(C) A.14 B.15 C.16 D.8 9.(2023·鸡西中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连结BC,若∠B=28°,则∠P=　34　°.  10.如图,PA与☉O相切于点A,PO与弦AB相交于点C,OB⊥OP,若OB=3,OC=1,则PA的长为　4　.  11.(2023·内江中考)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连结BD并延长交AC的延长线于点M. (1)求证:直线DE是☉O的切线; 【解析】(1)连结OD, ∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD, ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC, ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE, ∵OD是☉O的半径, ∴直线DE是☉O的切线; (2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由; 【解析】(2)△ABM是等边三角形,理由如下: ∵DE⊥AC,∠F=30°, ∴∠EAF=60°, ∴∠EAD=∠DAF=30°, ∴∠CBD=∠CAD=30°, ∵AB为☉O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ABC=90°-∠EAF=30°, ∴∠ABM=∠ABC+∠CBD=60°, ∴△ABM是等边三角形; (3)在(2)的条件下,ME=1,连结BC交AD于点P,求AP的长. 【解析】(3)∵△ABM是等边三角形, ∴∠M=60°, ∴∠MDE=30°, ∵ME=1,DE⊥AM, ∴MD=2ME=2, ∴AB=MB=4, ∵AB为☉O的直径,∠ABC=30°, ∴AC=AB=2, ∵∠CAD=30°, ∴AP=2CP, ∵AP2=CP2+AC2, ∴AP=. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(推理能力、几何直观、模型观念)知识重现:如图1,分三种情况探究了一条弧所对的圆周角∠BAC和它所对的圆心角∠BOC的数量关系. (1)直接写出∠BAC和∠BOC的数量关系　　　　　　　;  (2)任选一种情况进行证明. 迁移应用:如图2,已知△ABC内接于☉O,直线DE是☉O的切线,切点为A,求证:∠CAE=∠ABC. 【解析】知识重现:(1)∠BAC=∠BOC. 答案:∠BAC=∠BOC (2)情况①,作直径AD, ∵OA=OB,∴∠1=∠3. ∴∠BOD=∠1+∠3=2∠1, 同理∠COD=2∠2, ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAC, ∴∠BAC=∠BOC; 情况②,当点O在∠BAC的一边上时, ∵OA=OC,∴∠1=∠2, 由外角可得,∠BOC=∠1+∠2, ∴∠BOC=2∠1, ∴∠1=∠BOC,即∠BAC=∠BOC; 情况③,作直径AD, ∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA, ∴∠BOD=∠OAB+∠OBA=2∠OAB, 同理∠COD=2∠DAC, ∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2∠DAC-2∠OAB=2∠BAC, ∴∠BAC=∠BOC. 迁移应用:作直径AF,交☉O于F,连结CF,如图, ∵DE为☉O的切线,∴OA⊥DE, ∴∠CAE+∠FAC=90°, ∵AF为☉O的直径,∴∠ACF=90°, ∴∠AFC+∠FAC=90°, ∴∠AFC=∠CAE, ∵∠CBA=∠AFC, ∴∠CAE=∠ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 切线(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　切线长定理 1.(2024·南京期末)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.(2024·泸州中考)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若 ∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=( ) A.56° B.60° C.68° D.70° 3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=38°,则∠P= °.  4.(2024·广州期中)如图,已知AB为☉O的直径,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°. (1)求∠P的大小; (2)若AB=2,求PA的长(结果保留根号). 知识点2　三角形的内切圆及内心的性质 5.(2024·湖州期中)如图,点O为△ABC的内心,∠A=60°,OB=2,OC=4,则△OBC的面积是( ) A.4 B.2 C.2 D.4 6.如图,☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,且AB=3,BC=5,AC=4,则CD= .  7. (2024·莆田期中)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,I为△ABC的内心,连结OI,AI,BI.若OI⊥BI,OI=2,则AB的长为 .  8.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O,BC>AC,点P是△ABC的内心,延长CP交☉O于点D,连结BP,BD. (1)求证:BD=PD; (2)已知☉O的半径是3,CD=8,求BC的长. 【B层 能力进阶】 9.(2024·杭州一模)如图,在△ABC中,AB+AC=BC,AD⊥BC于D,☉O为△ABC的内切圆,设☉O的半径为R,AD的长为h,则的值为( ) A. B. C. D. 10.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连结DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= .  11.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论: ①∠BAD=∠CAD; ②若∠BAC=50°,则∠BEC=130°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的结论是 .(填序号)  12.(2024·泉州期末)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC为☉O的直径,点I为△ABC的内心,连结AI并延长交☉O于D点,连结BD并延长至E,使得BD=DE,连结CE,BI. (1)求证:DB=DI; (2)求证:直线CE为☉O的切线; (3)若tan∠ADB=,BC=20,求AD的长. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(推理能力、运算能力、几何直观)探究问题: (1)如图1,PM,PN,EF分别切☉O于点A,B,C,猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系,并证明你的结论. (2)如果图1的条件不变,且PO=10 cm,△PEF的周长为16 cm,求☉O的半径. (3)如图2,点E是∠MPN的边PM上的点,EF⊥PN于点F,☉O与边EF及射线PM、射线PN都相切.若EF=3,PF=4,求☉O的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　切线(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　切线长定理 1.(2024·南京期末)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是(C) A.4 B.3 C.2 D.1 2.(2024·泸州中考)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若 ∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=(C) A.56° B.60° C.68° D.70° 3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=38°,则∠P=　76　°.  4.(2024·广州期中)如图,已知AB为☉O的直径,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°. (1)求∠P的大小; 【解析】(1)∵PA是☉O的切线,AB为☉O的直径,∴PA⊥AB,∴∠BAP=90°;∵∠BAC=30°,∴∠CAP=90°-∠BAC=60°. 又∵PA,PC与☉O相切于点A,C,∴PA=PC, ∴△PAC为等边三角形,∴∠P=60°. (2)若AB=2,求PA的长(结果保留根号). 【解析】(2)如图,连结BC,则∠ACB=90°. 在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°, ∵cos∠BAC=, ∴AC=AB·cos∠BAC=2cos 30°=. ∵△PAC为等边三角形, ∴PA=AC, ∴PA=. 知识点2　三角形的内切圆及内心的性质 5.(2024·湖州期中)如图,点O为△ABC的内心,∠A=60°,OB=2,OC=4,则△OBC的面积是(B) A.4 B.2 C.2 D.4 6.如图,☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,且AB=3,BC=5,AC=4,则CD= 　.  7. (2024·莆田期中)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,I为△ABC的内心,连结OI,AI,BI.若OI⊥BI,OI=2,则AB的长为　4　.  8.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O,BC>AC,点P是△ABC的内心,延长CP交☉O于点D,连结BP,BD. (1)求证:BD=PD; 【解析】(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵点P是△ABC的内心,∴∠ACD=∠BCP=45°,∠CBP=∠EBP,∴∠ABD=∠ACD=45°, ∵∠DPB=∠BCP+∠CBP=45°+∠CBP,∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP, ∴∠DPB=∠DBP,∴BD=DP; (2)已知☉O的半径是3,CD=8,求BC的长. 【解析】(2)连结AD,过点B作BH⊥CD于H,如图所示: ∵AB是直径,∠ABD=45°,∴AB=6,△ABD是等腰直角三角形,∴BD=AB=×6=6, ∵∠BCD=45°,BH⊥CD, ∴∠BCH=∠CBH=45°,∴BH=CH, ∴BC=BH,∵BD2=DH2+BH2, ∴36=(8-BH)2+BH2,∴BH=4±,BC=4±2, ∵BC>AC,∴BC=4+2. 【B层 能力进阶】 9.(2024·杭州一模)如图,在△ABC中,AB+AC=BC,AD⊥BC于D,☉O为△ABC的内切圆,设☉O的半径为R,AD的长为h,则的值为(A) A. B. C. D. 10.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连结DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=　35°　.  11.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论: ①∠BAD=∠CAD; ②若∠BAC=50°,则∠BEC=130°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的结论是　①③④　.(填序号)  12.(2024·泉州期末)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC为☉O的直径,点I为△ABC的内心,连结AI并延长交☉O于D点,连结BD并延长至E,使得BD=DE,连结CE,BI. (1)求证:DB=DI; 【解析】(1)∵I是△ABC的内心,∴∠BAI=∠CAI,∠IBA=∠IBC,∵∠BID=∠BAI+∠IBA,∠DBI=∠IBC+∠DBC,∠DBC=∠IAC,∴∠DBI=∠DIB,∴DB=DI; (2)求证:直线CE为☉O的切线; 【解析】(2)连结CD.如图1, ∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠DAC, ∴BD=CD,又∵BD=DE, ∴CD=DB=DE, ∴∠BCE=90°,∴BC⊥CE, ∵BC为☉O的直径,∴CE是☉O的切线. (3)若tan∠ADB=,BC=20,求AD的长. 【解析】(3)如图2, 在Rt△ABC中,BC=20,∠ACB=∠ADB,tan∠ADB=,∴AB=16,AC=12,过点I作IH⊥AC于H, ∵点I是Rt△ABC的内心, ∴内切圆的半径IH==4, 在Rt△AIH中,∠CAD=45°,∴AI=IH=4, 由(2)知,△BDC为等腰直角三角形, 又∵BC=20,∴BD=20÷=10,∴DI=BD=10, ∴AD=DI+AI=14. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(推理能力、运算能力、几何直观)探究问题: (1)如图1,PM,PN,EF分别切☉O于点A,B,C,猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系,并证明你的结论. 【解析】(1)△PEF的周长=2PA, 证明:∵PA,PB分别切☉O于点A,B, ∴PB=PA, ∵EA与EC为☉O的切线, ∴EA=EC, 同理得到FC=FB, ∴C△PEF=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA; (2)如果图1的条件不变,且PO=10 cm,△PEF的周长为16 cm,求☉O的半径. 【解析】(2)如图1所示,连结OA,OP, ∵PA是☉O的切线, ∴OA⊥PA, ∴∠PAO=90°, ∵△PEF的周长为16 cm, ∴PA=8 cm, ∴OA===6(cm), ∴☉O的半径为6 cm; (3)如图2,点E是∠MPN的边PM上的点,EF⊥PN于点F,☉O与边EF及射线PM、射线PN都相切.若EF=3,PF=4,求☉O的半径. 【解析】(3)当☉O在EF右侧时,如图2所示, 设☉O与射线PM、射线PN分别相切于A,B,与EF相切于C,则AE=CE, 连结OA,OB,OC, ∵EF⊥PN, ∴∠CFB=∠OBF=∠OCF=90°, ∵OC=OB, ∴四边形OCFB是正方形, ∴CF=BF=OC. 设☉O的半径为r, ∴CF=BF=r, ∵EF=3,PF=4,∴PE=5, ∵PA=PB,∴5+AE=PF+BF, 即5+3-r=4+r, ∴r=2. 当☉O在EF左侧时,如图3所示, PE==5, ∴(3+4+5)r=×3×4,解得r=1. ∴☉O的半径为2或1. 学科网（北京）股份有限公司 $$