第25章　投影与视图 同步课时训练课件2024-2025学年沪科版数学九年级下册

第25章　投影与视图 25.1　投影 第1课时 平行投影与中心投影 返回 1. 如图所示的是古代一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上形成的投影属于________投影．(填“中心”或“平行”) 平行 基础题 2 返回 2．[2024·衢州一模]下列四幅图中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图可能是(　　) A 基础题 3 返回 3．[2024·柳州模拟]房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是(　　) A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形 D 基础题 4 4．下列现象属于中心投影的有(　　) (1)小孔成像；(2)皮影戏；(3)手影； (4)放电影． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 返回 基础题 5 返回 5．[2024·宁德期末]在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是(　　) A．A的左侧 B．A，B之间 C．C的右侧 D．B，C之间 B 基础题 6 返回 6．[2024·榆林期末]如图，某同学下晚自习后经过一路灯，他从A处背着路灯方向走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子(　　) A．先变短后变长 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．始终不变 C 基础题 7 7．如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　) A．90 cm2 　　 B．135 cm2 C．150 cm2 　　D．375 cm2 基础题 8 返回 【答案】 D 基础题 8．[2024·淮南校级月考]如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，落在墙上的影高为2米，则旗杆的高度为(　　) A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 综合应用题 10 返回 【答案】 C 综合应用题 9．[2024·温州模拟]如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶CD＝EF＝GH＝0.2 m，DE＝FG＝0.4 m，此时台阶上的点P在地面上的投影为点M，QM＝0.45 m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9 m，则树的高度AB为(　　) A．3 m B．3.6 m C．4 m D．4.8 m 综合应用题 12 返回 【答案】 C 综合应用题 10．[2024·西安二模]如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB，文化长廊上伫立着三座名人塑像CD，EF，GH，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且AD＝DF＝FH＝HB.在明德楼楼顶的照明灯P的照射下，塑像CD的影子为DM，塑像EF的影子为FN.该校“探数学”兴趣小组的同学 测得文化长廊AB＝32米，塑 像的高CD＝EF＝3米，塑像 CD的影长DM＝2米． 综合应用题 14 (1)求明德楼的高PA； 综合应用题 15 (2)求塑像EF的影长FN. 返回 综合应用题 16 11. 如图①，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离，为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离，方案如下： 创新拓展题 17 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 创新拓展题 说明 如图②，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN. 测量 数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm 创新拓展题 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)． 创新拓展题 20 【解】如图，过点A作AF⊥MN，垂足为点F.  设BF＝x cm. ∵BC＝9 cm， ∴CF＝BC＋BF＝(x＋9)cm. ∵∠ABF＝∠DBN＝35°， ∴在Rt△ABF中，AF＝BF·tan 35°≈0.7x(cm). 创新拓展题 21 ∵∠ACF＝∠ECN＝22°， ∴在Rt△ACF中，AF＝CF·tan 22°≈0.4(x＋9)cm， ∴0.7x≈0.4(x＋9)，解得x≈12， ∴AF≈8.4 cm， ∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4 cm. 返回 创新拓展题 22 【点拨】由题意得＝， ∴＝2＝.∴＝. ∴△A1B1C1的面积是375 cm2.故选D. 【点拨】过点C作CE⊥AB于点E，设同一时刻竹竿和其影长所在的三角形为△FGH， 且FG＝1米，GH＝1.5米，易知BD＝EC＝21米，CD＝EB＝2米.由题意得△AEC∽△FGH. ∴＝.∴＝.∴AE＝14米. ∴AB＝AE＋BE＝14＋2＝16(米).故选C. 【点拨】如图，作GR⊥BM于点R，GS⊥AB于点S，则四边形BRGS是矩形， 由题易得BS＝GR＝0.2×2＝0.4(m)， PQ＝0.2×3＝0.6(m)，RC＝2×0.4＝0.8(m)， ∴SG＝BR＝BC＋RC＝1.9＋0.8＝2.7(m). 由题易得△ASG∽△PQM，∴＝，即＝. ∴AS＝3.6 m.∴AB＝AS＋BS＝3.6＋0.4＝4(m). 【解】∵AD＝DF＝FH＝HB，AB＝32米， ∴AD＝DF＝AB＝8米.由题易得△CDM∽△PAM， ∴＝.∴＝.∴PA＝15米. 答：明德楼的高PA为15米. 【解】由题易得△EFN∽△PAN， ∴＝.∴＝.∴FN＝4米. 答：塑像EF的影长FN为4米. $$ 第25章　投影与视图 25.1　投影 第2课时 正投影 返回 1．把一个正六棱柱如图摆放，当光线由正前方射到后方时，它的正投影是(　　) B 基础题 2 返回 2．[2024·滁州模拟]由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是(　　) A 基础题 3 返回 3．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小________(填 “相同”“不一定相同”或“不相同”)． 相同 基础题 4 4．[2024·宿州宿城第一初级中学期末]物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是(　　) A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 D 返回 基础题 5 基础题 6 【点拨】 如图，过点B作BC⊥AA1于点C， ∴∠ACB＝90°.∵A1B1是线段AB 在投影面上的正投影， ∴AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1. ∴四边形A1B1BC为矩形. ∴BC＝A1B1，∠B1BC＝90°. ∴∠ABC＝∠ABB1－∠CBB1＝20°.∴BC＝AB·cos20°. ∴A1B1＝AB·cos20°＝a·cos20° cm. 【答案】 A 返回 基础题 基础题 8 基础题 返回 基础题 7．如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置，三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ (1)铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面； (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点)． 基础题 11 通过观察，我们可以发现： (1)当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB________A1B1； (2)当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2； (3)当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________． ＝ 返回 ＞ 点 基础题 12 8．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是(　　) 返回 C 基础题 13 9. 如图①所示的是某款户外遮阳伞支架张开的状态，图①可抽象成图②，在图②中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图③时，伞的下端点F落在点F′处，点C落在点C′处，AE＝EF，AC＝BC＝CE＝90 cm，DF′＝70 cm. 综合应用题 14 (1)BD的长为________． 250 cm 综合应用题 15 (2)如图②，当AB＝54 cm时． ①求∠ACB的度数；(参考数据：sin 17.5°≈0.30，tan 16.7°≈0.30，sin 36.9°≈0.60，tan 31.0°≈0.60) 综合应用题 16 综合应用题 ②求伞能遮阳的面积．(伞的正投影可以看作一个圆，结果保留π) 综合应用题 18 【解】如图，连接AF，过点E作EH⊥AF于点H， ∵AE＝EF，∴AH＝HF.根据题意可知CG∥AF， ∴∠EAH＝∠ACG.∴sin∠EAH＝sin∠ACG＝0.3. ∵AE＝AC＋CE＝180 cm， ∴EH＝AE·sin∠EAH＝180×0.3＝54(cm). ∴AH2＝AE2－EH2＝1802－542＝29484. ∴伞能遮阳的面积为29484π cm2. 返回 综合应用题 10.操作与探究：如图①，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么，CD与BC的投影呢？ 【解】根据题意得，AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD. 创新拓展题 20 (2)探究：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD·AB, 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理； 创新拓展题 21 (3)结论运用：如图②，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF. 创新拓展题 22 ①试利用射影定理证明△BOF∽△BED； 创新拓展题 23 ②若DE＝2CE，求OF的长． 返回 创新拓展题 24 5．[2024·大同一模]如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝a cm，∠ABB1＝110°，则投影A1B1的长为(　　) A．a·cos 20° cm B．a·sin 20° cm C．a·cos 110° cm D． cm 6．[2024·周口期末]如图，将一块含30°角的三角板AMC的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若AM＝10，MN＝3，则AM在直线n上的正投影DN的长是______． 3＋4 【点拨】由题意得AC＝AM＝5， CM＝AM·cos30°＝10×＝5，AD⊥DN，MN⊥DN， ∴CN＝＝＝4. ∴cos∠CMN＝＝＝. ∵∠ACD＋∠MCN＝90°，∠MCN＋∠CMN＝90°， ∴∠ACD＝∠CMN.∴cos∠ACD＝＝. ∴＝，解得CD＝3.∴DN＝CD＋CN＝3＋4. ∴AM在直线n上的正投影DN的长是3＋4. 【解】如图，过点C作CG⊥AB于点G. ∵BC＝AC＝90 cm，AB＝54 cm， ∴AG＝GB＝AB＝27 cm，∠ACG＝∠ACB. ∵sin∠ACG＝＝＝＝0.3， ∴∠ACG≈17.5°.∴∠ACB＝2∠ACG≈35°. 【证明】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°. ∴∠ACD＝∠B.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC. ∴＝.∴AC2＝AD·AB. 【证明】∵四边形ABCD是正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD＝90°.∴BC2＝BO·BD. ∵在Rt△BCE中，CF⊥BE，∠BCE＝90°， ∴BC2＝BF·BE.∴BO·BD＝BF·BE，即＝. 又∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED. 【解】由题意知BC＝CD＝15，∵DE＝2CE， ∴DE＝15×＝10，CE＝5. 在Rt△BCE中，BE＝＝＝5， 在Rt△OBC中，易得OB＝BC＝×15＝. ∵△BOF∽△BED，∴＝.∴OF＝·ED＝×10＝3. $$ 第25章　投影与视图 25.2　三视图 第1课时 三视图及其画法 返回 1．[2024·吉林]葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是(　　) A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图与俯视图都相同 A 基础题 2 返回 2．[2024·广元]一个几何体如图水平放置，它的俯视图是(　　) C 基础题 3 返回 3. 某机器零件如图所示，在其主视图，左视图和俯视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是______． 俯视图 基础题 4 4．[2024·天津]如图是一个由5个相同的正方体组成的几何体，它的主视图是(　　) 返回 B 基础题 5 返回 5．[2024·常州一模]如图的几何体是由相同大小的小正方体积木组成的．拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变？(　　) A．甲　　　 B．乙　　　 C．丙　　　 D．丁 B 基础题 6 6．下列几何体的三视图有没有错误(不考虑尺寸)？如果有错误，应该怎样改正？ (1) 【解】有错误；正确的三视图如图①所示： 基础题 7 返回 (2) 【解】有错误；正确的三视图如图②所示： 基础题 8 7．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是(　　) C 返回 基础题 9 8．[2024·安徽]某几何体的三视图如图所示，则该几何体为(　　) 返回 D 基础题 10 9．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 综合应用题 11 【点拨】如图，根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1＋1＋1＝3(个)小正方体，第二层只有1个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是3＋1＝4. 【答案】 B 返回 综合应用题 10．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示． 综合应用题 13 (1)画出所有可能的左视图； 【解】如图. 综合应用题 14 (2)求组成这个几何体的小正方体的个数，并写出必要的分析过程． 【解】∵俯视图有5个正方形，∴最底层有5个正方体. 由主视图可知第二层最少有2个正方体，最多有4个正方体，第三层最少有1个正方体，最多有2个正方体， ∴该几何体最少有5＋2＋1＝8(个)正方体，最多有5＋4＋2＝11(个)正方体. ∴组成这个几何体的小正方体的个数为8或9或10或11. 返回 综合应用题 15 11．[2024·长沙期末]如图，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′内装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)． 探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直 三棱柱，其三视图及 尺寸如图②. 综合应用题 16 CQ∥BE 3 37 综合应用题 17 (3)在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图③或图④是其正面示意图，若液面与棱C′C或CB交于点P，点Q始终在棱BB′上，设PC＝x dm，BQ＝y dm，分别就图③和图④求y与x的函数关系式，并写出相应 的α的范围． 综合应用题 18 返回 综合应用题 19 返回 综合应用题 解决问题： (1)CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是______ dm，α≈_____°.(注：sin 49°＝cos 41°≈，tan 37°≈) (2)求液体的体积； 【解】V液＝×3×4×4＝24(dm3). 【解】当容器向左旋转时，易知0°≤α≤37°， ∵液体体积不变，∴(x＋y)×4×4＝24.∴y＝－x＋3. 当容器向右旋转至液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，∵BB′＝AB＝4 dm，且液体体积不变， ∴PB×4×4＝24.∴PB＝3 dm. ∴tan∠PB′B＝＝.∴∠PB′B≈37°. 易得α＝∠B′PB≈90°－37°＝53°. ∴当容器向右旋转时，37°＜α≤53°. ∵液体体积不变，∴×y×(4－x)×4＝24.∴y＝ . 综上所述，题图③中y与x的函数关系式为y＝－x＋3，相应的α的范围是0°≤α≤37°，题图④中y与x的函数关系式为y＝，相应的α的范围是37°＜α≤53°. $$ 第25章　投影与视图 25.2　三视图 第2课时 棱柱与三视图 返回 1．如图，是一个五棱柱，下列关于其叙述正确的是(　　) A．有4条侧棱　　 B．有5个面 C．有10条棱 D．有10个顶点 D 基础题 2 返回 2. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，一个正四棱柱可以平分为两个“堑堵”．一个“堑堵”中，有________个面，________条侧棱． 5 3 基础题 3 返回 3．把如图所示的三棱柱展开，所得到的展开图是(　　) B 基础题 4 4. 如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少． 基础题 5 【解】长方体侧面展开图是长方形，长为2×(2＋4)＝12(cm)，宽为5 cm，如图，   由勾股定理得蚂蚁爬行的最短路径PQ长为13 cm. 返回 基础题 6 返回 5．某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是(　　) A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 D 基础题 7 6．如图所示是一个正方体包装盒的表面展开图，在表面展开图上填入适当的数，使得这个表面展开图折成正方体后，相对面上的两数之积相等，则填在A面的数是______． 6 基础题 8 【点拨】∵A面与－1所在的面相对， －2所在的面与3所在的面相对， ∴填在A面的数是(－2×3)÷(－1)＝6. 故答案为6. 返回 基础题 7．有四个同学甲、乙、丙、丁画了同一个几何体的展开图如下： 综合应用题 10 (1)有一个同学画错了，你认为是________； (2)这个几何体是什么图形？它的体积是多少？ 丙 返回 【解】由展开图可知，该几何体是长方体； 它的体积是5×3×2＝30(m3). 综合应用题 11 8．某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按1∶1的比例画出准确的三视图(如图②)．已知在△EFG中，EF＝4 cm，∠EFG＝45°，FG＝12 cm，又知AD＝8 cm.求： 综合应用题 12 (1)AB的长； 综合应用题 13 (2)这个直三棱柱的体积． 返回 综合应用题 14 9. 在空间内任意选定一点O，以点O为端点作三条互相垂直的射线Ox，Oy，Oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为Ox水平向前，Oy水平向右，Oz竖直向上，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为S1，S2，S3， 创新拓展题 15 且S1<S2<S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图①所示． 创新拓展题 16 规定将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图②是由若干个单位长方体在空间直角坐标系内码放的一个几何体，这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作 (1，2，6)， 创新拓展题 17 如图③的几何体码放了1排3列4层，用有序数组记作 (1，3，4)．这样我们就可以用每一个有序数组(x，y，z)表示一种几何体的码放方式． 创新拓展题 18 (1)图④是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为(________，________，________)，组成这个几何体的单位长方体的个数为________； 2 3 2 12 创新拓展题 19 9．[2024·武汉]如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3－3x2＋3x－1的图象，发现它关于点(1，0)中心对称．若点A1(0.1，y1)，A2(0.2，y2)，A3(0.3，y3)，…，A19(1.9，y19)，A20(2，y20)都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1＋y2＋y3＋…＋y19＋y20的值是(　　) A．－1 B．－0.729 　 C．0 D．1 创新拓展题 20 (2)为了进一步探究有序数组(x，y，z)所表示的几何体的表面积公式S(x，y，z)，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格： 创新拓展题 21 有序数组 单位长方体的个数 表面上面积为S1的个数 表面上面积为S2的个数 表面上面积为S3的个数 表面积 (1，1，1) 1 2 2 2 2S1＋2S2＋2S3 (1，2，1) 2 4 2 4 4S1＋2S2＋4S3 (3，1，1) 3 2 6 6 2S1＋6S2＋6S3 (2，1，2) 4 4 8 4 4S1＋8S2＋4S3 (1，5，1) 5 10 2 10 10S1＋2S2＋10S3 (1，2，3) 6 12 6 4 12S1＋6S2＋4S3 (1，1，7) 7 14 14 2 14S1＋14S2＋2S3 (2，2，2) 8 8 8 8 8S1＋8S2＋8S3 … … … … … … 创新拓展题 根据以上规律，请直接写出有序数组(x，y，z)所表示的几何体表面积S(x，y，z)的计算公式为____________________________．(用x，y，z，S1，S2，S3表示) S(x，y，z)＝2(yzS1＋xzS2＋xyS3) 创新拓展题 23 返回 【点拨】根据题意可知，从几何体的前面和后面看：面积为S1的长方形共有2yz个；从几何体的左面和右面看：面积为S2的长方形共有2xz个；从几何体的上面和下面看：面积为S3的长方形共有2xy个， ∴S(x，y，z)＝2yzS1＋2xzS2＋2xyS3＝2(yzS1＋xzS2＋xyS3). 创新拓展题 24 【解】过点E作EH⊥FG于点H. 在Rt△EHF中，EF＝4 cm，∠EFH＝45°， ∴EH＝EF·sin45°＝4×＝2(cm). 由题图②可知AB＝EH＝2 cm. 【解】直三棱柱的体积＝S△EFG·AD＝ ×12×2×8＝96(cm3). $$