精品解析：江苏省徐州市第七中学2025届高三上学期开学考试（9月）数学试题

徐州七学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数对应的点在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7 若单位向量满足，向量满足，则（ ）. A. B. C. D. 8. 若的图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.如果有3个正确选项，选对1个得2分，选对2个得4分，如果有2个正确选项，选对1个得3分. 9. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 10. 已知函数图像的一条对称轴是，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 函数图像的一个对称中心为 D. 若函数在上单调递减，则 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极小值点 C. 存在，使得为曲线的对称轴 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程在上的解为，则的值为______ 13. 已知函数，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是________． 14. 记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则_____，若，则m的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求值； （3）求的值． 17. 定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数取值范围． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 19. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州七学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到，求出交集. 【详解】，或， 故. 故选：A 2. 复数对应的点在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，因此，复数对应的点在复平面内的第二象限. 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由， 可得或， 即或， 所以由“”推不出“”，由“”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数的对称性排除A，再根据对应的函数值符号排除BC即可求解. 【详解】， ，定义域关于原点对称， ， 是奇函数，排除A； 当时，，排除C； 当时，中，故，排除B. 故选：D 5. 已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶函数定义的抽象式，采用赋值法求解，再构造满足条件的函数，判断错误选项. 【详解】由为偶函数，得， 由为奇函数，得，即， 则有，于是，即， 因此，函数是周期为4的周期函数， 由，，得，由，，得，B正确； 令，则有， ，即， 定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数， 此时，A错误； ，C错误； ，D错误. 故选：B 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再由同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 则． 故选：B． 7. 若单位向量满足，向量满足，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出，由得到C在以为直径的圆上，表达出，设，利用辅助角公式得到的最值. 【详解】令， 不妨，所以中点坐标为， 因为，所以C在以为直径的圆上，即， 所以， 令， 则 ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 8. 若的图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求“友情对点”，可把的函数图象关于原点对称，即研究对称过去的图象和的图象有两个交点即可. 【详解】关于原点对称的解析式为． 的图象与的交点个数即为方程根的个数，即， 设，于是． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取最小值． 于是作出的图象如图所示： 所以，即时与有两个交点， 原函数有两对“友情对点”．故实数a的取值范围是． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.如果有3个正确选项，选对1个得2分，选对2个得4分，如果有2个正确选项，选对1个得3分. 9. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D. 【详解】由，又斜边，则，则，A正确； 若为中点，则，故，又， 所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误； 由上，则， 又，则，当且仅当等号成立， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、. 10. 已知函数图像的一条对称轴是，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 函数图像的一个对称中心为 D. 若函数在上单调递减，则 【答案】AD 【解析】 【分析】首先利用降幂公式，以及函数的对称性，得到函数的解析式，根据周期公式，判断A，代入判断B，代入，即可判断C，根据函数的定义域，求得到范围，根据函数的单调区间，确定端点的范围，即可求解的范围，即可判断D. 【详解】，则有，，解得，， 因为，所以，所以， 则的最小正周期为，故A正确； ，故B错误； 图像的一个对称中心为，故C错误； ，当时，，若函数在上单调递减，则，解得，故D正确． 故选：AD 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极小值点 C. 存在，使得为曲线的对称轴 D. 存在，使得点为曲线的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；对于B，根据极值和导函数符号的关系进行分析；对于C，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；对于D，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】对于选项A，由题意可知：的定义域为，且， 因为，当时，；时，； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 且，，， 则在上各有一个零点， 所以当时，有三个零点，故A正确； 对于选项B，因为， 若，当时，，当时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所有在处取到极小值，故B正确； 对于选项C：假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 因为等式右边展开式含有项为， 可知等式左右两边的系数不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； 对于选项D：因为， 若存在，使得为的对称中心，则， 且， 可得，则，解得， 所以存在使得是的对称中心，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为； （2）关于对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程在上的解为，则的值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得到关于对称，得到，即可求解. 【详解】令，即对称轴为， 因为，可得， 因为在上的解为，可得关于对称， 所以，则. 故答案为：. 13. 已知函数，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数解析式得，接着由得，再根据已知条件结合函数图象性质得，解该不等式即可得解. 【详解】函数， 因为，，所以， 由于函数在区间上有且仅有2个极值点， 则由函数图象性质可知，解得. 故答案为：. 14. 记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则_____，若，则m的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. 21 【解析】 【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m的范围，即可求得答案. 【详解】当时，表示3个元素的有限集， 由可知或或或， 故； 由题意知， 故由可得，即， 解得或（舍去）， 结合，故m的最小值为21， 故答案为：；21 【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再利用相邻对称轴与对称中心的距离求出周期，再求出参数，然后利用复合函数同增异减方式求出单调递增区间即可； （2）先根据题意求出，然后求其值域即可. 【小问1详解】 因为 ， 又由题，所以， 所以， 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，． 【小问2详解】 由（1），故由题意可得， ∵，∴， 故， 所以，即． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则 【小问2详解】 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 17. 定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：由奇函数性质列方程求解，并检验；方法二：由奇函数的性质得恒等式，进而求解； （2）利用奇函数、减函数的性质结合题意可得在上有解，进一步可得，由此即可得解. 【小问1详解】 方法一：是奇函数，，即，解得， 又由知：，解得． 此时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故． 方法二：是奇函数， ， ， 即恒成立． 或， 当时，的定义域为，舍去， 当时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故满足题意． 【小问2详解】 由（1）知， 则由复合函数单调性可知在上为减函数， 又是奇函数，由得： ， ，即在上有解， 当且仅当，即时等号成立， 在上的最大值为， ，即． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理，有， 即， 又，即有，， ，，所以，，故． 【小问2详解】 设，，由（1）知， 在△ABC中，由余弦定理，可知 ，∴ 又，可知， 在△ABD中，， 即，① 在△ACD中，， 即，② 联立①②解得. 19. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可； （2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可； （3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，记m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可； 法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1） 等价于 h（t）＝（t）lntt，t＞1，记m（x）＝（x）lnxx，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可． 【详解】（1）当时， ，． 设直线与曲线相切于点， 则，即， 解得，即切点为， 因为切点在上，所以，解得． （2）不等式可化． 记， 则对任意恒成立． 考察函数， ，． 当时， ，在上单调递减，又， 所以，不合题意； 当时， ，；， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递增， 所以时， ，符合题意； 若，即时，在上单调递减， 所以当时， ，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． （3）方法一：，，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以， ， 从而 ． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增，又， 不等式可化为，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 方法二：， ，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以，． 设，则， ，所以， ， ， 从而等价于，． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增． 又， ，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$