4.1 数列的概念（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1 数列的概念 题型一 数列的概念及分类 1．（23-24高二下·江西宜春·月考）数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【答案】B 【解析】数列对应点为， 所以图象是直线上孤立的点.故选：B 2．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【答案】BD 【解析】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误； B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，项作为纵坐标画在平面直角坐标系中， 则相应图象为一系列孤立的点，故B正确. C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项， 则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误； D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列， 则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确. 故选：BD 3．（23-24高二下·四川成都·月考）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．数列可以表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为1＋ D．数列可记为 【答案】ABD 【解析】A选项，数列和数列， 前者是有限项，后者是无限项，所以两个数列不一样，A选项错误. B选项，数列与数列的项的顺序不相同， 所以不是相同数列，B选项错误. C选项，，所以数列的第项为1＋，C选项正确. D选项，数列可记为，所以D选项错误.故选：ABD 4．（23-24高二上·陕西西安·月考）（多选）有下面四个结论，不正确的是（    ） A．数列可以看作一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】BCD 【解析】结合数列的定义与函数的概念可知，A正确； 有穷数列的项数就是有限的，B错误； 数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误； 数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．故选BCD． 题型二 由数列的前几项写通项 1．（24-25高二上·山东青岛·月考）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为， 且每项为，故数列的一个通项公式为.故选：D. 2．（23-24高二上·甘肃白银·月考）数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列， 则通项公式为，所以.故选：C. 3．（23-24高二上·河北衡水·期中）数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：不符合题意； 而选项D中的通项公式满足数列，故选：D 4．（23-24高二上·福建宁德·月考）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确； 对于B，当n为奇数时，，当n为偶数时，故B中通项公式不正确； 对于C，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故C中通项公式正确； 对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确. 故选：ACD 题型三 写出或判断数列中的项 1．（23-24高二下·陕西西安·月考）已知数列的通项公式，则等于 . 【答案】288 【解析】由得，， 所以，. 故答案为：288. 2．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在数列中，若，则的值为 ． 【答案】17 【解析】依题意，． 故答案为：17 3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 【答案】A 【解析】令，解得， 即是这个数列的第项.故选：A. 4．（23-24高二下·江西抚州·期中）已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】的前6项依次为， 因为，故的最小值为6．故选：C 题型四 根据递推关系求数列通项 1．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【解析】在数列中，，， 所以.故选：B 2．（23-24高二上·天津·月考）若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【解析】由，得，， ，，， 累加得，， 当时，上式成立，则， 所以.故选：D 3．（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 累乘可得，即，所以， 当时，也成立，所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海闵行·月考）在数列中，若，，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】在数列中，，，因此数列是常数列，则， 所以的通项公式为. 故答案为： 题型五 由数列的前n项和求通项 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【答案】 【解析】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 2．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的前项和，则 ． 【答案】 【解析】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，因此，. 故答案为：. 3．（24-25高二上·甘肃兰州·月考）在数列中，，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中，， 时，有， 时，由，得， 两式相减得，即， 时，也满足. 所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【解析】当时，， 相减可得，所以， 又，所以 故为等差数列，且公差为，首项为2， 故，， 故答案为： 题型六 数列的单调性判断 1．（23-24高二下·吉林·期中）已知数列是递增数列，则其通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于选项A，，是递增数列，A正确； 对于选项B，，，不是递增数列，B不正确； 对于选项C，，，不是递增数列，C不正确； 对于选项D，，不是递增数列，D不正确．故选：A. 2．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且数列是递增数列， 所以，即.故选：C 3．（23-24高二上·江苏南通·月考）（多选）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【解析】数列满足，且是递增数列， 则分段函数为增函数，则， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 则选项中和在内，故选： 4．（23-24高二下·河南驻马店·月考）已知数列的通项公式为． (1)问是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由； (2)判断数列的增减性并证明． 【答案】(1)是，第17项；(2)数列是递增数列，证明见解析 【解析】（1）是这个数列的第17项．理由如下： 由，可解得， 故是数列的项，是第17项． （2）数列是递增数列，证明如下： 由题知， ，即 数列是递增数列． 题型七 求数列的最大（小）项 1．（24-25高二上·上海·月考）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 【答案】2和3 【解析】 在上单调递减，单调递增， 且故该数列的最大项是第二项和第三项. 故答案为：2和3 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.故选：C 3．（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）已知在数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 【答案】BC 【解析】依题意，， 函数的开口向上，对称轴为， 由于，所以当或时，取得最小值.故选：BC 4．（23-24高二下·贵州毕节·月考）（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋2）·，则下列说法正确的是（    ） A．数列{an}的最小项是a1 B．数列{an}的最大项是a4 C．数列{an}的最大项是a5 D．当n≥5时，数列{an}递减 【答案】BCD 【解析】假设第n项为{an}的最大项， 则即 所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5， 故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝， 当n≥5时，数列{an}递减．故选BCD. 题型八 与周期有关的数列问题 1．（24-25高二上·福建莆田·月考）数列满足，且，则 . 【答案】 【解析】因为，所以, 因为,所以 所以,所以, 所以,可得. 故答案为：. 2．（24-25高二上·山东青岛·月考）若数列满足，月，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】，所以， 所以， 所以数列周期为3，由，可得， 所以.故选：D 3．（24-25高二上·福建莆田·月考）若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】数列的前项和为，且满足，且， 可得，， 所以数列是周期为6的数列， 其中，所以.故选：D. 4．（23-24高二上·江苏南通·月考）（多选）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 【答案】BD 【解析】，， ，，，， 则数列是以为周期的周期数列，故正确； 则，故错误； ，故正确； 可得，故错误．故选： 1．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知的前n项和为，，当时，，则的值为（   ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】D 【解析】由题意可知：当时，可得， 因为，则，即， 当时，则， 两式相减可得，即， 可得，，， 所以． 故选：D. 2．（23-24高二上·河南郑州·月考）已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，恒成立， 所以对恒成立，故， 又当时，为单调递增的数列， 故要使对任意，都有， 则，即，解得， 综上可得，故选:C 3．（23-24高二下·江西上饶·期末）数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，两边取倒数可化为， 所以，，， 由累加法可得，， 因为，所以， 所以， 因为数列是递减数列，故， 即， 整理可得，， 因为，，所以，故.故选:D. 4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）（多选）任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），（）．若，记数列的前n项和为，则（    ） A．或16 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，由“冰雹猜想”可得， ①若为偶数，则，所以， 当为偶数时，则，所以，即， 当为奇数时，则，解得（舍去）， ②若为奇数，则，解得， 当为偶数时，则，所以，即， 当为奇数时，则，解得（舍去）， 综上所述，或16，故A正确； 当时，由， 得， 所以数列从第三项起是以为周期的周期数列， 因为， 所以，， 当时，由， ， 所以数列从第三项起是以为周期的周期数列， 因为， 所以，， 综上所述，，或，故B正确，C错误； 对于D，数列从第三项起是以3为周期的周期数列， 所以，故D正确.故选：ABD. 5．（22-23高二下·广东佛山·月考）设数列中，且满足，则 . 【答案】 【解析】由（）得， 时，， 相减得，，∴（）， 又，即，而，∴， 所以时，，即， ∴， 故答案为：． 6．（22-23高二上·贵州黔东南·期中）已知数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得， ①-②得，，， ， 符合此式， ∴. （2）对任意恒成立， 即对任意恒成立，记，故， 所以当时，，，所以，即， 当时，，即随着的增大，递减， 所以的最大值为，所以，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 数列的概念 题型一 数列的概念及分类 1．（23-24高二下·江西宜春·月考）数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 2．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 3．（23-24高二下·四川成都·月考）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．数列可以表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为1＋ D．数列可记为 4．（23-24高二上·陕西西安·月考）（多选）有下面四个结论，不正确的是（    ） A．数列可以看作一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 题型二 由数列的前几项写通项 1．（24-25高二上·山东青岛·月考）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·甘肃白银·月考）数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北衡水·期中）数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建宁德·月考）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 题型三 写出或判断数列中的项 1．（23-24高二下·陕西西安·月考）已知数列的通项公式，则等于 . 2．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在数列中，若，则的值为 ． 3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 4．（23-24高二下·江西抚州·期中）已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型四 根据递推关系求数列通项 1．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 2．（23-24高二上·天津·月考）若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 3．（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 4．（23-24高二上·上海闵行·月考）在数列中，若，，则的通项公式为 . 题型五 由数列的前n项和求通项 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 2．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的前项和，则 ． 3．（24-25高二上·甘肃兰州·月考）在数列中，，则的通项公式为 . 4．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 题型六 数列的单调性判断 1．（23-24高二下·吉林·期中）已知数列是递增数列，则其通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南通·月考）（多选）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24高二下·河南驻马店·月考）已知数列的通项公式为． (1)问是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由； (2)判断数列的增减性并证明． 题型七 求数列的最大（小）项 1．（24-25高二上·上海·月考）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）已知在数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 4．（23-24高二下·贵州毕节·月考）（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋2）·，则下列说法正确的是（    ） A．数列{an}的最小项是a1 B．数列{an}的最大项是a4 C．数列{an}的最大项是a5 D．当n≥5时，数列{an}递减 题型八 与周期有关的数列问题 1．（24-25高二上·福建莆田·月考）数列满足，且，则 . 2．（24-25高二上·山东青岛·月考）若数列满足，月，则（   ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高二上·福建莆田·月考）若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二上·江苏南通·月考）（多选）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 1．（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知的前n项和为，，当时，，则的值为（   ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 2．（23-24高二上·河南郑州·月考）已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西上饶·期末）数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）（多选）任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），（）．若，记数列的前n项和为，则（    ） A．或16 B． C． D． 5．（22-23高二下·广东佛山·月考）设数列中，且满足，则 . 6．（22-23高二上·贵州黔东南·期中）已知数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$