14.1全等三角形（3个知识点+4个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

14.1 全等三角形 课程标准 学习目标 ①理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角； ②掌握全等三角形的性质。 1.了解全等形的概念，能判断两个图形是不是全等形。 2.理解全等三角形的有关概念，掌握确定对应元素的方法。 3.掌握全等三角形的性质，能够利用全等三角形的性质进行计算和证明。 知识点01 全等的概念 ·全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形 【即学即练1】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 知识点02 全等三角形的有关概念·能够完全重合的两个三角形； ·符号表示:全等符号“≌”，△ABC≌△； ·对应元素：对应顶点、对应角、对应边； 【即学即练2】如图，，其中与是对应边，那么的对应角是（    ）    A． B． C． D． 【即学即练3】如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【即学即练4】如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．    知识点03 全等三角形的性质 （1）对应角相等；（2）对应边相等；（3）对应周长、面积相等；（4）对应角平分线、中线、高线相等。 ， 【即学即练5】下列说法正确的是（    ）         ①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积相等； ③面积相等的三角形全等；④周长相等的三角形全等 A．②③ B．③④ C．①② D．①②③ 【即学即练6】已知图中的两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【即学即练7】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【即学即练8】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. ·全等三角形中的对应关系：根据全等三角形的表示找对应线段和对应角 关键：对应点在全等表示中的位置也对应相等 案例：    中的对应关系： ·线段AB与线段AD对应，线段BC与线段DE对应，线段AC与线段AE对应 ·∠ABC与∠ADE对应，∠BCA与∠DEA对应，∠CAB与∠EAD对应 【题型一：全等三角形的性质与角度等量代换】 例1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1.（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，，，点E在线段上，过点B作，且与交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2.如图所示，，且，求和的度数．    【方法技巧与总结】灵活运用外角的性质、三角形的内角和、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线进行角度等量代换。 【题型二：利用全等三角形的性质求线段长】 例3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，C，E三点在同一直线上，且．若，则 ． 变式3-1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. 变式3-2．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 【题型三：全等三角形的性质与图形综合】 例4．如图，已知，点E在上，与相交于点F．    (1)若，，则线段的长是 ； (2)已知，，求的度数． 【题型四：全等三角形与坐标】 例5．如图，在平面直角坐标系中，已知，则点的坐标是 ．    变式5.（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线与直线交于点E，且 ． (1)求证 (2)若，，求的面积． 一、选择题 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．（16-17八年级上·云南红河·期末）如图，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．全等三角形的面积相等 5．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（20-21八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列关于全等三角形的说法中，正确的有（    ） ①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，于点D，点E在上，且．若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 8．（22-23八年级上·江苏南通·期末）如图，，，，，则 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知，其中，则 ． 10．（16-17八年级下·江西抚州·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．    三、解答题 11．（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，．    (1)求线段的长； (2)求的度数． 12．（21-22八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点E在上，与交于点F． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 13．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．    (1)若，，求； (2)若，求． 14．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动，移动了秒．    (1)求、两点的坐标． (2)当为何值时，，并求此时点的坐标． 15.如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 16.综合与实践 【探索发现】在中. ，，点为直线上一动点（点不与点，重合），过点作交直线于点，将绕点顺时针旋转得到，连接． 如图（1），当点在线段上，且时，试猜想： ①与之间的数量关系：______； ②______． 【拓展探究】 如图（2），当点在线段上，且时，判断与之间的数量关系及的度数，请说明理由． 【解决问题】 如图（3），在中，，，，点在射线上，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1 全等三角形 课程标准 学习目标 ①理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角； ②掌握全等三角形的性质。 1.了解全等形的概念，能判断两个图形是不是全等形。 2.理解全等三角形的有关概念，掌握确定对应元素的方法。 3.掌握全等三角形的性质，能够利用全等三角形的性质进行计算和证明。 知识点01 全等的概念 ·全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形 【即学即练1】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 知识点02 全等三角形的有关概念 ·能够完全重合的两个三角形； ·符号表示:全等符号“≌”，△ABC≌△； ·对应元素：对应顶点、对应角、对应边； 【即学即练2】如图，，其中与是对应边，那么的对应角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵，其中与是对应边， ∴A和D、B和C是对应点， ∴． 故选：D． 【即学即练3】如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与 【分析】根据全等三角形中能够互相重合的边是对应边，能够互相重合的角是对应角，再解答即可． 【详解】解：∵， ∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【点睛】本题考查的是全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边与对应角的含义是解本题的关键． 【即学即练4】如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．    【答案】见解析 【分析】根据对应顶点，写出对应边和对应角即可． 【详解】解：∵，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点， ∴这两个三角形的对应边是：和，和，和； 对应角是：和，和，和． 【点睛】本题考查全等三角形的性质．正确的找出对应边和对应角，是解题的关键． 知识点03 全等三角形的性质 （1）对应角相等；（2）对应边相等；（3）对应周长、面积相等；（4）对应角平分线、中线、高线相等。 ， 【即学即练5】下列说法正确的是（    ）         ①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积相等； ③面积相等的三角形全等；④周长相等的三角形全等 A．②③ B．③④ C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】理清全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确； ②全等三角形的周长相等，面积相等，正确； ③面积相等的三角形形状不一定相同，故错误； ④周长相等的三角形形状不一定相同，故错误． 所以①②正确， 故选：C． 【即学即练6】已知图中的两个三角形全等，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键；根据a与a，c与c是对应边，可知a与c的夹角是对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，a与a，c与c是对应边， a与c的夹角是对应角， ， 故选：D． 【即学即练7】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，由题意得对应角相等，利用三角形内角和定理得，结合即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【即学即练8】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形的性质、内错角相等两直线平行 【分析】（1）根据三角形全等的性质得到，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据三角形全等的性质得到，，根据即可求出最后结果． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键． ·全等三角形中的对应关系：根据全等三角形的表示找对应线段和对应角 关键：对应点在全等表示中的位置也对应相等 案例：    中的对应关系： ·线段AB与线段AD对应，线段BC与线段DE对应，线段AC与线段AE对应 ·∠ABC与∠ADE对应，∠BCA与∠DEA对应，∠CAB与∠EAD对应 【题型一：全等三角形的性质与角度等量代换】 例1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余．根据三角形全等的性质可得，进而可得，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得的度数． 【详解】解：， ， 即， ，， ， 故选：A． 变式1.（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，，，点E在线段上，过点B作，且与交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，邻补角，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，得出 ，根据邻补角即可求解． 【详解】，， ， ， ， ． 故选：D． 例2.（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和等知识．根据得到，根据三角形内角和求出，即可求出，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即． 故选：C 变式2.如图所示，，且，求和的度数．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、几何图形中角度计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．由，可得，根据三角形外角性质可得，可得的度数；根据三角形内角和定理可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ， ∴， 在中，． 【方法技巧与总结】灵活运用外角的性质、三角形的内角和、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线进行角度等量代换。 【题型二：利用全等三角形的性质求线段长】 例3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，C，E三点在同一直线上，且．若，则 ． 【答案】4 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，，再利用线段的和差关系，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 变式3-1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形的性质、内错角相等两直线平行 【分析】（1）根据三角形全等的性质得到，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据三角形全等的性质得到，，根据即可求出最后结果． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键． 变式3-2．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）解：∵， ∴，， ∴与的周长和为 ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 【题型三：全等三角形的性质与图形综合】 例4．如图，已知，点E在上，与相交于点F．    (1)若，，则线段的长是 ； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【题型四：全等三角形与坐标】 例5．如图，在平面直角坐标系中，已知，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据点A的坐标推出，结合全等三角形对应边相等，即可解答 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式5.（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线与直线交于点E，且 ． (1)求证 (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、全等三角形的性质、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】（1）利用全等三角形的性质，得到，再根据对顶角相等，得到，进而得到，即可证明结论； （2）利用直线：，求出A、B两点坐标，得到，，再利用全等三角形的性质，得到，，进而得到C、D 两点坐标，从而求出直线：，联立方程组，求出点E坐标，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：，， 直线：， 令，得；令，得，解得， ，， ，， ， ，， ，， ，解得：， 直线：， 联立方程组，解得：， 点E的坐标为， 的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一次函数与坐标轴交点，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点与二元一次方程组的解等知识，熟练掌握一次函数性质和全等三角形的性质是解题关键． 一、选择题 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度不大．根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形性质推出，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（16-17八年级上·云南红河·期末）如图，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键． 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．全等三角形的面积相等 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、两直线平行同旁内角互补、两点确定一条直线、判断命题真假 【分析】本题主要考查真假命题，利用对顶角的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及确定直线的条件即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两点确定一条直线， 该命题是真命题，故本选项不符合题意； B、对顶角相等，该命题是真命题，故本选项不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，故本选项符合题意； D、全等三角形的面积相等，该命题是真命题，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵， ， 在中，，， ． 故选：D 6．（20-21八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列关于全等三角形的说法中，正确的有（    ） ①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等三角形的概念、性质定理和判定定理判断即可． 【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，故①正确； ②全等三角形的对应边相等、对应角相等，故②正确； ③面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故③错误； ④全等三角形的周长相等、面积相等，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的概念和判定定理是解题的关键． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，于点D，点E在上，且．若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】构造二元一次方程组求解、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，二元一次方程组的应用．由全等三角形的性质求得，，根据题意得到方程组，解之即可求解． 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∵，， ∴①，②， 得， 解得，即， 故选：A． 二、填空题 8．（22-23八年级上·江苏南通·期末）如图，，，，，则 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】此题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质等知识，根据三角形内角和定理得到，由全等三角形的性质得到，作差即可求出. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知，其中，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，理解性质“全等三角形对应边相等．”是解题关键． 【详解】解：， ， 故答案：． 10．（16-17八年级下·江西抚州·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．    【答案】48 【知识点】全等三角形的性质、利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键． 根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ， ， ， 故答案为48 三、解答题 11．（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，．    (1)求线段的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，，再利用三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：，，， ，， ， . 【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 12．（21-22八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点E在上，与交于点F． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理． （1）利用全等的性质即可求出，然后根据线段的和差即可求出． （2）利用全等的性质求出，然后根据三角形的内角和定理即可求出，然后利用角的和差即可求出． 【详解】（1）（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴. 13．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．    (1)若，，求； (2)若，求． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】全等三角形的性质、利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等和对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，则，由平角的定义及等量代换即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ； （2）∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 14．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动，移动了秒．    (1)求、两点的坐标． (2)当为何值时，，并求此时点的坐标． 【答案】(1)，； (2)当时，，此时的坐标是；或时，，此时的坐标是． 【知识点】全等三角形的性质、坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； （2）若，则，分情况求出t值，并得到M点坐标． 【详解】（1）解：，当时，． 当时，，解得． 所以，； （2）解：因为，所以． 当时，，所以， 当时，．所以， 即当时，，此时的坐标是；或时，，此时的坐标是． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键． 15.如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【答案】(1) (2) (3)3或3.5 【分析】（1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出最后再运用三角形内角和即可求解； （2）根据得出再由三角形内角和即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解； 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）∵， ， ． （3）当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：为3或3.5． 【点睛】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 16.综合与实践 【探索发现】在中. ，，点为直线上一动点（点不与点，重合），过点作交直线于点，将绕点顺时针旋转得到，连接． 如图（1），当点在线段上，且时，试猜想： ①与之间的数量关系：______； ②______． 【拓展探究】 如图（2），当点在线段上，且时，判断与之间的数量关系及的度数，请说明理由． 【解决问题】 如图（3），在中，，，，点在射线上，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2），．理由见解析；（3）的长为1或2． 【分析】（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解决问题； （2）结论：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解决问题； （3）分当点D在线段BC上和当点D在BC的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解． 【详解】解： （1）如图1中，设AB交DE于O． ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ABC=45°， ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C=90°， ∴∠DFB=∠DBF=45°， ∴DF=DB， ∵∠ADE=∠FDB=90°， ∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴AF=BE，∠DAF=∠E， ∵∠AOD=∠EOB， ∴∠ABE=∠ADO=90° 故答案为AF=BE，90°． （2），. 理由：∵， ∴，. ∵， ∴.∴. ∴ ∵，，， ∴. 又∵， ∴. ∴，. ∴，， ∴. （3）1或2. 解：当点在线段上时，过点作交直线于点，如图（1）. ∵，∴. ∵，∴. ∵，∴，. ∵，， ∴. ∵，∴.∴.∴. 又，∴，. 当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点，如图（2）. ∵， ∴. ∴. ∴. 同理可得. 综上可得，的长为1或2. 【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$