3.1.2函数的表示法（3知识点+10题型）-2024-2025学年上学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.1.2 函数的表示法 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的表示法 1.函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2.三种表示方法的区别与联系 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 3.描点法作函数图象 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； (2)描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 知识点2 函数解析式的求法 1.待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）． (1)设元：设已知函数的一般解析式； (2)列式：根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； (3)消元化简：解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2.换元法：主要用于解决已知复合函数的解析式，求函数的解析式的问题． (1)设元：先令，注意分析的取值范围； (2)换元：反解出x，即用含的代数式表示x； (3)代入消元：将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4.方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 知识点3 分段函数 1.分段函数的相关概念 (1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数． (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 2.理解 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题． 3.分段函数的图象及应用 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 思路方法总结 一、函数解析式的求法 1、直接代入法：已知的解析式，求的解析式时常用此法．用替换解析式中的所有自变量法．例如，求的解析式时，由． 2、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 3、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 4、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 5、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 6、特殊值法：所给函数方程含有两个变量时,可对这两个变量交替使用特殊值代入,或使这两个变量相等再代入,最后利用已知条件求出未知的函数.至于取什么特殊值,根据题目特征而定. 二、分段函数常见问题的解题方法 （1）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一个区间段，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内往外以此求值． （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数的定义域区间的各段上，然后求出相应的自变量的值，切记要代入验证． （3）在分段函数的前提下，求某条件下的自变量的取值范围：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． 典例·举一反三 题型一 解析法表示函数 例1．在中，，周长为，将的面积表示成的函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 跟踪训练 1．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 3．矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（   ） A．（） B．（） C． （） D．（） 题型二 列表法表示函数 例2．对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 2．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 1 2 3 5 4 2 3．已知函数分别由下表给出 4 5 6 2 3 2 则 ， ． 题型三 图像法表示函数 例3．某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（    ） A．  B．   C．   D．   跟踪训练 1．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B．C． D． 2．向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 3．（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 题型四 已知函数类型求解析式 例4．（1）已知是二次函数，且满足，求的表达式； （2）已知，求的表达式. 跟踪训练 1．已知是一次函数，且，求的解析式 ． 2．已知为二次函数且，，则 ． 3．已知一次函数满足，，求. 题型五 换元法和方程组法求函数解析式 例5．（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求函数的解析式； 跟踪训练 1．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 2．（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 3．（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 题型六 分段函数的求值 例6．设函数，则（ ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．函数被称为狄利克雷函数，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 3．已知函数，则的值为 . 题型七 分段函数的参数问题 例7．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．已知，若，则 . 3．已知函数，若，则a的值是 ． 题型八 分段函数解不等式 例8．已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 跟踪训练 1．已知函数，若，则的取值范围是 ． 2．设函数，则 ；若，则的取值范围是 3．设函数，则不等式的解集为 . 题型九 分段函数的值域 例9．求函数的值域． 跟踪训练 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则狄利克雷函数的值域为 ． 3．已知表示不超过的最大整数，则函数的值域为 ；的值域为 . 题型十 函数的图像 例10．函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   跟踪训练 1．已知，若的解集为，则函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   2．函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   3．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 函数的表示法 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的表示法 1.函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2.三种表示方法的区别与联系 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 3.描点法作函数图象 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； (2)描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 知识点2 函数解析式的求法 1.待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）． (1)设元：设已知函数的一般解析式； (2)列式：根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； (3)消元化简：解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2.换元法：主要用于解决已知复合函数的解析式，求函数的解析式的问题． (1)设元：先令，注意分析的取值范围； (2)换元：反解出x，即用含的代数式表示x； (3)代入消元：将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4.方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 知识点3 分段函数 1.分段函数的相关概念 (1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数． (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 2.理解 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题． 3.分段函数的图象及应用 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 思路方法总结 一、函数解析式的求法 1、直接代入法：已知的解析式，求的解析式时常用此法．用替换解析式中的所有自变量法．例如，求的解析式时，由． 2、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 3、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 4、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 5、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 6、特殊值法：所给函数方程含有两个变量时,可对这两个变量交替使用特殊值代入,或使这两个变量相等再代入,最后利用已知条件求出未知的函数.至于取什么特殊值,根据题目特征而定. 二、分段函数常见问题的解题方法 （1）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一个区间段，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内往外以此求值． （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数的定义域区间的各段上，然后求出相应的自变量的值，切记要代入验证． （3）在分段函数的前提下，求某条件下的自变量的取值范围：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． 典例·举一反三 题型一 解析法表示函数 例1．在中，，周长为，将的面积表示成的函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意表示出三角形的高，直接用面积公式求解即可. 【详解】由题知是等腰三角形，， 又解得． 故选：D 跟踪训练 1．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出等腰三角形的周长的关系式，改写成关于的函数，根据三角形的三边关系求出自变量的范围 【详解】由得：， 又由， 可得， ∴， 又， ∴， 故选：B. 2．如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ． 故选：A. 3．矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（   ） A．（） B．（） C． （） D．（） 【答案】ABD 【分析】根据已知条件逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为， 所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确， 对于B，由选项A，可知（），所以B正确， 对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，， 因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误， 对于D，由选项C可知，，所以， 因为，所以（），所以D正确， 故选：ABD 题型二 列表法表示函数 例2．对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格先求，再求的值. 【详解】由表格可得，， 所以. 故选：C. 跟踪训练 1．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】按函数的定义结合图表计算即可 【详解】根据题意，可得，则， 故选：A. 2．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，从而得到的值. 【详解】由表格可得，故. 故选：B 3．已知函数分别由下表给出 4 5 6 2 3 2 1 2 3 5 4 2 则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】根据表格给出的函数值计算即可. 【详解】因为：，，所以； 又，，所以. 故答案为：2；2 题型三 图像法表示函数 例3．某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据一开始离自己家的距离最小，排除部分选项，再根据跑和走离家的距离增加的快慢判断. 【详解】首先一开始离自己家的距离最小，则AB错误； 开始是走，所以在较短的时间内离家的距离增加的较慢， 而后是跑，所以离学校的距离增加的较快， 故C错误，D正确. 故选：D. 跟踪训练 1．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可. 【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误； 对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确； 对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误； 对D，该函数的值域不是为，故D错误. 故选：B. 2．向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据容器形状，结合自变量为水的高度可得解. 【详解】在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长. 故选：A. 3．（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 【答案】AC 【分析】由丙图可知0点到3点每小时进水量为 2 ,据此可以判断A;3点到4点,水量减少了 1 ,据此可以判断B、C;4点到6点水量保持不变,据此可以判断D. 【详解】由题意可知在 0 点到 3 点这段时间,每小时进水量为 2 , 即 2 个进水口同时进水且不出水, 所以A正确; 从丙图可知 3 点到 4 点水量减少了 1 , 所以应该是有一个进水口进水, 同时出水口也出水, 故 B错,C对; 当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变,故D错. 故选：AC. 题型四 已知函数类型求解析式 例4．（1）已知是二次函数，且满足，求的表达式； （2）已知，求的表达式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出二次函数代入，对应系数相等即可. （2）把的右边配成的表达式，然后整体换成即可. 【详解】（1）令， 因为，所以，则． 由题意可知： 即，可得，解得， 所以； （2）因为，所以． 跟踪训练 1．已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【答案】或 【分析】设，得到，对照系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 2．已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 3．已知一次函数满足，，求. 【答案】 【分析】利用待定系数法即可得解. 【详解】依题意，设， 由条件得，解得， 故. 题型五 换元法和方程组法求函数解析式 例5．（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求函数的解析式； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】（1）利用换元法求解即可；（2）利用待定系数法求解即可；（3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以， 所以. （2）因为是二次函数，所以设. 由，得. 由，得， 整理得， 所以，所以，所以. （3）因为，① 所以，② ②①，得，所以. 跟踪训练 1．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式. （2）令，用换元法求解析式. （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】（1）设，则， 于是，解得或， 所以或. （2）令，则，于是， 所以. （3）由，得， 由消去解得：， 所以. 2．（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以，所以． （2）因为是二次函数，所以设.由，得． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （3）用替换中的x，得， 由，解得. 3．（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用换元法或配凑法求解即可； （2）利用待定系数法，令，然后结合已知条件化简列方程组可求出，从而可求出； （3）将已知等式中的用替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出. 【详解】（1）方法一  （换元法）： 令，则，， 所以， 所以的解析式为． 方法二  （配凑法）： ． 因为， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）， 令，得， 于是得到关于与的方程组， 解得． 题型六 分段函数的求值 例6．设函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式直接代入求值即可得答案. 【详解】易知， 所以，即可得. 故选：A 跟踪训练 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：D. 2．函数被称为狄利克雷函数，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】 利用定义结合分段函数性质计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：C 3．已知函数，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用的解析式，依次计算与即可得解. 【详解】因为， 所以, 则. 故答案为：. 题型七 分段函数的参数问题 例7．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析在各段区间上的值域，再根据条件由外而内依次求得，从而得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，； 当时，； 令，则由，得， 由上述分析可得且，解得，即， 所以且，解得. 故选：D. 跟踪训练 1．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故选：C 2．已知，若，则 . 【答案】或 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 3．已知函数，若，则a的值是 ． 【答案】或4 【分析】利用分类讨论，分和两种情况，分别表示出，求解即可． 【详解】因为函数， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，a的值是或4． 故答案为：或4. 题型八 分段函数解不等式 例8．已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可. 【详解】令，解得， 当时，，，即，且，解得； 当时，，，即，且，解得， 当时，， ，而为正实数，则此种情况无解， 所以正实数的取值范围为或. 故选：A 跟踪训练 1．已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照分段函数解析式，分和两种情况分别代入解析式解不等式即可得解. 【详解】当时，， 所以； 当时，， 解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 2．设函数，则 ；若，则的取值范围是 【答案】 【分析】将代入相应段解析式求解即可得；对于求，按的值分和两种情况求解即可. 【详解】由题， 若，则或， 解得或， 若，则的取值范围是. 故答案为：； 3．设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案. 【详解】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 题型九 分段函数的值域 例9．求函数的值域． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据图象求值域即可. 【详解】当时，，图象为以为对称轴的抛物线； 当时，，图象为以为对称轴的抛物线； 作出函数的图象如图所示， 因为，，（取不到）， 所以函数的最小值为，无最大值， 结合图象知：函数的值域为. 跟踪训练 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域； 【详解】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.    故选：D 2．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则狄利克雷函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由所给定义求出函数的值域. 【详解】因为，所以的值域为. 故答案为： 3．已知表示不超过的最大整数，则函数的值域为 ；的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数的含义及自变量的范围，分类讨论求解的值域；由函数在的取值先得出函数的表达式，然后分析的值域. 【详解】因为函数, 所以函数在上的值域为. 函数. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：；. 题型十 函数的图像 例10．函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解. 【详解】因为，所以当时，，故排除ABC， 又的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，则D正确. 故选：D. 跟踪训练 1．已知，若的解集为，则函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据已知函数的解集，再结合函数关于y轴对称得出图象. 【详解】由的解集为， 可知函数的大致图象为选项D中的图象， 又函数与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项. 故选:C． 2．函数的图象可能是（    ） A．    B．   C． D．   【答案】C 【分析】根据的定义域即可判断. 【详解】由于，得，所以的定义域是， 由此排除ABD选项，所以正确的选项为C. 故选：C. 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域，以及指定范围内函数值正负排除部分选项后，即可选出正确选项. 【详解】由函数定义域相关知识可知分母不为零，则，即， 即的定义域为，可排除A； 当时，，可排除CD． 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$