【每周一卷】2024-2025学年苏科版八年级数学第八周周测卷

第八周周测卷（期中复习卷） 测试范围：1.1—3.3 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2 3．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF 4．下列语句： ①若两个图形全等，则这两个图形一定关于某直线对称； ②全等三角形的周长相等； ③面积相等的三角形是全等三角形； ④若成轴对称的两个图形中的对称线段所在直线相交，则这个交点一定在对称轴上．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 6．如图，四边形AFDC是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且E，A，B三点共线，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 7．如图是由相同的小正方形组成的网格，点A、B、C均在格点上，连接AB，AC．则∠1+∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．现有以下结论：①△DEF是等腰三角形；②当∠A＝40°时，∠DEF＝70°；③△ADF也是等腰三角形；④当∠B＝α，∠EDF．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如果一个数在镜子里看到的是“”，则这个数字是　 　． 10．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16cm和12cm，则等腰三角形的底边长为　 　． 11．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，则斜边上的高为　 　． 12．如图，在△ABC中，AC＝4cm，BC＝2cm，线段AB的垂直平分线ED交AC于点D，则△BCD的周长为 　 　cm． 13．用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”，若AB＝15，AF＝12，则小正方形EFGH的面积为 　 　 14．如图，射线OE是∠AOB的平分线，C是射线OE上一点，CF⊥OA于点F．若D是射线OB上一点，且OD＝CF＝4，则△ODC的面积是 　 　． 15．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线DE折叠．使点A落在BC边上F处，若∠B＝65°，则∠BDF＝　 　°． 16．如图，已知：在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF，只要找出∠　 　＝∠　 　或　 　∥　 　，就可证得△ABC≌△DEF． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB，连接DB．若AC＝6，BC＝3，则CD的长为 　 　． 18．在△ABC中，∠A＝50°，点O为△ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当△OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为 　 　度． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD． 20．（8分）如图：在正方形网格上有一个△ABC． （1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1； （2）△ABC的形状是 　 　三角形； （3）若在MN上存在一点Q，使得QA+QC最小，请在图中画出点Q的位置； （4）若网格上最小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 21．（8分）如图，A，B两村坐落在两条相交公路CD，CE旁，现计划在锐角∠DCE内新建一所学校P，学校P的位置必须满足下列条件： ①到两公路CD，CE的距离相等； ②到A，B两村的距离也相等． 请确定该学校P的位置（要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出画法）． 22．（8分）在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A． （1）如图1，若BC＝BD，求证：CD＝DE； （2）如图2，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD＝BD，EH＝3，求CE﹣BE的值． 23．（8分）如图，在长方形ABCD中，将长方形沿EF折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积． 24．（8分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB． 求证：CA+AD＝BC． 小明为解决上面的问题作了如下思考：作△ADC关于直线CD的对称图形△A′DC， ∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上，且CA′＝CA，A′D＝AD．因此，要证的问题转化为只要证A′D＝A′B．请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程． （2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题： 如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9，求AB的长． 25．（8分）在△ABC中，∠ABC﹣∠ACB＝90°，点D在BC上，连接AD，∠ADB＝45°． （1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD； （2）如图2，点E为BC的中点，过点E作AD的垂线分别交AD的延长线，AB的延长线，AC于点F，G，H，求证：BG＝CH； （3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作EM⊥AG于点M，EN⊥AC于点N，若AB+AC＝26，S△AFG＝30，求EM+EN的值． 26．（10分）【阅读材料】 如图1，点B，C分别在∠EAF的两条边上，若∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P，则CP平分∠ECB． 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边△ABC中，点M在边BC的延长线上，∠ACB＝∠NCM，点D在射线CN上（点D不与点C重合），AE平分∠CAD交射线CM于点E． （1）求证：CN∥AB； （2）当点D在射线CN上移动时， ①现给出关于∠ADC与∠AEC的数量关系的两个结论： （i）∠ADC﹣∠AEC的值不变； （ii）的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出这个不变的值； ②连结DE，试求∠AED的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八周周测卷（期中复习卷） 测试范围：1.1—3.3 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2 【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【解答】解：A、∵42+52≠72， ∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵32+42＝52， ∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵22+32≠42， ∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵12+22≠22， ∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 3．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF 【分析】根据全等三角形的判定判断即可． 【解答】解：A、条件AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D不符合SAS，故A错误； B、条件∠A＝∠D，∠C＝∠F，∠B＝∠E不符合AAS或ASA，故B错误； C、条件AC＝DF，AB＝DE不符合SAS或SSS，故C错误； D、条件∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF符合AAS的判定方法，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．下列语句： ①若两个图形全等，则这两个图形一定关于某直线对称； ②全等三角形的周长相等； ③面积相等的三角形是全等三角形； ④若成轴对称的两个图形中的对称线段所在直线相交，则这个交点一定在对称轴上．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据全等三角形的性质和轴对称的性质进行判断． 【解答】解：①两个图形全等，这两个图形不一定关于某直线对称，原说法不正确； ②全等三角形的周长相等，原说法正确； ③面积相等的三角形不一定是全等三角形，原说法不正确； ④若成轴对称的两个图形中的对称线段所在直线相交，则这个交点一定在对称轴上，原说法正确． 综上所述，正确的说法有2个． 故选：B． 【点评】本题考查轴对称图形，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，根据全等三角形的性质和轴对称的性质进行判断． 5．如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据全等三角形的对应角相等得到∠DBE＝∠ABC，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°， ∴∠DBE＝∠ABC＝80°， ∵∠D＝65°， ∴∠C＝180°﹣∠DBE﹣∠D＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 6．如图，四边形AFDC是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且E，A，B三点共线，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】证△ACE和△FAB全等得CE＝AB＝4，由此可求出阴影阴影部分的面积． 【解答】解：∵四边形ACDF为正方形， ∴AC＝AF，∠CAF＝90°， ∴∠CAE+∠FAB＝90°， ∵∠CEA和∠ABF都是直角， ∴∠CEA＝∠ABF＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠ACE＝∠FAB， 在△ACE和△FAB中， ， ∴△ACE≌△FAB（AAS）， ∴CE＝AB＝4， ∴S阴影AB•CE4×4＝8． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，准确识图，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 7．如图是由相同的小正方形组成的网格，点A、B、C均在格点上，连接AB，AC．则∠1+∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 【分析】得到△AEC≌△BDA，利用全等三角形的对应角相等得到答案即可． 【解答】解：根据题意得：△AEC≌△BDA， ∴∠1＝∠BAD， ∵∠BAD+∠2＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 故选：B． 【点评】本题考查了全等图形的知识，解题的关键是根据题意得到全等的三角形，难度不大． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．现有以下结论：①△DEF是等腰三角形；②当∠A＝40°时，∠DEF＝70°；③△ADF也是等腰三角形；④当∠B＝α，∠EDF．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】通过全等三角形的判定定理SAS证得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的对应边相等”推知DE＝EF，可判断①；由等腰△ABC的性质求得∠B＝∠C（180°﹣40°）＝70°，所以根据三角形内角和定理推知∠BDE+∠DEB＝110°，再结合△DBE≌△ECF的对应角相等：∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠DEB＝110°，易求∠DEF＝70°，可判断②；由△BDE≌△CEF得∠BDE＝∠CEF，由∠BDE+∠B＝∠CEF+∠DEF得∠B＝∠DEF，由∠B＝α得∠DEF＝α，再由DE＝EF即可得∠EDF，可判断④；举反例：当∠B＝60°，∠BDE＝20°时，可算出ADF＝100°，∠AFD＝20°，由此可判断③． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD+EC＝AB，AD+BD＝AB， ∴BD＝EC， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴DEF是等腰三角形，故①正确； ∵∠A＝40°，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝70°， ∴∠BDE+∠DEB＝110°， ∵△DBE≌△ECF， ∴∠FEC＝∠BDE， ∴∠FEC+∠DEB＝110°， ∴∠DEF＝70°，故②正确； ∵△BDE≌△CEF， ∴∠BDE＝∠CEF， ∵∠BDE+∠B＝∠CEF+∠DEF， ∴∠B＝∠DEF， ∵∠B＝α， ∴∠DEF＝α， ∵DE＝EF， ∴∠EDF（180°﹣α），故④正确； 而至于③，取一个反例足以说明，当∠B＝60°，∠BDE＝20°时， ∴∠DEF＝60°，∠A＝60°， ∵DE＝EF， ∴∠EDF＝60°， ∴∠ADF＝120°﹣20°＝100°， ∴∠AFD＝180°﹣100°﹣60°＝20°， 此时三角形ADF不是等腰三角形，故③错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和，解决本题的关键是证明出△DBE≌△ECF、利用好其性质进行导角． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如果一个数在镜子里看到的是“”，则这个数字是　8051　． 【分析】根据实际数字和镜子中看到的数字关于竖直的直线对称可得实际答案． 【解答】解：由题意可得出：一个数字在镜子里看到的是“”，那么镜子外的这个数字可能是8051． 故答案为：8051． 【点评】此题主要考查了镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；注意2的对称数字是5． 10．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16cm和12cm，则等腰三角形的底边长为　cm或12cm　． 【分析】根据题意，已知所给出的两部分哪一部分含有底边不明确，所以分两种情况讨论，还要用三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：设等腰三角形的腰长是x cm，底边是y cm， 根据题意得或， 解得或， 经检验，均符合三角形的三边关系． 因此三角形的底边是cm或12cm． 故答案为cm或12cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 11．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，则斜边上的高为　　． 【分析】设AC边上的高为h，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：设AC边上的高为h， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，AC＝15， ∴AB•BC＝AC•h， ∴h． 故答案为： 【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 12．如图，在△ABC中，AC＝4cm，BC＝2cm，线段AB的垂直平分线ED交AC于点D，则△BCD的周长为 　6　cm． 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，然后求出△BCD周长＝AC+BC，代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴△BCD周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC， ∵AC＝4cm，BC＝2cm， ∴△BCD周长＝6（cm）． 故答案为：6． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质并准确识图是解题的关键． 13．用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”，若AB＝15，AF＝12，则小正方形EFGH的面积为 　9　 【分析】利用勾股定理求出BF，从而求出小正方形EFGH的边长，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABF中， AF2+BF2＝AB2， ∵AB＝15，AF＝12， ∴BF＝9， ∵四个直角三角形全等， ∴BG＝AF＝12， ∴FG＝BG﹣BF＝3， ∴S▱EFGH＝FG2＝32＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用勾股定理求出BF的长． 14．如图，射线OE是∠AOB的平分线，C是射线OE上一点，CF⊥OA于点F．若D是射线OB上一点，且OD＝CF＝4，则△ODC的面积是 　8　． 【分析】过点C作PC⊥OB于点P，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作PC⊥OB于点P， ∵射线OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，OD＝CF＝4， ∴PC＝FC＝4， ∴△ODC的面积是． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 15．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线DE折叠．使点A落在BC边上F处，若∠B＝65°，则∠BDF＝　50　°． 【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来， ∴AD＝DF， ∵D是AB边的中点， ∴AD＝BD， ∴BD＝DF， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠B＝65°， ∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°． 故答案为：50． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 16．如图，已知：在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF，只要找出∠　B　＝∠　DEF　或　AB　∥　DE　，就可证得△ABC≌△DEF． 【分析】已知两对边相等，则可以添加两边的夹角相等或添加另外一对边相等，从而分别利用SAS，SSS来判定其全等． 【解答】解：①∠B＝∠DEF，则可利用SAS判定两三角形全等； ②利用AB∥DF，可利用SAS判定两三角形全等． 故答案为：B，DEF；AB，DE． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB，连接DB．若AC＝6，BC＝3，则CD的长为 　　． 【分析】由线段垂直平分垂线的性质推出BD＝AD，得到BD+CD＝AC＝6，设CD＝x，由勾股定理得到（6﹣x）2＝x2+32，求出x，即可得到CD的长． 【解答】解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴BD＝AD， ∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝6， 设CD＝x， ∴BD＝6﹣x， ∵BD2＝CD2+BC2， ∴（6﹣x）2＝x2+32， ∴x， ∴CD． 故答案为：． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是由勾股定理得到（6﹣x）2＝x2+32． 18．在△ABC中，∠A＝50°，点O为△ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当△OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为 　80　度． 【分析】作点O关于AC的对称点O'，作点O关于AB的对称点O''，连结O'O''，根据轴对称——最短路线问题，当O'，P，Q，O''共线时，△OPQ的周长最小，作出相应的图形，再结合三角形内角和180°、三角形一个外角等于不相邻两个内角和定理等知识解题即可． 【解答】解：作点O关于AC的对称点O'，作点O关于AB的对称点O''，连结O'O''， ∵AC⊥OO'，AB⊥OO''，OM＝O'M，ON＝O''N， ∴O'P＝OP，O''Q＝OQ， 当O'，P，Q，O''四点共线时， △OPQ的周长最小， 即OP+OQ+PQ＝O'P+O''Q+PQ＝O'O''， 此时∠POQ＝180°﹣∠OPQA﹣∠OQP＝180°﹣2∠O'﹣2∠O''， ∵∠A＝50°∴∠APQ+∠AQP＝180°﹣50°＝130°， ∴∠O'PM+∠O''QN＝130°， ∴90°﹣∠O'+90°﹣∠O''＝130°， ∴∠O'+∠O''＝50°， ∴∠POQ＝180°﹣2（∠O'+∠O''）＝180°﹣2×50°＝80°． 故答案为：80． 【点评】本题考查轴对称解最短路线问题，其中涉及三角形内角和180°，三角形外角性质等知识，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD． 【分析】连接AC，先利用SSS证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC＝∠FAC，再利用AAS证明△ACB≌△ACD即可得结论． 【解答】证明：如图，连接AC， 在△ACE和△ACF中， ， ∴△ACE≌△ACF（SSS）， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴CB＝CD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 20．（8分）如图：在正方形网格上有一个△ABC． （1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1； （2）△ABC的形状是 　等腰直角　三角形； （3）若在MN上存在一点Q，使得QA+QC最小，请在图中画出点Q的位置； （4）若网格上最小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用勾股定理的逆定理判断即可； （3）连接AC1交直线MN于点Q，连接CQ，点Q即为所求； （4）利用三角形的面积公式求解． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）∵AC2，BC2，AB2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴△ACB是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角； （3）如图，点Q即为所求； （4）△ABC的面积5． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21．（8分）如图，A，B两村坐落在两条相交公路CD，CE旁，现计划在锐角∠DCE内新建一所学校P，学校P的位置必须满足下列条件： ①到两公路CD，CE的距离相等； ②到A，B两村的距离也相等． 请确定该学校P的位置（要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出画法）． 【分析】∠DEC的平分线与AB的垂直平分线的交点，即是所求的P点． 【解答】解：如图，作∠DEC的平分线、AB的垂直平分线，两线的交点为P， 学校P的位置即为所求． 证明：∵点P在∠DEC的平分线上， ∴点P到∠DEC的两边CD，CE的距离相等，即到两公路CD，CE的距离相等， ∵点P在AB的垂直平分线上， ∴点P到点A，B的距离相等，即到A，B两村的距离也相等， ∴点P满足要求． 【点评】本题主要考查角平分线的性质定理，角平分线的尺规作图的作法，垂直平分线的性质以及其尺规作图的作法等知识，掌握角平分线的性质定理是解答本题的关键． 22．（8分）在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A． （1）如图1，若BC＝BD，求证：CD＝DE； （2）如图2，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD＝BD，EH＝3，求CE﹣BE的值． 【分析】（1）先根据条件得出∠ACD＝∠BDE，BD＝AC，再根据ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD＝DE； （2）先根据条件得出∠DCB＝∠CDE，进而得到CE＝DE，再在DE上取点F，使得FD＝BE，进而判定△CDF≌△DBE（SAS），得出CF＝DE＝CE，再根据CH⊥EF，运用三线合一即可得到FH＝HE，最后得出CE﹣BE＝DE﹣DF＝EF＝2HE，可得结论． 【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠CDE＝∠A， ∴∠A＝∠B＝∠CDE， ∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDE+∠BDE ∴∠ACD＝∠BDE， 又∵BC＝BD， ∴BD＝AC， 在△ADC和△BED中， ， ∴△ADC≌△BED（ASA）， ∴CD＝DE； （2）解：∵CD＝BD， ∴∠B＝∠DCB， 由（1）知：∠CDE＝∠B， ∴∠DCB＝∠CDE， ∴CE＝DE， 如图，在DE上取点F，使得FD＝BE， 在△CDF和△DBE中， ， ∴△CDF≌△DBE（SAS）， ∴CF＝DE＝CE， 又∵CH⊥EF， ∴FH＝HE， ∴CE﹣BE＝DE﹣DF＝EF＝2HE＝2×3＝6． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰三角形． 23．（8分）如图，在长方形ABCD中，将长方形沿EF折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积． 【分析】（1）解法一：根据矩形的性质得到AD∥BC，进而得到∠AFE＝∠CEF，根据折叠的性质得∠CEF＝∠AEF，以此得的∠AFE＝∠AEF，最后根据等角对等边即可证明； 解法二：根据矩形的性质和折叠的性质可得AB＝CD＝AG，∠B＝∠D＝∠G，由同角的余角相等得∠BAE＝∠GAF，以此可通过ASA证明△ABE≌△AGF，以此即可证明； （2）设BE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理列出方程，求得BE的长，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：解法一：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF， 根据折叠可知，∠CEF＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE； 解法二：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB，∠C＝∠D＝∠B＝∠BAD＝90°， 根据折叠可知，∠C＝∠EAG＝90°，∠D＝∠G＝90°，CD＝AG， ∴∠B＝∠G＝90°，AB＝AG， ∵∠BAE+∠EAF＝90°，∠GAF+∠EAF＝90°， ∴∠BAE＝∠GAF， 在△ABE和△AGF中， ， ∴△ABE≌△AGF（ASA）， ∴AE＝AF； （2）解：根据折叠可知，CE＝AE， 设BE＝x，则CE＝AE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴BE＝3， ∴6． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 24．（8分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB． 求证：CA+AD＝BC． 小明为解决上面的问题作了如下思考：作△ADC关于直线CD的对称图形△A′DC， ∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上，且CA′＝CA，A′D＝AD．因此，要证的问题转化为只要证A′D＝A′B．请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程． （2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题： 如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD＝10，AC＝17，AD＝9，求AB的长． 【分析】（1）作△ADC关于CD的对称图形△A′DC，再证明AD＝BA′即可； （2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△A′DC．过点C作CE⊥AB于点E，则D′E＝BE．设D′E＝BE＝x．在Rt△CEB中，CE2＝CB2﹣BE2＝102﹣x2，在Rt△CEA中，CE2＝AC2﹣AE2＝172﹣（9+x）2．由此构建方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：作△ADC关于CD的对称图形△A′DC， ∴A′D＝AD，C A′＝CA，∠CA′D＝∠A＝60°， ∵CD平分∠ACB， ∴A′点落在CB上 ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝30°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝45° 在△ACD中，∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠A CD＝75° ∴∠A′DC＝∠ADC＝75°， ∴∠A′DB＝180°﹣∠ADC﹣∠A′DC＝30°， ∴∠A′DB＝∠B，∴A′D＝A′B， ∴CA+AD＝CA′+A′D＝C A′+A′B＝CB． （2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△A′DC． ∴D′A＝DA＝9，D′C＝DC＝10， ∵AC平分∠BAD，∴D′点落在AB上， ∵BC＝10，∴D′C＝BC， 过点C作CE⊥AB于点E，则D′E＝BE． 设D′E＝BE＝x． 在Rt△CEB中，CE2＝CB2﹣BE2＝102﹣x2， 在Rt△CEA中，CE2＝AC2﹣AE2＝172﹣（9+x）2． ∴102﹣x2＝172﹣（9+x）2， 解得：x＝6， ∴AB＝AD′+D′E+EB＝9+6+6＝21． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、轴对称、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 25．（8分）在△ABC中，∠ABC﹣∠ACB＝90°，点D在BC上，连接AD，∠ADB＝45°． （1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD； （2）如图2，点E为BC的中点，过点E作AD的垂线分别交AD的延长线，AB的延长线，AC于点F，G，H，求证：BG＝CH； （3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作EM⊥AG于点M，EN⊥AC于点N，若AB+AC＝26，S△AFG＝30，求EM+EN的值． 【分析】（1）设∠ACB＝α，则∠ABC＝α+90°，∠CAD＝45°﹣α，由三角形内角和定理得∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，推出∠BAC＝90°﹣2α，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝45°﹣α，得出∠BAD＝∠CAD，即可得出结论； （2）过点B作BT⊥GH于T，过点C作CR⊥CH交GH的延长线于R，由等腰三角形三线合一性质得出∠G＝∠AHG＝∠CHR，由AAS证得△BET≌△CER，得BT＝CR，由AAS证得△BGT≌△CHR，即可得出结论； （3）连接AE，由等腰三角形三线合一性质得出AG＝AH，GF＝FH，则S△AFG＝S△AFH＝10，推出S△AGH＝2S△AFG＝20，由AB+AC＝10，得（AG﹣BG）+（AH+CH）＝10，求出AG＝AH＝5，则S△AGH＝S△AEG+S△AEHAG•EMAH•EN＝20，即可得出结果． 【解答】（1）证明：设∠ACB＝α， 则∠ABC＝∠ACB+90°＝α+90°，∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝45°﹣α， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（α+90°）﹣α＝90°﹣2α， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣2α﹣（45°﹣α）＝45°﹣α， ∴∠BAD＝∠CAD； （2）证明：过点B作BT⊥GH于T，过点C作CR⊥CH交GH的延长线于R，如图2： ∵点E为BC的中点， ∴BE＝CE， ∵EF⊥AD，AD平分∠BAC， ∴∠G＝∠AHG＝∠CHR， 在△BET和△CER中， ， ∴△BET≌△CER（AAS）， ∴BT＝CR， 在△BGT和△CHR中， ， ∴△BGT≌△CHR（AAS）， ∴BG＝CH； （3）解：连接AE，如图3： ∵EF⊥AD，AD平分∠BAC， ∴AG＝AH，GF＝FH， ∴S△AFG＝S△AFH＝30， ∴S△AGH＝2S△AFG＝60， ∵AB+AC＝26， ∴（AG﹣BG）+（AH+CH）＝26， ∵BG＝CH， ∴AG＝AH＝13， ∴S△AGH＝S△AEG+S△AEHAG•EMAH•EN13×EM13×EN＝60， ∴EM+EN． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线定义、三角形面积的计算等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（10分）【阅读材料】 如图1，点B，C分别在∠EAF的两条边上，若∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P，则CP平分∠ECB． 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边△ABC中，点M在边BC的延长线上，∠ACB＝∠NCM，点D在射线CN上（点D不与点C重合），AE平分∠CAD交射线CM于点E． （1）求证：CN∥AB； （2）当点D在射线CN上移动时， ①现给出关于∠ADC与∠AEC的数量关系的两个结论： （i）∠ADC﹣∠AEC的值不变； （ii）的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出这个不变的值； ②连结DE，试求∠AED的大小． 【分析】【阅读材料】过点P作直线AB，BC，AC的垂线，垂足分别为Q，R，T，根据角平分线性质得PT＝PQ，PR＝PQ，则PT＝PR，由此可得出结论； 【数学思考】（1）根据等边三角形性质得∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，再根据∠ACB＝∠NCM得∠B＝∠NCM＝60°，由此可得出结论； （2）①根据AE平分∠CAD得∠CAE＝∠DAE∠DAC，∠DAC＝2∠DAE，则∠AEC＝∠ACB﹣∠CAE＝60°﹣∠DAE，根据CN∥AB得∠ACD＝∠BAC＝60°，则∠ADC＝180°﹣（∠ACD+∠DAC）＝120°﹣2∠DAE，进而可得的值； ②分别延长AD，AC到点H，G，先证明CM平分∠NCG，再由AE平分∠CAD，根据阅读材料的结论得DE平分∠CDH，再根据CN∥AB得∠EDH∠CDH∠BAH＝30°+∠DAE，然后由∠EDH＝∠DAE+∠AED可得出∠AED的大小． 【解答】【阅读材料】证明：过点P作直线AB，BC，AC的垂线，垂足分别为Q，R，T，如图1所示： ∵∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P， ∴PT＝PQ，PR＝PQ， ∴PT＝PR， ∴点P在∠ECB的平分线上， ∴CP平分∠ECB； 【数学思考】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠NCM， ∴∠B＝∠NCM＝60°， ∴CN∥AB； （2）①解：结论（ii）正确，2；理由如下： ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE＝∠DAE∠DAC，∠DAC＝2∠DAE， ∵∠ACB＝∠CAE+∠AEC， ∴∠AEC＝∠ACB﹣∠CAE＝60°﹣∠DAE， ∵CN∥AB， ∴∠ACD＝∠BAC＝60°， ∵∠ACD+∠DAC+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣（∠ACD+∠DAC）＝180°﹣（60°+2∠DAE）＝120°﹣2∠DAE， ∴2； ②解：分别延长AD，AC到点H，G，如图2所示： ∵∠ACB＝∠NCM，∠ACB＝∠MCG， ∴∠NCM＝∠MCG， ∴CM平分∠NCG， ∵AE平分∠CAD， 由阅读材料的结论得：DE平分∠CDH， ∴∠EDH∠CDH， ∵CN∥AB， ∴∠CDH＝∠BAH＝∠BAC+∠CAD＝60°+2∠DAE， ∴∠EDH∠CDH＝30°+∠DAE， ∵∠EDH＝∠DAE+∠AED， ∴∠AED＝∠EDH﹣∠DAE＝30°+∠DAE﹣∠DAE＝30°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理和外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$