26.2.1.二次函数y=ax²的图象与性质 课时作业 2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册

二　二次函数y=ax2的图象与性质 【A层 基础夯实】 知识点1　二次函数y=ax2的图象 1.(2024·苏州质检)在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2,y=x2和y=-x2的图象,则它们的共同特征是( ) A.关于y轴对称的抛物线,且开口向上 B.关于y轴对称的抛物线,且开口向下 C.关于y轴对称的抛物线,且在x轴上方 D.关于y轴对称的抛物线,且顶点都在原点 2.下列图象中,当ab>0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是( ) 3.(2024·黄冈质检)若抛物线y=(m+1)的开口向上,则m的值为 .  4.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象. 知识点2　二次函数y=ax2的性质 5.下列关于抛物线y=2x2和抛物线y=-2x2的说法中,不正确的是( ) A.对称轴都是y轴 B.在y轴左侧的部分都是上升的 C.开口方向相反 D.顶点都是原点 6.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(2,-5),则a= .  7. (2024·厦门期中)如图,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 .  8.(2024·杭州期中)已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(1,-2). (1)求a的值,并写出这个二次函数的表达式. (2)判断该二次函数的图象是否经过点(-1,2),并说明理由. 【B层 能力进阶】 9.(2024·潮州期末)已知A,B是抛物线y=-x2上关于对称轴对称的两点,若点A的横坐标是-2,则点B的横坐标为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是: ①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是( ) A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 11.已知点A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)在二次函数y=-2x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1<y3<y2 B.y1<y2<y3 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 12.(2024·南京期中)若直线y=m(m为常数)与函数y=的图象恒有三个不同的交点,则常数m的取值范围是 .  13.已知函数y=(k-2)是关于x的二次函数, (1)求满足条件的k的值; (2)当k为何值时,抛物线有最高点?求出这个最高点.此时,x为何值时,y随x的增大而增大? (3)当k为何值时,函数有最小值?最小值是多少?此时,x为何值时,y随x的增大而减小? 14.正方形的周长为C cm,面积为S cm2. (1)求S与C之间的表达式. (2)画出此函数的图象. (3)求当S=1时,正方形的周长. (4)根据图象,求S≥4时,C的取值范围. 【C层 创新挑战(选做)】 15.(推理能力、应用意识、运算能力)已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,2) (1)求出这个函数的表达式; (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标,并求出△AOB的面积; (3)在抛物线上是否存在点C,使得△AOB的面积等于△ABC面积的2倍?如果存在,求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二　二次函数y=ax2的图象与性质 【A层 基础夯实】 知识点1　二次函数y=ax2的图象 1.(2024·苏州质检)在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2,y=x2和y=-x2的图象,则它们的共同特征是(D) A.关于y轴对称的抛物线,且开口向上 B.关于y轴对称的抛物线,且开口向下 C.关于y轴对称的抛物线,且在x轴上方 D.关于y轴对称的抛物线,且顶点都在原点 2.下列图象中,当ab>0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是(D) 3.(2024·黄冈质检)若抛物线y=(m+1)的开口向上,则m的值为　2　.  4.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象. 【解析】两个函数的对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0).y=x2,a=>0,故函数图象开口向上.当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小; y=-x2,a=-<0,故函数图象开口向下.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小. 二次函数的y与x的部分对应值如表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 3 0 3 … y=-x2 … -3 - - 0 - - -3 … 根据表格描点绘图: 知识点2　二次函数y=ax2的性质 5.下列关于抛物线y=2x2和抛物线y=-2x2的说法中,不正确的是(B) A.对称轴都是y轴 B.在y轴左侧的部分都是上升的 C.开口方向相反 D.顶点都是原点 6.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(2,-5),则a=　-　.  7. (2024·厦门期中)如图,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是　2π　.  8.(2024·杭州期中)已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(1,-2). (1)求a的值,并写出这个二次函数的表达式. (2)判断该二次函数的图象是否经过点(-1,2),并说明理由. 【解析】(1)由于二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(1,-2),所以-2=a, 故二次函数的表达式为y=-2x2; (2)二次函数的图象不经过点(-1,2), 理由:由(1)知:y=-2x2; 当x=-1时,y=-2, 所以二次函数的图象不经过点(-1,2). 【B层 能力进阶】 9.(2024·潮州期末)已知A,B是抛物线y=-x2上关于对称轴对称的两点,若点A的横坐标是-2,则点B的横坐标为(A) A.2 B.3 C.4 D.5 10.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是: ①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是(A) A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 11.已知点A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)在二次函数y=-2x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(D) A.y1<y3<y2 B.y1<y2<y3 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 12.(2024·南京期中)若直线y=m(m为常数)与函数y=的图象恒有三个不同的交点,则常数m的取值范围是　0<m<2　.  13.已知函数y=(k-2)是关于x的二次函数, (1)求满足条件的k的值; (2)当k为何值时,抛物线有最高点?求出这个最高点.此时,x为何值时,y随x的增大而增大? (3)当k为何值时,函数有最小值?最小值是多少?此时,x为何值时,y随x的增大而减小? 【解析】(1)∵函数y=(k-2)是关于x的二次函数, ∴k2-4k+5=2,且k-2≠0,解得k1=1,k2=3. (2)∵抛物线有最高点, ∴图象开口向下,即k-2<0,∴k=1,∴最高点为(0,0),当x<0时,y随x的增大而增大. (3)∵函数有最小值, ∴图象开口向上,即k-2>0,∴k=3, ∴最小值为0,当x<0时,y随x的增大而减小. 14.正方形的周长为C cm,面积为S cm2. (1)求S与C之间的表达式. (2)画出此函数的图象. (3)求当S=1时,正方形的周长. (4)根据图象,求S≥4时,C的取值范围. 【解析】(1)S=(C)2,即S=C 2. (2) (3)当S=1时,即C2=1,∴C2=16. 又C >0,∴C=4. (4)当S=4时,即C2=4,∴C2=64. 又C>0,∴C=8. 由图象知,当C>0时,S随C的增大而增大, ∴当C≥8时,S≥4. 【C层 创新挑战(选做)】 15.(推理能力、应用意识、运算能力)已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,2) (1)求出这个函数的表达式; (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标,并求出△AOB的面积; (3)在抛物线上是否存在点C,使得△AOB的面积等于△ABC面积的2倍?如果存在,求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)将点A的坐标代入函数表达式得, a×(-1)2=2,解得a=2, 所以二次函数的表达式为y=2x2. (2)将y=2代入函数表达式得,2x2=2,解得x=±1, 所以点B的坐标为(1,2). 则AB=1-(-1)=2,所以S△AOB=×2×2=2. (3)存在, 因为△AOB的面积等于△ABC面积的2倍,且S△AOB=2, 所以S△ABC=×2=1, 令点C到AB的距离为h, 则×2×h=1,解得h=1. 当点C在AB下方时, yc=2-1=1,则2x2=1,解得x=±. 所以点C的坐标为(,1)或(-,1); 当点C在AB上方时,yc=2+1=3, 则2x2=3,解得x=±, 所以点C的坐标为(,3)或(-,3); 综上所述,点C的坐标为(,1)或(-,1)或(,3)或(-,3). 学科网（北京）股份有限公司 $$