高一上学期期中考试16大压轴考法40题专练（第1～4章）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学上册压轴题攻略（沪教版2020必修第一册）

高一上学期期中考试16大压轴考法40题专练（第1~4章） 一．集合的表示法（共1小题） 1．（2022秋•黄浦区校级期中）对正整数，记，2，3，，，． （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； （3）若集合中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称为“稀疏集”．已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值． 二．元素与集合关系的判断（共11小题） 2．（2021秋•嘉定区校级期中）对于数集，，，，，，其中，，定义点集，，若对于任意，，存在，，使得，则称集合具有性质．则下列命题中为真命题的是 　　． ①，1，具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则． 3．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　　． 4．（2023秋•徐汇区校级期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 5．（2023秋•嘉定区校级期中）设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点为中元素的格点． （1）证明：若，则； （2）中的元素所对应的格点记作，现将中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以，，为顶点的三角形面积； （3）已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围． 6．（2023秋•浦东新区校级期中）对于正整数集合，，，，，如果去掉其中任意一个元素，2，，之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． （1）判断集合，2，3，4，是否为“和谐集”，并说明理由； （2）求证：集合，3，5，7，9，11，是“和谐集”； （3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知，集合，，，，或1，，2，，，对于，，，，，，，，定义与之间的距离为：． （1）对任意的，，请写出可能的值（不必证明）； （2）设，且中有4个元素，记中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； （3）对，，，，，，，，定义：，，，．求证：对任意的，，，有以下结论成立： ①，，； ②、、三个数中至少有一个是偶数． 8．（2022秋•闵行区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 9．（2022秋•宝山区校级期中）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数．已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，． （1）若，2，，，，求集合和； （2）已知为有限集，若，证明：． （3）若，求的值． 10．（2022秋•虹口区校级期中）已知集合，，，中的元素都是正整数，且．若对任意，，且，都有成立，则称集合具有性质． （1）判断集合，2，3，是否具有性质； （2）已知集合具有性质，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由． 11．（2021秋•浦东新区校级期中）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数，已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，． （1）若，1，，，，求集合及其元素个数； （2）若，求的值； （3）已知为有限集，若，证明：． 12．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （1）若集合，，求证：，并直接写出集合； （2）若集合，，，，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 三．子集与真子集（共3小题） 13．（2022秋•浦东新区校级期中）对于集合，定义，，，设，2，3，，． （1）设，4，，，5，，求，； （2）若是的子集且，，，0，1，2，，求满足条件的的个数； （3）设是正整数，若对的任意一个元子集，都有，2，，求的最小值． 14．（2022秋•徐汇区校级期中）（1）已知集合，且，任意从中取出个四元子集，，，，均满足的元素个数不超过2个，求的最大值．（举出一个例子即可，无需证明） （2）已知集合，且，任意从中取出个三元子集，，，，均满足的元素个数不超过一个，求的最大值． 15．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合，2，3，，，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和，是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 四．交集及其运算（共2小题） 16．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合　　． 17．（2022秋•徐汇区校级期中）已知集合，，若，求实数的取值范围． 五．交、并、补集的混合运算（共2小题） 18．（2022秋•徐汇区校级期中）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足： （1），；；（2）；（3）． 计算　　． 19．（2022秋•徐汇区校级期中）已知有限集合，，，，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合．对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，，如此经过次变换后得到的新集合记作． （1）设，请写出的所有可能的结果； （2）设，，，是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由； （3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合． 六．充分条件与必要条件（共1小题） 20．（2022秋•虹口区校级期中）定义且，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 七．等式与不等式的性质（共1小题） 21．（2022秋•黄浦区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既悬点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）． 八．基本不等式及其应用（共2小题） 22．（2023秋•浦东新区校级期中）设，为正实数，若，则的取值范围是 　　． 23．（2023秋•浦东新区校级期中）动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． （1）现有可围长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？ （2）若使每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 九．一元二次不等式及其应用（共1小题） 24．（2023秋•黄浦区校级期中）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是　　． 一十．函数的图象与图象的变换（共1小题） 25．（2023秋•青浦区校级期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为　　 A． B． C． D． 一十一．有理数指数幂及根式（共2小题） 26．（2023秋•普陀区校级期中）已知函数方程的两根为、 （1）求的值． （2）求的值． 27．（2023秋•嘉定区校级期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． 一十二．指数函数的定义域（共1小题） 28．（2023秋•金山区校级期中）给出下列4个结论， ①函数与函数的定义域相同； ②函数为常数）图像可由的图像平移得到； ③函数的图像关于原点成中心对称且的图像关于轴对称； ④若幂函数的图像关于原点成中心对称，则是定义域上的严格增函数，则以上结论中正确结论为 　　．（填序号） 一十三．对数的运算性质（共6小题） 29．（2023秋•普陀区校级期中）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是　　 A． B． C． D． 30．（2023秋•浦东新区校级期中）若，，则的值为 　　． 31．（2023秋•徐汇区校级期中）已知，，则用、表示　　． 32．（2023秋•普陀区校级期中）若，，则　　． 33．（2023秋•浦东新区校级期中）已知，，若．则的取值范围是 　　． 34．（2020秋•杨浦区校级期中）设，，均是正数， （1）若，求的值； （2）若，求的值． 一十四．对数函数的图象（共2小题） 35．（2020秋•宝山区校级期中）已知函数的大致图象如图，其中，为常数，则函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 36．（2023秋•宝山区校级期中）已知两条水平直线和（其，且直线与函数的图象从左至右相交于点、，直线与函数的图象从左至右相交于点、．若记线段和在轴上的投影长度分别为、（投影点重合时长度为． （1）记点、、、的横坐标分别为、、、，求证：； （2）当时，求的值； （3）当，变化时，记，求函数的解析式及其最小值． 一十五．绝对值不等式的解法（共3小题） 37．（2022秋•杨浦区校级期中）对一切实数不等式恒成立，则的取值范围为 　　． 38．（2021秋•上海期中）已知代数式和． （1）若，，求不等式的解集； （2）若，，证明：、中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数、满足的条件． 39．（2023秋•闵行区校级期中）对于两个实数，，规定， （1）证明：关于的不等式解集为； （2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值． 一十六．不等式的证明（共1小题） 40．（2022秋•杨浦区校级期中）已知，且，求证：，中至少有一个小于2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上学期期中考试16大压轴考法40题专练（第1~4章） 一．集合的表示法（共1小题） 1．（2022秋•黄浦区校级期中）对正整数，记，2，3，，，． （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； （3）若集合中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称为“稀疏集”．已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值． 【分析】（1）结合集合的性质，利用列举法求出集合； （2）结合集合的性质，利用分类讨论思想和列举法，求出集合中元素的个数； （3）根据定义，首先证明时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并集，由此求出的最大值． 【解答】解：（1），2，， ． （2）取中每一个值时，中都有7个元素． 当时，中的元素为1，2，3，4，5，6，7，共7个； 当，3，5，6，7时，中的元素为无理数，且互不相同； 当时，中的元素为1，2，3，，其中1，2，3为重复出现元素， 综上，中共有个元素． （3）假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并集， 设，为不相交的稀疏集，使， 设，由题意得，则，即， 同理，，， 又推得，但，与为 稀疏集矛盾， 时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，， 若，则时，不能分成两个稀疏集的并集， 事实上，只要取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则，为稀疏集，且， 当时，集合中除正整数外剩下的数组成集合， 可分成下面两个稀疏集：，， 当时，集合中除正整数外剩下的数组成集合， 可分成下面两个稀疏集：，， 集合，且，4，中的数均为无理数， 它与中的任何其它数之和都不是整数， 则把集合，且，4，中的元素任意分成两个不相交的集合的并集均可， 令稀疏集为与， 令，， 和是不相交的稀疏集，且， 综上，所求的最大值为14． 【点评】本题考查涉及求符合某个条件的集合元素个数问题、集合中元素的互异性、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 二．元素与集合关系的判断（共11小题） 2．（2021秋•嘉定区校级期中）对于数集，，，，，，其中，，定义点集，，若对于任意，，存在，，使得，则称集合具有性质．则下列命题中为真命题的是 　①②③　． ①，1，具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则． 【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解． 【解答】解：因为，1，，所以，，，，，，，，， 根据集合具有性质的定义，对于任意， 若，，则或，，，或，，， 若，取，，则； 若，，，取，，则； 若，，，取，，则； 若，有一个为负数，则或， 若，则取，，则； 若，则取，，则； 故①正确； 对于任意，，存在，，使得 取，，存在，使得，所以， 不妨设，，所以若集合具有性质，则，故②正确； ③假设，令，则存在，使得， 同②得，中必有一个数为， 若，则，于是，矛盾， 若，则，于是，也矛盾， 所以，又由②得，所以，所以，故③正确， 故真命题是①②③正确． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查元素与集合的关系，命题真假的判断，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题． 3．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　1或　． 【分析】时，当时，；当时，；当时，，当时，，从而，解得；当时，当，时，则，．当，，当时，，当时，，即，当时，，当时，，从而，解得．当时，无解． 【解答】解：当时，当，时，则，， 当，时，则，， 即当时，；当时，，即； 当时，，当时，，即， ，解得． 当时，当，时，则，． 当，，则，， 即当时，，当时，，即， 即当时，，当时，，即， ，解得． 当时，同理可得无解． 综上，的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 4．（2023秋•徐汇区校级期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以，，的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以，，，的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合，的元素个数分别为3和4为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【解答】解：（1）非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解， ，，又， 则集合中的元素是以，，的形式，三个数为一组出现， 组和组不相交，且0，， 又，则中所在元素之积的所有可能值为． （2）非空实数集满足：任意，均有，且， ，且，又， 则集合中的元素是以，的形式，四个数为一组出现， 组和组不相交，且，0，， 若由四个元素组成，则，，，，且所有元素之和为3， ，整理得， 解得或， 当或或或时， ，，，， 综上，，，，． （3）由（1）（2）集合，的元素个数分别为3和4为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 和4互素，和中的各组最多只能有一个公共元素， 有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，，，，， 此时从中选出5个元素属于， 则中至少有12个元素，此时中包含个元素， 例如，，，，2，，，，， 选出3，，，，， 则，，，，，，，， 此有5个元素，有12个元素， 若，，，，，， 此时，从中选出5个元素属于，此时包含15个元素， 中包含个元素． 的元素个数的最小值为12． 【点评】本题考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 5．（2023秋•嘉定区校级期中）设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点为中元素的格点． （1）证明：若，则； （2）中的元素所对应的格点记作，现将中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以，，为顶点的三角形面积； （3）已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围． 【分析】（1）根据集合的描述，令判断是否满足集合描述即可证； （2）根据题设定义写出的前6项，进而确定，，坐标，即可求三角形面积； （3）根据题意、一定属于，一定不属于，并求，结合即可求参数范围． 【解答】解：（1）证明：由题设， 则，且，， 所以若，则，得证； （2）如下表取，，1，2，，行为，列为， 0 1 2 3 由表格知：最小的6个数为分别为， 所以， 所以，，，则，以，，为顶点的三角形面积为； （3）同（2），将中元素按下标小到大，从小到大排序， 由题设，又至少有2个元素，即、一定属于，故； 由最多有5个元素，即一定不属于，故； 综上，的取值范围为，． 【点评】本题考查了集合的综合运用，是难题． 6．（2023秋•浦东新区校级期中）对于正整数集合，，，，，如果去掉其中任意一个元素，2，，之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． （1）判断集合，2，3，4，是否为“和谐集”，并说明理由； （2）求证：集合，3，5，7，9，11，是“和谐集”； （3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 【分析】（1）根据定义，判断集合，2，3，4，不是“和谐集”； （2）根据定义进行判断； （3）判定，2，，的奇偶性相同，分类讨论，证明：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 【解答】解：（1）对于集合，2，3，4，，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13， 不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合，2，3，4，不是“和谐集”． （2）证明：设，3，5，7，9，11，， 当去掉元素1时，有； 当去掉元素3时，有； 当去掉元素5时，有； 当去掉元素7时，有； 当去掉元素9时，有； 当去掉元素11时，有； 当去掉元素13时，有． 所以集合，3，5，7，9，11，是“和谐集”． （3）证明：设“和谐集” ，，，所有元素之和为． 由题可知，，2，，均为偶数， 因此，2，，的奇偶性相同． （ⅰ）如果为奇数，则，2，，也均为奇数， 由于，所以为奇数． （ⅱ）如果为偶数，则，2，，均为偶数， 此时设，则，，，也是“和谐集”． 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”． 此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数． 综上所述，集合中元素个数为奇数． 【点评】本题考查新定义的认识与理解能力，考查分类讨论的数学思想，属于难题． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知，集合，，，，或1，，2，，，对于，，，，，，，，定义与之间的距离为：． （1）对任意的，，请写出可能的值（不必证明）； （2）设，且中有4个元素，记中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； （3）对，，，，，，，，定义：，，，．求证：对任意的，，，有以下结论成立： ①，，； ②、、三个数中至少有一个是偶数． 【分析】（1）（2）由新定义计算； （3）由新定义与反证法证明． 【解答】解：（1）由题意得，，，，，， 则由已知定义可知，可能的值为0，1，2共3个值； （2）设，，，，4个元素中第1个位置共个1，个0，下面对的可能取值进行分类讨论如下： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若要使最大，则，同理得第2，3，4个位置各有2个1，2个0， 所以的最大值为； （3）①由题意得，，，，，2，，， 若，则，，， 若，则，，， 故，，， ②由①可设，，，，，，，，， 则中有个1，中有个1， 设是使得成立的的个数， 则， 假设，，均为奇数，则为偶数，矛盾，故假设不成立， 故、、三个数中至少有一个是偶数，即证． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合的关系，考查了逻辑推理的能力，属于难题． 8．（2022秋•闵行区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标； （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法可判断出点是否是点的“下位点”； （3）借助（2）的结论，证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值． 【解答】解：（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和． （2）点，是点的“下位点”． 证明：点是点的“上位点”， ， ，，，均大于0，，， ，， 点是点的“下位点”． （3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 证明：点是点的“上位点”， ， ，，，均大于0，，， ， 即，点是点的“上位点”， 同理得， 即，点是点的“下位点”， 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”， 根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对，时恒成立， 根据上述的结论知，当，时，满足条件，故． 【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 9．（2022秋•宝山区校级期中）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数．已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，． （1）若，2，，，，求集合和； （2）已知为有限集，若，证明：． （3）若，求的值． 【分析】（1）根据给定的定义，求出集合及其元素个数作答． （2）分中至少含有一个不在中的元素，两种情况分别推理作答； （3）根据给定条件，确定集合，中元素个数即可计算作答． 【解答】解：（1）集合，，，而，2，，，， ，1，2，3，，． （2）证明：依题意，，，， ， 当且仅当时，取等号， 若中至少含有一个不在中的元素，则有， 当时，则有， 为有限集，且， 令的最小元素为，此时集合中最小的元素为，集合中最小的元素， 集合中最小的元素为，， ，有， ． （3），集合，，， 若或，则，不合题意， 或， 当集合，中有存在3元素的集合时，令，令，，，， 若，，， 则有， 若，则，满足，此时． 若，则，此时，不合题意， 的值为3或4． 【点评】本题考查元素与集合的关系、集合新定义、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 10．（2022秋•虹口区校级期中）已知集合，，，中的元素都是正整数，且．若对任意，，且，都有成立，则称集合具有性质． （1）判断集合，2，3，是否具有性质； （2）已知集合具有性质，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由． 【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解； （2）由所给性质变形可得，利用累加相消法即可得解； （3）利用所给性质先放缩法确定确定，再同理可得，假设可推出矛盾，当时，利用基本不等式证明成立，即可得出的最大值． 【解答】解：（1）集合，2，3，具有性质． （2）证明：由题意，， 又， 所以， 可得：，，2，3，，， 所以，2，3，，． 即． （3）由（2）知，，可得， 因此，同理，可得，． 又，可得，所以，，2，3，，也均成立． 当时，取，则，可知． 又当时，，所以． 因此集合中元素个数的最大值为9． 【点评】本题考查根据，利用放缩法变为，先取，判断出，再分，时，与25的大小，属于较难题． 11．（2021秋•浦东新区校级期中）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数，已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，． （1）若，1，，，，求集合及其元素个数； （2）若，求的值； （3）已知为有限集，若，证明：． 【分析】由已知可得，， （1）由题意求出集合，进而可得元素个数； （2）由，分，两个集合一个有3个元素，一个有1个元素和，两个集合一个有2个元素，一个有2个元素两种情况，求解即可； （3）分中含有一个不在中的元素，和，且两种情况分别证明即可得结论． 【解答】解：，， （1）因为，1，，，，，，， 所以，2，0，1，3，，所以； （2）因为，所以，两个集合一个有3个元素，一个有1个元素，即， 或，两个集合一个有2个元素，一个有2个元素，即， 综上所述，的值为3或4； （3）证明：显然，若中含有一个不在中的元素，则， 即； 若，且，则， 因为为有限集，，设中最小的元素为， 此时中最小的元素，中最小的元素， 所以中最小的元素，所以， 所以，即． 综上，． 【点评】本题主要考查集合新定义的理解与应用，考查元素与集合的关系，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题． 12．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （1）若集合，，求证：，并直接写出集合； （2）若集合，，，，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合、即可； （2）根据相等集合的概念即可得到结果； （3）设，，，满足题意，其中，从而可得，，，即可得，从而可得，再判断，675，，时满足题意即可． 【解答】解：（1）根据题意，，， ，4，，，， 故，，； （2）证明：是集合中的最小元素，，， ，，，，， 故，即， 故，，，， 故，故， 故； （3）设，，，满足题意，其中， 则， 故， 而， 故， ，， 中最小元素为0，最大元素为， ， 故， 故， 且当，675，，时， ，，，，，，1，2，3，，， ，， 故的最大值为1348． 【点评】本题考查了集合中元素互异性的应用，考查了集合中新定义的学习应用，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题． 三．子集与真子集（共3小题） 13．（2022秋•浦东新区校级期中）对于集合，定义，，，设，2，3，，． （1）设，4，，，5，，求，； （2）若是的子集且，，，0，1，2，，求满足条件的的个数； （3）设是正整数，若对的任意一个元子集，都有，2，，求的最小值． 【分析】第一问直接用列举法可得，第二，三问统一列表格，即可直观求出结果． 【解答】解：（1）由，4，，则如下表①，，5，，则如下表②，行表示，列表示， 3 4 6 3 0 1 3 4 0 2 6 0 ① 3 5 6 3 0 2 3 5 0 1 6 0 ② 则，，，0，1，2，，，，，0，1，2，； （2）由，2，3，，，则如下表：行表示，列表示，空白处为其它元素， 1 2 3 4 5 6 15 16 17 18 19 20 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 3 0 1 2 3 4 0 1 2 5 0 1 6 0 7 8 9 10 11 12 3 13 2 3 14 1 2 3 15 0 1 2 3 16 0 1 2 3 17 0 1 2 3 18 0 1 2 19 0 1 20 0 要使是的子集且，，，0，1，2，，即在任选几个元素，它们在上表中所得的元素恰好为，，，0，1，2，3， 由上表知：最多只可取连续的4个元素，如：，2，3，、，3，4，等，否则会出现除，，，0，1，2，3之外的元素， 所以，取连续的4个元素时，集合共有17种： 以，4，5，为例，由（1）知：，4，、，5，有，，，0，1，2，，而，4，、，5，不符合要求， 所以4个连续元素中有两个3元子集符合要求，故取连续的4个元素中3个元素所得集合有种： 集合不可能小于3个元素，若小于3个元素，则的元素个数小于等于3个且必含元素0，不合要求； 综上，满足条件的的个数共有51个； （3）由（2）分析知：对的任意一个元子集都有，2，，可得中至少包括连续4项，由于奇数和偶数均为10个，则， 不能成立，，2，3，7，8，9，13，14，15，19，，最小值一定大于等于12，可利用反证法证明最小是12 所以的最小值为12． 【点评】本题考查子集定义、新定义，考察缜密的逻辑思维能力，属于难题． 14．（2022秋•徐汇区校级期中）（1）已知集合，且，任意从中取出个四元子集，，，，均满足的元素个数不超过2个，求的最大值．（举出一个例子即可，无需证明） （2）已知集合，且，任意从中取出个三元子集，，，，均满足的元素个数不超过一个，求的最大值． 【分析】（1）列举所有的四元子集，根据的元素个数不超过2个即可求解； （2）列举所有的三元子集，根据的元素个数不超过1个，可得满足要求，当时得到元素个数之和超过21矛盾，即可求解． 【解答】解：（1）由题意知：，2，3，4，5，，四元子集的个数一共有15个，如下： ，2，3，，，2，3，，，2，3，，，2，4，，，2，4，，，2，5，，，3，4，，，3，4，，，3，5，，，4，5，，，3，4，，，3，4，，，3，5，，，4，5，，，4，5，， 要使任意的元素个数不超过2个，则最大为2， 比如：，2，3，，，2，5，； （2）由题意知：，2，3，4，5，6，，三元子集的个数一共有35个，如下： ，2，，，2，，，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，4，，，5，，，5，，，6，，，3，，，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，4，，，4，，，4，，，4，，，5，，，5，，，5，，，6，，，5，，，6，，，5，，，5，，，6，，，6，， 对，则与中其他元素共构成6个含的二元数对，而在每个含的三元子集中，佮好含的有2个这种数对， 由题意可知：两个不同的三元子集中所含的相应数对不同，所以至多属于三元集组，中的3个，即至多出现在3个三元集中， 由于的元素个数不超过一个，故在含的三元数对中，， 由的任意性，不妨取，包含1的三元集合不妨取，2，，，4，，，6，满足，，，2，， 去掉1，剩下6个元素为，3，4，5，6，，分为3组：，，，，，， 若选，这组中的2，则，中可选一个数字4或5，则满足至多一个元素的三元集合还有 ，4，，，5，，，4，，，5，，故，2，，，4，，，6，， ，4，，，5，，，4，，，5，， 故可取7． 由于，所以至多属于三元集组，中的3个，即至多出现在3个三元集中，中一共有7个元素，则这7个元素总共出现的次数至多为， 当时，每个三元集中的元素出现3次，那么所有的三元集中的元素出现次数为，则，这与总次数21矛盾，故， 故的最大值为7． 【点评】本题考查了集合间的关系，属于难题． 15．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合，2，3，，，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和，是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 【分析】（1）当时，，2，3，4，5，6，7，8，9，，，由题中所给新定义直接判断即可； （2）当时，，2，3，，2019，，， ①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证 即可说明集合具有性质； ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有1个不超过1010，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010，然后利用性质的定义进行分析即可求得，即，解此不等式得． 【解答】解：（1）当时，集合，2，，，，11，12，，19，不具有性质， 因为对任意不大于10的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得么成立， 集合，具有性质， 因为可取，．对于该集合中任一元素， ，，，，都有， （2）当时，集合，2，3，，2019，，， ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质． 首先因为，任取，其中． 因为，所以，2，3，，． 从而，即，所以． 由具有性质，可知存在不大于1010的正整数， 使得对中的任意一对元素、，都有． 对于上述正整数，从集合中任取一对元素，，其中，，则有． 所以，集合具有性质； ②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，那么集合一定具有性质． 任给，，则与中必有一个不超过1010． 所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010． 不妨设中有个元素、、、不超过1010． 由集合具有性质，可知存在正整数． 使得对中任意两个元素、，都有． 所以一定有、、，． 又，故、、、． 即集合中至少有个元素不在子集中， 因此，所以，得． 当，2，，672，673，，，2019，时，取，则易知对集合中的任意两个元素，，都有，即集合具有性质． 而此时集合中有1346个元素，因此，集合元素个数的最大值为1346． 【点评】本题考查元素与集合的关系，考查学生的综合分析能力，属于难题． 四．交集及其运算（共2小题） 16．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合　，，，4，，，2，3，　． 【分析】由，设的元素乘积为，的元素和为，从而可知集合最多有4个元素；以集合中元素的个数为标准分类讨论，再结合的元素乘积等于的元素和讨论元素的值即可． 【解答】解：， 设的元素乘积为，的元素和为， ①若集合中只有一个元素， ，，故不可能成立； ②若集合中有两个元素， ， 集合中的元素中，较小的元素不小于4，不大于6， 若集合中的元素有4， 设另一个元素为，则， 在集合内无解， 若集合中的元素有5， 设另一个元素为，则， 在集合内无解， 若集合中的元素有6， 设另一个元素为，则， 则， 故集合，； ③若集合中有三个元素， ， 集合中的元素中，最小的元素不大于2， 若集合中较小的元素是1，4， 设最大的元素为，则， ， 若集合中较小的元素是1，5， 设最大的元素为，则， 在集合内无解， 若集合中较小的元素是1，6， 设最大的元素为，则， 在集合内无解， 若集合中较小的元素是2，3， 设最大的元素为，则， 在集合内无解， 故，4，； ③若集合中有4个元素， ， 集合中一定有元素1， ， 集合中一定有元素1，2， 若集合中较小的元素是1，2，3， 设最大的元素为，则， ， 若集合中较小的元素是1，2，4， 设最大的元素为，则， 在集合内无解， 故，2，3，； 集合中不可能有5个及以上元素； 综上所述，满足条件的集合有 ，，，4，，，2，3，． 【点评】本题考查了集合的性质的应用及分类讨论的思想应用，属于难题． 17．（2022秋•徐汇区校级期中）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【分析】由题意，可先化简集合，再由，可对按两类，是空集与不是空集求解实数的取值范围 【解答】解：（1）若，即时满足条件； （2）若，设，则函数的零点都在，内 则有（1），即， （2），即， △，即或， 此时，， 综上可得． 【点评】本题考点集合关系中的参数取值问题，考查了一元二次不等式的解法，解题的关键是理解，由此得出应分两类求参数，忘记分类是本题容易出错的一个原因，莫忘记讨论空集导致错误． 五．交、并、补集的混合运算（共2小题） 18．（2022秋•徐汇区校级期中）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足： （1），；；（2）；（3）． 计算　或　． 【分析】根据题意得出，计算、和，从而求出． 【解答】解：因为，，， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以； 同理，，所以； 由（1），；；（2）；（3）； 所以； 所以，，； 所以或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是难题． 19．（2022秋•徐汇区校级期中）已知有限集合，，，，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合．对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，，如此经过次变换后得到的新集合记作． （1）设，请写出的所有可能的结果； （2）设，，，是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由； （3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合． 【分析】（1）由题意可知，，0，，分，为，0，，为，和，为0，三种情况，结合集合新定义，可得的所有可能结果． （2）由收敛集合的定义推出仍是收敛集合，分，两种情况，进行变换，可得结果． （3）先根据运算：，满足交换律和结合律，再取和，和，和，和，0和进行运算，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可知，，0，， 若取，为，0，则，所以，， 若取，为，，则，所以，， 若取，为0，，则，所以，， 综上，的所有可能结果有，，，． （2）对任意的收敛集合，，，，，， 其中两个元素，，都有，， 则 ， 即，所以仍是收敛集合， 若，则的元素个数比少2个， 若，则的元素个数比少1个， 所以对于含有10个元素的集合， 若每进行一次变换，得到新收敛数列比前一个减少1个元素， 则至多可进行9次变换，此时只含有一个元素，无法进行变换； 若每进行一次变换，得到新收敛数列比前一个减少2个元素， 则至少可进行5次变换，此时只含有一个元素，无法进行变换； 所以最多进行9次变换，最少进行5次变换． （3）由于，，，，，，，， 对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时， 对于满足，的实数，定义运算：， 因为，且， 所以，该运算满足交换律， 因为， 且， 所以，该运算满足结合律， 所以，运算满足交换律和结合律， 由于， 先取，进行运算，得到，，，，，，， 再取，进行运算，得到，，，，， 再取，进行运算，得到，，，， 再取，进行运算，得到，， 再取0，进行运算，得到， 所以， 综上，最终所得集合只有一个元素时，所有满足条件的集合． 【点评】本题考查集合新定义，解题中要认真审题，理解定义，属于难题． 六．充分条件与必要条件（共1小题） 20．（2022秋•虹口区校级期中）定义且，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】作出示意图，由于，可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可． 【解答】解：如图由于，可知两个阴影部分均为， 于是ⅠⅣⅤ，ⅢⅣⅤ，ⅠⅡⅢⅤ， （1）若，则Ⅴ， 所以ⅠⅣ， 而ⅠⅡⅣ， 所以成立， （2）反之，若， 则由于ⅠⅡⅣ，ⅠⅣⅤ， 所以ⅠⅣⅤⅠⅡⅣ， 所以Ⅴ， 所以， 故是的充要条件， 故选：． 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 七．等式与不等式的性质（共1小题） 21．（2022秋•黄浦区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既悬点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）． 【分析】（1）由上位点、下位点的概念即可得解； （2）由上位点、下位点的概念结合作差法即可得证； （3）结合（2）中结论，可得，，再证明当时不合题意即可得解． 【解答】解：（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和． （2）是，证明如下： 点是点的“上位点”， ，， ， ，点是点的“下位点”， ， ，点是点的“上位点”； 点既是点的“下位点”又是点的“上位点”； （3）若正整数满足条件，在，时恒成立， 由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 若，由于， 则对，时不恒成立， 因此，的最小值为4039． 【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识，属于难题． 八．基本不等式及其应用（共2小题） 22．（2023秋•浦东新区校级期中）设，为正实数，若，则的取值范围是 　　． 【分析】根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解． 【解答】解：因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，，， 当时，， 当时，， 所以当时，取得最大值， 又所以取值范型是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属于难题， 23．（2023秋•浦东新区校级期中）动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． （1）现有可围长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？ （2）若使每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【分析】（1）设每间虎笼的长、宽，利用周长为，根据基本不等式，即可求得面积最大值时的长、宽； （2）设每间虎笼的长、宽，利用面积为，根据周长的表达式，利用基本不等式，即可求得周长最小值时的长、宽． 【解答】解：（1）设每间虎笼的长、宽各设计为，时，可使每间虎笼的面积最大，则， ，，， 当且仅当，即，时，取得最大值 每间虎笼的长、宽各设计为，时，可使每间虎笼的面积最大； （2）每间虎笼的长、宽各设计为，时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，则， ，当且仅当，即，时，取等号 故每间虎笼长，宽时，可使钢筋网总长最小．（12分） 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，正确确定周长、面积的表达式是关键． 九．一元二次不等式及其应用（共1小题） 24．（2023秋•黄浦区校级期中）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是　，，　． 【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围． 【解答】解：不等式可化为， ①当时，原不等式等价于，其解集为，，不满足题意； ②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； ③当时，原不等式等价于，其解集为，， 其解集中恰有2个整数，，解得：； ④当时，原不等式等价于，其解集为，，，不满足题意； ⑤当时，原不等式等价于，其解集为，， 其解集中恰有2个整数，，解得：， 综合以上，可得：，，， 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查含参不等式的解法及不等式解集中的整数解问题，属于有一定难度的题． 一十．函数的图象与图象的变换（共1小题） 25．（2023秋•青浦区校级期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的对称轴首先排除、选项，再根据、的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案． 【解答】解：根据指数函数的解析式为，可得，， 故二次函数的对称轴位于轴的左侧，故排除、． 对于选项，由二次函数的图象可得，且函数的零点，， 则指数函数应该单调递增，故不正确． 综上可得，应选． 故选：． 【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出、的正负情况是求解的关键，属于基础题． 一十一．有理数指数幂及根式（共2小题） 26．（2023秋•普陀区校级期中）已知函数方程的两根为、 （1）求的值． （2）求的值． 【分析】根据韦达定理得到，，从而代入求值即可． 【解答】解：，， （1） ； （2）的 ． 【点评】本题考查了韦达定理，考查了指数幂的性质，是一道基础题． 27．（2023秋•嘉定区校级期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． 【分析】（1）将问题转化为求的值，代入即可； （2）由，首先把6转化为的形式，据同底数幂的除法，底数不变指数相减可以得到一个关于指数等于1的等式，根据等式乘方原则，等式两边同时乘方等式仍成立；同理可得到一个关于指数、的等于1等式，根据等式乘方原则等式两边同时乘方 等式仍成立．两个等式联立相等，即可得到结论． 【解答】解：（1）； （2）证明：， ，①， 同理可证：② 由①②两式得， 即， ． 【点评】本题考查了有理数指数幂的化简求值问题，以及同底数幂的运算，是一道中档题． 一十二．指数函数的定义域（共1小题） 28．（2023秋•金山区校级期中）给出下列4个结论， ①函数与函数的定义域相同； ②函数为常数）图像可由的图像平移得到； ③函数的图像关于原点成中心对称且的图像关于轴对称； ④若幂函数的图像关于原点成中心对称，则是定义域上的严格增函数，则以上结论中正确结论为 　①②③　．（填序号） 【分析】利用指、对数函数的性质和图像判断①，②，利用函数奇偶性的性质以及指数函数的性质判断③，利用幂函数的性质判断④． 【解答】解：对于①，函数的定义域为， 要使函数有意义，则，可得，则两函数的定义域相同，故①正确； 对于②，， 当时，函数为常数）图像可由的图像向左平移个单位得到， 当时，函数为常数）图像可由的图像向右平移个单位得到， 所以函数为常数）图像可由的图像平移得到，故②正确； 对于③，函数的定义域为， 又因为， 所以函数为奇函数，而函数为奇函数， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故③正确； 对④，如幂函数关于原点中心对称，但该幂函数在，上单调递减， 不满足是定义域上的严格增函数，故④错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查函数的运算性质，是中档题． 一十三．对数的运算性质（共6小题） 29．（2023秋•普陀区校级期中）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，对取对数可得，即可得，分析选项即可得答案． 【解答】解：根据题意，对于，有， 则， 分析选项：中与其最接近， 故选：． 【点评】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质． 30．（2023秋•浦东新区校级期中）若，，则的值为 　150　． 【分析】应用指数幂的运算性质求目标式的值即可． 【解答】解：因为，，所以． 故答案为：150． 【点评】本题考查的知识要点：指数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 31．（2023秋•徐汇区校级期中）已知，，则用、表示　　． 【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查对数的换底公式，属于中档题． 32．（2023秋•普陀区校级期中）若，，则　　． 【分析】利用对数的运算性质和换底公式求解． 【解答】解：，，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了对数的换底公式和运算性质，是中档题． 33．（2023秋•浦东新区校级期中）已知，，若．则的取值范围是 　，　． 【分析】由，可得：，，而，设 ，利用“待定系数法”即可得出． 【解答】解：由，可得，， 而， 设， ，解得，， ， ， 即的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了不等式的性质、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 34．（2020秋•杨浦区校级期中）设，，均是正数， （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【分析】（1）对两边平方即可求出的值； （2）可设，从而可得出，然后代入并进行对数的运算即可得出，从而可求出的值． 【解答】解：（1）， ， ； （2）设，则，， ， ． 【点评】本题考查了完全平方式的应用，对数的定义，对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题． 一十四．对数函数的图象（共2小题） 35．（2020秋•宝山区校级期中）已知函数的大致图象如图，其中，为常数，则函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】由函数的图象可求出和的范围，再进一步判断的图象即可． 【解答】解：由函数的图象为减函数可知， 的图象由向左平移可知， 故函数的大致图象是 故选：． 【点评】本题考查指对函数的图象问题，是基本题． 36．（2023秋•宝山区校级期中）已知两条水平直线和（其，且直线与函数的图象从左至右相交于点、，直线与函数的图象从左至右相交于点、．若记线段和在轴上的投影长度分别为、（投影点重合时长度为． （1）记点、、、的横坐标分别为、、、，求证：； （2）当时，求的值； （3）当，变化时，记，求函数的解析式及其最小值． 【分析】（1）由题意可得，，，，从而计算即可证明；（2）由题意可得，即或求解即可；（3）由（2）可得，结合指数的运算性质和基本不等式即可求解． 【解答】解：（1）证明：直线与函数的图象从左至右相交于点、， ，， 与函数的图象从左至右相交于、， ，， 所以．，， 所以； （2）因为，，又， 所以， 所以或， 当，即，即， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以 在上单调递增， 所以，即，又，解得； 当，即， 所以， 即，， 即 时，则， 即，又，解得， 当时，则所以，又，方程无解， 综上，； （3）由（2）可知，， ， 当且仅当时，等号成立， 所以． 【点评】本题考查函数的综合应用，以及基本不等式的应用，属于压轴题． 一十五．绝对值不等式的解法（共3小题） 37．（2022秋•杨浦区校级期中）对一切实数不等式恒成立，则的取值范围为 　，或　． 【分析】由题意可得函数的最小值大于或等于5，利用分段函数的单调性求得函数的最小值，根据此最小值大于或等于5，求得的范围． 【解答】解：不等式恒成立，故函数的最小值大于或等于5． ①当时，不等式即，即，显然不满足不等式恒成立． 当时，函数，根据单调性可得函数的最小值为， 由，求得； 当时，函数，根据单调性可得函数的最小值为， 再由，求得． 综合可得的范围为，或． 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，属于难题． 38．（2021秋•上海期中）已知代数式和． （1）若，，求不等式的解集； （2）若，，证明：、中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数、满足的条件． 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式； （2）利用反证法即可证明； （3）根据，（2分）类讨论去掉的绝对值，从而只用讨论含一个绝对值的不等式恒成立问题，再进行分类即可求解． 【解答】解：（1）， 当时，，所以，所以不存在； 当时，，所以，所以； 当时，，所以，所以； 综上，解集为； （2）当时，假设，都小于， 即，此不等式无解， 因此假设不成立，所以、中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对于任意实数恒成立． ①当时，，即， 而，故，时，恒成立， ②当时，，即， 而在时恒成立， 故只需讨论当时，恒成立，实数，满足的条件． 当时，，即， 若，要使在上恒成立，不满足，舍去； 若，要使在上恒成立，则且； 若，要使在上恒成立，则， 即； 当时，，即， 由于，得，要使在上恒成立， 不满足，舍去； 综上，或，即． 【点评】本题考查绝对值不等式的求解，反证法的应用，不等式恒成立问题，分类讨论思想，属难题． 39．（2023秋•闵行区校级期中）对于两个实数，，规定， （1）证明：关于的不等式解集为； （2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值． 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值． 【解答】解：（1）证明：不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为． （2）不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立． 故，解得或，故实数的取值范围，，． （3）由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故． 综上所述：． 故． 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，，所以，（3）， 所以，解得或． 当，， 当，，（1），（3）， 当，，，符合题意， 当，， 当，，（2），（3）， 当，，，符合题意． 综上，或或． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于难题． 一十六．不等式的证明（共1小题） 40．（2022秋•杨浦区校级期中）已知，且，求证：，中至少有一个小于2． 【分析】由反证法证明，假设都不小于2，即，去分母，结合不等式的性质，可得，这与已知相矛盾，即可得证． 【解答】证明：假设都不小于2， 则， 因为，， 所以，， ， 即， 这与已知相矛盾，故假设不成立． 综上中至少有一个小于2． 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用反证法证明，考查推理能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$