第一章 直角三角形的边角关系（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AD⊥BC于D， BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，BD＝AD，AB ＝；则AF等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明△ABD是等腰直角三角形，再求得AD和BD的长，再证明△BEC是直角三角形，利用∠ACB＝60°，得到∠EBC＝30°，求得FD的长，即可得到AF的长． 【详解】解：∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝90° ∵BD＝AD ∴△ABD是等腰直角三角形 ∴∠ABD=∠BAD=45° ∴AD=AB=AB= ∴BD＝AD= ∵BE⊥AC于E， ∴∠BEC=90° ∵∠ACB＝60° ∴∠EBC=30° ∴FD=BD1 ∴AF=AD-FD=－1 故选：C 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数是解题的基础，是常考题型． 2．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，则sinB＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，求出AD长，再根据三角函数的意义计算即可． 【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴BD=CD=5， AD=， sinB＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角函数，解题关键是作高构建直角三角形，利用三角函数的意义进行计算． 3．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点构造所在的直角三角形，设为，得到的值，相除即可. 【详解】作，交的延长线于点， 由题意可得：， 设，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：. 【点睛】考查解直角三角形的知识，构造出所求角所在的直角三角形是解决本题的难点. 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过矩形的顶点、，，且，点横坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作BF⊥x轴于F，过点D作DE⊥x轴于E，利用锐角三角函数求出BF，从而求出点B的坐标，根据矩形的性质可得∠BAD=90°，从而求出∠DAE，利用锐角三角函数设DE=，则AE=3a，从而求出点D的坐标，利用矩形的性质和平移方式求出点C的坐标，将点C和点D的坐标代入反比例函数解析式中，联立方程即可求出结论． 【详解】解：过点B作BF⊥x轴于F，过点D作DE⊥x轴于E ∵，点横坐标为 ∴AF=1－（-1）=2 ∵ ∴BF=AF·tan∠BAO= ∴点B的坐标为（-1，） ∵四边形ABCD为矩形 ∴∠BAD=90° ∴∠DAE=180°－∠BAO－∠BAD=30° ∴sin∠DAE= 设DE=，则AE=3a ∴OE=AO－AE=3a＋1 ∴点D的坐标为（3a＋1，） ∵四边形ABCD为矩形 ∴BC可看作由AD平移得到 ∵点A到点B的平移方式为：先向左平移2个单位，再向上平移个单位 ∴AD到BC的平移方式为：先向左平移2个单位，再向上平移个单位 ∴点C的坐标为（3a－1，＋） 将C、D的坐标代入反比例函数解析式中，得 ①－②并整理，得 4a=2 解得：a= 将a=代入②，解得：k= 故选B． 【点睛】此题考查的是锐角三角函数、矩形的性质和求反比例函数解析式，掌握锐角三角函数、矩形的性质和利用待定系数法求反比例函数解析式是解题关键． 5．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，作于点，作于点，可得四边形是矩形，得到，又由四边形是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴点到的距离等于， 故选：． 6．如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可． 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴AC∥DE，∴∠A=∠EDB ∴△ACB∽△DEB（AA） ∵，∴ 又∵AB=3，BC=1 ∴，， ∵Rt△BDE ∴ ∵BC=1 ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点． 7．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边，使A、B落在x轴上，则的面积是    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质．掌握等边三角形具有等腰三角形“三线合一”的性质是关键． 依据是反比例函数在第一象限内的图象上一点，求得点P的坐标，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点H，    ∵点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点， ∴，且，解得，． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴． ∴×=． 故选D． 8．如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　）    A．（2，3） B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形， 根据点F的坐标可得，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，根据菱形的性质易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出，由平行线和菱形的性质易得，进而求出，以此即可求解． 【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点， ∴， ∴， 如图，连接，连接，交于点N′，连接，    ∴当点N在点时，取得最小值为， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，零指数幂是解题的关键． 10．如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接.若，，则 . 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求得，根据直角三角形斜边中线的性质证得，证得，再利用同角的余角相等证得，利用锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，且，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”，移动几个图形就直观地证明了勾股定理．如图，，，则=__________________．      【答案】/ 【分析】根据题意可得：四边形ECGF和四边形EBHI都是正方形，从而可得，，再利用等式的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答． 【详解】解：由题意得：四边形ECGF和四边形EBHI都是正方形， ，， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 12．如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转至的位置，点E是的中点，且点E在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得E点坐标，代入解析式可以得解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为H． 由题意，在中，，， ∴． ∴． ∴． 又绕点O顺时针旋转至的位置， ∴． ∴． 又点E是的中点， ∴． 在中，∵， ∴． ∴． 又E在上，∴． 故答案为：． 13．如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，……，Rt△OA2020A2021，若点A0（－1，0），则点A2021的横坐标为 ． 【答案】 【分析】由30°直角三角形性质解直角三角形求出、，根据图形变化得出规律，即可得出结果． 【详解】解：∵∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，， ∴， 又，， ∴， 同理：， 的长度为； ， 与重合， 点的横坐标为， 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形和坐标变化规律；熟练掌握30°直角三角形性质，通过计算得出规律是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．【问题情境】 如图，一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上，数学学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【实践发现】 在坡角点处测得旗杆顶点A的仰角，在山坡上点处测得顶点A的仰角，在坡角点处测得旗杆底部点的仰角，且，，，两观测点的距离米，点到地面的距离米． 【问题解决】 请计算旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为24米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交延长线于点M，延长交于N，则得四边形是矩形，有米；由，设米，则米，从而可得；由得米，则可表示，在中，由建立方程即可求得x的值，最后求得旗杆的高度． 【详解】解：如图，延长交延长线于点M，延长交于N， 则四边形是矩形， 米； 在中，， 设米，则米； 在中，由勾股定理得米， 米； 在中，， 米， 米； 在中，由 即， ， 解得：， （米）． 答：旗杆的高度为24米． 15．如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． (1)求证： (2)若，求的值 (3)若为直角三角形时，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)为直角三角形时，为8或． 【分析】（1）先证明，，从而可得结论； （2）如图，过作于， 可得，，，可得，再进一步可得答案； （3）根据可得，又因为，可得，因此，由于为直角三角形，分类讨论：当时，利用得到，即，易得，当，利用得到，然后在中，根据余弦的定义可计算出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 结合（2）可得， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形时，为8或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质． 16．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.    (1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；在上画点N，使； (2)在图2中，D是上任意一点，先画的中点E，再在上找到一点F，使得 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得线段，借助网格中平行线可得比例线段，从而求解． （2）利用矩形性质，可得，四边形是平行四边形，，即可求解． 本题考查作图——旋转变换，轴对称变换、平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图1，根据旋转的性质可得线段，取格点P，Q，连结交于点O， 此时，则 即， 连结交于点N， ， 则点N即为所求．    （2）解：如图2，连结，交于点O， 四边形是矩形， ， 与交于点， 四边形是平行四边形， ， 连结交于点E，点E即为所求． 连结、 交于点Q，连结  、交于点， 连结交于点，连结交于点F， 点F即为所求．    17．如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． (1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． (2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作于点E，解，得到，故； （2）过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设，分别解中，得，而，解中，得，由题意得，，故，解得． 【详解】（1）解：过点D作于点E， ∵在中，， ∴， ， 由题意得，， ∴点D距离地面的距离与相等，即为； （2）解：过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设， 由题意得，四边形，为矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 由题意得，, ∴， ∴， 解得， 答：的长约为． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)点P是反比例函数的图象上一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点M是反比例函数的图象上一点，连接，若，直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)，反比例函数解析式； (2)点P的坐标为或； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）将点代入，可得点的坐标，从而得出答案； （2）首先求出点的坐标，在轴上取点，使，则，分两种情况讨论，当点在点下方时，过点作，交双曲线于，得出直线的解析式为，与双曲线求交点即可得出点的坐标，当点在点上方时，同理可求； （3）过点作轴，作与，于，连接，利用，得，，则，可知轴，从而解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ， ， 反比例函数解析式； （2）解：直线与轴交于， ， 在轴上取点，使，则， 当点在点下方时， 此时， 过点作，交双曲线于， 直线的解析式为， ， 解得，（舍， ， 当点在点上方时， 此时， 过点作，交双曲线于， 直线的解析式为， ， 解得，（舍， ， 综上：点P的坐标为或； （3）解：过点作轴，作于，于， ，， ，， ， ， ， ，， ， 轴， ， ， ， 设直线交轴于， ， 同理，直线的解析式为， ， 解得或， 点M的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，利用平行线转化三角形的面积是求点坐标的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．某人沿着坡度的山坡起点向上走了30米，则他离地面 米高．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比） 【答案】15 【分析】利用相应的坡度求得坡角，然后运用三角函数求垂直高度． 【详解】解：坡度， 坡角， 他离地面的高度为（米）， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查坡度坡角及三角函数的运用，正确运用相关知识是解题的关键． 20．如图，在矩形中，，点E为对角线上一点，连接，过点E作交于点F．连接交于点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理、解直角三角形等知识点．先证可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由面积法可求的长，进而求得，再求得即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．在梯形中，，，，，，将绕点A顺时针旋转后，与重合，点C与点E重合，若点F在边上，，连接，则的余切值为 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，作于，于，令交于，则，证明四边形为矩形，得出，由旋转的性质可得：，，证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作于，于，令交于， 则， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得：，， 在和中， ，∴， ∴， ∴的余切值为， 故答案为：． 22．如图，放置在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上，点A落在第一象限， 若， 且的面积为 ，若反比例函数 的图象经过点A则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关计算以及勾股定理，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握解直角三角形的方法是解决问题的关键． 过点A作轴于点C，设，则，，进而得点，则，在中，，根据的面积为，得，由此得，由此可得k的值． 【详解】过点A作轴于点C，设，如下图所示： 在中，，，． ∴， 由勾股定理得：， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点 ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵的面积为， 即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 23．如图，在中，，两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，，令，当时， ；当时， ．    【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、正方形的性质等知识，过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出即可得到答案，证明，得到设，则，证明，得到，在中，，即，解得（不合题意的解已经舍去），得，，，则，证明，进一步即可得到答案． 【详解】解：过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M， 当时，即时， ∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即； ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴，∴，解得， 在中，，即， 解得（不合题意的解已经舍去） ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，故答案为：， 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点F在边上，且，线段的延长线交于点E． 猜想证明： (1)“阳光”小组发现，请你证明这一结论； 操作探究： (2)“希望”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出A，两点间的距离． 【答案】(1)见解析；(2)①四边形为菱形，理由见解析；②或 【分析】（1）先证明，证明，则，由即可得到； （2）①证明．得到． 由 (1) 得 ，即可证明，则四边形是菱形； ②由题意得到当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转，分两种情况分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①四边形为菱形，理由如下∶ ∵旋转得到， ∴，． ∵四边形为矩形； ∴． ∴， ∴，； ∴， ， ， ， ∴， ∴． 由 (1) 得 ， ∴， ∴四边形是菱形． ②在中， ∵， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转， 如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N， 则， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H， 则， ， ， ， ∴， ∴， 故两点间的距离为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和解直角三角形． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线和直线交于点，四边形是矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点是矩形的边上的一个动点，连接，点关于直线的对称点为点． (1)请直接写出点和点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)若点到矩形的较长两条对边的距离之比为，请直接写出此时点的横坐标． 【答案】(1)点、的坐标分别为、 (2) (3)或或 【分析】（1）联和，即可求解； （2）当时，，即可求解； （3）分点在直线下方、点在直线上方、点在下方三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：，故点， 故点、的坐标分别为、； （2）解：当时， ， 解得：， 故点； （3）解：点关于直线的对称点为点，连接，过点作轴于点， ①当点在直线下方时， 点到矩形的较长两条对边的距离之比为，则， 而，则，即点， 点关于直线的对称点为点， 为的中点，即 设直线的表达式为， 可得，解得， 则直线的表达式为：， 当时，， 故点； ②当点在直线上方时， 则， 同理可得：点； ③在下方时， 同理可得：， 综上，点或或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到矩形的性质、点的对称性、解直角三角形等，解题时注意分类求解，避免遗漏． 26．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如 图 1 ， 点B的坐标为，点C在射线上，设点C的横坐标为t，的面积为S， 求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点A作轴于点D，点E在上，，点F在x轴负半轴上，连接，延长至点G，使，连接交于点H，的平分线交于点P，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）由（1）可得，，则，求解作答即可； （3）由题意知，，，由，，，可得，如图1，作轴于，则，，由，可求，则，如图1，作轴于，轴于，证明，，则，如图1，延长交于，则，可得，在的垂直平分线上，进而可得，同理（1），直线的解析式为，将代入得，，可求，则，同理，直线的解析式为，联立，可求，则，如图1，在上取点，使，设，则，，由，计算可求，证明，则，设，则，，，由，计算求解，进而可得点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 如图1，作轴于，则，，              图1 ∴，即， 解得，， ∴， 如图1，作轴于，轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图1，延长交于， ∴， ∴，在的垂直平分线上， ∴，，即， 同理（1），直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立，得，， ∴，∴， 如图1，在上取点，使， 设，则，， ∴， 解得，或（舍去），∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，正切，等角对等边，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线等知识．熟练掌握一次函数解析式，正切，等角对等边，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AD⊥BC于D， BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，BD＝AD，AB ＝；则AF等于 （    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，则sinB＝（　　） A． B． C． D． 3．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过矩形的顶点、，，且，点横坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 7．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边，使A、B落在x轴上，则的面积是    A．3 B．4 C． D． 8．如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　）    A．（2，3） B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．计算： ． 10．如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接.若，，则 . 11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”，移动几个图形就直观地证明了勾股定理．如图，，，则=__________________．      12．如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转至的位置，点E是的中点，且点E在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 13．如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，……，Rt△OA2020A2021，若点A0（－1，0），则点A2021的横坐标为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．【问题情境】 如图，一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上，数学学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【实践发现】 在坡角点处测得旗杆顶点A的仰角，在山坡上点处测得顶点A的仰角，在坡角点处测得旗杆底部点的仰角，且，，，两观测点的距离米，点到地面的距离米． 【问题解决】 请计算旗杆的高度． 15．如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． (1)求证： (2)若，求的值 (3)若为直角三角形时，求的值 16．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.    (1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；在上画点N，使； (2)在图2中，D是上任意一点，先画的中点E，再在上找到一点F，使得 17．如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． (1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． (2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)点P是反比例函数的图象上一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点M是反比例函数的图象上一点，连接，若，直接写出满足条件的点M的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．某人沿着坡度的山坡起点向上走了30米，则他离地面 米高．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比） 20．如图，在矩形中，，点E为对角线上一点，连接，过点E作交于点F．连接交于点O，若，则 ． 21．在梯形中，，，，，，将绕点A顺时针旋转后，与重合，点C与点E重合，若点F在边上，，连接，则的余切值为 22．如图，放置在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上，点A落在第一象限， 若， 且的面积为 ，若反比例函数 的图象经过点A则 ． 23．如图，在中，，两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，，令，当时， ；当时， ．    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点F在边上，且，线段的延长线交于点E． 猜想证明： (1)“阳光”小组发现，请你证明这一结论； 操作探究： (2)“希望”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出A，两点间的距离． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线和直线交于点，四边形是矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点是矩形的边上的一个动点，连接，点关于直线的对称点为点． (1)请直接写出点和点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)若点到矩形的较长两条对边的距离之比为，请直接写出此时点的横坐标． 26．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如 图 1 ， 点B的坐标为，点C在射线上，设点C的横坐标为t，的面积为S， 求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点A作轴于点D，点E在上，，点F在x轴负半轴上，连接，延长至点G，使，连接交于点H，的平分线交于点P，连接，若，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$