第三章 圆（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第三章 圆（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列命题中，正确的命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦 2．如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 5．如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（    ）． A．2 B．3 C． D． 7．已知为的直径，C为上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到，交于E点，若点D在上．若半径是5，，则弦的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ） A．1： B．1： C．1：2 D．2：3 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知的半径，弦的长为，若在上找一点，则 ． 10．如图，等边△ABC边长为2，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，分别以D、E、F为圆心，DE长为半径画弧，围成一个曲边三角形，则曲边三角形的面积为 ． 11．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 12．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 13．如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的半径． 15．如图①，在矩形中，对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接 ． (1)求证：． (2)如图②，以点O为圆心，长为半径作圆，与相切．求证：． 16．筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示 2，筒车按逆时针方向转动，每绕一圈需要，筒车与水面分别交于、，且． ，筒车的轴心距离水面的高度 长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间． (1)求筒车的半径； (2)盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长： (3)拟修建接水槽，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田． 所在直线与 相切，当盛水桶从浮出水面至绕到上用时时，求接水槽的长． 17．（1）如图，四边形内接于，且．试说明：； （2）如图，四边形内接于，且为直径，，过圆心作，垂足为．试说明：； （3）如图，四边形内接于，对角线相交于点．过圆心作，垂足为，且．试说明：． 18．已知，关于的二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象顶点为，连接．    (1)请直接写出点的坐标（用数字或含的式子表示）： ______；______；______；______； (2)作出点关于对称轴的对称点，连接，若和相似，求的值； (3)若，直接写出的取值范围． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．有一条通水管道，其横截面是一个直径为2m的圆，其水面宽1.6m，则这条管道中此时最深处水深为 m． 20．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 21．如图，已知扇形的半径等于2，，连接．进行尺规作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在扇形内交于点，作射线，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在扇形内交于点，作直线，分别交，于点，，连接． （1）等于 ；（2） ． 22．如图，是半径确定的的一条弦，点是优弧上一动点，且，点分别是的中点、直线与交于两点，在点的运动过程中，若的最大值为，则的半径为 ． 23．如图，在等边中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．问题提出 （1）如图①，在中，，，则的最大面积为 ； （2）如图②在中，，，求的最大面积； 问题解决 （3）如图③，某公园准备修建一座四边形儿童游乐场，其中线段为儿童游乐场的入口，在点，处分别安装一个摄像头，对入口段实施监控（点，，，在同一平面），调研发现，为了监控效果最好，须满足，已知，，问儿童游乐场（即四边形）面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 25．阅读理解： 如图1、图2，点分别在外、在内，直线分别交于点，则的长度是点到上的点的最短距离，的长度是点到上的点的最长距离，这个模型被称为“一箭穿心”． (1)请就图1中为何最长进行证明； (2)若平面内的点到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______； (3)如图3，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在以点为圆心，1为半径的上，是的中点，已知长的最大值为，求的值． 26．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接，求证：． [初步探索]．小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： 根据小明的思路，若圆的半径为5，则的最大值为 ． [类比迁移]．如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接，若圆的半径为5，求周长的最大值． [拓展延伸]．如图3所示，等腰，点在圆上，，圆的半径为5，连接，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列命题中，正确的命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦 【答案】D 【分析】此题考查了圆的垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，符合题意； C. 同圆或等圆中两条弦相等，它们所对的弧也相等，故选项错误，不符合题意； D. 等弧对等弦，故选项正确，符合题意； 故选：D 2．如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进行求解是解决本题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质计算出的长，再计算出的面积，根据，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积之和，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴两个扇形面积之和， ∴． 故选：D． 3．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 4．如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据题意连接，过作，利用角平分线定义得，继而得到，再得到四边形为矩形，再设，则，利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接，过作，垂足为， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， 设，则， ∵的直径为20， ∴，∴， 在中，由勾股定理得． 即，解得． ∵，故舍去，∴， ∴， ∵，由垂径定理知，F为的中点，∴． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线定义，平行线判定及性质，矩形判定及性质，勾股定理，垂径定理等． 5．如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线的性质，再利用特殊角的三角函数值可求出，则，接着利用平行线的性质得到，利用三角形面积公式可得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：∵切于点， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，图中阴影部分的面积， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质和扇形的面积计算公式，特殊角的三角函数，平行线的性质等知识，根据面积相等进行转化是解题的关键． 6．如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（    ）． A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆内接四边形对角互补得到，根据得到结合角平分线得到，即可得到：，从而得到，结合勾股定理即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∵平分， ∴，∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键． 7．已知为的直径，C为上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到，交于E点，若点D在上．若半径是5，，则弦的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，线段垂直平分线的判定定理，三角形相似的判定及性质，勾股定理等；连接、，，连接交于，由旋转的性质得，，与是等圆，由三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得求出，由勾股定理求出，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接、，，连接交于， 半径是5，， ， ， ， 由旋转得：， ， 与是等圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ） A．1： B．1： C．1：2 D．2：3 【答案】D 【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到，求出AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴， ∴AD=AB，BD=AB， 过C作CE⊥AB于E，连接OE， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴， ∴OE⊥AB， ∴OE=AB，CE=AB， ∴S△ADE：S△CDB=（ADOE）：（BDCE） =（×ABAB）：（×ABAB）=2：3． 故选D 【点睛】考点：（1）圆周角定理；（2）三角形的角平分线定理；（3）三角形的面积的计算；（4）直角三角形的性质. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知的半径，弦的长为，若在上找一点，则 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理逆定理，先由勾股定理逆定理求出，分别在优弧和劣弧取点和，连接，，，，则，然后根据圆内接四边形的性质可求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图，分别在优弧和劣弧取点和，连接，，，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：或． 10．如图，等边△ABC边长为2，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，分别以D、E、F为圆心，DE长为半径画弧，围成一个曲边三角形，则曲边三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接DE，DF，EF，根据等边三角形的性质与判定得，是等边三角形，则，曲边三角形的面积为，进行计算即可得． 【详解】解：连接DE，DF，EF， 由题意得，， ∵点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴曲边三角形的面积为： = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，扇形的面积，解题的关键是掌握这些知识点． 11．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】设过B，C，D的弧的圆心为O，连接，由勾股定理求出，，的值，进而由勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形， 再由圆周角定理得，，为半圆的直径，则，然后由等腰直角三角形的性质得，，根据即可求解． 【详解】如图，设过B，C，D的弧的圆心为O，连接， 由勾股定理得，，， ，， 是等腰直角三角形，， ，，为半圆的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、与圆有关的计算，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键． 12．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，折叠的性质，作点关于的对称点，连接，交于点，得到垂直平分，根据点与圆心重合，得到，，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则：垂直平分， ∴， ∵点与圆心重合，为直径， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∴， ∴；即半径等于； 故答案为：． 13．如图，边长为7的正方形中，点E、G分别在射线、上，在边上，与交于点，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题关键搞清的运动轨迹，有，，可知，所以到的中点的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得的范围，从而确定它的最小值． 【详解】解：取的中点，作垂直于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是边长为7的正方形， ∴， ，，， ， ， 又，， ， ， ， 所以在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∴在中，由勾股定理可得， ， 当落在上时，取到等号， 即达到最小，最小值为； 故答案为． 【点睛】本题考查正方形的基本性质，和全等直角三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点的运动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断何时取到最值． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到的长，设的半径为r，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵点C是半圆的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∵， ∴， 即， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 设的半径为r，则， ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 15．如图①，在矩形中，对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接 ． (1)求证：． (2)如图②，以点O为圆心，长为半径作圆，与相切．求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，根据四边形是矩形，得出，从而，从而得出； （2）设与切于点F，连接，并延长交于点G，可证得，从而得出，进而得出，从而． 【详解】（1）证明：∵点A关于的对称点为， ∴，， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴； （2）证明：如图2，设与切于点F，连接，并延长交于点G， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 由（1）知： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）知： ∴，即， ∴ 【点睛】本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 16．筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示 2，筒车按逆时针方向转动，每绕一圈需要，筒车与水面分别交于、，且． ，筒车的轴心距离水面的高度 长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间． (1)求筒车的半径； (2)盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长： (3)拟修建接水槽，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田． 所在直线与 相切，当盛水桶从浮出水面至绕到上用时时，求接水槽的长． 【答案】(1)筒车的半径为 (2) (3)接水槽的长米 【分析】本题考查了垂径定理的应用，弧长公式，解直角三角形的应用； （1）连接，根据垂径定理可得，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解； （2）由（1）可得，进而得出点运动的圆心角为，根据弧长公式，即可求解； （3）依题意，筒每秒钟转．延长交于点，连接，，过点作于点，过点作于点，得到是等腰直角三角形，进而利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图2中，连接． ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 答：筒车的半径为； （2）由（1）可得， ∴ ∴盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，它走过的路径长为； （3）由筒车⊙O按逆时针方向转动，每绕一圈需要，可得筒每秒钟转． 如图所示，延长交于点，连接，，过点作于点，过点作于点, ∵当盛水桶从浮出水面至绕到上用时， ∴， .∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵所在直线与 相切，即， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 答：接水槽的长米． 17．（1）如图，四边形内接于，且．试说明：； （2）如图，四边形内接于，且为直径，，过圆心作，垂足为．试说明：； （3）如图，四边形内接于，对角线相交于点．过圆心作，垂足为，且．试说明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，由，可得，从而得到，即可求证； （2）先证明是的中位线，据此即可证明结论成立； （3）作直径，连接，证明是的中位线，推出，再证明，得到，再根据圆周角定理即可得到，即可证明结论成立． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴； （3）作直径，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 18．已知，关于的二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象顶点为，连接．    (1)请直接写出点的坐标（用数字或含的式子表示）： ______；______；______；______； (2)作出点关于对称轴的对称点，连接，若和相似，求的值； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；；；； (2)； (3)． 【分析】（）把、分别代入函数解析式可求出坐标，再求出抛物线的对称轴即可求出的坐标； （）根据对称性可得，，再根据和相似得，即可得，解方程即可求解； （）设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，为半径画圆，连接，可知当点在上或内时，，得，即得，解不等式即可求解； 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，顶点坐标，相似三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，根据题意，正确画出图形和作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， ∴顶点为， 故答案为：；；；； （2）解：如图，∵点关于对称轴对称，，点在对称轴上， ∴，， ∴， ∵和相似， ∴， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴；    （3）解：设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，为半径画圆，连接，    当点在上或内时，， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．有一条通水管道，其横截面是一个直径为2m的圆，其水面宽1.6m，则这条管道中此时最深处水深为 m． 【答案】1.6或者0.4 【分析】分两种情况：第一种情况，水面低于截面圆的圆心；第二种情况，水面高于截面圆的圆心，利用垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】横截面直径为2，则半径为1，即， 分情况讨论： 第一种情况，水面低于截面圆的圆心，作于C，交于D，如图， ∵，， ∴， 在中，，， 则：， ∴， 此时最深处水深为； 第二种情况，水面高于截面圆的圆心，作于C，交于D，如图， 同样可求得，∴， 此时最深处水深为， 故答案为：1.6或者0.4． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用：先根据实际问题画出几何图，再把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．掌握垂径定理是解答本题的关键．解题时要注意分类讨论的思想． 20．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了圆与直线的位置关系、反比例函数图象的位置关系的一道综合题，熟练运用分类讨论的思想和准确把握动圆与坐标轴相切时点P的坐标特征是解此题的关键．分两种情况进行讨论：与x轴相切或与y轴相切，分别求解即可． 【详解】解：∵与坐标轴相切， ∴分两种情况讨论： ①当与x轴相切时， 则点P的纵坐标为2， ∴ ， ∴点P的坐标为． ②与y轴相切时， 则点P的横坐标为2， ∴ ∴ ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为：或， 故答案为：或． 21．如图，已知扇形的半径等于2，，连接．进行尺规作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在扇形内交于点，作射线，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在扇形内交于点，作直线，分别交，于点，，连接． （1）等于 ； （2） ． 【答案】 30 / 【分析】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，二次根式的混合运算．作于点，设的半径为，利用余弦二次函数的定义求得，利用圆周角定理求得，利用勾股定理求得和的长，利用二次根式的混合运算求解即可． 【详解】解：连接，作于点，设的半径为， 由作图知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图知是的平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30；． 22．如图，是半径确定的的一条弦，点是优弧上一动点，且，点分别是的中点、直线与交于两点，在点的运动过程中，若的最大值为，则的半径为 ． 【答案】6 【分析】作直径，连接，设的半径是，由锐角的正弦得到，由三角形中位线定理得到，因此当是圆直径时，有最大值，即可得到答案． 【详解】解：作直径，连接，设的半径是， ， ，， ， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 当长最大时，有最大值， 当是圆直径时，最大． 最大值是． 解得， 故答案为：6． 23．如图，在等边中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征，定弦定角问题，解答即可． 【详解】解：∵ 为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，∴， 作的垂直平分线，作，与垂直平分线交于点O， 则点F的运动轨迹是以O为圆心，以为半径的圆的三角形内部的一段弧， 连接与弧交于点H， 当F与点H重合时，最小， ∵，∴直线是线段的垂直平分线，设二线的交点为Q， 则， 设，则，∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征，定弦定角问题，熟练掌握三角形的全等的证明是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．问题提出 （1）如图①，在中，，，则的最大面积为 ； （2）如图②在中，，，求的最大面积； 问题解决 （3）如图③，某公园准备修建一座四边形儿童游乐场，其中线段为儿童游乐场的入口，在点，处分别安装一个摄像头，对入口段实施监控（点，，，在同一平面），调研发现，为了监控效果最好，须满足，已知，，问儿童游乐场（即四边形）面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）；（3）四边形的面积存在最大值，最大值为 【分析】（1）如图所示，过点C作于D，根据垂线段最短可得，再由三角形面积公式可得当最大时，的面积最大，据此可得答案； （2）如图所示，在上方作且满足，过点O作于D，连接，先得到，则，再证明点C在以点O为圆心，的长为半径的圆上运动（优弧上 ），过点C作于E，则，由三角形面积公式可得当最大时，的面积最大，据此求解即可； （3）先证明在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于F，过点C作于E，过点F作于G，连接，过点O作，由垂径定理得到，再由圆的性质得到，则利用勾股定理可得，进而求出；证明，得到，则；由是直径，得到，则，设交于T，证明，进而证明，由此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作于D， ∵垂线段最短， ∴， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∴当A、D重合，即时，的面积最大，最大为， 故答案为：； （2）如图所示，在上方作且满足，过点O作于D，连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴点C在以点O为圆心，的长为半径的圆上运动（优弧上 ）， 过点C作于E， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∴当三点共线时，最大，此时的面积最大，最大为； （3）∵， ∴在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于F，过点C作于E，过点F作于G，连接，过点O作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵是直径， ∴， ∴， 设交于T， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴四边形的面积存在最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的性质与判定等问题，解题的关键在于把求面积的最大值转换成垂线段最短的问题． 25．阅读理解： 如图1、图2，点分别在外、在内，直线分别交于点，则的长度是点到上的点的最短距离，的长度是点到上的点的最长距离，这个模型被称为“一箭穿心”． (1)请就图1中为何最长进行证明； (2)若平面内的点到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______； (3)如图3，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在以点为圆心，1为半径的上，是的中点，已知长的最大值为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2或5 (3) 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）连接，根据中位线定理可得长的最大值为，当过圆心C时，最长，过B作轴于D，设，则，，根据勾股定理可得，列出方程求出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． （2）解：若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5； （3）解：连接，由对称性得：， 而Q是的中点， ∴ ∵的长的最大值为，则长的最大值为， 如图所示： 当过圆心C时，最长，过B作轴与D， ，，B在直线上， 设，则，， 在 中，由勾股定理得：， ，整理得：， 解得：（舍去），或，∴， ∵B在反比例函数的图象上， ． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数综合题，考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的中位线的性质，三角形三边关系的应用，圆的基本性质等，综合性比较强，难度较大． 26．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接，求证：． [初步探索]．小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： 根据小明的思路，若圆的半径为5，则的最大值为 ． [类比迁移]．如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接，若圆的半径为5，求周长的最大值． [拓展延伸]．如图3所示，等腰，点在圆上，，圆的半径为5，连接，求的最小值． 【答案】[初步探索]证明见解析，10；[类比迁移]；[拓展延伸] 【分析】初步探索由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是10； 类比迁移先由证明是的直径，且圆心在上，则，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，的值最大，则，即可求得周长的最大值是； 拓展延伸连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明，得，所以，则的最小值为． 【详解】初步探索证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； 是的弦，且的半径为5， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， 的最大值是10， 故答案为：10． 类比迁移解：如图2，，， 是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， ， 的最大值是， ， 周长的最大值是． 拓展延伸解：如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接， ，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$