第三章 圆（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第三章 圆（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在⊙O中，∠BOC=54°，则∠BAC的度数为（ ） A．27° B．28° C．36° D．54° 3．如图，正五边形内接于，点P为弧上一点，则的为度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（　　） A． B． C． D． 5．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆周上，点P是线段OB上任意一点，连结AC、CP．若∠BAC=35°，则∠APC的度数不可能是（ ） A．90° B．75° C．60° D．50° 6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为（    ）. A．4 B． C． D． 7．已知，AB是直径，，弦且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（    ） A． B． C．3 D． 8．如图⊙O分别切AC、AB、BD于C、E、D三点，已知∠CAB=100º，∠ABD=60º，则∠AOB等于（    ） A．110º B．100º C．95º D．50º 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知扇形的半径长6，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于 ．（结果保留π） 10．正六边形的边长是6，则这个正六边形的周长是 ． 11．如图，AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB，垂足为E，如果AB=20cm，CD=16cm，那么线段AE的长为 cm． 12．如图，在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为 cm． 13．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 15．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 16．如图，为的直径，是上一点，是的中点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： (1)弹袋B转过的路程． (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 18．如图，内接于，交于点，连接．     (1)如图，求证：平分； (2)如图，延长交于点，连接，交于点，，求的度数； (3)如图，在（）的条件下，若，，求弦的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，已知是的切线，是切点是过圆心的一条割线，点、是它与的交点，且，．则的半径为 ． 20．如图，已知扇形的圆心角为，半径为1.则弓形的面积为 ． 21．如图，内接于，点，分别是，的中点，，，则的度数是 ． 22．如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．    23．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，带动点使磨盘绕点转动，，． (1)当点、、三点共线的时候，的长为______； (2)点由轨道最远处向滑动，使磨盘转动不超过的过程中： ①与相切于点，如图3，求的长； ②从①中相切的位置开始，点继续向点方向滑动至点，点随之逆时针运动至点，此时，求点运动的路径长（结果保留）．（参考数据：，，） 25．如图在等边中，的平分线交y轴于点D，C的坐标为 (1)如图1，求D的坐标． (2)如图2，E为x轴上任意一点，以为边，在第一象限内作等边，延长交y轴于点G，求的长． (3)如图3，在（1）条件下，M为y轴正半轴上D点上方的任意一点，在右上方作交延长线于N点，求的值． 26．如图，为的直径，弦交于点，连接，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接，使，连接、，过作交于点，交于点，，若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可． 【详解】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r， ∵AB⊥CD， ∴AM=BM=AB=8， 在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10， ∴MD=CD-CM=20-16=4． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 2．如图，在⊙O中，∠BOC=54°，则∠BAC的度数为（ ） A．27° B．28° C．36° D．54° 【答案】A 【分析】由同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，可得，从而可得答案． 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．”是解题的关键． 3．如图，正五边形内接于，点P为弧上一点，则的为度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正多边形的性质，求得每个内角的度数，再根据圆内接四边形的性质，求解即可． 【详解】解：在正五边形中，每个内角的度数为， 即， 由题意可得：四边形为圆的内接四边形， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了正多边形的性质以及圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 4．如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质可知，再根据圆周角的性质及直角三角形的性质即可解答．本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直角三角形的性质，掌握切线的性质及圆周角的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故选． 5．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆周上，点P是线段OB上任意一点，连结AC、CP．若∠BAC=35°，则∠APC的度数不可能是（ ） A．90° B．75° C．60° D．50° 【答案】D 【详解】试题分析：首先连接BC，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，继而求得∠B的度数，则可得∠APC≥55°． 试题解析：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=90°-∠BAC=90°-35°=55°， ∵点P是线段OB上任意一点， ∴∠APC≥55°． ∴∠APC的度数不可能是50°． 故选D． 考点：圆周角定理． 6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先根据ABCD是圆内接正方形求出圆的半径，再在Rt△OEM中利用30度角的性质即可解决问题． 【详解】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC是直径，AC＝4， ∴OE＝OF＝2， ∵OM⊥EF，∴EM＝MF， ∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF＝60°， 在Rt△OME中，∵OE＝2，∠OEM＝∠GEF＝30°， ∴OM＝，EM＝OM＝， ∴EF＝2． 故选D． 【点睛】本题考查正多边形与圆、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 7．已知，AB是直径，，弦且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作于，当点在点时，点与点重合；当点在点时，点与点重合，利用圆周角定理的推论判定点在以为直径的圆上，则点运动路径为，再计算和的度数，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：作于，如图所示， 当点在点时，点与点重合；当点在点时，点与点重合， ，点在以为直径的圆上， 点运动路径为， 弦且过的中点， ，，，， ，  为等边三角形， 和为中位线，，， 运动的路径长度为：， 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、轨迹，点按一定规律运动所形成的图形叫这个点的运动轨迹，解题的关键是确定点运动的轨迹路径． 8．如图⊙O分别切AC、AB、BD于C、E、D三点，已知∠CAB=100º，∠ABD=60º，则∠AOB等于（    ） A．110º B．100º C．95º D．50º 【答案】B 【分析】运用切线的相关知识和角平分线的判定，得到AO平分∠CAE，算得∠OAE的度数，再用同样方法得到∠OBE的度数，最后用三角形内角和等于180度可求得∠AOB的度数． 【详解】如下图， 连接OC，OE ∵AC、AB切⊙O于C、E ∴OC⊥AC，OE⊥AB 又OC=OE ∴AO平分∠CAB ∴ 同理可得∠OBA= ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查切线的性质和角平分线的判定定理，其关键是熟悉相关定义和性质进行推理和运算． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知扇形的半径长6，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】 10．正六边形的边长是6，则这个正六边形的周长是 ． 【答案】36 【分析】正六边形的边长×6，可得正六边形的周长． 【详解】解：∵正六边形的边长是6， ∴这个正六边形的周长=6×6＝36， 故答案为：36． 【点睛】本题考查正多边形，解题的关键是理解正六边形的定义，属于中考基础题． 11．如图，AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB，垂足为E，如果AB=20cm，CD=16cm，那么线段AE的长为 cm． 【答案】4. 【详解】试题分析：连接CO，因为DC⊥AB，所以AB平分CD，因为CD=16,所以CE=8,因为AB=20，所以CO= OA=10,由勾股定理算出OE=6,所以AE=10-6=4cm，故答案为4cm. 考点：1.垂径定理；2.勾股定理. 12．如图，在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为 cm． 【答案】8 【详解】试题分析：本题应根据垂径定理和勾股定理求解． 大圆的弦AB与小圆相切于点C， ∴， 由垂径定理知，AC=BC， 由勾股定理得，AC=4， ∴AB=2AC=8 故答案为8 考点：切线的性质． 13．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到， ，， ， 在中，，， ， 上式． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【答案】(1)桥拱的半径是10米；(2)水面涨高了2米． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，半径，， 设桥拱的半径是米， ， （米， 拱高为4米， 米， ， ， ， 桥拱的半径是10米； （2）解：， （米， （米， （米， （米， 水面涨高了2米． 15．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2)的半径为3 【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 16．如图，为的直径，是上一点，是的中点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)AE的长为． 【分析】此题主要考查的是垂径定理以及相似在圆中的综合运用，解决此题的关键是正确作出辅助线，利用相似求出半径． （1）由垂径定理可得弧与弧的数量关系，结合已知可得弧与弧的数量关系，从而得到弧与弧相等，进而得到对应的弦相等； （2）连接，由已知可得，再由是直角可得，进一步得到，进而可以得到，利用相似三角形的性质可得到的长，进而得到半径的长度，在中利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用即可求出的长． 【详解】（1）证明：弦，为的直径， ， 是的中点， ， ， ． （2）解：连接交于点， ， ，， 是的中点， ， 是直径， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： (1)弹袋B转过的路程． (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 【答案】(1)弹袋B转过的路程为米；(2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，求弧长： （1）根据弧长公式求解即可； （2）过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E，先解得到米，再求出，进而解得到米，最后求出的长即可． 【详解】（1）解：∵米， ∴弹袋B转过的路程（米）， 答：弹袋B转过的路程为米； （2）解：过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E， 在中，∵米， ∴（米）， ， 在中， ∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 即杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米． 18．如图，内接于，交于点，连接．     (1)如图，求证：平分； (2)如图，延长交于点，连接，交于点，，求的度数； (3)如图，在（）的条件下，若，，求弦的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由垂径定理得，进而可得，即可求证； （）如图，连接，证明可得，即得，得到，再由圆周角定理即可求解； （）如图，连接，由是的直径得，由余弦的定义可得，又由得，即得，由勾股定理得，设，则，利用勾股定理得，解得，得到，，再利用可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等于的半径， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵，∴，即，解得， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，余弦的定义，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，已知是的切线，是切点是过圆心的一条割线，点、是它与的交点，且，．则的半径为 ． 【答案】6 【分析】根据切割线定理得PA2=PB•PC，从而可求得PC与BC的长，从而不难求得半径的长． 【详解】解：∵PA2=PB•PC，PA=8，PB=4，∴PC=16，∴BC=12，∴圆的半径是6． 【点睛】本题主要是运用了切割线定理，注意最后要求的是圆的半径． 20．如图，已知扇形的圆心角为，半径为1.则弓形的面积为 ． 【答案】 【分析】过点A作AD⊥BO的延长线于点D，先根据∠AOB=135°求出∠AOD的度数，由锐角三角函数的定义得出AD的长，再根据S弓形AMB=S扇形AOB-S△AOB即可得出结论． 【详解】过点A作AD⊥BO的延长线于点D， ∵∠AOB=135°， ∴∠AOD=180°−135°=45°. ∵OA=1， ∴AD=OA⋅sin45°=， ∴S弓形AMB=S扇形AOB−S△AOB=. 答：弓形AMB的面积为. 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解题关键在于过点A作AD⊥BO的延长线于点D. 21．如图，内接于，点，分别是，的中点，，，则的度数是 ． 【答案】20° 【分析】利用圆周角定理求得∠AOB=，∠AOC=，利用垂径定理证得△ODN是等边三角形，推出OD=ON=OM，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】如图，连接OA、OB、ON，取OA中点D，连接DN， ∵∠CAB=，∠CBA=， ∴∠ACB=， ∴∠AOB=，∠AOC=， ∵点M是OC的中点，点D是OA的中点， ∴OD= OM=OA， ∵点N是AB的中点，且∠AOB=， ∴ON⊥AB，∠AON=∠BON=， ∵点D是OA的中点，且∠ONA=， ∴DN=DO， ∴△ODN是等边三角形， ∴OD =OA， ∴OD=ON=OM， ∵∠MON=∠COA+∠AON ==， ∴∠OMN=∠NOM=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形内角和定理的应用，证得△ODN是等边三角形是解题的关键． 22．如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键． 如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，    ∴，， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过作于， ∴，，， ∴； 故答案为：． 23．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判断出点M的运动轨迹，属于中考常考题型． 如图，设的中点为O，连接，判断出点M的运动轨迹，利用勾股定理求出进而求解． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，作于H，    ， 是的中点， ， ， ， ∴点M的运动轨迹是以为直径的⊙T， 设⊙T交于点E，交于点F，连接，则是直径， ∴点M的运动轨迹在以为直径的上（即上），， ， ， 连接，与交于点M，    在中， ， ， 当时，此时最小， ， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，带动点使磨盘绕点转动，，． (1)当点、、三点共线的时候，的长为______； (2)点由轨道最远处向滑动，使磨盘转动不超过的过程中： ①与相切于点，如图3，求的长； ②从①中相切的位置开始，点继续向点方向滑动至点，点随之逆时针运动至点，此时，求点运动的路径长（结果保留）．（参考数据：，，） 【答案】(1)或 (2)①② 【分析】（1）分点Q在线段上和点Q在的延长线上两种情况，分别利用勾股定理求解即可； （2）①连接，根据切线的性质可得，然后根据勾股定理可进行求解；②连接、，过点作交于点．证明四边形是平行四边形，得到，解直角三角形得到，利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图：当点Q在线段上时，    在中，， ， ； 如图：当点Q在的延长线上时，   ， ； 综上，的长为或， 故答案为：或； （2）解：①如图1，连接， 与相切于点， ，    在中， ， 在中，； ②如图2，连接、，过点作交于点．   ，， 四边形是平行四边形， 交于点 ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质及勾股定理，弧长的计算，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 25．如图在等边中，的平分线交y轴于点D，C的坐标为 (1)如图1，求D的坐标． (2)如图2，E为x轴上任意一点，以为边，在第一象限内作等边，延长交y轴于点G，求的长． (3)如图3，在（1）条件下，M为y轴正半轴上D点上方的任意一点，在右上方作交延长线于N点，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)6 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，在中，根据勾股定理可得，再由C的坐标为，可得，然后根据直角三角形的性质可得，即可求出； （2）过点F作轴，垂足分别为K，H，，再证明，可得，即可求解； （3）在上截取，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，从而得到，可得到点M，D，B，N四点共圆，从而得到，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， 在中，， ∵C的坐标为， ∴， ∴， ∵的平分线交y轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （2）解：如图，过点F作轴，垂足分别为K，H， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M，D，B，N四点共圆，∴， 在和中， ∵，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，添加适当辅助线构建全等三角形是解题的关键． 26．如图，为的直径，弦交于点，连接，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接，使，连接、，过作交于点，交于点，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，再由等边对等角得到，根据同弧所对的圆周角相等和对顶角相等推出，再由三角形内角和定理即可证明结论； （2）过点E作于M，过点B作于N，证明，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则，由角平分线的性质得到，则； （3）设，则，则，，进而可证明，；如图所示，在上取点M，使得，连接，可证明，得到；设，则，，如图所示，过点G作交延长线于N， 设，则，由勾股定理可得，可得；则，，解直角三角形得到；设交于T，解直角三角形得到，则，根据三角形面积计算公式得到，解得或（舍去），则；如图所示，在上取一点Q，使得，连接，过点G作于P，则，设，则，由勾股定理可得，解得；再证明，则，由勾股定理得，，解得或（舍去），则． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点E作于M，过点B作于N， ∵， ∴， ∴， ∴； 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，在上取点M，使得，连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴设， ∴， ∴， 如图所示，过点G作交延长线于N， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，， ∴； 设交于T， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，在上取一点Q，使得，连接，过点G作于P， 在中，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$