34.2 解直角三角形及其应用 重难点专项练习（五大题型）（题型专练）数学人教版五四制九年级下册

34.2《解直角三角形及其应用》 分层练习 考查题型一 解直角三角形的相关计算 1．（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，点D在上，，．求的值． 2．（2023上·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，在中，，，，求的长及的余弦值． 3．（2023上·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，． (1)求； (2)求． 4．（2023上·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 考查题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 2．（2022上·山东聊城·九年级校考阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2020上·甘肃张掖·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 4．（2023下·河南安阳·八年级统考期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 考查题型三 仰角俯角问题 1．（2023上·四川成都·九年级成都市青羊实验中学校考阶段练习）如图，在水平地面上，有一盏垂直于地面的路灯，在路灯前方竖立有一木杆，已知木杆长米，木杆与路灯的距离米，并且在D点测得灯源A的仰角为．    (1)求路灯高大约是多少米？ (2)请在图中画出木杆在灯光下的影子（用线段表示），并求出影长（结果精确到0.1m，参考数据：） 2．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在小明家所住的高楼的正西方有一座小山坡，已知小山坡的坡面距离为200米，坡度，在点处测得楼顶的仰角为，在山顶处测得楼顶的仰角为．    (1)求的长度；（结果精确到整数） (2)一天傍晚，小明从出发散步去山顶，已知小明从到的速度为每分钟44米，从沿着上山的速度为每分钟25米，若他出发，请通过计算说明他在前能否到达山顶处？（，，，在同一平面内，参考数据：，，） 3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块高为的宣传牌，即数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离．根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为，站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为，依据他们测量的数据请求出宣传牌底部点D到地面的距离的长．（结果保留根号） 4．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）某体育场有一个垂直于底面的旗杆，其旁边有一个坡面，经测量发现，坡比，长为2米，小明在点测得旗杆顶点的仰角为19.2°，在点处测得旗杆顶点的仰角为45°，且三点在同一条水平线上，求旗杆的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据：） 考查题型四 方位角问题 1．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校联考阶段练习）货船以40海里/时的速度将一批货物由A运往正西方的B处，经8小时的航行到达，到达后须立即卸货，但此时一台风中心正以30海里/时的速度由A向北偏西60°的方向移动，距台风中心200海里/时的圆形区域会受到影响． (1)问：B处是否会受到影响？为什么？ (2)为了避免受影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果保留根号） 2．（2023上·重庆·九年级校考期中）如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为海里．一货船由码头A出发，沿北偏东方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西方向． (1)那么码头A与小岛C距离；（结果保留根号）． (2)货船在小岛C处准备返回码头B时发生故障，在原地等待救援，一艘救援船在码头A的正东方向和小岛C的南偏东方向D处以每小时海里的速度沿射线方向前往进行救援，一艘补给船以每小时海里的速度从码头A处沿射线方向前小岛C，请通过计算说明救援船能否在补给船到达之前赶到小岛C．（参考数据：，，） 3．（2023上·重庆石柱·九年级校考期中）近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：，） (1)求四边形空地边的长（精确到千米） (2)政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为元，判断费用是否充足？ 4．（2023上·安徽亳州·九年级统考期末）如图：一船以的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，行驶了1h后到达B处，测得距离灯塔C在北偏东30°的方向上． (1)此时灯塔C距离B处多少？ (2)已知灯塔C四周内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？ 考查题型五 坡度坡比问题 1．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，是某水库大坝的横截面，，为迎水坡，为背水坡，高度米，现要防洪加固背水坡，已知的坡比为，加固后背水坡的坡比为 (1)求的长度． (2)若大坝长100米，则加固背水坡所用的土石为多少立方米． 2．（2023上·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡角，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：） 3．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）某通信公司欲在山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡比为，通讯塔垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为，在D处测得塔顶A的仰角为，斜坡路段长26米． (1)求点D到水平地面的距离； (2)求通讯塔的高度、（参考数据：） 4．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果保留根号） 1．（2023·江西上饶·校联考二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 2．（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄，是底座，与所成的夹角为36.8°，点是把柄转轴所在的位咒，且点到底座的距离．与一根套管相连，可绕点转动，此时，，套管内含打孔针，打孔针的顶端触及到，但与不相连，始终与垂直，且，．    (1)打孔针的针尖离底座的距离是多少厘米? (2)压下把柄，直到点与点重合，如图3，此时，．两点重合，把柄将压下打孔针并将它锲入放在底座上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针锲入底座有多少厘米？ （参考数据：，，） 3．（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，斜坡的坡角为（），坡长10米（米），在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形．按图中的直角坐标系，斜坡可用表示，抛物线可用表示．    (1)求直线和抛物线的函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)求水柱离坡面的最大高度； (3)在斜坡上距离A点2米的C处有一棵米高的树，水柱能否越过树？ (4)将A处的喷灌设备向右平移多远，水柱才能恰好喷到C点？（过程中抛物线形状不变） 4．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1），其中为移门的高度，B为遮阳棚固定点，为遮阳棚的宽度（可变动），，． 小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约）；夏至日正午的太阳高度角a最大（约）．请你协助该小组，完成以下任务： 【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，应该不超过多少长度（结果精确到） 【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为，桌子高度．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到．参考数据：，，，，，，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 34.2《解直角三角形及其应用》 分层练习 考查题型一 解直角三角形的相关计算 1．（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，点D在上，，．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先解得到，再解可得． 【详解】解：中，，， ∴， 在中，，， ∴． 2．（2023上·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，在中，，，，求的长及的余弦值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素．通过，即可求解． 【详解】解：在中， ，， ， ， ， ． 3．（2023上·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了解三角函数以及勾股定理的应用． （1）根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案． （2）利用三角函数的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵，． ∴． ∴. （2）在中，， ∴. 4．（2023上·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形； （1）过点作于点，根据余弦的定义，求得，勾股定理求得，解得出，即可求解； （2）先求得，进而根据，求得，进而求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中，， ∴， （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ 考查题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 2．（2022上·山东聊城·九年级校考阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 3．（2020上·甘肃张掖·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【答案】6 【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：延长DA交CB的延长线于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∵∠DAB=120°， ∴∠EAB=60°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=24， ∵∠D=90°， ∴∠C=60°， ∴DE= CD=30， ∴AD=DE-AE=6． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2023下·河南安阳·八年级统考期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 考查题型三 仰角俯角问题 1．（2023上·四川成都·九年级成都市青羊实验中学校考阶段练习）如图，在水平地面上，有一盏垂直于地面的路灯，在路灯前方竖立有一木杆，已知木杆长米，木杆与路灯的距离米，并且在D点测得灯源A的仰角为．    (1)求路灯高大约是多少米？ (2)请在图中画出木杆在灯光下的影子（用线段表示），并求出影长（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】(1)路灯高大约是米． (2)影长为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）如图，在中，求出的长，用的长加上的长即可得到的长； （2）延长交的延长线与点，则：即为所求，解直角三角形，求出的长即可． 掌握锐角三角函数的定义，正确的计算，是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，由题意，得：，，    在中，， ∴； 答：路灯高大约是米． （2）如图：即为所求；    ∵， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∴影长为米． 2．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在小明家所住的高楼的正西方有一座小山坡，已知小山坡的坡面距离为200米，坡度，在点处测得楼顶的仰角为，在山顶处测得楼顶的仰角为．    (1)求的长度；（结果精确到整数） (2)一天傍晚，小明从出发散步去山顶，已知小明从到的速度为每分钟44米，从沿着上山的速度为每分钟25米，若他出发，请通过计算说明他在前能否到达山顶处？（，，，在同一平面内，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)能在6:20前到达山顶 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）过点C作，垂足为E，过点C作，垂足为F，根据已知可设米，则米，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后设米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后根据，列出关于y的方程进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）过点C作，垂足为E，过点C作，垂足为F，      由题意得：， ∵小山坡BC的坡度， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， 解得：， ∴米，米， 设米， ∴米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得：， ∴米， ∴的长度约为264米； （2）若他出发，他在前能到达山顶C处， 理由：∵小明从A到B的速度为每分钟44米，从B沿着上山的速度为每分钟25米， ∴小明从A出发散步去山顶C需要的时间（分钟）， ， ∴若他6：00出发，他在6：20前能到达山顶C处． 3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块高为的宣传牌，即数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离．根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为，站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为，依据他们测量的数据请求出宣传牌底部点D到地面的距离的长．（结果保留根号） 【答案】点到地面的距离的长为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，延长交于，证明，设，则，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于，则，    ， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴ ∴， 答：点到地面的距离的长为． 4．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）某体育场有一个垂直于底面的旗杆，其旁边有一个坡面，经测量发现，坡比，长为2米，小明在点测得旗杆顶点的仰角为19.2°，在点处测得旗杆顶点的仰角为45°，且三点在同一条水平线上，求旗杆的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】米 【分析】此题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数的定义，过点作于点，设，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，如图： ，坡面的坡比，即， ， 设米， ， ， 米， 四边形是矩形， ，， ， 在中， ， ，即： 解得：（米）， （米） 考查题型四 方位角问题 1．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校联考阶段练习）货船以40海里/时的速度将一批货物由A运往正西方的B处，经8小时的航行到达，到达后须立即卸货，但此时一台风中心正以30海里/时的速度由A向北偏西60°的方向移动，距台风中心200海里/时的圆形区域会受到影响． (1)问：B处是否会受到影响？为什么？ (2)为了避免受影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果保留根号） 【答案】(1)会受台风影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查解直角三角形应用的问题； （1）处是否会受到台风影响，其实就是到的垂直距离是否超过海里，如果超过则不会影响，反之受影响． （2）根据已知及三角函数求得的长，再根据路程公式求得时间即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵在中， ∴, ∵海里 ∴海里 ∵， ∴会受台风影响． （2）解：如图2， 在中，海里，海里， ∴海里， ∵要使卸货不受台风影响， ∴必须在点距台风中心第一次为海里前卸完货， 如图，海里，在中， 海里， ∴海里， ∵台风速度为30海里/小时， ∴时间小时， 答：为避免受到台风影响，该船应在小时内卸完货物． 2．（2023上·重庆·九年级校考期中）如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为海里．一货船由码头A出发，沿北偏东方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西方向． (1)那么码头A与小岛C距离；（结果保留根号）． (2)货船在小岛C处准备返回码头B时发生故障，在原地等待救援，一艘救援船在码头A的正东方向和小岛C的南偏东方向D处以每小时海里的速度沿射线方向前往进行救援，一艘补给船以每小时海里的速度从码头A处沿射线方向前小岛C，请通过计算说明救援船能否在补给船到达之前赶到小岛C．（参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)不能； 【分析】（1）本题考查解直角三角形解决仰俯角问题，根据方位角得到，即可得到，结合的正切及余弦求解即可得到答案； （2）本题考查解直角三角形解决仰俯角问题，根据的余弦求出，结合行程问题判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴海里； （2）解：由题意可得， ， ∴海里， ∵救援船以每小时海里的速度沿射线方向前往进行救援， ∴小时， ∵补给船以每小时海里的速度从码头A处沿射线方向前小岛C， ∴小时， ∴， 答：救援船不能在补给船到达之前赶到小岛C． 3．（2023上·重庆石柱·九年级校考期中）近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：，） (1)求四边形空地边的长（精确到千米） (2)政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为元，判断费用是否充足？ 【答案】(1) (2)改造费用不充足 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键. （1）延长交于点，过点作于点， 在中，解直角三角形即可求出的长； （2）分别在中和中, 求出, 求出四边形的周长，再求出改造费用与计划费用比较即可作出判断. 【详解】（1）延长交于点，过点作于点， 由题意，知是矩形，米, 米, , ∴, 在中, (米)， (米)， ∴米， (米)， 在中， (米)， 答：四边形空地边的长约为米； （2）(米)，米， (千米)，米, 米, (米)， 需要改造费用 (元)， ， ∴改造费用不充足． 4．（2023上·安徽亳州·九年级统考期末）如图：一船以的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，行驶了1h后到达B处，测得距离灯塔C在北偏东30°的方向上． (1)此时灯塔C距离B处多少？ (2)已知灯塔C四周内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？ 【答案】(1)20nmile (2)这船继续向东航行不安全 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题， （1）过点作，交的延长线于点，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，得到答案； （2）根据正弦的定义求出，判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， 由题意得：， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， （2）解：在中，，， 则， ∵， ∴这船继续向东航行不安全． 考查题型五 坡度坡比问题 1．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，是某水库大坝的横截面，，为迎水坡，为背水坡，高度米，现要防洪加固背水坡，已知的坡比为，加固后背水坡的坡比为 (1)求的长度． (2)若大坝长100米，则加固背水坡所用的土石为多少立方米． 【答案】(1)2米 (2)400立方米 【分析】本题考查解直角三角形——坡度坡比问题． （1）根据和的坡比求出，的长，从而可解答； （2）先求出截面的长，进而可解答． 【详解】（1）∵的坡比为，即， ∴米， ∵的坡比为，即， ∴（米）， ∴（米）． 答：的长为2米． （2）（平方米）， ∴加固背水坡所用的土石为（立方米）． 答：加固背水坡所用的土石为400立方米． 2．（2023上·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡角，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，然后利用三角函数可进行求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 3．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）某通信公司欲在山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡比为，通讯塔垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为，在D处测得塔顶A的仰角为，斜坡路段长26米． (1)求点D到水平地面的距离； (2)求通讯塔的高度、（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，根据题意添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知得到，从而设，则，利用勾股定理即可得到答案． （2）延长交于点交于点，过点作，根据题意得到米，设，则米，根据锐角三角函数得到米，列出关于的方程即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡比为， ， 而设，则， 在中，， ， ， 解得或（舍去）， 米，米． 求点D到水平地面的距离为米． （2）解：延长交于点交于点，过点作， 根据题意得到米，， 米， 在中，， ， 米， 在中，， ， ， ， ， 米，米， 斜坡的坡比为， ， 米， 米．    故通讯塔的高度为米． 4．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法．先由的坡度计算的长度，根据矩形性质得长度，再由的坡度得出的长度，根据勾股定理计算出的长度． 【详解】解：∵，其坡度为， ∴在中，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， 在中，， ∴斜坡的长度为． 1．（2023·江西上饶·校联考二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：．    （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了．    【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 2．（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄，是底座，与所成的夹角为36.8°，点是把柄转轴所在的位咒，且点到底座的距离．与一根套管相连，可绕点转动，此时，，套管内含打孔针，打孔针的顶端触及到，但与不相连，始终与垂直，且，．    (1)打孔针的针尖离底座的距离是多少厘米? (2)压下把柄，直到点与点重合，如图3，此时，．两点重合，把柄将压下打孔针并将它锲入放在底座上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针锲入底座有多少厘米？ （参考数据：，，） 【答案】(1)打孔针的针尖离底座的距离是0.6厘米 (2)打孔针锲入底座有0.32厘米 【分析】（1）如答图1，连接，先说明四边形是平行四边形可得，再解直角三角形可得即可解答； （2）如答图1，由题意可得四边形是平行四边形可得．如图3中，设与的交点为，则，．又可得即，进而求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如答图1，连接，    由题意可知，，， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 又∵与所成的夹角为， ∴． 在中，．． ∴打孔针的针尖离底座的距离是厘米． （2）解：如答图1， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴ 如图3中，设与的交点为，则，． ∵， ∴ ∴， ∴，解得． ∴． ∴打孔针锲入底座有0．32厘米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确做出辅助线是解答本题的关键． 3．（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，斜坡的坡角为（），坡长10米（米），在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形．按图中的直角坐标系，斜坡可用表示，抛物线可用表示．    (1)求直线和抛物线的函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)求水柱离坡面的最大高度； (3)在斜坡上距离A点2米的C处有一棵米高的树，水柱能否越过树？ (4)将A处的喷灌设备向右平移多远，水柱才能恰好喷到C点？（过程中抛物线形状不变） 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线解析式为 (2)米 (3)水柱能越过这棵树，理由见解析 (4)将A处的喷灌设备向右平移米，水柱才能恰好喷到C点， 【分析】（1）解求出米，米，进而得到，然后利用待定系数法求出抛物线解析式和直线的解析式即可； （2）如图所示，点P是抛物线上一点，过点P作交于M，先求出，解得到，则当最大时，最大，即水柱离坡面的高度最大，设，则，求出，利用二次函数的性质求出最大为，则的最大值为米； （3）如图所示，过点C作于K，解，米，米，则米，求出当时，，根据，可得水柱能越过这棵树； （4）设将A处的喷灌设备向右平移k米，水柱才能恰好喷到C点，求出平移后的抛物线解析式，根据平移后的抛物线恰好经过进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，米， ∴米，米， ∴； 把代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为； 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，点P是抛物线上一点，过点P作交于M， ∵， ∴， ∴在中，， ∴当最大时，最大，即水柱离坡面的高度最大， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大为， ∴的最大值为米， ∴水柱离坡面的高度最大为米；    （3）解：水柱能越过这棵树，理由如下： 如图所示，过点C作于K， 在中，米，米， ∴米， 在中，当时，， ∵， ∴水柱能越过这棵树；    （4）解：设将A处的喷灌设备向右平移k米，水柱才能恰好喷到C点， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式， 由（3）得， ∵平移后的抛物线恰好经过， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴将A处的喷灌设备向右平移米，水柱才能恰好喷到C点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确理解题意求出对应的函数关系式． 4．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图1），其中为移门的高度，B为遮阳棚固定点，为遮阳棚的宽度（可变动），，． 小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约）；夏至日正午的太阳高度角a最大（约）．请你协助该小组，完成以下任务： 【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，应该不超过多少长度（结果精确到） 【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为，桌子高度．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到．参考数据：，，，，，，）． 【答案】任务1：应该不超过；任务2：BD长约为． 【分析】任务1：设，过点Ｄ作于点E，在中，求得，，在中，得到，根据，列式计算即可求解； 任务2：先求得，作于点F，连接，过点D作于点G，设，同理求得，，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：任务1：在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，，设，过点Ｄ作于点E，如图， ∵，∴，在中，，，∴，，又∵，∴，在中，，∴，又∵，∴，解得， 答：应该不超过； 任务2：如图，作于点F，连接，过点D作于点G，设， 则，，，∴是等腰直角三角形，则，，∵，则，∴，，，，在中，，，∴，，在中，，∴，又∵，∴，解得， 答：BD长约为． 【点睛】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$