22.2 分式的运算（综合）（练习）数学人教版五四制八年级上册

22.2 分式的运算（综合） 一、单选题 1．计算：的正确结果是（         ） A．2 B．2b C．-2b D．-2ab² 2．化简，正确结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．自然界中花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000045毫克，将0.000045用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 7．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（　  　  ） A． B． C． D． 8．计算:正确的是（   ） A． B． C． D． 9．的结果是(     ) A．p B． C． D． 10．设，，则，的关系是(   ) A． B． C． D． 11．已知，则分式的值为（    ） A．8 B． C． D．4 12．已知（且），，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．计算：=________；=________；＝_______． 14．要使得有意义，的取值应满足的条件是___________． 15．化简：÷＝_____． 16．式子①；②；③；④．其中正确的式子有____________．（填序号） 17．分式①；②；③中，计算结果是整式的序号_______． 18．已知＝，则实数A＝_____． 19．化简：_______________________________. 20．如果，，那么______．_______． 21．已知，则___________． 22．已知a为范围的整数，则的值是______． 三、解答题 23．计算： 24．计算： 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 26．化简： (1) (2)（） 27．先化简，再求值： ，其中．选择一个适当的整数代入求值． 28．先化简，再求值： （1）已知，求的值； （2）设，求的值． 29．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求实数A，B． 30．有一杯糖水的含糖量为，往杯中加入糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了，你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？ 31．一个无盖长方体盒子的容积是V． （1）如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面积是多少？ （2）如果盒子底面是长为b､宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？ （3）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？（不计制造材料的厚度．） 32．课堂上，李老师提出这样一个问题：已知，求整数A，B的值.小明回答了解题思路：首先对等式右边进行通分，得，即，利用多项式相等，则对应的系数相等可列方程组，解这个方程组即可求出整数A，B的值.  李老师肯定了小明的解题思路是正确的，请你根据上述思路解答下列问题：已知，求整数A，B的值. 33．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分式的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．如：．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：．假分式也可以化为带分式． 如：． (1)思考：分式是___________分式(填“真”或“假”)； (2)探究：将假分式化为带分式． (3)拓展：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 34．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：______ (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2 分式的运算（综合） 一、单选题 1．计算：的正确结果是（         ） A．2 B．2b C．-2b D．-2ab² 【答案】C 【分析】根据分式的乘法运算运算法则即可求出答案． 【解析】解：, 故选：C． 【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则． 2．化简，正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的除法进行计算即可求解． 【解析】解：原式＝， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键． 3．下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒． 【解析】A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的运算，在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除法运算法则和运算顺序对每一个选项进行计算即可得到正确选项． 【解析】解：A． ，故A选项错误，不符合题意； B．，故B选项错误，不符合题意； C．，故C选项正确，符合题意； D．，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法和除法，熟练掌握单项式的运算法则是解题的关键． 5．自然界中花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000045毫克，将0.000045用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【解析】解：． 故选：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，关键是确定出中与的值． 6．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异分母分式加减运算法则进行计算即可． 【解析】解： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了异分母分式相减，解题的关键是对分式进行通分，将异分母分式变为同分母分式． 7．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（　  　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】甲、乙合作完成工程的时间=工作总量÷甲乙工效之和，没有工作总量，可设其为1，所以甲、乙合做此项工程所需的时间为1÷（）=小时． 【解析】设工作量为1，由甲1小时完成 ，乙1小时完成， 因此甲、乙合作此项工程所需的时间为1÷（）=小时， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用列代数式（分式），分式的加减乘除运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量与已知量间的关系． 8．计算:正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则，通分化为同分母分式加法，计算即可． 【解析】解： = = =， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的加法，熟练掌握通分是解题的关键． 9．的结果是(     ) A．p B． C． D． 【答案】A 【分析】先将式子中的分子和分母进行因式分解，再进行约分即可． 【解析】 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的计算，准确将式子中的分子、分母进行因式分解是解答本题的关键． 10．设，，则，的关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断，的关系，可以计算的结果，由此即可求解． 【解析】解：根据题意得， ， ∴，的关系是互为相反数， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键． 11．已知，则分式的值为（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】B 【分析】把已知整理成，再整体代入求解即可． 【解析】解：∵，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将整体代入是解题关键． 12．已知（且），，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数是一个循环，进而可得的值． 【解析】解：∵（且）， ∴ ⋯⋯ ∵2022÷3=674 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 二、填空题 13．计算：=________；=________；＝_______． 【答案】               【分析】根据分式的性质约分，分式的除法进行计算即可求解． 【解析】解：； ； ； 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了分式的约分，分式的除法运算，掌握分式的性质以及运算法则是解题的关键． 14．要使得有意义，的取值应满足的条件是___________． 【答案】且##且 【分析】代数式中的0指数幂和负整数指数幂的底数不能为0，再求x的取值范围． 【解析】解：根据题意可知 且， 解得且． 故答案为：且 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，解决本题的关键是掌握负整数指数幂和0指数幂的底数不能为0． 15．化简：÷＝_____． 【答案】 【分析】先进行因式分解，把除法变成乘法，进行约分即可． 【解析】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握除法法则是解题的关键． 16．式子①；②；③；④．其中正确的式子有____________．（填序号） 【答案】② 【分析】利用负整数指数幂，同底数幂的除法的法则，科学记数法对各式进行运算即可判断． 【解析】解：①，故式子①不正确，不符合题意； ②，故式子②正确，符合题意； ③，故式子③不正确，不符合题意； ④，故式子④不正确，不符合题意. 故答案为：②． 【点睛】本题考查负整数指数幂，同底数幂的除法，科学记数法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 17．分式①；②；③中，计算结果是整式的序号_______． 【答案】①③ 【分析】根据各项化简得到的结果，即可做出判断． 【解析】解：①原式，满足题意； ②原式，不合题意； ③原式，符合题意； 则计算结果是整式的是：①③． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． 18．已知＝，则实数A＝_____． 【答案】1 【分析】根据分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出答案． 【解析】解： ＝ ＝， 由题意可知：， 解得：A＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出答案． 19．化简：_______________________________. 【答案】 【分析】根据分式的加减法可进行求解． 【解析】解：原式= = = =； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解及分式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键． 20．如果，，那么______．_______． 【答案】          【分析】把通分，得到，整体代入即可求解， 把 通分，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算得出结果． 【解析】解：； ； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值，熟练掌握分式化简的方法是解决此题的关键． 21．已知，则___________． 【答案】119 【分析】根据已知可得，然后再利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【解析】解：∵， ， 即， ， ， ， ∴， ∴， ∴ 故答案为：119． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 22．已知a为范围的整数，则的值是______． 【答案】-1 【分析】根据分式的混合运算法则先将所求分式化简，再根据分式有意义的条件，确定a的值，最后代入求值即可． 【解析】解： ， 根据题意有：，，， 即，，， ∵，且为整数， ∴， 将代入，有原式， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 三、解答题 23．计算： 【答案】． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解析】解： ．      【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题． 24．计算： 【答案】 【分析】根据分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【解析】解： 【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是对分子分母进行因式分解，准确进行计算． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】（1）将分式的分子、分母的公因式或公因数直接约分化简即可； （2）先将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （3）两个分式相乘，先分子、分母约分，再相乘即可； （4）先将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （5）两个分式相乘，先将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （6）两个分式相除，先将除法变为乘法，再将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （7）两个分式相除，先将除法变为乘法，再将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可； （8）两个分式相乘，先将分子、分母分别因式分解，然后约分化简即可． （1） 解： =； （2） 解： = = =； （3） 解： = =； （4） 解： = =； （5） 解： = = =； （6） 解： = = =； （7） 解： = = =； （8） 解： = =． 【点睛】此题考查了分式的化简与分式的乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则、因式分解是解此题的关键． 26．化简： (1) (2)（） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通分化为同分母分式加减法，进而即可求解； （2）先算括号里分式的减法，再把除法化为乘法，进而即可求解． 【解析】（1）解： = = = = =； （2）解： = = =. 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握通分和约分以及分式的混合运算法则是关键． 27．先化简，再求值： ，其中．选择一个适当的整数代入求值． 【答案】，2022 【分析】根据分式的混合运算法则，先算减法，再算乘除法化简，最后代入求值即可． 【解析】解： = = =， ∵， ∴原式=． 【点睛】本题主要考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 28．先化简，再求值： （1）已知，求的值； （2）设，求的值． 【答案】（1），101；（2），． 【分析】（1）利用完全平方公式因式分解，化简分式，再利用同分母分式加法法则解题，最后代值计算即可； （2）通分，将分式的分母统一化成，再结合同分母分式的加法法则及完全平方公式进行计算、化简，最后代入数值解题． 【解析】解：（1） 当时， 原式=1+r=1+100=101； （2） 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 29．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求实数A，B． 【答案】（1）；（2）2；（3）A=1，B=2． 【分析】（1）先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，设m=5k，n=3k，再代入求出即可； （2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可； （3）先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，再得出关于A、B的方程组，求出方程组的解即可． 【解析】解：（1） ， ∵， ∴设m=5k，n=3k， 当m=5k，n=3k时，原式； （2）∵， ∴； （3） ， ∵， ∴， 解得：A=1，B=2． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，乘法公式等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 30．有一杯糖水的含糖量为，往杯中加入糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了，你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？ 【答案】含糖量比原来高了，见解析 【分析】表示出加糖后的含糖量，利用作差法比较即可． 【解析】解：设杯中原有糖水mg，加入cg糖后，杯中糖水变为(m+c)g，此时糖水中含糖，即，含糖量为． ∵a＜b，c＞0， ∴， ∴，即含糖量比原来高了． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 31．一个无盖长方体盒子的容积是V． （1）如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面积是多少？ （2）如果盒子底面是长为b､宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？ （3）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？（不计制造材料的厚度．） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据体积公式可计算出盒子的高，则由长方体表面积公式可求得盒子的表面积； （2）根据体积公式可计算出盒子的高，则由长方体表面积公式可求得盒子的表面积； （3）把前两小题中所得的式子相减并化简即可． 【解析】（1）长方体盒子的高为： 由于盒子底面是正方形，则盒子的另外四个面完全相同，所以盒子的表面积为：； （2）长方体盒子的高为： 盒子的表面积为：； （3）∵ ∴ ∴ 即当底面积相等时，两种盒子的表面积相差是． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，长方体的体积与表面积等知识，关键是掌握长方体体积与表面积的计算公式． 32．课堂上，李老师提出这样一个问题：已知，求整数A，B的值.小明回答了解题思路：首先对等式右边进行通分，得，即，利用多项式相等，则对应的系数相等可列方程组，解这个方程组即可求出整数A，B的值.  李老师肯定了小明的解题思路是正确的，请你根据上述思路解答下列问题：已知，求整数A，B的值. 【答案】 【分析】先通分计算，可得再建立方程组，从而可得答案. 【解析】解：∵ ∴ ∴ 解得： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，分式的加减运算的逆运算，掌握“分式的加减运算的逆运算”是解本题的关键. 33．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分式的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．如：．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：．假分式也可以化为带分式． 如：． (1)思考：分式是___________分式(填“真”或“假”)； (2)探究：将假分式化为带分式． (3)拓展：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3)， 【分析】（1）根据“真分式”、“假分式”的定义判断即可； （2）按照题目给出的方法将假分式化为带分式即可； （3）根据分式的混合运算法则计算化简，结合分式有意义的条件确定出x的值． 【解析】（1）解：∵的分子是常数，即为0次，分母是1次， ∴分子的次数小于分母的次数， ∴是真分数， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， 可知当，，或者时，整式的结果可以为整数， 又∵根据分式有意义的条件可得：，，，， ∴且，， ∴， 检验：当时，原式，符合要求． 即：化简结果为，． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算及化简，分式有意义的条件等知识，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 34．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：______ (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①1，②5． 【分析】（1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可． (1) 解：将看成一个整体，令， 则原式． (2) 解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． (3) 解：①∵， ∴ ． ②∵， ∴ ． 【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． ( 23 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$