精品解析：福建省福州第十中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

2024—2025学年第一学期第一次月考 高一数学试卷 （满分：150分；考试时间：105分钟） 注恴事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：必修第一册第一章、第二章的2.1以及2.2节． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. .， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定变为特称命题. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选:D. 2. 对于实数，下列说法正确的是（  ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断. 【详解】对于A选项，若或，或显然无意义.故A选项错误； 对于B选项，若，则.故B选项错误； 对于C选项，因为，所以各项同时乘以得.故C正确； 对于D选项，因为，所以，所以， 所以，即.因为根据题意不知道的符号， 所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误. 故选：C. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 4. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、讨论，利用可得答案. 【详解】因为，所以， ①时，，解得； ②时，则有，解得. 综上，m的取值范围是. 故选：D. 5. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可. 【详解】由可得 ，又因为，所以. 故选：A. 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变； 选项B，不等式成立，默认，两边同乘，不等号不变； 选项C，从不等式到不等式，是不等式两边同乘，但不一定是正数； 选项D，对于结论，实际上是，但，无法保证同向相加. 【详解】选项A：若，则不成立，即A错误； 选项B：由不等式性质可知：若，则有，即B正确； 选项C：当时，由，可得，即C错误； 选项D：当时，有成立， 但此时，，由可知，不成立，即D错误. 故选：B. 7. 设集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数. 【详解】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由可知，， 所以， 当，即时，等号成立， 联立，得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若集合，，则 B. ， C. ， D. 若集合，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据集合相等的定义判断A选项，根据平方的非负性判断B、C选项，根据真子集的定义判断D选项. 【详解】由集合的无序性知，故A选项正确；一个数的平方为非负数，故B选项正确；，故C选项错误；由集合的真子集的概念可知，故D选项错误. 故选：AB. 10. 已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由自变量的取值范围以及不等式可得，可得结论. 【详解】根据题意可知不等式恒成立， 可得，即. 因此实数的值可以是. 故选：ABD 11. 以下说法正确的有（ ） A. 实数 是成立的充要条件 B. 不等式对恒成立 C. 命题“”的否定是“” D. 若，则的最小值是4 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A,D，结合特殊值法，即可求解，对于B，结合作差法，即可求解，对于C，结合命题否定的定义，即可求解． 【详解】对于A，当时，显然成立，故A错误， 对于B，＝，当且仅当时，等号成立， 故不等式对a，b∈R恒成立，故B正确， 对于C，“”的否定是“”，故C正确， 对于D，令，满足，但，故D错误． 故选：BC． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则的取值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】 由，可知，所以或，即或，再验证排除不符合的即可得到答案. 【详解】由，可知，所以或，即或. 当时，，不满足集合的互异性，所以不成立； 当时，，，满足，所以成立； 故答案为：3 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合交集结果求参数，一定要注意集合中的元素具有三个性质：互异性，确定性，无序性；所以算出来或时，要代入集合检验, 13. 集合,，则_________ 【答案】1或0 【解析】 【分析】根据包含关系可求参数的值，注意讨论集合是否为空集即可. 【详解】, ,或， 故或. 故答案为：1或0 14. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，阴影部分为，根据补集运算求出，再根据交集运算，即可求出结果. 【详解】由图可知，阴影部分为， ∵或，∴ ∴．. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，以及图得应用，属于基础题. 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知或． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； 【小问2详解】 依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 16. 设集合，； （1）当时，求， （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的概念进行求解； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 当时，，； . 【小问2详解】 因为， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值集合. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合补集的运算，求得，再结合集合交集的运算，即可求解. （2）由，列出不等式组，即可求解实数的取值集合. 【小问1详解】 解：由不等式，可得， 当时，集合，则. 【小问2详解】 解：由集合， 因为，则满足，解得， 所以实数的取值集合是. 18. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图） （1）求每辆客车营运的总利润y关于营运年数的函数关系； （2）当每辆客车营运年数为多少时，营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 【答案】（1）， （2）5，2 【解析】 【分析】（1）根据图象即可求解； （2）由基本不等式求解的最大值即可. 【小问1详解】 根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下， 设二次函数的解析式为， 所以，解得，即， 【小问2详解】 由（1）可得：营运的年平均利润， 当且仅当，即时取等号．最大值为2. 19. 已知有限集（，），如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2． 【答案】（1）是，理由如下： 由，，则集合是“完美集”， （2）证明：若是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又均为正数， 若都不大于2，则矛盾， 所以至少有一个大于2. 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，以及一元二次方程的性质进行求解即可； 【小问1详解】 是，理由略； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期第一次月考 高一数学试卷 （满分：150分；考试时间：105分钟） 注恴事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：必修第一册第一章、第二章的2.1以及2.2节． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. .， C. ， D. ， 2. 对于实数，下列说法正确的是（  ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 设集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若集合，，则 B. ， C. ， D. 若集合，，则 10. 已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 11. 以下说法正确的有（ ） A. 实数 是成立的充要条件 B. 不等式对恒成立 C. 命题“”的否定是“” D. 若，则的最小值是4 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则的取值为______. 13. 集合,，则_________ 14. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________． 四、解答题（本大题共5题，共77分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知或． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 设集合，； （1）当时，求， （2）若，求的取值范围. 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值集合. 18. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图） （1）求每辆客车营运的总利润y关于营运年数的函数关系； （2）当每辆客车营运年数为多少时，营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 19. 已知有限集（，），如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $