上海市高二数学上学期期中模拟卷02（范围：空间直线与平面、简单几何体、概率）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷02 （ 试卷满分：150分 测试范围：空间直线与平面、简单几何体、概率） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若两个半平面所成二面角的大小为，则的取值范围是 　，　． 【分析】利用二面角的定义，写出结果即可． 【解答】解：两个半平面所成二面角的大小为，则的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查二面角的定义，二面角的范围，是基础题． 2．过半径为2的球表面上一点作球的截面，截面的面积为，则球心到该截面的距离为　1　． 【分析】由题意画出图形，由截面面积求出截面圆的半径，再由勾股定理得答案． 【解答】解：如图， ，设截面的半径为，即， 则，得． 球心到该截面的距离为． 故答案为：1． 【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，是基础的计算题． 3．以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是 　　． 【分析】求出圆柱的底面半径以及高，利用表面积公式求解即可． 【解答】解：边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的几何体为圆柱， 该圆柱的底面半径为1，高为1， 所以该圆柱的表面积是． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转体的理解与应用，主要考查了圆柱的几何性质的应用以及表面积公式的应用，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题． 4．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为 　0.9　． 【分析】利用概率加法公式直接求解． 【解答】解：一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7， 两门课都超过90分的概率是0.3， 则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为： ． 故答案为：0.9． 【点评】本题考查概率的运算，考查概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的结论序号是 　①②④　． ①；②平面；③异面直线，所成的角为定值；④以为顶点的四面体的体积为定值． 【分析】对于①，由平面，得；对于②，由，得平面；对于③，异面直线，所成的角不一定为定值；对于④，到平面的距离是定值，是定值，从而以为顶点的四面体的体积为定值． 【解答】解：对于①，平面，平面，，故①正确； 对于②，，在，， 平面，平面，平面，故②正确； 对于③，当点在处，为的中点时， 由可知异面直线，所成的角是； 当在上底面的中心时，在的位置， 异面直线，所成的角是，两个角不相等， 从而异面直线，所成的角不一定为定值，故③错误； 对于④，到平面的距离是定值， 是定值， 以为顶点的四面体的体积为定值，故④正确． 故选：①②④． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 6．如图，有一个半径为15的半球，过球心作底面的垂线，上一点满足，过作平行于底面的截面将半球分成两个几何体，其中较大部分的体积为 　　． 【分析】利用祖暅原理计算出截面以上部分的体积，再利用半球的体积减去截面以上部分的体积可得结果． 【解答】解：设截面以上部分的体积为，截面以下部分的体积为， 设，，则，， 将进行等分，过这些等分点作平行于底面的平面，将截面以上部分切割成层， 每一层都是近似于圆柱形状的小圆柱， 这些小圆片的体积之和即为， 由于小圆片近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应圆柱的体积， 它的高就是小圆片的厚度，底面就是小圆片的下底面， 由勾股定理可知第层（由下向上数）小圆片的下底面半径为， 于是，第层小圆片的体积为， 所以， ， 所以，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查几何体体积的计算，祖暅原理的应用等知识，属于中等题． 7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率是　　． 【分析】由一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，可得基本事件的总数有27个，然后计算出满足条件两面漆有油漆的基本事件个数，代入古典概型概率公式即可得到答案． 【解答】解：一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体， 其中满足两面漆有油漆的小正方体有12个 故从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据棱柱的结构特征，根据正方体共有12条棱，计算出两面漆有油漆的基本事件个数，是解答本题的关键． 8．如图，四边形是圆柱的轴截面，且，，是圆上异于，的两点，当平面时，直线与直线所成角的余弦值为 　　． 【分析】连接，，利用面面平行的性质定理可得，即有为直线与直线所成角，再在中运用三角函数关系即可求得答案． 【解答】解：连接，， ，平面， 平面， 平面，而平面， ，，平面， 平面平面， 又平面平面， 平面平面， ， 则为直线与直线所成角， 又，， 在中，， ， 直线与直线所成角的余弦值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，是中档题． 9．三棱锥中，面面，，，，，，为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为 　　． 【分析】过作，垂足点为，连接，根据面面，可得底面，从而得即为直线与面所成角，设，，又，从而，又易知，且，从而由余弦定理可求出，从而求出，从而构建关于的函数模型，最后通过函数思想即可求解． 【解答】解：如图，过作，垂足点为，连接， 根据面面，可得底面， 即为直线与面所成角， 设，，又，， ，，， 易知，且， 在中，由余弦定理可得： ， ， ， 当时，取得最大值， 直线与面所成角的正弦的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查线面角的求解，余弦定理的应用，函数建模，函数思想，属中档题． 10．水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部．若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度” 指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面时的，其中为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度” 的余弦值为　　． 【分析】本题使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为．利用展开图解决． 【解答】解：其展开图如图所示． 水管直径为2， 水管的周长为， 故答案为： 【点评】本题考查锐角三角函数的概念，转化思想，空间想象能力． 11．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 　　． 【分析】先利用基本不等式求出的取值范围，再设点，的坐标，由，的纵坐标相同，得到，从而得到，再利用圆柱的体积公式以及基本不等式，即可得到答案． 【解答】解：函数， 因为，则，当且仅当时取等号， 所以， 则， 因为矩形绕轴旋转而成的几何体为圆柱， 设点的坐标为，，，，如图所示， 则圆柱的底面圆的半径为，高为， 因为，， 所以， 即， 因为，所以， 则， 故， 所以圆柱的体积为， 当且仅当时取等号， 所以此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是． 【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 12．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形，，如果三棱柱有半径为1的内切球，则三棱柱的体积为 　12　． 【分析】设三棱柱的高为，，，，内切球的半径为，通过内切球的半径可求出，利用等面积法以及勾股定理求出和，即可求解三棱柱的体积． 【解答】解：设三棱柱的高为，再设，，，内切球的半径为， 由题意可知，，直角三角形的内切圆半径也为， 由等面积法可得：， ，即， 又， ，， 三棱柱的体积为． 故答案为：12． 【点评】本题考查了空间几何体的内切球的应用，解题的关键是由内切球的半径求出高，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知，是两条不同的直线，平面，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可． 【解答】解：当平面时，若”则“”成立，即充分性成立， 若，则或，即必要性不成立， 则“”是“”充分不必要条件， 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键．难度不大． 14．如图，用斜二测画法作的直观图得△，其中，是边上的中线，由图形可知，在是的中点）中，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用斜二测画法的规则结合直角三角形的性质，即可判断得到答案． 【解答】解：根据斜二测画法的规则可知，为直角三角形且，， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题． 15．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为　　 A．3 B． C．1 D． 【分析】由已知结合弧长公式求得圆锥的母线长，由圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，再由勾股定理求解． 【解答】解：设圆锥的母线长为，则，可得， 设圆锥的底面半径为，则，得， 圆锥的高为． 故选：． 【点评】本题考查扇形弧长公式的应用，考查化归与转化思想，是基础题． 16．已知四棱锥的底面为矩形，平面，点为侧棱（不含端点的线段）上动点，则点在平面上的射影在　　 A．棱上 B．内部 C．外部 D．不确定 【分析】如图所示，将四棱锥补成长方体，利用线面垂直的判定与性质，证出在平面上的射影在图中的线段上（不含端点），即可得到本题的答案． 【解答】解：根据四边形为矩形，平面，将四棱锥补成长方体，如图所示， 连接，过点作于点，连接，过点作，交于点， 则就是点在平面上的射影． 证明：平面，平面，， 又，且、是平面内的相交直线，平面， ，平面，即点为点在平面上的射影． 因此，根据点在线段上（不含端点），可知点在平面上的射影在的外部． 故选：． 【点评】本题主要考查线面垂直的判定与性质、棱锥与棱柱的关系、棱锥的结构特征等知识，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点，求异面直线和所成的角（结果用反三角函数值表示）． 【分析】由题意可知，或其补角为异面直线和所成的角，证明，则在中，可求，进而异面直线和所成的角． 【解答】解：，所以或其补角为异面直线和所成的角， 又平面， ， 又，，、面， 面，， 于是在中，，，， 异面直线和所成的角是． 【点评】本题考查异面直线的夹角问题，属于中档题． 18．如图，将边长为2的正方形沿对角线折叠，使得平面与平面所成二面角为直角，平面，且． （1）求证：直线与平面平行； （2）求点到平面的距离． 【分析】（1）取的中点，连接、，证明平面即可得解； （2）在三棱锥中，利用等体积法即可求出点到平面的距离． 【解答】解：（1）证明：取的中点，连接、，如图， 又在中，，，则， 又平面与平面所成二面角为直角， 平面平面，又平面平面，平面， 平面，又，平面，且， ，又， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面； （2）由（1）可得平面，，， 平面，又， 等腰底边上的高， ， 又，设点到平面的距离为， ， ， ，， 点到平面的距离为1． 【点评】本题考查面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，等体积法求点面距，属中档题． 19．在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10． （Ⅰ）求棱的长； （Ⅱ）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值． 【分析】（Ⅰ）设，由题设，可求出棱长． （Ⅱ）因为在长方体中，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）那么借助于三角形求解得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）设， 由题设， 即，解得． 故的长为3． （Ⅱ）在长方体中，， 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在△中，，， ，， ， 则． 异面直线与所成角的余弦值为． 【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离． 20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点． （1）证明：； （2）求四棱锥的表面积； （3）求直线与平面所成角的大小． 【分析】（1）由已知求解三角形证明，再由底面，得，可得平面，进一步得到； （2）已知底面，由三垂线定理可得，，分别求出各面面积，即可得到四棱锥的表面积； （3）连接、、，由等体积法求点到平面的距离，即可求直线与平面所成角的正弦值，则答案可求． 【解答】解：（1）证明：连接，则，又，， ，则． 底面，， 又，平面， 而平面，则； （2）已知底面， 由三垂线定理可得，． 因此，， ，． 四棱锥的表面积； （3）连接、、， ， ． 设点到平面的距离为，则由， 得，解得． 设直线与平面所成角的大小为，则， 则直线与平面所成角的大小为． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查多面体表面积的求法及直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题． 21．如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中为直角顶点，．、、、分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形． （1）求证：平面，平面； （2）设二面角的平面角为，求在区间，变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积； （3）设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？ 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得， （2）由的变化过程中，得出的射影，再求面积即可． （3）当平面平面时，多面体的体积恰好为时，求得的值． 【解答】解：（1）四边形为平行四边形， ．而面，面， 面．而面，面面， ．而面，面， 平面．同理，平面 （2）， 在平面上的投影满足，即在线段的中垂线上． 如图所示，将补成边长为2的正， 当二面角为角时，即点在平面上， 此时’为， 当二面角为角时，此时为中点， 故在平面上的投影所扫过的平面区域为， 而， 故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为． （3）取中点，因为， 所以平面，， ， 而多面体的体积恰好为，即多面体的体积恰为四面体体积的一半． 连接、． ，整理得，即， 解得：舍去）． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷02 （ 试卷满分：150分 测试范围：空间直线与平面、简单几何体、概率） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若两个半平面所成二面角的大小为，则的取值范围是 　　． 2．过半径为2的球表面上一点作球的截面，截面的面积为，则球心到该截面的距离为　　． 3．以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是 　　． 4．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为 　　． 5．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的结论序号是 　　． ①；②平面；③异面直线，所成的角为定值；④以为顶点的四面体的体积为定值． 6．如图，有一个半径为15的半球，过球心作底面的垂线，上一点满足，过作平行于底面的截面将半球分成两个几何体，其中较大部分的体积为 　　． 7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率是　　． 8．如图，四边形是圆柱的轴截面，且，，是圆上异于，的两点，当平面时，直线与直线所成角的余弦值为 　　． 9．三棱锥中，面面，，，，，，为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为 　　． 10．水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部．若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度” 指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面时的，其中为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度” 的余弦值为　　． 11．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 　　． 12．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形，，如果三棱柱有半径为1的内切球，则三棱柱的体积为 　　． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知，是两条不同的直线，平面，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．如图，用斜二测画法作的直观图得△，其中，是边上的中线，由图形可知，在是的中点）中，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 15．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为　　 A．3 B． C．1 D． 16．已知四棱锥的底面为矩形，平面，点为侧棱（不含端点的线段）上动点，则点在平面上的射影在　　 A．棱上 B．内部 C．外部 D．不确定 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点，求异面直线和所成的角（结果用反三角函数值表示）． 18．如图，将边长为2的正方形沿对角线折叠，使得平面与平面所成二面角为直角，平面，且． （1）求证：直线与平面平行； （2）求点到平面的距离． 19．在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10． （Ⅰ）求棱的长； （Ⅱ）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值． 20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点． （1）证明：； （2）求四棱锥的表面积； （3）求直线与平面所成角的大小． 21．如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中为直角顶点，．、、、分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形． （1）求证：平面，平面； （2）设二面角的平面角为，求在区间，变化的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积； （3）设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$