上海市高二数学上学期期中模拟卷01（范围：空间直线与平面、简单几何体、数列）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷01 （ 试卷满分：150分 测试范围：空间直线与平面、简单几何体、数列） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的　 　． 2．直线与平面所成的角为，且是直线上两点，线段在平面内的射影长为3，则　 　． 3．已知数列的通项公式，则前项和　　． 4．将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是　　． 5．已知底面直径和高相等的圆柱的底面积为，则圆柱的体积为 　 　． 6．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是 　　． 7．如图，在长方体中，，，、分别是、的中点，则与所成角的余弦值为 　　． 8．如图所示，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于　　． 9．在无穷等比数列中，等于　　． 10．（2023秋•嘉定区校级期中）如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是 　 ． 11．（2024春•普陀区校级期中）如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱、的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是 　 　． 12．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，平面，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论： ①；②；③直线与底面所成角的正弦值为；④面积的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为　　 A．16 B．18 C．20 D．22 15．如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是　　． A．12 B． C．6 D． 16．一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞、、，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知在直角三角形中，，，． （1）若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 18．如图，在三棱台中，，，，为线段中点，为线段上的点，平面． （1）求证：点为线段的中点； （2）求三棱台的表面积． 19．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上． （1）若直线平面，求的值； （2）当平面时，求点到平面的距离． 20．已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，． （1）求和的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求． 21．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且， （Ⅰ）若为线段的中点，求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥体积的最大值； （Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷01 （ 试卷满分：150分 测试范围：空间直线与平面、简单几何体、数列） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的　必要不充分条件　． 【分析】直线垂直于平面内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则与不一定平行，如果，根据线面垂直的性质可知直线垂直于平面内的无数条直线，最后根据“若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件”可得结论． 【解答】解：直线垂直于平面内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则与不一定平行， 如果，根据线面垂直的性质可知直线垂直于平面内的无数条直线． 故“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分条件． 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题． 2．直线与平面所成的角为，且是直线上两点，线段在平面内的射影长为3，则　　． 【分析】根据线面角的定义作出线面角，然后进行计算即可确定其距离． 【解答】解：如图所示，将点平移到平面之内，则所求的距离与原来的距离相等， 过点作面于点，则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查线面角的定义及其应用，属于基础题． 3．已知数列的通项公式，则前项和　　． 【分析】由数列的通项公式，知前项和．由此能求出其结果． 【解答】解：数列的通项公式， 前项和 ． 故答案为：． 【点评】本题考查数列的求和，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用． 4．将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是　3　． 【分析】求出球的体积，即可求出球的半径． 【解答】解：水面升高，则知钢球体积为即有， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查球、圆柱体积的计算，考查学生的计算能力，比较基础． 5．已知底面直径和高相等的圆柱的底面积为，则圆柱的体积为 　　． 【分析】根据给定条件，求出圆柱的底面圆半径，再利用圆柱的体积公式计算作答． 【解答】解：依题意，圆柱的底面圆半径，有，解得， 则圆柱的高， 所以圆柱的体积， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆柱体体积的计算，属于基础题． 6．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是 　　． 【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【解答】解：将图1中的△和△放置于同一平面内，如图2所示， 则， 直三棱柱中，，， △中，，， 同理可得在△中，，， 在图2中，， ，， 的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查化空间为平面的转化思想，勾股定理的应用，属基础题． 7．如图，在长方体中，，，、分别是、的中点，则与所成角的余弦值为 　　． 【分析】作出异面直线所成的角，根据特殊三角形得出所求角或利用余弦定理计算角的余弦值． 【解答】解：取中点，连接，， ，为与所成的角， ，，又， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题． 8．如图所示，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于　　． 【分析】设出圆柱的上底面半径为，球的半径与上底面夹角为，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值． 【解答】解：设圆柱的上底面半径为，球的半径与上底面夹角为，则，圆柱的高为， 圆柱的侧面积为：，当且仅当时，，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：，球的表面积为：，所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：． 故答案为： 【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型． 9．在无穷等比数列中，等于　　． 【分析】由题设知，，，所以 ．由此能求出． 【解答】解：无穷等比数列中，，， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查数列的极限，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的灵活运用． 10．（2023秋•嘉定区校级期中）如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是 　　． 【分析】根据给定条件，作出截面，利用割补法求解即得． 【解答】解：在正方体中，直线与直线，分别交于，， 连接，分别与，交于点，，连接，， 则五边形是过、、的正方体的截面， 由为中点，为中点，得，，， ，即， 同理，，， ， 等腰△中，， 则， ， ， 所以截面的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查几何体中的截面问题，属于中档题． 11．（2024春•普陀区校级期中）如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱、的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是 　，　． 【分析】取中点，连结，，推导出平面平面，从而点在线段上运动，作于，由，能求出线段长度的取值范围． 【解答】解：取中点，连结，， 在棱长为2的正方体中，点、分别是棱、的中点， ，， ，， 平面平面， 是侧面正方形内一点（含边界），平面， 点在线段上运动， 在等腰△中，，， 作于，由等面积法解得： ， ， 线段长度的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，平面，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论： ①；②；③直线与底面所成角的正弦值为；④面积的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 　①③④　． 【分析】对①，由线线垂直证平面，再证； 对②，由线面垂直得，由几何关系求出，在由余弦定理求得，即可进一步求在由余弦定理求得； 对③，由线面角定义，就是直线与底面所成的角，； 对④，由平面得，，讨论的范围即可． 【解答】解：对①，菱形中，由平面，平面得，又，、平面，所以平面， 因为平面，所以，①对； 对②，菱形中，，，，平面，所以，，，，所以，②错； 对③，由线面角定义知，就是直线与底面所成的角，，③对； 对④，由平面得，，时最小，为，最大时与重合，故，④对． 故答案为：①③④． 【点评】本题主要考查了棱锥的结构特征，考查了线面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识判断，利用空间向量法判断． 【解答】解：直线、、与平面、， 对于，当，时，，可能相交，可能平行，可能异面，故错误； 对于，不妨设是的方向向量， 因为，，所以是平面，的一个法向量，所以，故正确； 对于，当，时，，可能平行，可能异面，故错误； 对于，当，时，，可能相交，可能平行，故错误． 故选：． 【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题． 14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为　　 A．16 B．18 C．20 D．22 【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果 【解答】解：由题意可得，几何体如下图所示： 取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且，， 设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， 即原圆锥的母线长为16． 故选：． 【点评】本题主要考查圆锥、圆台的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题． 15．如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是　　． A．12 B． C．6 D． 【分析】由斜二测法画法得到原图形是平行四边形，且，求解，由此能求出该原图形的面积． 【解答】解：如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图， 其中，，则原图形是平行四边形，如图， ，， ，， 该原图形的面积为． 故选：． 【点评】本题考查原图形面积的求法，考查斜二测法、直观图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞、、，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的　　 A． B． C． D． 【分析】液面为平面时所盛水最多，利用体积之比即可求解． 【解答】解：设到平面的距离为， 因为，所以到平面的距离为， 因为， 所以， 所以，， 所以，因此最多可盛的水的体积为， 故选：． 【点评】本题主要考查棱锥的体积，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知在直角三角形中，，，． （1）若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【分析】（1）若以为轴，直角三角形旋转一周，结合旋转体可知形成的几何体为圆锥，然后求所得几何体的表面积； （2）利用侧面展开图，通过扇形转化求解即可． 【解答】解：（1）在中，，， 所以，解得， 若以为轴旋转一周，则形成的几何体为以为半径，高为的圆锥， 则， 所以圆锥的表面积为； （2）由问题（1）的圆锥，要使蚂蚁爬行的距离最短， 则沿点的母线把圆锥侧面展开为平面图形，最短距离就是点到点的距离， 因为，在中，由余弦定理得， 即蚂蚁爬行的最短距离为． 【点评】本题考查旋转体的简单性质，圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，属于中档题． 18．如图，在三棱台中，，，，为线段中点，为线段上的点，平面． （1）求证：点为线段的中点； （2）求三棱台的表面积． 【分析】（1）连接，设，由平面，证得，结合是的中点，得到点是的中点； （2）根据题意，先求得上下底面正三角形的面积分别和，再结合侧面和侧面均为直角梯形，求得面积为，由侧面为等腰梯形，过点作，求得的长，得到侧面的面积为，即可求解． 【解答】解：（1）连接，设，连接、， 因为平面，平面，且平面平面， 所以， 又因为四边形是正方形，且是的中点，所以点是的中点． （2）三棱台中， 因为，所以为等边三角形， 所以也为等边三角形，且， 上底面为等边三角形，其边长为1，可得面积为， 下底面为等边三角形，其边长为2，可得面积为， 又因为，所以侧面和侧面均为直角梯形，且， 其面积均为， 侧面为等腰梯形，其中，，且， 过点作，垂足为，可得， 所以侧面的面积为， 所以三棱台的表面积为． 【点评】本题考查棱台的表面积计算，涉及线面平行的性质和应用，属于中档题． 19．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上． （1）若直线平面，求的值； （2）当平面时，求点到平面的距离． 【分析】（1）连接与交于点，连接，由三角形相似得到，再利用线面平行的性质定理可得，由平行线的性质求解即可； （2）利用等体积法，利用锥体的体积公式列式求解即可． 【解答】解：（1）连接与交于点，连接， 因为，， 则， 所以， 又平面，平面，且平面平面， 故， 所以， 故的值为； （2）因为平面，平面， 故，又， 所以是的中点， 又面面， 则点到面的距离为， 故点到面的距离为， 由等体积法， 在中，，，， 则， 所以，解得， 故点到平面的距离为． 【点评】本题考查了线面平行的性质定理的应用以及点到面距离的求法，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题． 20．已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，． （1）求和的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求． 【分析】（1）由题设求得等差数列的公差与等比数列的公比，即可求得与； （2）先由（1）求得，再利用错位相减法求得其前项和即可． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题设可得：，即，解得：， ，； （2）由（1）可得：， ， 又， 两式相减得：， 整理得：． 【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题． 21．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且， （Ⅰ）若为线段的中点，求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥体积的最大值； （Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值． 【分析】（Ⅰ）由题意可证，又，即可证明平面． （Ⅱ）当时，到的距离最大且最大值为1，又，即可求面积的最大值，又三棱锥的高，即可求得三棱锥体积的最大值． （Ⅲ）可求，即有，由，，可证为中点，从而可求，从而得解． 【解答】解：（Ⅰ）在中，因为，为的中点， 所以， 又垂直于圆所在的平面， 所以， 因为， 所以平面． （Ⅱ）因为点在圆上， 所以当时，到的距离最大，且最大值为1， 又，所以面积的最大值为， 又因为三棱锥的高， 故三棱锥体积的最大值为：． （Ⅲ）在中，，， 所以， 同理，所以， 在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示， 当，，共线时，取得最小值， 又因为，， 所以垂直平分，即为中点． 从而． 亦即的最小值为：． 【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$