专题11三角形内角与外角及其关系的六种常见题型-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

专题11三角形内角与外角及其的关系的六种常见题型 题型01三角形内角和定理在求角度中的应用 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在三角形中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 【例1-2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，点，分别在边，上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，关键是由直角三角形的性质推出，得到，由三角形内角和定理即可得到，熟记三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【例1-3】（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图所示，在中，已知是角平分线，，，点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义可得，由得继而利用三角形内角和定理即可求得度数，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理，根据题意求出，，再由三角形内角和定理列式求解即可得到答案，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， 在中，由三角形内角和定理可知，， 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，在中，平分，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，则，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，中，，的外角平分线交的延长线于点D，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为．也考查了角平分线定义以及三角形外角的性质．设，由，根据角平分线定义得到，再根据三角形外角的性质得到，再由，然后根据三角形的内角和定理即可得到． 【详解】解：设， ， ， 而平分， ， 而， ， ， 在中， ， 即， ． 即． 题型02三角形内角和定理在拼图中的应用 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，先由三角形内角和定理得到，再由平行线的性质得到，则根据三角形外角的性质可得，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 故选：C． 【例2-2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了三角形内角和定理．由题意得，，，再根据三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴故答案为：． 【例2-3】（23-24八年级上·贵州遵义·期中）将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点B、C． (1)如图①，若时，点D在内，则____度，______度，_____度； (2)如图②，改变直角三角板的位置，使点D在内，请探究、、之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． (3)如图③，改变直角三角板的位置，使点D在外，且在边的左侧，判断、、三者之间存在的数量关系并说明理由． 【答案】(1)140；90；50 (2)，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握外角和内角的关系． （1）根据三角形内角和定理可得，，进而可求出的度数； （2）根据三角形内角和定义有，则． （3）根据三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； 故答案为：140；90；50． （2）、、之间的数量关系为：． 证明如下： 在中，．              在中，．                 ∴． ∴． （3）、、之间的数量关系为：． 证明如下： 如图③，设交于点M，    ∵，， ∴． ∴． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·天津河东·阶段练习）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，以及三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角相等，根据三角板特点和三角形内角和定理，得到、、进而得到，再利用三角形外角性质求解，即可解题． 【详解】解：如图： 由三角板特点可知，， ， ， ， 故选：D． 【变式2-2】（23-24八年级上·河南郑州）如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． （1）若，则 °； （2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是 ． 【答案】 38 【分析】（1）根据三角形内角和定理易求的度数．已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）在中，，同理在中，，相减即可得到． 本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识；注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 即． 故答案为：38； （2）．理由如下： 在中，， ， ， ， 即， ． 即； 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级上·湖北随州·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．下面用一副三角板（中，，；中，，）拼接图形． (1)如图，点在上，求的度数； (2)如图，点与点重合，交于点，若，判断并证明与的位置关系． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（）由三角形内角和定理先求出，再利用三角形内角和定理即可求出； （）．证明即可求证； 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的判定，掌握三角形的内角和定理及外角性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型03三角形内角和定理在探究与折叠问题有关的角的关系中的应用 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·海南儋州）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．由折叠性质可得，，，再由等腰直角三角形性质得，即可得到；设，，可得，，，即可推导出；∠1与∠2不一定相等，与不一定平行，即可确定答案． 【详解】解：由折叠的性质，，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，故选项③正确； 设，， ∴，，∵， ∴， ∴， ∴，故选项②正确； ∵， ∴与不一定相等，故选项①不一定正确； ∵点在边上，不固定，与不一定平行，故选项④不一定正确； 综上分析可知：正确的结论有②③． 故选：C． 【例3-2】（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，，分别是的边，上的两点，，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的定义、折叠的性质．根据平角定义和折叠的性质，得，再利用三角形的内角和定理进行转换，得． 【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得 ， 又， ． 故答案为：． 【例3-3】（23-24八年级上·河南信阳）如图所示，将三角形纸片沿折叠． (1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由； (2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （2），理由如下： 如图： 根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，，点、在、上，沿向内折叠，得，则图中等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由图形翻折变换的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：中，， ， 由翻折而成， ，， ， 故选：C 【变式3-2】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边、上），点A落在点的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角定理，折叠的性质；根据折叠知，，，再结合三角形内角和定理求解． 【详解】如图，由折叠知，，， ，， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，由邻补角的定义可得，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （3）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 题型04三角形外角的性质在比较角的大小中的应用 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图①，试比较的大小；如图②，试比较的大小．    【答案】图①，图② 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，即可得出结果． 【详解】图①：解：∵， ∴． 图②：解：∵， ∴． 【例4-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先利用面积法求出的长，然后根据三角形的中线定义即可求解； （）先通过三角形的外角性质，从而求出，由角平分线的定义得，最后通过外角性质和直角三角形的性质即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，三角形角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴； （2）解：∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例4-3】（23-24八年级上·安徽·单元测试）已知：在中，平分，相交于点O．    (1)如图①，若，，，求的大小； (2)如图②，若平分，且，求的大小； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的性质求出，进而求出的大小； （2）根据三角形的内角和定理得到，求出答案即可； （3）设，则，根据题意求出，即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分， ； （2）解：平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：， 设， ， 平分， 设，则， 是的外角， ， ， 是的外角， ， 即， ， ， ， 【变式演练】 【变式4-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，点在射线上，比较，和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】根据三角形外角的定义及性质可知，解答即可．本题考查了三角形外角的定义及性质，熟练运用三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 同理：， ∵，，， ∴． 【变式4-2】（22-23八年级上·北京西城）已知：如图，．    (1)画出中边上的中线； (2)画出中边上的高线； (3)画出的角平分线； (4)比较与的大小： ，依据是 ． (5)比较线段与的大小： ，依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，三角形的外角大于任意一个不相邻的内角 (5)，垂线段最短 【分析】（1）取的中点D，连接，即可画出中边上的中线； （2）根据钝角三角形的高线的画法即可画出中边上的高，即过点D画的垂线即可； （3）根据角平分线的画法即可画出的平分线； （4）利用三角形的外角性质即可判断； （3）利用垂线段最短即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所示求，   ； （2）解：如图，即为所示求，   ； （3）解：如图，即为所示求，   ； （4）解：，依据是三角形的外角大于任意一个不相邻的内角． 故答案为：，三角形的外角大于任意一个不相邻的内角； （5）解：，依据是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质以及垂线段最短．解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【变式4-3】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）已知，在中，，是角平分线，D是上的点，、相交于点F．    (1)若时，如图所示，求证：； (2)若时，试问还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)不成立；当时，；当时，；理由见解析． 【分析】（1）证明，由，证明，由三角形的外角的性质可得，，从而可得结论． （2）证明，结合三角形的内角和定理可得，再分两种情况可得结论． 【详解】（1）证明：∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）不成立． 理由如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴ 当时，， ∴； 当时，， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键． 题型05三角形外角的性质在探究动点问题中有关角度之间的关系的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点． (1)如图，点在线段上运动． ①若，，则的度数是______；的度数是______． ②探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在线段上运动时，请在备用图中补全图形，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①的度数是；的度数是；② (2) 【分析】本题考查角平分线，平行线的性质，三角形内角和定理；掌握角平分线的定义以及弄清题目中各个角之间的关系是解题关键． （1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答； （2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答． 【详解】（1）①解：， ; , ； ， ． ②， ， 又， ； ． （2）如图， 平分交于点， ； ， ； 又 平分， ； ， ． 【例5-2】（2023八年级上·全国·专题练习）解答 (1)如图1，平分，平分，且．请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，且，当直角顶点E移动时，写出与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，P为线段上定点，Q为射线上一动点（不与点重合），当点Q在射线上运动时，与有何数量关系？写出结论，并加以说明． 【答案】(1)，理由详见解析 (2)，理由详见解析 (3)，理由详见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义，推出，利用同旁内角互补，两直线平行即可得出结论； （2）延长交于点F，根据两直线平行内错角相等，可得，再利用外角性质即可得出结论； （3）根据两直线平行同旁内角互补，可得，再利用三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，平分， ，， 又， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点F， ， ， 为的一个外角， ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ． 【例5-3】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图①所示，且，则________° (2)若点P在边AB上运动，如图②所示，试探索之间的数量关系，并将你的探索过程写出来； (3)若点P在斜边的延长线上运动（），请分别写出图③、图④、图⑤中之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)图③中；图④中，；图⑤中 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等是解题的关键． （1）由题意知，，，，由，可求，然后计算求解即可； （2）同理（1）作答即可； （3）设，如图③，由题意得，，，由，整理作答即可；如图④，由题意知，，由，可得，即，整理作答即可；如图⑤，由题意得，，，由，整理作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，，，， ∵， ∴； （3）解：设， 如图③， ∴，， ∴，即； ∴； 如图④，由题意知，， ∵， ∴，即， ∴； 如图⑤， ∴，， ∴，即； ∴； ∴图③中；图④中，；图⑤中． 【变式演练】 【变式5-1】（2023八年级上·全国·专题练习）【问题情境】 如图①，，，，求的度数．小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． 【问题迁移】 (2)如图②，，点在直线上运动，记，，当点P在线段BD上（不与B、D重合）时，与，之间有何数量关系?请说明理由． 【问题应用】 (3)在（2）的条件下，如果点不在线段BD上，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形外角的性质． （1）过作，由平行线的性质求出，，即可解决问题； （2）过作，由平行线的性质即可得到； （3）分两种情况讨论，由平行线的性质，三角形外角的性质，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①，过作， ， ， ，， ，， ，， ； （2）解：如图②，当在线段上时，，理由如下： 过作， ， ， ，， ； （3）解：当在射线上时，交于，如图③，理由如下： ， ， ， ； 当在射线上时，交于，如图④，，理由如下： ， ， ， ． 【变式5-2】（23-24八年级上·河南信阳）如图所示，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与、的数量关系．写出结论，无须证明． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是关键． （1）由三角形内角和可求得，由角平分线定义、三角形外角性质及三角形内角和即可求得的度数； （2）分及两种情况考虑，利用三角形内角和定理、角平分线定义及三角形外角的性质即可得到数量关系． 【详解】（1）解：，， ； 平分， ， ； ， ， ； （2）解：猜想：或 证明如下： ①当时； ； 平分， ， ； ， ， ； ②当时，如图； ； 平分， ， ； ， ， ； 综上：或 【变式5-3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图1，，求的度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，求的度数； (2)如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关性质，应用分类讨论思想解题是解题关键 （1）通过平行线性质可得，再代入可求即可； （2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）分两种情况：P在的延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图2，过P作交于E， ， ， ， ； （3）①如图所示，当P在的延长线上时，； ， ， 是的一个外角， ， ； ②如图所示，当P在延长线上时，； ， ， 是的一个外角， ， ； 综上所述：或． 题型06利用三角形内角、外角关系探究角平分线夹角的规律 【典例分析】 【例6-1】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ①，，；②，，；③，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，求证：是“准互余三角形”． 【答案】(1)②③ (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”的定义解答即可； （2）根据“准互余角”的定义求出，再由三角形内角和定理求出的度数； （3）由题意得，所以只要证明和满足，即可解答 【详解】（1）解：∴三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”， ∴， ∴三个内角为，，的三角形不是“准互余三角形”； ∵， ∴三个内角为，，的三角形是“准互余三角形”； ∵， ∴三个内角为，，的三角形是“准互余三角形”； 故答案为：②③； （2）解：∵△ABC为“准互余三角形”，和是“准互余角”， ， ∴， ∴ 又 ∴； （3）证明：∵平分， ∴ 又是的外角，且 ∴ ∴ ∴ ∴是“准互余三角形”． 【例6-2】（21-22八年级上·陕西西安·阶段练习）已知与相交于点．    (1)如图①，这样的图形我们把它称为“字形”，求证：； (2)如图②，、分别平分、，若，，求的度数； (3)如图③，平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理及对顶角的性质即可证明； （2）利用（1）中结论可得，，进而可得； （3）根据四边形，内角和为360度列式相加，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ． ∵， ∴． （2）解：∵、分别平分、， ∴，． 由（1）的结论得，，① ，② ①＋②得，， ∴． ∵，， ∴． （3）解：． 理由：∵平分的外角，平分的外角， ∴，， 在四边形中，①， 在四边形中，②， ①＋②得：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的定义等，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【例6-3】（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）【概念认识】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图1，，，是的“三分线”，则______； （2）如图2，在中，，，若的“三分线”交于点，则_____________； （3）如图3，在中，，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”，且，求的度数； 【延伸推广】 （4）在中，是的外角，的“三分线”所在的直线与的“三分线”所在的直线交于点．苦，，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）的度数是或或或或 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，数形结合，准确运用分类讨论思想分析是解题的关键． （1）是“邻三分线”时，是“邻三分线”时，根据三角形的三分线求出即可； （2）分情况讨论如图当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，即可得答案； （3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可； （4）画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】（1）解：，，是的“三分线”， ， ； （2）如图， 当是“邻三分线”时， ，， ； 当是“邻三分线”时， ，， ； 综上所述，或； （3）如图， ∵， ， 、分别是邻三分线和邻三分线， ，， ， ， ； （4）分为四种情况： 情况一：如图， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ； 情况二：如图， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：， ； 情况三、 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 当时，如图， 由外角可得：， ； 当时，如图， 由外角及对顶角可得：， ； 情况四、如图， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ； 综合上述：的度数是或或或或． 【变式演练】 【变式6-1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）若三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”． (1)关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是____________（填写所有正确说法的序号）； ①在中，若，，，则是“准余三角形”； ②若是“准互余三角形”，，，则； ③“准互余三角形”一定是钝角三角形． (2)如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”； (3)如图2，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且．若P是直线l上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)，，， 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角度的计算，理解“准互余三角形”的定义，是解题的关键： （1）根据“准互余三角形”的定义，逐一进行判断即可； （2）根据三角形的内角和定理，结合角平分线平分角，推出，即可得证； （3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：①，， ， 是“准互余三角形”． 故①正确． ②三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”， ， 三角形的第三个角大于， 由已知得 又， 故②错误， ③正确．②中已经证明． 故答案为①③． （2）在中，， ， 是的角平分线， ， ， 是“准互余三角形”． （3）当点在点左侧时： ∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当点在点右侧时：当时，， 当时，， ∴， 综上：，，，时，满足条件，是“准互余三角形”． 【变式6-2】（21-22七年级下·广东珠海·期末）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，、分别平分、， ①图2中共有______个“8字形”； ②若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法） ③猜想图2中与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）说明见解析；（2）①6；②；③，理由见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可； ②根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ③根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2）如图， ①交点有点、各有1个，交点有4个， 所以，“8字形”图形共有6个； 故答案为：6； ②，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ③根据“8字形”数量关系，，， 所以，，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）北京奥运会，2008年8月8日晚上8时整在中国首都北京开幕，这或许能体现出中国人如何痴迷于幸运数字“8”，恰逢今年11月江西师大附中将迎来80周年华诞，岁经八秩，桃李芬芳，那么让我们一起来感受一下“8”的魅力． 如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．    (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）设，，解方程即可得到答案； （2）由“8”字三角形得①， ②， ，得，整理后可得结论； （3）连接PB，PD根据，得到 同理得到：，再根据，，，，即可求解． （4）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到180°，再根据，得到即可求解； 【详解】（1），分别平分，， ∴， 设，， 则有， ， ； （2）∵的平分线和的平分线所在直线相交于点P， ∴， ∵，① ∴， ∴， ∴． ∵，② ，得 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）连接 直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵， ∴， ∴    （4）直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴180°， 即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11三角形内角与外角及其的关系的六种常见题型 题型01三角形内角和定理在求角度中的应用 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在三角形中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，点，分别在边，上，若，则 ． 【例1-3】（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图所示，在中，已知是角平分线，，，点，求的度数． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，则等于（      ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，在中，平分，则的度数是 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，中，，的外角平分线交的延长线于点D，若，求的度数． 题型02三角形内角和定理在拼图中的应用 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于（） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，则的度数为 ． 【例2-3】（23-24八年级上·贵州遵义·期中）将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点B、C． (1)如图①，若时，点D在内，则____度，______度，_____度； (2)如图②，改变直角三角板的位置，使点D在内，请探究、、之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． (3)如图③，改变直角三角板的位置，使点D在外，且在边的左侧，判断、、三者之间存在的数量关系并说明理由． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·天津河东·阶段练习）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级上·河南郑州）如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． （1）若，则 °； （2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是 ． 【变式2-3】（23-24八年级上·湖北随州·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．下面用一副三角板（中，，；中，，）拼接图形． (1)如图，点在上，求的度数； (2)如图，点与点重合，交于点，若，判断并证明与的位置关系． 题型03三角形内角和定理在探究与折叠问题有关的角的关系中的应用 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·海南儋州）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【例3-2】（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，，分别是的边，上的两点，，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则 ． 【例3-3】（23-24八年级上·河南信阳）如图所示，将三角形纸片沿折叠． (1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由； (2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，，点、在、上，沿向内折叠，得，则图中等于（   ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边、上），点A落在点的位置，若，则 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 题型04三角形外角的性质在比较角的大小中的应用 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图①，试比较的大小；如图②，试比较的大小．    【例4-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【例4-3】（23-24八年级上·安徽·单元测试）已知：在中，平分，相交于点O．    (1)如图①，若，，，求的大小； (2)如图②，若平分，且，求的大小； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，点在射线上，比较，和的大小关系，并证明你的结论． 【变式4-2】（22-23八年级上·北京西城）已知：如图，．    (1)画出中边上的中线； (2)画出中边上的高线； (3)画出的角平分线； (4)比较与的大小： ，依据是 ． (5)比较线段与的大小： ，依据是 ． 【变式4-3】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）已知，在中，，是角平分线，D是上的点，、相交于点F．    (1)若时，如图所示，求证：； (2)若时，试问还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较和的大小，并说明理由． 题型05三角形外角的性质在探究动点问题中有关角度之间的关系的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点． (1)如图，点在线段上运动． ①若，，则的度数是______；的度数是______． ②探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在线段上运动时，请在备用图中补全图形，并直接写出与之间的数量关系． 【例5-2】（2023八年级上·全国·专题练习）解答 (1)如图1，平分，平分，且．请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，且，当直角顶点E移动时，写出与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，P为线段上定点，Q为射线上一动点（不与点重合），当点Q在射线上运动时，与有何数量关系？写出结论，并加以说明． 【例5-3】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图①所示，且，则________° (2)若点P在边AB上运动，如图②所示，试探索之间的数量关系，并将你的探索过程写出来； (3)若点P在斜边的延长线上运动（），请分别写出图③、图④、图⑤中之间的数量关系． 【变式演练】 【变式5-1】（2023八年级上·全国·专题练习）【问题情境】 如图①，，，，求的度数．小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． 【问题迁移】 (2)如图②，，点在直线上运动，记，，当点P在线段BD上（不与B、D重合）时，与，之间有何数量关系?请说明理由． 【问题应用】 (3)在（2）的条件下，如果点不在线段BD上，请直接写出与，之间的数量关系． 【变式5-2】（23-24八年级上·河南信阳）如图所示，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与、的数量关系．写出结论，无须证明． 【变式5-3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图1，，求的度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，求的度数； (2)如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系（并画出相应的图形）． 题型06利用三角形内角、外角关系探究角平分线夹角的规律 【典例分析】 【例6-1】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ①，，；②，，；③，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，求证：是“准互余三角形”． 【例6-2】（21-22八年级上·陕西西安·阶段练习）已知与相交于点．    (1)如图①，这样的图形我们把它称为“字形”，求证：； (2)如图②，、分别平分、，若，，求的度数； (3)如图③，平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系，并说明理由． 【例6-3】（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）【概念认识】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图1，，，是的“三分线”，则______； （2）如图2，在中，，，若的“三分线”交于点，则_____________； （3）如图3，在中，，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”，且，求的度数； 【延伸推广】 （4）在中，是的外角，的“三分线”所在的直线与的“三分线”所在的直线交于点．苦，，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【变式演练】 【变式6-1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）若三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”． (1)关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是____________（填写所有正确说法的序号）； ①在中，若，，，则是“准余三角形”； ②若是“准互余三角形”，，，则； ③“准互余三角形”一定是钝角三角形． (2)如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”； (3)如图2，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且．若P是直线l上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数． 【变式6-2】（21-22七年级下·广东珠海·期末）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，、分别平分、， ①图2中共有______个“8字形”； ②若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法） ③猜想图2中与的数量关系，并说明理由． 【变式6-3】（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）北京奥运会，2008年8月8日晚上8时整在中国首都北京开幕，这或许能体现出中国人如何痴迷于幸运数字“8”，恰逢今年11月江西师大附中将迎来80周年华诞，岁经八秩，桃李芬芳，那么让我们一起来感受一下“8”的魅力． 如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．    (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$