专题08勾股定理中最短路径与图形的变式的四种类型（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题08勾股定理中最短路径与图形的变式的四种类型 （四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01立体图形中的最短路径问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为12，高为8，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D．10 【例1-2】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为 ． 【例1-3】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么蚂蚁爬行的最短的路线长是多少？ 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 题型02将军饮马问题 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为和，且C、D相距，则铺水管的最短长度是（   ） A．5 B． C．7 D． 【例2-2】（21-22八年级·河南许昌·期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算． 【例2-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂． (1)设，请用的代数式表示的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ 【变式演练】 【变式2-1】（八年级上·全国·课后作业）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    【变式2-2】（22-23八年级·云南昭通·期中）如图，河的同侧有、两个村，且，、两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向、两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用（元）．    【变式2-3】（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 题型03勾股树的变式与应用 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 ．    【例3-3】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①________，8，10；②5，________，13；③7，24，________． (2)小铭发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成，，如，，． ①请你帮小铭证明这三个数2mn，，是勾股数组； ②如果24，45，51是满足上述小铭发现的规律的勾股数组，求的值． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级·重庆綦江·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6，则最大正方形E的面积是（    ） A．14 B．34 C．58 D．72 【变式3-2】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足4、6、2、4，则正方形的边长是 ．    【变式3-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 题型04弦图的变式与应用 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【例4-2】（2024八年级上·浙江·专题练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ． 【例4-3】（22-23八年级·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）北师大版初中数学教科书七年级下册第23页告诉我们，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． 请解答下列问题： (1)类似地，写出图②中所表示的数学等式________； (2)如图③的图案被称为“赵爽弦图”，是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．此图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．已知直角三角形的两直角边分别为，若，，求大正方形的面积； (3)如图④，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，直接写出正方形的面积________． 一、单选题 1．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，分别以为一边在外面作三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（    ） A．18 B．27 C．36 D．45 2．（22-23八年级上·重庆渝中·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（    ） A．20 B．26 C．30 D．52 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 4．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积之和为 ． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为 ． 6．（24-25八年级上·陕西西安）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为 ．    三、解答题 7．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 8．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少． 9．（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 10．（22-23八年级上·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； (2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08勾股定理中最短路径与图形的变式的四种类型 （四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01立体图形中的最短路径问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为12，高为8，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理中最小路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为12，高为8，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：D． 【例1-2】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理求最短路径问题．根据题意将楼梯展开即可直观看到从点A到点C的最短距离即为展开后矩形的对角线，继而勾股定理求出本题答案． 【详解】解：将楼梯展开，如下图： ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例1-3】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么蚂蚁爬行的最短的路线长是多少？ 【答案】，详见解析 【分析】本题主要考查了平面展开图，最短路径问题，勾股定理等知识点，首先画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可，在平面图形上构造直角三角形是解决此题的关键． 【详解】如图，将圆柱体的侧面展开并连接， ∵圆柱的底面半径为， ∴， 在中，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短的路线长是． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理；要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为． 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求出对应的最短路径，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； ∵， ∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 故答案为：13． 【变式1-3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【答案】能，最短行程是． 【分析】此题考查了平面展开——最短路径问题，根据题意分两种情况利用勾股定理求解，然后比较即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：在中，根据勾股定理 ∵，， ∴， 如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：在中，根据勾股定理 ∵，， ∴， ∵ ∴最短行程是． 题型02将军饮马问题 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为和，且C、D相距，则铺水管的最短长度是（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理．作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离． 过A作于G，过E作于F， ∵， ∴，，， ，， 在中，， ∴铺水管的最短长度是， 故选：D． 【例2-2】（21-22八年级·河南许昌·期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算． 【答案】画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km． 【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD．根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD． 【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图： ∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中， ∴牧童的行走路线为AF+BF， ∵A点关于河岸l的对称点为D， ∴AF=DF， ∴AF+BF=DF+BF， 即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD， ∵A点距离河岸l为4km， ∴AD=4×2=8（km）， ∵AC=7km， ∴DC=AD+AC=8+7=15（km）， 根据题意可知∠C=90°，BC=8km， ∴△BCD是直角三角形， ∴， 答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键． 【例2-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂． (1)设，请用的代数式表示的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ 【答案】(1) (2)连接与的交点就是污水处理厂的位置，此时最少需要管道 (3)的最小值为 【分析】（1）在和中，根据勾股定理可得，的长，进而即可求解； （2）连接与的交点就是污水处理厂的位置，过点作⊥于，在△中，勾股定理即可求解； （3）当、、共线时，求出的值即为原式的最小值，在△中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在和中，根据勾股定理可得，， ∴， （2）根据两点之间线段最短可知，连接与的交点就是污水处理厂的位置． 过点作⊥于，则有，． ． 在△中，， 此时最少需要管道． （3）根据以上推理，可作出下图， 设，，，， 当、、共线时，求出的值即为原式的最小值． 在△中，，， 由勾股定理可得：， 的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（八年级上·全国·课后作业）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    【答案】 【分析】如图（见详解），将小河看成直线，由题意先作A关于的对称点，连接，构建直角三角形，则就是最短路线；在中，，，，利用勾股定理即可求出． 【详解】如图，做出点A关于小河的对称点，连接交MN于点P，则就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．    由题意知：，，， 在中，由勾股定理求得， 则他要完成这件事情所走的最短路程是． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键 【变式2-2】（22-23八年级·云南昭通·期中）如图，河的同侧有、两个村，且，、两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向、两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用（元）．    【答案】20000元 【分析】作点关于的对称点为，连接交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，分别利用勾股定理求出和的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，点即为水厂的位置． 分过点作交的延长线于点，过点作于点，    则，，． ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得． ∴（元）． 故铺设水管的总费用为20000元． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键． 【变式2-3】（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【答案】在河流上选择水厂的位置见解析，总费用是万元． 【分析】先作点的对称点，连接点和点，交于点，即所求作的点，过作，延长交于点，根据轴对称的性质可知：，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，水厂的位置即在点处，     过作，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由对称性质可知：， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴水管的费用最节省为（万元）， 答：水管的费用最节省为万元． 【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键． 题型03勾股树的变式与应用 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，利用直角三角形的边长与正方形的面积的关系，结合勾股定理计算判断即可． 【详解】如图，设面积分别，…的正方形的边长分别为， 则， 根据题意，得， ∴， 故A正确； 同理可证，，， ∴，， 故B，D正确； 无法证明， 故不一定成立，符合题意， 故选C． 【例3-2】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 ．    【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 【例3-3】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①________，8，10；②5，________，13；③7，24，________． (2)小铭发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成，，如，，． ①请你帮小铭证明这三个数2mn，，是勾股数组； ②如果24，45，51是满足上述小铭发现的规律的勾股数组，求的值． 【答案】(1)6，12，25 (2)① 见解析；② 5 【分析】本题考查勾股数的定义，以及整式的运算等，理解题意，准确结合材料定义进行分析是解题关键． （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）①根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可； ②先对原三个数约去公因数化简，然后拆分化简后的偶数，根据化简后剩余的两个数依次确定出m，n的值即可求解． 【详解】（1）解：①6，8，10；②5，12，13；③7，24，25． 故答案为：6，12，25； （2）①证明：，， ， ∴，，2mn是勾股数； ②解：把24，45，51约去，化简得：8，15，17， 偶数，， ，， ． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23八年级·重庆綦江·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6，则最大正方形E的面积是（    ） A．14 B．34 C．58 D．72 【答案】C 【分析】如图，根据勾股定理分别求出M、N的面积，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图 根据勾股定理可得： ，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【变式3-2】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足4、6、2、4，则正方形的边长是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，标记正方形F、G，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，由勾股定理得出，，则，即最大正方形的面积为．熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【详解】解：如图，标记正方形F、G，分别设正方形F、G、E的边长为x、y、z，    由勾股定理得：，， 则正方形的面积为：， 故正方形的边长为：， 故答案为：4． 【变式3-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析； (2)①3，②结论； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用． （1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立； （2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案； ②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，． 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简． （2）解：①根据题意，如下图所示： 在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得， ∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则 ，，， ∵，， ∴， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； ②结论； ， ； （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，， ∴ 故答案为： 题型04弦图的变式与应用 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用勾股定理可知，，即，结合，得到的值． 【详解】解：以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，， ,, 是直角三角形， 即 又 故选：C 【例4-2】（2024八年级上·浙江·专题练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，则，，，先证明，再证明，即可得到答案． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且， 由题意可知：，，， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴ ， 故答案为：108． 【例4-3】（22-23八年级·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)正方形的面积为39 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为，再利用勾股定理求出边长即可求解； 【详解】解：如图， 由题意知：，， ∴ 在中，， ∴图2中的“风车”图案的周长为： 故选：C 【变式4-2】（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 【答案】30 【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则，， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故答案为：30． 【变式4-3】（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）北师大版初中数学教科书七年级下册第23页告诉我们，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． 请解答下列问题： (1)类似地，写出图②中所表示的数学等式________； (2)如图③的图案被称为“赵爽弦图”，是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．此图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．已知直角三角形的两直角边分别为，若，，求大正方形的面积； (3)如图④，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，直接写出正方形的面积________． 【答案】(1) (2)19 (3)8 【分析】本题主要考查以赵爽弦图为背景的勾股定理的运用， （1）根据图示可得，大正方形的面积为，组合图形面积为，由此即可求解； （2）根据图示，大正方形的面积等于4个全等三角形的面积与小正方形的面积之和进行列式，再根据完全平方公式的变形可得，由此即可求解； （3）如图所示，延长交于点，连接，延长交于点，连接，可证，是等腰直角三角形，求出，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，4个全等三角形的面积为，小正方形的面积， ∴大正方形的面积为 ， , ∵，， ∴，即， ，即， ∴， ∴大正方形的面积为； （3）解：如图所示，延长交于点，连接，延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 一、单选题 1．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，分别以为一边在外面作三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（    ） A．18 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的三边作正方形，则两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积． 2．（22-23八年级上·重庆渝中·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（    ） A．20 B．26 C．30 D．52 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积即可． 【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得： = = =26 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识，掌握完全平方公式成为解题的关键． 用勾股定理解直角三角形可判断①正确；根据4个直角三角形全等，可判断②正确；根据“大正方形面积等于4个直角三角形面积加上小正方形面积”，可判断④正确；利用①④，根据完全平方公式可判断③正确． 【详解】解：∵大正方形面积为100，小正方形面积为9， ∴大正方形边长为10，小正方形边长为3， 由勾股定理可得：，即①正确； ∵图中4个直角三角形全等， ∴，即②正确； ∵大正方形面积个直角三角形面积小正方形面积， ∴， ∴，即④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，即③正确． 综上所述，①②③④正确． 故选D． 二、填空题 4．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积之和为 ． 【答案】2024 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得， “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故答案为：2024． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边． 先设直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设大直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，则， ∴， ∵大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是， ∴， 解得（舍去负值）， ∴小正方形的边长为：． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·陕西西安）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为 ．    【答案】13 【分析】根据题意，得是大正方形大的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴． 故答案为：13． 三、解答题 7．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 【答案】(1)A (2)20 (3)2368 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可得：所得的圆柱侧面展开图为A． 故选A． （2）解：∵圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴金属丝的长为． （3）解：根据勾股定理可得：． 8．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少． 【答案】． 【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理等．根据题意分两种情况分析，针对两种情况求出路径长，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】解：如图①所示，， 如图②所示，， ∵，， ∴它从A处爬到B处的最短路线长为． 9．（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了勾股定理，以弦图为背景的计算题，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：根据正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，列式，化简即可作答； 任务二：结合，化简得出，再代入直角三角形的面积公式进行计算，即可作答． 任务三：先运用勾股定理计算，再运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：任务一：正方形的面积，且正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积， ， 整理得． 任务二：， ， ， ， 的面积． 任务三：∵在中，， ． 是边上的高， ， ， ． 10．（22-23八年级上·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； (2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长． 【答案】(1) (2)小正方形EFGH的边长为3 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，整体思想，面积法，掌握面积法以及整体思想是解题的关键． （1）将正方形的面积用四个全等的直角三角形的面积加正方形的面积表示，再整理即可； （2）根据直角三角形的面积为54，列出等式，再求出即可． 【详解】（1）解：正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，， ， 整理，得； （2）直角三角形的面积为54，， ，， ， 小正方形的面积， 小正方形的边长为3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$