3.1 平方根（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版2024）

3.1 平方根 浙教版（2024） 七年级数学上册 第三章 实数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解平方根与开平方的概念，会求一个非负数的平方根 2.理解算术平方根的概念，会求一个非负数的算术平方根 3.理解平方根的被开方数与算术平方根的非负性 情景导入 一张正方形桌面的面积为1.44m2，它的边长为多少米？ 解：设这个桌面的边长为xm，则x2=1.44 1.22=1.44，(-1.2)=2=1.44。 因为正方形的边长大于0， 所以这个桌面的边长为1.2m。 新知探究 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根， 也叫作a的二次方根。 例如，因为1.22=1.44，所以1.2是1.44的平方根； 又因为(-1.2)2=1.44，所以-1.2也是1.44的平方根。 新知探究 请分别说出49，，0的平方根。 因为(±)2=，所有的平方根是±； 因为(±7)2=49，所以49的平方根是±7； 因为02=0，所以0的平方根是0。 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 关于数的平方根，我们有以下事实： 新知探究 开平方 一个正数a的正平方根用“”表示（读作“根号a”）， a的负平方根用“-”表示（读作“负根号a”）， 因此，一个正数a的平方根就用“±”表示（读作“正、负根号a”）， 其中a叫作被开方数。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。 概念归纳 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。 课本例题 例1 求下列各数的平方根： 例2 先说出下列各式的意义，再计算。 课本练习 1.填空 分层练习-基础 知识点1 平方根 1. [2024·内江]16的平方根是(　D　) A. 2 B. －4 C. 4 D. ±4 2. 下列数中没有平方根的是(　D　) A. 0 B. 2 C. (－2)2 D. －｜－2｜ D D 3. 下列说法不正确的是　(　 　) A. 6是36的平方根 B. －6是36的平方根 C. 36的平方根是6 D. 36的平方根是±6 C 4. 下列说法正确的是(　D　) A. 任何非负数都有两个平方根 B. 一个正数的平方根仍然是正数 C. 只有正数才有平方根 D. 负数没有平方根 D 5. [母题 教材P78例1]求下列各数的平方根： (1)64；　 【解】因为(±8)2＝64， 所以64的平方根是±8，即± ＝±8. 因为 ＝ ， 所以 的平方根是± ，即± ＝± . (2) ； 因为(±0.02)2＝0.000 4， 所以0.000 4的平方根是±0.02， 即± ＝±0.02. 因为2 ＝ ， ＝ ， 所以2 的平方根是± ， 即± ＝± . 　(3) 0.000 4； 　(4)2 . 知识点2 算术平方根 6.9的算术平方根为(　 　) A. 3 B. ±3 C. D. －9 7. 下列运算中，正确的是(　 　) A. ＝±5 B. ＝－5 C. ＝5 D. ± ＝5 A C 8. [2024·杭州拱墅区期中]若一个数和它的算术平方根相等， 则这个数是 ⁠. 1或0　 (1)－ ；　 【解】－ 表示 的负平方根，－ ＝－ .　 9. [母题 教材P79例2]说出下列各式的意义，并计算. ± 表示289的平方根，± ＝±17. (2)± ；　 表示(－4)2的算术平方根， ＝4. － 表示52的负平方根，－ ＝－5. (3) ；　 (4)－ . [易错题]求平方根时忽略根号而出错 10. 的算术平方根是(　D　) A. ±9 B. 9 C. ±3 D. 3 D 分层练习-巩固 11. 若一个数的两个平方根分别是2a＋2和3a－7，则这个数 是(　D　) A. 1 B. ±4 C. 4 D. 16 D 12. [母题·教材P81作业题T6 2024·广东]完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是(　B　) A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 B 13. 一个正整数的算术平方根为a，则比这个正整数大3的数 的算术平方根是(　C　) A. a＋3 B. a＋ C. D. 【点拨】 根据题意得这个正整数为a2，则比这个正整数大3的 数的算术平方根是 . C 14. 如图，方格中每个小正方格的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 ⁠. 【点拨】 根据题图，得S阴影＝2×2×2× ＋2×2×1× ＝4 ＋2＝6，则新正方形的边长为 . 　 15. [新考法·分类讨论法]已知数3，27，加入数a，使这三个数中，有一个数为另外两个数的乘积的一个平方根，则a的值可以是 .(写出所有可能结果) ±9或243或 　 ①a2＝3×27，所以a＝±9； ②3a＝272，所以a＝243； ③27a＝32，所以a＝ . 综上，a的值可以是±9或243或 . 【点拨】 依题意，可分为三种情况： 16. [母题 教材P81作业题T7]探究发散： (1)完成下列填空： ① ＝ ⁠； ② ＝ ⁠； ③ ＝ ⁠； ④ ＝ ⁠； 3　 0.5　 6　 0　 ⑤ ＝ 　 　； ⑥ ＝ 　 　. 　 　 (2)观察(1)中的计算结果，你发现其中的规律了吗？请用 数学语言描述出来： ⁠ ⁠. (3)利用你总结的规律计算，若x＜2，则 ＝ ⁠. 正数和0的平方的算术平方根 为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数　 2－x　 【解】因为x＝ ，所以x＝5. 因为 ＝2，所以y＝4. 因为z是9的平方根，所以z＝±3. 所以当z＝3时，2x＋y－5z＝2×5＋4－5×3＝－1； 当z＝－3时，2x＋y－5z＝2×5＋4－5×(－3)＝29. 综上，2x＋y－5z的值是－1或29. 17. 已知x＝ ， ＝2，z是9的平方根，求2x＋y－5z的值. 分层练习-拓展 18. [核心素养·运算能力 2023·宁波勤洲区期中]先观察下列等 式，再回答问题： ① ＝1＋ － ＝1 ； ② ＝1＋ － ＝1 ； ③ ＝1＋ － ＝1 . (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 ＝ 　1＋ － ＝1 　； (2)对任意实数a，用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1， 计算［ ＋ ＋ ＋…＋ ］的值. 1＋ － ＝1 　 【解】［ ＋ ＋ ＋…＋ ］ ＝［1＋1－ ＋1＋ － ＋1＋ － ＋…＋1＋ － ］＝［1×49＋1－ ＋ － ＋…＋ － ］ ＝ ＝49. 课堂小结 平方根的概念： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。 平方根的性质： 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 开平方： 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。 课堂小结 算术平方根： 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。 一个数a(a≥0)的算术平方根记作“”。 平方根的被开方数与算术平方根的非负性： 1.平方根的被开方数具有非负性，即“”中的a≥0， 2.算术平方根具有非负性，即≥0。 $$