33.2 相似三角形 重难点专项练习（六大题型）（题型专练）数学人教版五四制九年级下册

33.2《相似三角形》 分层练习 考查题型一 相似三角形的判定 1．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（2023上·广西·九年级校考期中）如图，点是平行四边形的边延长线上的一点，与相交于点，则图中相似三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 4．（2023上·山东聊城·九年级校联考期中）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 考查题型二 证明两个三角形相似 1．（2023上·云南文山·九年级统考期中）如图，D、E、F分别是的、、边上的点，且，，求证：． 2．（2022上·江西九江·九年级统考期末）（1）用配方法解方程：． （2）如图，在等腰中，是顶角的角平分线，是腰边上的高，垂足为点E．求证：． 3．（2023上·宁夏银川·九年级校考期中）在和中，，，求证：．    4．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）如图，在与中，，且．求证：．    考查题型三 证明三角形的对应线段成比例 1．（2023·吉林四平·校联考三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 2．（2023·福建泉州·统考一模）在中，，将绕点旋转一定的角度得到． (1)如图1，当边恰好经过点C时，边的延长线交于点，连接．求证：； (2)如图2，当点恰好在中线的延长线上，且时，的延长线交于点，求的值． 3．（2022·广东深圳·校考一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 4．（2023上·河南周口·九年级校联考期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 考查题型四 利用相似三角形的性质求解 1．（2023上·广西百色·九年级统考期中）在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)如果的面积为10，则四边形的面积为______． 3．（2022上·广东佛山·九年级阶段练习）如图，中，，点、分别在的边、上，且． (1)求证：． (2)如果，，，求的长． 4．（2023上·浙江杭州·九年级翠苑中学校考期中）如图，在中，为上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考查题型五 相似三角形的动点问题 1．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，在中，，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也停止运动．    (1)经过几秒后，的面积等于面积的？ (2)经过几秒后，与相似？ 2．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当x为何值时，； (2)当时，求的值； (3)能否与相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 3．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为．    (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 4．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如图1，一动点E从矩形的顶点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿路线向终点B运动，另一动点F从B出发，沿边向终点C运动，两点同时出发同时到达终点，连接交于点M，已知，．设运动时间为t秒，且． (1)F点的运动速度为每秒________个单位； (2)当时，求的面积； (3)如图2，过点M作，交直线于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 考查题型六 相似三角形的应用 1．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）小文和小鑫利用阳光下的影子来测量教学楼顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该教学楼的影长为12米，的影长为15米，小鑫的影长为1.2米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小鑫的身高为1.8米，求旗杆的高． 2．（2023上·四川成都·九年级校考期中）文殊院与大慈寺、宽窄巷子一起并称为成都三大历史文化名城保护街区，千佛和平塔就位于成都文殊院中．塔壁上铸999尊浮雕佛像，连同底层中央铜铸释迦牟尼佛像1尊，共1000尊，故得名千佛塔（如图1）．爱好文物的小航决定利用所学相似三角形的知识测量千佛和平塔的高度．如图2，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古塔，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助小航求出该千佛和平塔的高度．    3．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，已知，，测得米，米，米，求该古城墙的高度．    4．（2022上·山西运城·九年级统考期中）晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高与其影长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点B处时，并测得．已知李明直立时的身高为，求路灯的高度． 1．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．    (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 (2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 (3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________． 2．（2021·湖北襄阳·统考一模）在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 3．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D． (1)求证： (2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长． 4．（2021上·福建漳州·九年级福建省诏安第一中学校考期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 33.2《相似三角形》 分层练习 考查题型一 相似三角形的判定 1．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；据此逐项判断，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． A、∵，∴，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项不符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】根据题意得：，，， ， A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：A． 3．（2023上·广西·九年级校考期中）如图，点是平行四边形的边延长线上的一点，与相交于点，则图中相似三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，得出角相等，即可证出三角形相似，然后即可选择答案． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共3对． 故选：B． 4．（2023上·山东聊城·九年级校联考期中）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，由可得，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即， 和中满足一组对角相等． 添加后，满足两组对边成比例且夹角相等，可判定，故A选项不合题意； 添加后，满足两组对角相等，可判定，故B选项不合题意； 添加后，满足两组对角相等，可判定，故C选项不合题意； 添加后，满足两组对边成比例，但不能证明它们的夹角相等，不可判定，故D选项符合题意； 故选D． 考查题型二 证明两个三角形相似 1．（2023上·云南文山·九年级统考期中）如图，D、E、F分别是的、、边上的点，且，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定以及平行线的性质，根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可求证结论，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ，． ． 2．（2022上·江西九江·九年级统考期末）（1）用配方法解方程：． （2）如图，在等腰中，是顶角的角平分线，是腰边上的高，垂足为点E．求证：． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【分析】本题考查的是解一元二次方程，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）由等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）证明：等腰中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2023上·宁夏银川·九年级校考期中）在和中，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键． 由，可得，由，可得，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴． 4．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）如图，在与中，，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先证得，再结合，即可判定，熟练掌握有两条边的比相等，且其夹角相等，则这两个三角形相似，是解此题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ． 考查题型三 证明三角形的对应线段成比例 1．（2023·吉林四平·校联考三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，． ， ，即． 又， ， ． 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．    ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2） 如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 2．（2023·福建泉州·统考一模）在中，，将绕点旋转一定的角度得到． (1)如图1，当边恰好经过点C时，边的延长线交于点，连接．求证：； (2)如图2，当点恰好在中线的延长线上，且时，的延长线交于点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】由旋转性质得出为等腰三角形，从而得出，有三角形内角和得出，再通过角之间的关系推出最后结论． 设，由旋转性质推出，由直角三角形内角之间关系得，，进而得出，再由相似三角形对应边成比例得出，设，所以，有对应角相等推出，得出，进而表示出，再得出最后结果即可． 【详解】（1）证明：如图1，由旋转的性质得，， ． ，， 又， ，即． ，， ， ＝， 即． （2）如图2，设，由旋转的性质得 ，，，，， 在等腰中，， ，， ． ， ． 是斜边上的中线， ， ，即，， ， ， ， ， ． ， ． 又， ，即， ， ，． 设，则 ，． ，， ， ，即，， ． 【点睛】本题主要考查了旋转性质、三角形内角和、相似三角形的判定及相似三角形对应边成比例的知识，旋转后对应边和角相等是解答本题的关键． 3．（2022·广东深圳·校考一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 4．（2023上·河南周口·九年级校联考期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 考查题型四 利用相似三角形的性质求解 1．（2023上·广西百色·九年级统考期中）在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定： （1）根据四边形是矩形，得出，由翻折可得：，可以得出，即可证出结论； （2）由翻折可得：，根据勾股定理得出，利用得出，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质得：， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由翻折的性质得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）， ∴，即， ∴． 2．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)如果的面积为10，则四边形的面积为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质三角形面积关系等知识；在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由题意得根据相似三角形的判定方法可得出结论； （2）由相似三角形的性质得出，求出三角形的面积，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵的面积为10， ∴的面积为90， ∴． 3．（2022上·广东佛山·九年级阶段练习）如图，中，，点、分别在的边、上，且． (1)求证：． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明． （2）利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）证明：，， ， ∵ ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得， ， ，， ， ，， ． ． 4．（2023上·浙江杭州·九年级翠苑中学校考期中）如图，在中，为上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质； （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1），， ∴； （2）设， ∵， ， ， 解得，； 即． 考查题型五 相似三角形的动点问题 1．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，在中，，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也停止运动．    (1)经过几秒后，的面积等于面积的？ (2)经过几秒后，与相似？ 【答案】(1)经过秒后，的面积等于面积的； (2)经过或秒，与相似． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积， （1）分别表示出线段和线段的长后利用的面积等于面积的列出方程求解； （2）设运动时间为，与相似，当与相似时，则有或，分别代入可得到关于的方程，可求得的值． 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于面积的， 则有，， ∴， 解得， 答：经过秒后，的面积等于面积的； （2）设经过秒，与相似， ∵， ∴可分为两种情况： ①， 即， 解得； ②，即， 解得． 答：经过或秒，与相似． 2．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当x为何值时，； (2)当时，求的值； (3)能否与相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时， (2) (3)的长为或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质； （1）当时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于，，，的比例关系式，我们可根据，的速度，用时间表示出，，然后根据得出的关系式求出的值． （2）由可得，再根据等高求出，，最后根据求解即可． （3）本题要分两种情况进行讨论．已知了和对应相等，那么就要分成和对应成比例以及和对应成比例两种情况来求的值． 【详解】（1）由题意得，，，，， ∵， ∴， ， ， 即当时，； （2）∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴, ∴ 即； （3）存在． ， ， 要使 只需． 此时， 解得：， ； 要使， ， ， （舍或， ， 即：的长为或． 3．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为．    (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)时，的面积为 (2)或时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】（1）由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案； （2）由，则当或时，以，，为顶点的三角形与相似，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 的面积为， ，解得或8， ， 时，的面积为； （2）， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似， 或， 即或， 解得或， 或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法、一元一次方程的解法等知识，数形结合，根据题中条件，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 4．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如图1，一动点E从矩形的顶点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿路线向终点B运动，另一动点F从B出发，沿边向终点C运动，两点同时出发同时到达终点，连接交于点M，已知，．设运动时间为t秒，且． (1)F点的运动速度为每秒________个单位； (2)当时，求的面积； (3)如图2，过点M作，交直线于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）根据E、F两点同时出发同时到达终点，即可求解； （2）①过点M作直线交与点G、H，证，有相似三角形性质求 ，进而可解答；②当E在上时，证，，由相似三角形性质转换求解即可求面积； （3）①当E在上时，证，结合勾股定理得，证，由相似性质得，，结合勾股定理可解答；②当E在上时，作，证，，，，由相似三角形性质转换求解即可； 【详解】（1）解：∵E、F两点同时出发同时到达终点， ∴F点的运动速度为(单位/秒）． 故答案为：2． （2）①当E在上时，过点M作直线交与点G、H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②当E在上时，，则，， 延长交于点T，过M作， ∵， ∴，， ∴，即， ∴ ，即， ∴ ∴， ∴． （3）①当E在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ②当E在上时，如图，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 同理，， ∵， ∴， 或（舍去）． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的证明及性质应用，勾股定理，正确做出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 考查题型六 相似三角形的应用 1．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）小文和小鑫利用阳光下的影子来测量教学楼顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该教学楼的影长为12米，的影长为15米，小鑫的影长为1.2米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小鑫的身高为1.8米，求旗杆的高． 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．先证明，列比例式可得的长，再证明，可得的长，最后由线段的差可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴（米） 2．（2023上·四川成都·九年级校考期中）文殊院与大慈寺、宽窄巷子一起并称为成都三大历史文化名城保护街区，千佛和平塔就位于成都文殊院中．塔壁上铸999尊浮雕佛像，连同底层中央铜铸释迦牟尼佛像1尊，共1000尊，故得名千佛塔（如图1）．爱好文物的小航决定利用所学相似三角形的知识测量千佛和平塔的高度．如图2，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古塔，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助小航求出该千佛和平塔的高度．    【答案】千佛和平塔的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设，由题意可证得，，得，，由，可得，进而列出关于的方程，即可求出建筑物的高度，根据相似三角形的性质得比例式，列出方程是解决问题得关键． 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意， 则， 解得：， 答：千佛和平塔的高度为． 3．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，已知，，测得米，米，米，求该古城墙的高度．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，通过证明，得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由镜面反射原理可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴该古城墙的高度为． 4．（2022上·山西运城·九年级统考期中）晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高与其影长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点B处时，并测得．已知李明直立时的身高为，求路灯的高度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证和为等腰直角三角形，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：设长为， ∵， ∴，且为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度为． 1．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．    (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 (2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 (3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解； （2）构造矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解； （3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：， ∵， ∴设，， ∵点为的中点， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴，则，， 解得：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴；    （3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 设， 则，， ∴，整理得：， ∴， 由（1）中结论可得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答． 2．（2021·湖北襄阳·统考一模）在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）1；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可． 【详解】解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF， ∴ 故答案为：1； （2）． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， 由题意，， 由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 3．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D． (1)求证： (2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）连接、，证明是线段的垂直平分线，问题得证； （2）先证明，进而证明，即可证明； （3）连接，先求出，，再证明，得到，设，则，分别得到，，，证明，得到 ，求出，从而得到，根据，即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，， ∴点都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， 在中，， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了线段的垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，直角三角形的性质等知识，综合性强，第（3）问难度较大，熟知相关性质，并根据题目中已知条件灵活应用是解题关键． 4．（2021上·福建漳州·九年级福建省诏安第一中学校考期中）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)画图见解析，α的值为30°或150°， 【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知； 由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系； （3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：． 【详解】（1）是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD=45°，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，，，， ， 由旋转知，， ， ， ； （3）如图3，连接DE，CE ∵EA=ED， ∴点E在AD的中垂线上， ∴AE=DE，BE=CE， ∵四边形ABCD是正方形， ，AB=BC， ， ∴△BCE是等边三角形， ， ，即：， 如图4，同理，△BCE是等边三角形， ，即：， 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$