33.1 图形的相似 重难点专项练习（七大题型）（题型专练）数学人教版五四制九年级下册

33.1《图形的相似》 分层练习 考查题型一 比例的性质 1．（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期中）如果，那么等于（   ）． A． B． C． D． 2．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）已知，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2021上·河北石家庄·九年级石家庄市第九中学校考期中）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2023上·广西·九年级校考期中）若，下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 考查题型二 成比例线段 1．（2016上·福建宁德·九年级统考期中）线段a、b、c、d是成比例线段，，，，则d的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）下列线段能成比例线段的是（    ） A．1，2，3，4 B．1，，，4 C．，，，1 D．2，5，3，4 3．（2023上·河南周口·九年级统考期中）下列各组线段中，成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（    ） A．6 B．4 C．8 D．10 考查题型三 相似图形 1．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）下列各组图形相似的是（    ） A．任意两个直角三角形 B．任意两个菱形 C．任意两个矩形 D．任意两个正方形 2．（2023上·安徽合肥·九年级校联考期中）下面各组图形中，不是相似图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B．   C． D．   4．（2022上·江苏无锡·九年级统考期中）下列每组图形是相似图形的为（   ） A．   B．   C．   D．       考查题型四 相似多边形 1．（2023上·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙 2．（2023上·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）已知矩形中，，下面四个矩形中与矩形相似的是（　　） A．  B．  C．   D．   3．（2022上·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似 4．（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 考查题型五 相似多边形的性质 1．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，四边形四边形，若，则 ． 2．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ． 3．（2023上·江西九江·九年级统考期中）如图，已知矩形矩形，，，则的长为 ． 4．（2023上·江西鹰潭·九年级统考期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ． 考查题型六 由平行线判定成比例的线段 1．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 2．（2023上·上海普陀·九年级校考阶段练习）如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，如果，，那么 ．    3．（2022上·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ．    4．（2023上·河南周口·九年级统考期末）如图，，则的长为 ．    考查题型七 由平行截线求相关线段的长或比值 1．（2023上·陕西汉中·九年级统考期中）如图，直线，且直线分别截直线于点，，，截直线于点，．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 2．（2023上·福建三明·九年级统考期中）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长．    3．（2023上·江西萍乡·九年级统考期中）（1）解方程：； （2）如图，已知，与相交于点O．如果，，，求的长．    4．（2023上·陕西咸阳·九年级校考期中）如图，点、分别在的边、上，连接，，若，，求的长． 1．（2023上·四川成都·九年级成都市树德实验中学校考期中）如图，在正方形中，点在射线上(不与点，重合)，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，连接交的延长线于点，过点作，垂足为，连结，．    (1)求证：； (2)________，并说明理由； (3)若，，直接写出的值． 2．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）如图，平行四边形中，点为的中点，点在上，，延长交于点，延长交于点．    (1)求证：； (2)连接，若点为的中点，求证：． 3．（2023·安徽合肥·统考三模）如图（1），矩形中，，，点、是对角线上的两个点，，连接、．    (1)求证：； (2)如图（2），点与关于对称，点与关于对称，连接、、、，试四边形的形状，并说明理由； (3)已知当四边形是矩形时，，试求的值． 4．（2023上·四川内江·九年级统考期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 33.1《图形的相似》 分层练习 考查题型一 比例的性质 1．（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期中）如果，那么等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，然后再代入计算即可；掌握比和除法的关系以及分式的约分是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故选C． 2．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）已知，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是比例的基本性质，熟练的利用比例的基本性质逐一分析即可判断． 【详解】解：∵， 则，故C符合题意； 故设，则， ∴，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 3．（2021上·河北石家庄·九年级石家庄市第九中学校考期中）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据得到，然后代入计算是解题的关键. 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选. 4．（2023上·广西·九年级校考期中）若，下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质分别对每一项进行判断即可得出答案，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：A、变成等积式是：，故不符合题意； B、变成等积式是：，故符合题意； C、变成等积式是：，故不符合题意； D、变成等积式是：，故不符合题意． 故选：B． 考查题型二 成比例线段 1．（2016上·福建宁德·九年级统考期中）线段a、b、c、d是成比例线段，，，，则d的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了成比例线段的定义．由、、、四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得，又由，，，即可求得的值． 【详解】解：∵、、、是成比例线段，，，， ∴， 即， ∴． 故选：A． 2．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）下列线段能成比例线段的是（    ） A．1，2，3，4 B．1，，，4 C．，，，1 D．2，5，3，4 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：B． 3．（2023上·河南周口·九年级统考期中）下列各组线段中，成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解答本题的关键． 根据比例线段的定义：对四条线段，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，则这四条线段是成比例线段，简称比例线段．选项中只有是比例线段，由此选出答案． 【详解】解：选项中，，所以，，，成比例线段，故此选项符合题意； 选项中，，所以，，，不成比例线段，故此选项不符合题意； 选项中，，所以，，，不成比例线段，故此选项不符合题意； 选项中，，所以，，，不成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：． 4．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（    ） A．6 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据题意可得，再把，，代入，即可． 【详解】解：∵线段，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故选：B 考查题型三 相似图形 1．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）下列各组图形相似的是（    ） A．任意两个直角三角形 B．任意两个菱形 C．任意两个矩形 D．任意两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查图形的相似，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．根据定义逐一分析解答即可 【详解】解：A、任意两个直角三角形，两组直角边的比不一定相等，两三角形不一定相似，故选项不符合题意； B、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； C、任意两个矩形，对应边的比不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； D、任意两个正方形，对应角相等，对应边的比相等，故一定相似，故选项符合题意． 故选：D． 2．（2023上·安徽合肥·九年级校联考期中）下面各组图形中，不是相似图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的识别，根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意； B、两个图形相似，故不符合题意; C、五角星和六角星不相似，故符合题意； D、所有的圆都相似，故不符合题意， 故选：C． 3．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B．   C． D．   【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案； 【详解】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，是基础题． 4．（2022上·江苏无锡·九年级统考期中）下列每组图形是相似图形的为（   ） A．   B．   C．   D．       【答案】B 【分析】根据相似图形的定义一一判断即可． 【详解】解：选项B中两个五角星是相似图形． 故选：B． 【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个边数相同的多边形相似． 考查题型四 相似多边形 1．（2023上·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙 【答案】D 【分析】本题主要考查相似多边形的判定，根据图形得到对应边的比值，进而问题可求解． 【详解】解：甲图矩形的长宽之比为，乙图矩形的长宽之比为，丙图矩形的长宽之比为， ∴甲与丙是相似矩形； 故选D． 2．（2023上·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）已知矩形中，，下面四个矩形中与矩形相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】验证对应边是否成比例即可判断． 【详解】解：A：，符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可． 3．（2022上·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似 【答案】A 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为，，， ∴甲与丙相似， 故选：A． 【点睛】本题考查相似多边形的概念与判定，解题的关键是要考虑对应角相等，对应边成比例． 4．（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义即可解答． 【详解】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例 ∴五边形和五边形一定不相似． 故选B． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，掌握对应边成比例的多边形是相似三角形成为解答本题的关键． 考查题型五 相似多边形的性质 1．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，四边形四边形，若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查相似多边形的性质：对应角相等，由四边形相似得到，由四边形内角和即可求出答案，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【详解】∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2023上·江西九江·九年级统考期中）如图，已知矩形矩形，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，先根据矩形的性质得到，再求出，最后根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可． 【详解】解∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 4．（2023上·江西鹰潭·九年级统考期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由相似多边形的性质可知，，计算求解即可． 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∴，解得，， 故答案为：． 考查题型六 由平行线判定成比例的线段 1．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 2．（2023上·上海普陀·九年级校考阶段练习）如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，如果，，那么 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，设，则，利用求出的值，即可得出的值． 【详解】解：，， ， 设，则， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 3．（2022上·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可． 【详解】解：直线， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例． 4．（2023上·河南周口·九年级统考期末）如图，，则的长为 ．    【答案】4.5/ 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】 即 解得 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 考查题型七 由平行截线求相关线段的长或比值 1．（2023上·陕西汉中·九年级统考期中）如图，直线，且直线分别截直线于点，，，截直线于点，．    (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，      ∵， ∴， ∵，，， ∴， 即的长为； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2023上·福建三明·九年级统考期中）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长．    【答案】， 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∴． 3．（2023上·江西萍乡·九年级统考期中）（1）解方程：； （2）如图，已知，与相交于点O．如果，，，求的长．    【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，平行线分线段成比例． （1）将方程整理为，再利用配方法即可求解； （2）由平行线分线段成比例得，可求得，由即可求解． 掌握解一元二次方程的方法，理解平行线分线段成比例是解决问题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 解得，； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ∴ 4．（2023上·陕西咸阳·九年级校考期中）如图，点、分别在的边、上，连接，，若，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，首先根据平行线分线段成比例得到，然后代数求出，进而求解即可．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】， ， ，， ， ． 1．（2023上·四川成都·九年级成都市树德实验中学校考期中）如图，在正方形中，点在射线上(不与点，重合)，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，连接交的延长线于点，过点作，垂足为，连结，．    (1)求证：； (2)________，并说明理由； (3)若，，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，等腰直角三角形判定与性质，即可求得． （2）由可知点四点共圆，从而得到． （3）根据，先证明，再利用平行线截线段成比例得到． 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转得， ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴点四点共圆， ∵， ∴    （3）解：如图所示：    ∵, ∴, 在和中， ∴， ∴， 故三点共线， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、四点共圆、平行线截线段成比例，掌握等腰直角三角形的判定与性质和判定和平行线截线段成比例是解题的关键． 2．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）如图，平行四边形中，点为的中点，点在上，，延长交于点，延长交于点．    (1)求证：； (2)连接，若点为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作交的延长线于点，连接，根据平行线分线段成比例定理及平行线的性质可得，，证明，可得，结合得到四边形是矩形，得到，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质和平行线的性质推出，得到，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得到，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点作交的延长线于点，连接，   ， ， ，， ∵点为的中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，点为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，连接，   ， 在平行四边形中，点为的中点，点为的中点， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 由（1）可得：， ， ∴是的垂直平分线， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活应用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 3．（2023·安徽合肥·统考三模）如图（1），矩形中，，，点、是对角线上的两个点，，连接、．    (1)求证：； (2)如图（2），点与关于对称，点与关于对称，连接、、、，试四边形的形状，并说明理由； (3)已知当四边形是矩形时，，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，从而得到，通过证明，即可得证； （2）连接交于，由矩形和对称的性质可以得到，，，，由（1）可得，，从而即可得证； （3）延长交于，通过证明，得到，，再通过勾股定理和正切以及平行线的性质，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， 理由如下： 连接交于，   ， 四边形是矩形， ， ， 点与关于对称，点与关于对称， ，，，， 由①知， ，， ， ，   ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：延长交于，   ， 四边形是矩形， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， 即，   解得， ，， ， ， ，即， ，   ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质，作出适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023上·四川内江·九年级统考期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①、、、这四条线段的比例关系：，理由见解析；② 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证； （2）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （3）①作交于点，则，进而证明，即可得出； ②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，，， 平分， ， ， ， ， 即． （2）解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． （3）①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下： 如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． ②平分， ， 由①知 ， ，， ， 解得， 不符合题意，舍去， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$