九年级数学期中测试卷【华东师大版，测试范围：第二十一章～第二十三章】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：第二十一章~第二十三章（华东师大版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列二次根式中，与能合并的二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式是最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【解答】解：A、2，2与不能合并，故A错误； B、2，2与被开方数相同，故与能合并，故B正确； C、2，故与不能合并，故C错误； D、3，故与不能合并，故D错误； 故选：B． 2．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 3．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B．a＝2，b，c＝2，d C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a，b＝3，c＝2，d 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误； B、22，四条线段成比例，故本选项正确； C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误； D、3≠2，四条线段不成比例，故本选项错误． 故选：B． 4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，m的值不可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】根据x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，得到关于m的不等式，解不等式并根据不等式的解集进行判断即可． 【解答】解：∵x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4m＞0， 解得m＜1， ∴m的值不可以是1． 故选：D． 5．（3分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A． B．∠B＝∠ADE C．∠C＝∠AED D．AE•BC＝AC•DE 【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解答】解：A、符合两边及其夹角法，故本选项正确，不符合题意； B、符合两角法，故本选项正确，不符合题意； C、符合两角法，故本选项正确，不符合题意； D、由AE•BC＝AC•DE，得，不符合两边及其夹角法，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 6．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到答案． 【解答】解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25， ∴， ∵DE∥AC， ∴， ∴， 故选：B． 7．（3分）如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 【分析】延长CD交AB于F，利用“角边角”证明△ADF和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝AC，CD＝FD，再求出BF并判断出DE是Δ BCF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【解答】解：如图，延长CD交AB于F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠FAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADF＝90°， 在△ADF和△ADC中， ， ∴△ADF≌△ADC（ASA）， ∴AF＝AC，CD＝FD， ∴BF＝AB﹣AE＝6﹣4＝2（cm）， 又∵点E为BC的中点， ∴DE是△BCF的中位线， ∴． 故选：B． 8．（3分）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】根据方程的解的定义得出a2﹣2024a+1＝0，然后变形为a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，，代入要求的式子计算即可． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2024a+1＝0， ∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a≠0， ∴， 即， ∴ ＝2024a﹣1﹣2023a ＝a﹣1 ＝2024﹣1 ＝2023， 故选：B． 9．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧B进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对 【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，则，即可求解． 【解答】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x， ∴， ∴（20﹣x）2＝20x， 故选：A． 10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点D是边AB上一点，且BD＝1，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【分析】先证明△BDP∽△CPE；利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BP的一元二次方程，再判别式＝0，建立方程求解，即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠B＝120°， ∵∠DPE＝60°， ∴∠BPD+∠CPE＝120°， ∴∠BDP＝∠CPE， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△BDP∽△CPE； ∴， ∴， ∴BP2﹣4BP+a＝0， ∵满足条件的点P有且只有一个， ∴方程BP2﹣4BP+a＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝42﹣4×a＝0， ∴a＝4． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 　x≥1　． 【分析】根据被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 12．（3分）已知（x，y，z均不为零），则　　． 【分析】根据已知条件可设x＝6k，则y＝4k，z＝3k，将其代入所求分式，计算即可． 【解答】解：∵（x，y，z均不为零）， ∴设x＝6k，则y＝4k，z＝3k， ∴． 故答案为：． 13．（3分）在数轴上，点A表示的数为，将点A沿着数轴向左移动5个单位长度后到达点B，设点B表示的数为m，则的值为 　5﹣4　． 【分析】画出点A在数轴上的位置，向左移动5个单位到达B点，m为B点表示的数，最后求（1）m值． 【解答】解： 点A表示的数为， ∵9＜10＜16， ∴34，点A在如图所示位置， ∵将点A沿着数轴向左移动5个单位长度后到达点B，设点B表示的数为m， ∴m5， （1）m＝（1）（5）＝5﹣4． 14．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式的值为 　2026　． 【分析】利用x1是方程x2+x﹣2024＝0的一个实数根，可得x1+2024，再利用根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：∵x1是方程x2+x﹣2024＝0的一个实数根， ∴x1+2024， ∴x1+2024﹣x2+1＝﹣（x1+x2）+2025， ∵x1，x2是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣1， ∴x1+2024﹣x2+1＝﹣（x1+x2）+2025＝1+2025＝2026． 故答案为：2026． 15．（3分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO米，则汽车从A处前行的距离AB＝　5.75　米时，才能发现C处的儿童． 【分析】先在Rt△△CMO中，利用勾股定理求出CM的长，再证明8字模型相似三角形△BDO∽△CMO，从而利用相似三角形的性质可得BD＝2.25m，然后在Rt△AOD中，根据勾股定理求出AD的长，进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m， ∴CM3m， ∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°， ∴△BDO∽△CMO， ∴， ∴， ∴BD＝2.25m， 在Rt△AOD中，OA米， ∴AD8m， ∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m）， ∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童， 故答案为：5.75． 16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 　或　． 【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴， 当△APD与△ABC相似时， ∵点D始终在边AC上， 根据折叠PB＝PD， 设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x， ∴分两种情况： ①△APD∽△ABC， 此时∠ADP＝∠ACB＝90°， ∴，即， 解得， ∴， ②△APD∽△ACB， 此时∠APD＝∠ACB＝90°， ∴，即， 解得， ∴， 综上，AP的长为或， 故答案为：或． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据平方差公式和二次根式的除法法则运算即可． 【解答】解：（1）原式＝364 ； （2）原式＝3﹣2 ＝1+2． 18．（6分）解方程． （1）3x2﹣2x﹣2＝0； （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10． 【分析】（1）根据公式法法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【解答】解：（1）3x2﹣2x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2+24＝28， ， ∴，； （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10， 整理得x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （2x﹣5）（x﹣2）＝0， 2x﹣5＝0或x﹣2＝0， 解得：，x2＝2． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）根据位似中心的性质可得答案． 【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所作图形； （2）如图，△O2A2B2即为所作图形； （3）△OA1B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为（﹣4，2）． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形； 理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1． 21．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E． （1）求证：． （2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长． 【分析】（1）由菱形的性质证得∠BOE＝∠AOB＝90°，再由同角的余角相等证得∠BAO＝∠EBO，利用有两个角分别相等的三角形相似判定△BEO∽△ABO，由相似三角形的性质可得比例式，结合菱形的边长相等可得结论； （2）利用有两个角分别相等的三角形相似判定△ABE∽△BOE，从而可得比例式，利用勾股定理求得EB的长，再由比例式可得EO的值，进而得出AO的值，然后由关系式ECAC﹣OE＝AO﹣EO求得答案即可． 【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOE＝∠AOB＝90°， ∴∠BAO+∠ABO＝90°， ∵EB⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∴∠EBO+∠ABO＝90°， ∴∠BAO＝∠EBO， 又∵∠BOE＝∠AOB， ∴△BEO∽△ABO， ∴， （2）∵∠ABE＝∠BOE＝90°，∠AEB＝∠BEO， ∴△ABE∽△BOE， ∴， 已知AE＝13，AB＝12，由勾股定理得：EB5， ∴， ∴EO， ∴AO＝AE﹣EO＝13， ∴ECAC﹣OE＝AO﹣EO． 22．（10分）某花市销售一批花，平均每天可售出20盆，每盆盈利45元．为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每盆花每降价1元，平均每天可多售出4盆． 请根据题意，完成下列问题： （Ⅰ）①若每盆花降价5元，则每盆花盈利 　40　元，每天可售出 　40　盆； ②若每盆花降价x元，则每盆花盈利 　（45﹣x）　元，每天可售出 　（20+4x）　盆；（用含x的代数式表示）； （Ⅱ）若花市平均每天盈利2400元，每盆花应降价多少元？ 【分析】（Ⅰ）①利用每盆花的销售利润＝45﹣每盆花降低的价格，可求出每盆花的销售利润，利用日销售量＝20+4×每盆花降低的价格，即可求出日销售量； ②利用每盆花的销售利润＝45﹣每盆花降低的价格，可用含x的代数式表示出每盆花的销售利润，利用日销售量＝20+4×每盆花降低的价格，即可用含x的代数式表示出日销售量； （Ⅱ）利用总利润＝每盆花的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【解答】解：（Ⅰ）①根据题意得：若每盆花降价5元，则每盆花盈利45﹣5＝40（元）； 每天可售出20+4×5＝40（盆）． 故答案为：40，40； ②根据题意得：若每盆花降价x元，则每盆花盈利（45﹣x）元； 每天可售出（20+4x）盆． 故答案为：（45﹣x），（20+4x）； （Ⅱ）根据题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2400， 整理得：x2﹣40x+375＝0， 解得：x1＝15，x2＝25， ∵要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每盆花应降价25元． 23．（12分）【综合与实践】如图1，若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH是矩形，则称原四边形ABCD为“中点矩形”，即如果四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形称为“中点矩形”． （1）如图2，在直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（1，2），C（4，6）． ①请在图中标出格点D位置（一点即可），使四边形ABCD是中点矩形； ②写出（1）中D点的坐标 　（6，2）　； ③通过计算发现中点矩形的两组对边的平方和之间的数量关系是 　相等　． （2）如图3，以△ABC的边AB、AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，连接CE、BG相交于点O．判断四边形BEGC是否中点矩形？并说明理由； （3）如图4，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD．当四边形ABED是中点矩形时，直接写出边AB的长． 【分析】（1）根据中点矩形的定义，结合坐标系中点的位置，即可求解； （2）证明△EAC≌△BAG得出∠ABG＝∠AEC，进而证明EC⊥BG，根据定义可得四边形BEGC是中点矩形； （3）由（1）知：AD2+BE2＝AB2+DE2，根据已知条件求出AD、BE代入等式，进而即可求解． 【解答】解：（1）解：①如图2所示：点D即为所求（答案不唯一）； ②由图2可知D（6，2）， 故答案为：（6，2）； ③∵A（4，0），B（1，2），C（4，6），D（6，2）， ∴AB2+CD2＝（32+22）+（22+42）＝33，BC2+AD2＝（32+42）+（22+22）＝33， ∴AB2+CD2＝BC2+AD2， ∴中点矩形的两组对边的平方和之间的数量关系是相等， 故答案为：相等； （2）四边形BEGC是中点矩形．理由如下： 如图3，设AB，EC交于点H， ∵正方形ABDE及正方形ACFG， ∴∠EAB＝∠GAC＝90°，AG＝AC，AE＝AB， ∴∠EAB+∠BAC＝∠GAC+∠BAC，即∠EAC＝∠GAB． 在△EAC和△BAG中， ， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AHE＝∠BHO， ∴∠AEC+∠AHE＝∠ABG+∠BHO＝90°， ∴EC⊥BG， ∴四边形BEGC是中点矩形； （3）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点， ∴， 当四边形ABED是中点矩形时， ∴BD⊥AE， 由（1）知：AD2+BE2＝AB2+DE2， ∴， 解得：． 24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P旋转α得到线段DP，连接AP，CD，BD． （1）观察猜想：如图1，当α＝60°时，线段CP绕点P顺时针旋转α得到线段DP，则的值是　1　，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是　60°　； （2）类比探究：如图2，当α＝90°时，线段CP绕点P顺时针旋转α得到线段DP．请直接写出AP与BD相交所成的较小角的度数，并说明△BCD与△ACP相似，求出的值； （3）拓展延伸：当α＝90°时，且点P到点C的距离为AC，线段CP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，若点A，C，P在一条直线上时，求的值． 【分析】（1）如图1中，延长AP交BD的延长线于K，设AK交BC于J．证明△BCD≌△ACP（SAS），推出BD＝PA，∠KBJ＝∠CAJ可得结论． （2）如图2中，设BD交AC于O．证明∴△BCD∽△ACP（SAS），推出，∠CBO＝∠OAG可得结论． （3）分两种情形：如图3﹣1中，当点P在AC的延长线上时，如图3﹣2中，当点P落在AC上时，设PC＝m，AC＝3m，求出BD，PA即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，延长AP交BD的延长线于K，设AK交BC于J． ∵AB＝AC，PC＝PD，∠BAC＝∠CPD＝60°， ∴△ABC，△PCD都是等边三角形， ∴CB＝CA，CD＝CP，∠ACB＝∠PCD＝60°， ∴∠BCD＝∠ACP， ∴△BCD≌△ACP（SAS）， ∴BD＝PA，∠KBJ＝∠CAJ， ∵∠KJB＝∠CJA， ∴∠K＝∠ACJ＝60°， ∴1，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是60°， 故答案为1，60°． （2）如图2中，设BD交AC于O． ∵AB＝AC，PC＝PD，∠BAC＝∠CPD＝90°， ∴△ABC，△PCD都是等腰直角三角形， ∴CBCA，CDCP，∠ACB＝∠PCD＝45°°， ∴∠BCD＝∠ACP，， ∴△BCD∽△ACP， ∴，∠CBO＝∠OAG， ∵∠COB＝∠AOG， ∴∠AGB＝∠OCB＝45°， ∴，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是45°． （3）如图3﹣1中，当点P在AC的延长线上时，设PC＝m，则AC＝3m，PA＝4m， ∵∠ACB＝∠PCD＝45°， ∴∠BCD＝90°， 在Rt△BCD中，∵BCAC＝3m，CDPCm， ∴BD2m， ∴． 如图3﹣2中，当点P落在AC上时，设PC＝m，则AC＝3m，PA＝2m， ∵∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴∠BCD＝90°， ∴BD2m， ∴， 综上所述，的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：第二十一章~第二十三章（华东师大版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列二次根式中，与能合并的二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B．a＝2，b，c＝2，d C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a，b＝3，c＝2，d 4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，m的值不可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 5．（3分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A． B．∠B＝∠ADE C．∠C＝∠AED D．AE•BC＝AC•DE 6．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 8．（3分）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧B进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对 10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点D是边AB上一点，且BD＝1，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 　 　． 12．（3分）已知（x，y，z均不为零），则　 　． 13．（3分）在数轴上，点A表示的数为，将点A沿着数轴向左移动5个单位长度后到达点B，设点B表示的数为m，则的值为 　 　． 14．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式的值为 　 　． 15．（3分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO米，则汽车从A处前行的距离AB＝　 　米时，才能发现C处的儿童． 16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 　 　． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）解方程． （1）3x2﹣2x﹣2＝0； （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E． （1）求证：． （2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长． 22．（10分）某花市销售一批花，平均每天可售出20盆，每盆盈利45元．为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每盆花每降价1元，平均每天可多售出4盆． 请根据题意，完成下列问题： （Ⅰ）①若每盆花降价5元，则每盆花盈利 　 　元，每天可售出 　 　盆； ②若每盆花降价x元，则每盆花盈利 　 　元，每天可售出 　 　盆；（用含x的代数式表示）； （Ⅱ）若花市平均每天盈利2400元，每盆花应降价多少元？ 23．（12分）【综合与实践】如图1，若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH是矩形，则称原四边形ABCD为“中点矩形”，即如果四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形称为“中点矩形”． （1）如图2，在直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（1，2），C（4，6）． ①请在图中标出格点D位置（一点即可），使四边形ABCD是中点矩形； ②写出（1）中D点的坐标 　 　； ③通过计算发现中点矩形的两组对边的平方和之间的数量关系是 　 　． （2）如图3，以△ABC的边AB、AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，连接CE、BG相交于点O．判断四边形BEGC是否中点矩形？并说明理由； （3）如图4，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD．当四边形ABED是中点矩形时，直接写出边AB的长． 24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P旋转α得到线段DP，连接AP，CD，BD． （1）观察猜想：如图1，当α＝60°时，线段CP绕点P顺时针旋转α得到线段DP，则的值是　 　，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是　 　； （2）类比探究：如图2，当α＝90°时，线段CP绕点P顺时针旋转α得到线段DP．请直接写出AP与BD相交所成的较小角的度数，并说明△BCD与△ACP相似，求出的值； （3）拓展延伸：当α＝90°时，且点P到点C的距离为AC，线段CP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，若点A，C，P在一条直线上时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$