九年级数学期中测试卷【沪科版，测试范围：第二十一章～第二十二章】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题。 2．测试范围：第二十一章~第二十二章（沪科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，﹣9） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣9） 2．（4分）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（　　） A．（1，6） B．（﹣6，﹣1） C．（6，1） D．（2，﹣3） 3．（4分）由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（　　） A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位 B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位 C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位 D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位 4．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 5．（4分）已知二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称，则下列结论不正确的是（　　） A．m＝2 B．抛物线的开口向上 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＝2时，函数有最小值2 6．（4分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 7．（4分）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片的长度为（　　）cm． A． B． C． D． 8．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（　　） A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4 9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，垂足为D，F为线段CD上一点，若，则为（　　） A． B． C．1 D． 10．（4分）已知，抛物线与一个交点为（3，0）．规定：当y1≥y2时，y＝y1；当y1＜y2时，y＝y2；下列结论：①y有最小值3；②y关于x函数图象关于直线对称；③直线y＝1与y关于x的函数图象有4个交点；④当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．（5分）若，则　 　． 12．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 　 　． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，连接OB，过点B作BA⊥x轴于点A，反比例函数的图象分别与OB、AB交于点F、E，连接EF，若F为OB的中点，且四边形OAEF的面积为10，则k的值为 　 　． 14．（5分）如图，点E是矩形ABCD边AD一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折至△FBE处，若AB＝6，BC＝8，则： （1）若点F在BD上，则AE＝　 　； （2）若F到边AD，BC距离之比为2：1，则AE＝　 　． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点 （0，﹣3），（﹣6，﹣3）． （1）求b，c的值． （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标． 17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+8． （1）直接写出二次函数y＝x2﹣6x+8图象的顶点坐标 　 　； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当0＜x＜4时，y的取值范围是 　 　． 18．（8分）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交BC于F，且BF＝CF，DC延长线交AE于E，AB＝2，AD＝5． （1）求证：AB＝BF； （2）求S△EFC：S△EAD的值． 19．（10分）已知反比例函数y的图象经过点A（3，﹣2）． （1）求k的值． （2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（﹣4，0），与反比例函数y在第三象限内的图象交于点C（﹣6，a）． （1）求反比例函数的表达式； （2）当kx+b时，求x的取值范围； （3）当点P在y轴上，△ABP的面积为6时，直接写出点P的坐标． 21．（12分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）求C1和C2的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3.2dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 22．（12分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D是BC边上一点，DE⊥AD，CE⊥AC，DE和CE交于点E． （1）如图1，如果AB＝BC，求证：AD＝DE； （2）如图2，如果，猜想AD和DE之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（2）的情况下，如果AB＝4，BC＝8，∠DAC＝∠DEC＝∠ACB，求DE的长． 23．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题。 2．测试范围：第二十一章~第二十二章（沪科版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（2，﹣9） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣9） 【分析】依据题意，由抛物线为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴其顶点坐标为（2，﹣9）． 故选：B． 2．（4分）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（　　） A．（1，6） B．（﹣6，﹣1） C．（6，1） D．（2，﹣3） 【分析】将各选项坐标代入解析式可求解． 【解答】解：当x＝1时，y＝﹣6，故（1，6）不在反比例函数图象上； 当x＝﹣6时，y＝1，故（﹣6，﹣1）不在反比例函数图象上； 当x＝6时，y＝﹣1，故（6，1）不在反比例函数图象上； 当x＝2时，y＝﹣3，故（2，﹣3）在反比例函数图象上； 故选：D． 3．（4分）由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，下列哪种平移方式可以实现（　　） A．向右平移m个单位，再向上平移n个单位 B．向右平移m个单位，再向下平移n个单位 C．向左平移m个单位，再向上平移n个单位 D．向左平移m个单位，再向下平移n个单位 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可． 【解答】解：由二次函数y＝2x2图象平移得到二次函数y＝2（x﹣m）2+n（m＞0，n＞0）图象，平移方式是先向右平移m个单位，再向上平移n个单位， 故选：A． 4．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：∵a∥b∥c， ∴， ∴3 故选：D． 5．（4分）已知二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称，则下列结论不正确的是（　　） A．m＝2 B．抛物线的开口向上 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＝2时，函数有最小值2 【分析】函数图象关于y轴对称时，其对称轴x0，从而求出m的值，然后根据二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称， ∴0，m≠0， 解得m＝2， ∴二次函数为y＝2x2+2， ∴抛物线开口向上，当x＝0时，函数有最小值2， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大， 故A、B、C正确，不合题意；D错误，符合题意． 故选：D． 6．（4分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意； D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； 故选：C． 7．（4分）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片的长度为（　　）cm． A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，据此即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【解答】解：∵P为AB的黄金分割点，AP＞PB， ∴， ∵AB的长度为8cm， ∴， ∴， 故选：C． 8．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（　　） A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4 【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x＝1或3时，y＝3，结合函数图象，利用抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点可确定t的范围． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2， ∴2， 解得m＝4， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x， 抛物线的顶点坐标为（2，4）， 当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3， ∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解， ∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1≤x≤3的范围内有公共点， ∴3≤t≤4． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，垂足为D，F为线段CD上一点，若，则为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】过点D作DH∥BC交AE于点H，先证DH为△ABE的中位线，得BE＝2DH，再证△DFH和△CFE相似，得DH：EC＝DF：FC＝1：3，则EC＝3DH，据此可得出答案． 【解答】解：过点D作DH∥BC交AE于点H，如图： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB， ∴BD＝AD， ∴DH为△ABE的中位线， ∴BE＝2DH， ∵DH∥BC， ∴△DFH∽△CFE， ∴DH：EC＝DF：FC＝1：3， ∴EC＝3DH， ∴． 故选：A． 10．（4分）已知，抛物线与一个交点为（3，0）．规定：当y1≥y2时，y＝y1；当y1＜y2时，y＝y2；下列结论：①y有最小值3；②y关于x函数图象关于直线对称；③直线y＝1与y关于x的函数图象有4个交点；④当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后根据题意画出y关于x函数图象，观察图象即可判断． 【解答】解：∵抛物线与一个交点为（3，0）， ∴9+3b﹣3＝0，﹣9+3c﹣3＝0， ∴b＝﹣2，c＝4， ∴y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝﹣x2+4x﹣3， 由当y1≥y2时，y＝y1；当y1＜y2时，y＝y2画出图象如图： 由图象可知， ①y有最小值﹣3，故①错误； ②y关于x函数图象没有对称轴，故②错误； ③直线y＝1与y关于x的函数图象有3个交点，故③错误； ④当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确． 故选：A． 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）若，则　　． 【分析】根据，得出1，从而得出的值． 【解答】解：∵， ∴1， ∴． 故答案为：． 12．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 　x1＝﹣1，x2＝3　． 【分析】根据抛物线的对称性即可求解． 【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是：x＝1， （﹣1，0）关于x＝1的对称点是：（3，0）， 则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，连接OB，过点B作BA⊥x轴于点A，反比例函数的图象分别与OB、AB交于点F、E，连接EF，若F为OB的中点，且四边形OAEF的面积为10，则k的值为 　﹣8　． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义，利用面积比等于相似比的平方，设S△OFM＝S△OEA＝S，可得SS＝10，求出k值即可． 【解答】解：作FM⊥x轴于点M，连接OE， ∵BA⊥x轴于点A， ∴AB∥FM， ∴△OFM∽△OAB， ∵F为OB的中点， ∴， 设S△OFM＝S，根据反比例函数k值的几何意义， ∴S△OAB＝4S， ∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE＝4S﹣S＝3S， ∴S△OFES， ∴SS＝10， 解得S＝4． ∴‖k‖＝2S＝8， ∵反比例函数在第二象限， ∴k＝﹣8． 故答案为：﹣8． 14．（5分）如图，点E是矩形ABCD边AD一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折至△FBE处，若AB＝6，BC＝8，则： （1）若点F在BD上，则AE＝　3　； （2）若F到边AD，BC距离之比为2：1，则AE＝　3　． 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理求出BD＝10，由翻折的性质证明DF＝4，DE＝8﹣AE，∠DFE＝90°，再利用勾股定理即可求出AE； （2）过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H，得四边形ABHG是矩形，根据F到边AD，BC距离之比为2：1，可得HF＝2，GF＝4，利用勾股定理即可求出AE． 【解答】解：（1）如图1，点F在BD上， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8， ∴AD＝BC＝8，∠A＝90°， ∴BD10， 由翻折可知：AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°， ∴DF＝BD﹣BF＝10﹣6＝4，DE＝AD﹣AE＝8﹣AE，∠DFE＝90°， 在Rt△DEF中，根据勾股定理得： DE2＝EF2+DF2， ∴（8﹣AE）2＝AE2+42， ∴AE＝3； 故答案为：3； （2）如图2，过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHG是矩形， ∴GH＝AB＝6， ∴FH+GF＝6， ∵F到边AD，BC距离之比为2：1， ∴GF＝2HF， ∴3HF＝6， ∴HF＝2， ∴GF＝2HF＝4， 由翻折可知：AE＝EF，AB＝BF＝6， ∴BH4， ∴AG＝BH＝4， ∴EG＝AG﹣AE＝4AE， 在Rt△GEF中，根据勾股定理得： EF2＝EG2+GF2， ∴AE2＝（4AE）2+42， ∴AE＝3， 故答案为：3． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．（8分）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点 （0，﹣3），（﹣6，﹣3）． （1）求b，c的值． （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． 【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可； （2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可． 【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得b＝﹣6，c＝﹣3； （2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6， 又∵﹣4≤x≤0， ∴当x＝﹣3时，y有最大值为6． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标． 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）； 17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+8． （1）直接写出二次函数y＝x2﹣6x+8图象的顶点坐标 　（3，﹣1）　； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当0＜x＜4时，y的取值范围是 　﹣1≤y＜8　． 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）根据二次函数顶点式作图． （3）根据二次函数开口方向及顶点坐标求解． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， ∴抛物线顶点坐标为（3，﹣1）． 故答案为：（3，﹣1）． （2）如图， （3）将x＝0代入y＝x2﹣6x+8得y＝8， ∵抛物线顶点坐标为（3，﹣1）， ∴当0＜x＜4时，﹣1≤y＜8， 故答案为：﹣1≤y＜8． 18．（8分）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交BC于F，且BF＝CF，DC延长线交AE于E，AB＝2，AD＝5． （1）求证：AB＝BF； （2）求S△EFC：S△EAD的值． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义得∠AFB＝∠BAF，即可解决问题； （2）结合（1）得AB＝BF＝CF＝2，证明△EFC∽△EAD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AFB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠AFB＝∠BAF， ∴AB＝BF； （2）解：由（1）知：AB＝BF， ∵BF＝CF， ∴AB＝BF＝CF＝2， ∵AD∥BC，AD＝5， ∴△EFC∽△EAD， ∴S△EFC：S△EAD＝（）2． 19．（10分）已知反比例函数y的图象经过点A（3，﹣2）． （1）求k的值． （2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系． 【分析】（1）把点A（3，﹣2）代入反比例函数解析式，即可求出k的值； （2）由反比例函数的性质可直接得出结论． 【解答】解：（1）由题意，将点A（3，﹣2）， 代入， 得：， 解得k＝8； （2）由（1）得：反比例函数的解析式为， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2， ∴y1＜y2． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（﹣4，0），与反比例函数y在第三象限内的图象交于点C（﹣6，a）． （1）求反比例函数的表达式； （2）当kx+b时，求x的取值范围； （3）当点P在y轴上，△ABP的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数的表达式为y＝1/2x+2，再将点C（﹣6，a）代入yx+2，求出点C（﹣6，﹣1），然后将点C代入y之中求出m的值即可得出反比例函数的表达式； （2）将一次函数与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组求出两个函数的交点坐标为C（﹣6，﹣1），D（2，3），结合函数的图象即可求出当kx+b时，x的取值范围； （3）由点A（0，2），B（﹣4，0）得OB＝4，设点P的坐标为（0，t），则PA＝|t﹣2|，由△ABP的面积为6得PA•OB＝6，即4×|t﹣2|＝6，由此解出t即可得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（﹣4，0）， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为：yx+2， 将点C（﹣6，a）代入yx+2，得a（﹣6）+2＝﹣1， ∴点C的坐标为（﹣6，﹣1）， ∵点C在比例函数y的图象上， ∴m＝﹣6×（﹣1）＝6， ∴反比例函数的表达式为：y； （2）解方程组，得，， ∴一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝m/x交于点C（﹣6，﹣1），D（2，3），如图1所示： 由函数的图象可知：当kx+b时，求x的取值范围是：﹣6＜x＜0或x＞2； （3）∵点A（0，2），B（﹣4，0）， ∴OB＝4， ∵点P在y轴上， 设点P的坐标为（0，t），则PA＝|t﹣2|， ∴△ABP的面积为6， ∴PA•OB＝6， 即4×|t﹣2|＝6， 整理得：|t﹣2|＝3， ∴t﹣2＝3或t﹣2＝﹣3， 由t﹣2＝3，解得：t＝5， 由t﹣2＝﹣3，解得：t＝﹣1， ∴点P的坐标为（0，5）或（0，﹣1），如图2所示． 21．（12分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）求C1和C2的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3.2dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为1dm即y＝﹣2，列方程求得x的值，即可得答案； （3）底面直径为3dm、高度为3dm圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当x时，C1和C2中的y值的差与3比较大小，从而可得答案． 【解答】解：（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y＝a（x﹣3）（x+3）； 抛物线C1还经过D（0，﹣3）， 则有：﹣3＝a（0﹣3）（0+3），解得：a， 即：抛物线C1：yx2﹣3（﹣3≤x≤3）； 抛物线C2还经过C（0，1）， 则有：1＝a（0﹣3）（0+3），解得：a， 即：抛物线C2：yx2+1（﹣3≤x≤3）． （2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y＝﹣2，即x2﹣3＝﹣2， 解得：x＝±， ∴此时水面的直径为2dm． （3）锅盖不能正常盖上，理由如下： 当x时，抛物线C1：y（）2﹣3，抛物线C2：y（）2+1， 而（）＝3， ∴锅盖不能正常盖上． 22．（12分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D是BC边上一点，DE⊥AD，CE⊥AC，DE和CE交于点E． （1）如图1，如果AB＝BC，求证：AD＝DE； （2）如图2，如果，猜想AD和DE之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（2）的情况下，如果AB＝4，BC＝8，∠DAC＝∠DEC＝∠ACB，求DE的长． 【分析】（1）过D点作DF∥AC交AB于点F，根据平行线的性质和ASA证明△AFD与△DCE全等，进而理由全等三角形的性质解答即可； （2）作DF∥AC交AB于点F，根据平行线的性质和相似三角形的判定和性质得出比例解答即可； （3）根据勾股定理得出方程解答即可． 【解答】（1）证明：过D点作DF∥AC交AB于点F， ∵DE⊥AD，CE⊥AC， ∴∠ADE＝∠ACE＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝90°﹣∠ADB＝∠BAD， ∵DF∥AC， ∴∠FDB＝∠ACB， ∴∠AFD＝∠B+∠FDB＝90°+∠ACB＝∠DCE， ∵DF∥AC， ∴， ∴AB＝BC， ∴AF＝DC， 在△AFD与△DCE中， ， ∴△AFD≌△DCE（ASA）， ∴AD＝CE． （2）解：ADDE， 证明：作DF∥AC交AB于点F， ∵DF∥AC， ∴， ∵， ∴， ∵DE⊥AD，CE⊥AC， ∴∠ADE＝∠ACE＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝90°﹣∠ADB＝∠BAD， ∵DF∥AC， ∴∠FDB＝∠ACB， ∴∠AFD＝∠B+∠FDB＝90°+∠ACB＝∠DCE， ∴△AFD∽△DCE， ∴． 即． （3）解：∵∠DAC＝∠DEC＝∠ACB， ∴DA＝DC， 设DA＝DC＝x，则BD＝8﹣x， 在Rt△ABD中， 由勾股定理，得（8﹣x）2+42＝x2， 解得x＝5． 因为， 根据（2）的结论，得DE＝2AD＝10． 23．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案； （3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点M（1，4）， 设直线AM的解析式为y＝kx+d，则， 解得：， ∴直线AM的解析式为y＝2x+2， 当x＝0时，y＝2， ∴D（0，2）， 作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图， 则DH＝D′H， ∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M， ∵D′M， ∴MH+DH的最小值为； （3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形． 由（2）得：D（0，2），M（1，4）， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设P（m，﹣m2+2m+3）， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1， ∴设Q（1，n）， 当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合， ∴， 解得：， ∴Q（1，3）； 当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合， ∴， 解得：， ∴Q（1，1）； 当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合， ∴， 解得：， ∴Q（1，5）； 综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$