精品解析：浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高一上学期第一次阶段性考试（10月）数学试题

金华市曙光学校2024－2025学年第一学期第一次阶段性考试 高一年级数学试题卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 满足 的集合的个数为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，化简的结果为（ ） A B. 1 C. D. 5. 已知，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 对于实数，，，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 关于的不等式的解集中至多包含两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（ ） A 若，，则 B. 若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C. D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 集合，表示同一集合 B. ，，都有为真命题 C. 集合，集合，则 D. 设，则“”是“”的充要条件 11. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个正根的充要条件是 D. 当时，方程的两个实数根之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程组的解集为_______． 13. 已知集合，则___________． 14. 已知为真命题，则实数的取值范围是______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列关于x的不等式的解集： （1）； （2）. 16. 已知集合，，. （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围. 17. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值； （2）设集合，若“”是“”充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知：关于x的方程. （1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根； （2）若二次函数的图象关于y轴对称； ①求二次函数的解析式； ②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立. 19. 已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 （1）已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金华市曙光学校2024－2025学年第一学期第一次阶段性考试 高一年级数学试题卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系判断即可 【详解】解：因为集合，所以，所以A正确，BCD错误， 故选：A 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断. 【详解】因为“”的否定是“”. 故选：C 3. 满足 的集合的个数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知列举即得解. 【详解】∵ ∴满足条件的集合可能为，，， ，，，一共有个集合 故选：. 4. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式与绝对值定义化简即可得. 【详解】， ∵， ∴，∴， ∴. 故选：B． 5. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】因为由能推出；由不能推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 对于实数，，，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质进行证明或举例判断即可. 【详解】对于A，若，令，，则，，，故选项A是假命题； 对于B，若，令，则，故选项B是假命题； 对于C，若，则， ∵，∴，∴，故选项C真命题； 对于D，若，令，，则，故选项D是假命题. 故选：C. 7. 关于的不等式的解集中至多包含两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对与大小进行分类讨论，解出原不等式的解，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得. ①当时，原不等式即为，原不等式的解集为，合乎题意； ②当时，原不等式的解集为，由于原不等式的解集为中至多包含两个整数，则； ③当时，原不等式的解集为，由于原不等式的解集为中至多包含两个整数，则. 综上所述，. 故选：D. 【点睛】在利用一元二次不等式解集中的整数解的个数求参数，一般要结合条件确定解集中的整数，由此得出关于不等式解集端点的不等式，进而求解. 8. 两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故， 故选：D 【点睛】关键点睛：证明两个集合相等，关键是证明它们彼此包含，后者依据定义证明. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 故,故，故A正确， ，故B错误， =，C正确， ，D错误， 故选：AC 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 集合，表示同一集合 B. ，，都有为真命题 C. 集合，集合，则 D. 设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】由集合、充要条件的相关概念逐项判断即可. 【详解】对于A:集合是全体实数，集合:，故错误； 对于B: 恒成立，故错误； 对于C：正确 对于D:当时，可得；当时，可得，故正确 故选:CD 11. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个正根的充要条件是 D. 当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】关于x的方程中，， 且两根和为、两根积为m. 对A，若方程有一个正根一个负根，则，解得，故A对； 对B，若方程无实根，则，解得，则其一个必要条件是，故B对； 对C，若方程有两个正根，则，解得，故C对； 对D，当时，方程可化为，显然无实数解，故D错. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程组的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 解方程组得，再根据方程组的解集为点的集合即可得答案 【详解】解：解方程组得， 故方程组的解集为： 故答案为： 13. 已知集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等的定义求解即可． 【详解】由题意得，，解得或， 当时，，不满足集合中元素互异性，舍去， 当时，集合为，满足题意， 故答案为：． 14. 已知为真命题，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论，结合一元二次不等式解集的结论，即可得出答案. 【详解】当时，恒成立，所以为真命题， 当，为真命题， 所以，解之可得， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列关于x的不等式的解集： （1）； （2）. 【答案】（1）{或} （2） 【解析】 【分析】（1）直接去绝对值符号解不等式即可； （2）利用一元二次不等式的解法计算即可. 【小问1详解】 由或，解之得或， 所以该不等式的解集为{或}； 【小问2详解】 由，解之得， 即该不等式的解集为. 16. 已知集合，，. （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）先由得，再分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又，， 当时，即，解得； 当时，则，解得； 综上，或，则实数a的取值范围是. 17. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值； （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求得答案； （2）由题意可得，由此列不等式求解，即得答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集是， 故的两根为，且， 故； 【小问2详解】 由题意集合，“”是“”的充分条件， 故，由于，故B不为空集， 则，解得. 18. 已知：关于x的方程. （1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根； （2）若二次函数的图象关于y轴对称； ①求二次函数的解析式； ②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程得判别式即可证明； （2）①根据二次函数的对称轴即可求得答案；②利用作差法结合配方即可证明结论. 【小问1详解】 证明：关于x的方程其判别式为恒成立， 故m取任何实数量，方程总有实数根； 小问2详解】 ①二次函数的图象关于y轴对称， 则，解得， 故； ②证明：由于一次函数， 故， 故在实数范围内，对于x的同一个值，均成立. 19. 已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 （1）已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 【答案】（1）集合不具有性质；集合具有性质，对应集合，； （2）2047276； （3）充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【小问1详解】 ①集合，不符合定义故不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集所以不具有性质. 【小问2详解】 由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个， ∵，∴ 又∵时，，∴时候，， ∴集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 故中元素的个数最多. 故答案为：2047276 【小问3详解】 1）当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$