第16期 直线的方向向量与平面的法向量 用向量方法讨论立体几何中的位置关系-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

4版”数理教” 高◆梦学：选理性公修第一洗海大格·第13-16型 详细答案 详细答案 德中抛学：感年性轮棒第一【北舞大精上雾13华用 数理报1版 前，G同，鞋+y+海n+4线. 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）2024年10月 4+,,-44a 候解日硬直，问矿可的现为，机州/ 诗位少法内加年国，涛达心力31高3，，认专是 第13~16期参考答案 1国14转1年4 . 。1年。车■4 ▣ □44·子址个西 月4m事，到年1年年，址。1,13 T品e:】的后海A的的t早生 面齿性的内标线心速典址物湖房 一：单第容用有1444■号44妈平 甲 44年1减=e3因作。e,:/ 化天边h.,f有年样身制生 里0平有面#4464制 L年年年1.同想中特2非2州 …←1…-) 449,群43m,14693到 主速明称利，时学一++广用，， 与4一早科，鞋中4造子， {-十子.-寸 1地+e升，世有， 1量+-4，-， 与裤矿期十 情冷九？冷新年军，柱南中的：为日二 t--片）子 同为5.样.上e 锅小8二 4镇可，道。一新生，有 E -川同子子) 是1.43。-g5 作h种■金A1 出44多=4男 4短山直可又可的的 得量✉是。 制明里方可理主立列风有韩华时在1A成通 是飘的，M是 D在年，与单童序1F人1形 ka1A1,.0,L am,得.芋，41网n再1一 y0CPL4金特重年来1回， m什小得早) 0量DEA州-十量、1-2 群4■球开件P环材， 1倍引品清存) 8.(什g）:仕 方平制=他过3,1，日缺，，花e 4=P4件口件=传以新材 01件年市1e ,++(「-导 准-纳：(c于一 w丽.。4 hh3,nn时十方=1 p国a甲自年纯这作t路了，P n外4于1形，1中雪一发 阳期，1A群尚江，：双料利1n 片--小（告91 a量11丛+量+请a 4专同内编 =1,131+44-14-14-14+厘 in-nt is- +÷+图，只 合好古 2-3e中卡r3t3=■量 0词山一：一1出+年电 车e离的人汽造：中卡e多年宜 E法是信明0直中子本，钢g■ 车心有专A在：转上有利框 中通已年情：-←， 11一生：同花0有来速钟 一一中年子发城国 传动A1鞋，+地有有十 ,卡速温作国 得月代A两N。 传w得叫~全-)州-飞》 1-4道B有+M了 有 11华2，”言车d 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化可以起到牵一发而动全身的功效．下面从正方体某一 边上点的动态变化入手，借助变式，来探究一下空间中 的平行与垂直问题． 例 在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ为棱ＣＣ１上的 动点．求证：Ａ１Ｅ⊥ＢＤ． 证明：以 Ｄ为坐标原点，ＤＡ， ＤＣ，ＤＤ１所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴， 建立图１所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 ａ，则 Ａ（ａ，０，０），Ｂ（ａ，ａ，０），Ａ１（ａ，０， ａ），Ｃ１（０，ａ，ａ）． 设Ｅ（０，ａ，ｅ）（０≤ｅ≤ａ）． 因为Ａ１ → Ｅ＝（－ａ，ａ，ｅ－ａ），→ＢＤ＝（－ａ，－ａ，０）， 所以Ａ１ → Ｅ·→ＢＤ＝ａ２－ａ２＋（ｅ－ａ）×０＝０． 所以Ａ１ → Ｅ⊥ →ＢＤ，即Ａ１Ｅ⊥ＢＤ． 评注：点在任意位置时，用向量法解决直线与直线 的位置关系，可结合方程思想，大胆设元，化动为定．用 向量法证明线线垂直的方法与步骤：（１）基向量法，设 出基向量然后利用基向量表示直线的方向向量，进而运 用数量积为零，得到垂直关系；（２）坐标法，先建立空间 直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示，进而运用 数量积为零，得到垂直关系． 变式１已知正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１． （１）求证：平面Ａ１ＢＤ∥平面ＣＢ１Ｄ１； （２）求证：Ａ１Ｃ⊥ＤＣ１， 证明：（１）如图２，以 Ａ为原 点，ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ１所在直线分别为 ｘ，ｙ，ｚ轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为１，则 Ａ１（０，０， １），Ｂ（１，０，０），Ｄ（０，１，０），Ｂ１（１， ０，１），Ｃ（１，１，０），Ｄ１（０，１，１）． 因为Ａ１ →Ｂ＝（１，０，－１），Ｄ１→ Ｃ ＝（１，０，－１），Ｂ１Ｄ → １＝（－１，１，０）， →ＢＤ＝（－１，１，０），所 以Ａ１ → Ｂ∥Ｄ１→ Ｃ，Ｂ１Ｄ→ １∥ →ＢＤ． 所以Ａ１Ｂ∥Ｄ１Ｃ，Ｂ１Ｄ１∥ＢＤ． 又因为Ｄ１Ｃ平面Ｂ１Ｄ１Ｃ，Ａ１Ｂ平面Ｂ１Ｄ１Ｃ， 所以Ａ１Ｂ∥平面Ｂ１Ｄ１Ｃ． 同理ＢＤ∥平面Ｂ１Ｄ１Ｃ． 又因为Ａ１Ｂ∩ＢＤ＝Ｂ， 所以平面Ａ１ＢＤ∥平面ＣＢ１Ｄ１． （２）由（１）知，Ｃ１（１，１，１）， 所以Ａ１ → Ｃ＝（１，１，－１），ＤＣ→ １ ＝（１，０，１）． 因为Ａ１ → Ｃ·ＤＣ→ １ ＝１×１＋１×０＋（－１）×１＝０． 所以Ａ１ → Ｃ⊥ＤＣ→ １，即Ａ１Ｃ⊥ＤＣ１． 评注：本题中动点运动到线段的两端点．利用向量 法证明几何中的平行问题有两条途径：一是利用三角形 法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到 向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助 直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系、线线垂 直的证明． 变式２在正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ为棱 ＣＣ１ 上的中点．求证：平面Ａ１ＢＤ⊥平面ＥＢＤ． 证明：以 Ｄ为坐标原点，ＤＡ， ＤＣ，ＤＤ１所在直线分别为 ｘ，ｙ，ｚ 轴，建立图３所示的空间直角坐标 系．设正方体的棱长为 ａ，则 Ａ（ａ， ０，０），Ｂ（ａ，ａ，０），Ｃ（０，ａ，０），Ａ１（ａ，０， ａ），Ｃ１（０，ａ，ａ）， (Ｅ ０，ａ，ａ)２ ． 设平面Ａ１ＢＤ，ＥＢＤ的法向量分别为 ｎ１ ＝（ｘ１，ｙ１， ｚ１），ｎ２ ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）． 因为 →ＤＢ＝（ａ，ａ，０），ＤＡ→ １ ＝（ａ，０，ａ）， → (ＤＥ＝ ０，ａ，ａ)２ ， 所以 ｎ１· →ＤＢ＝ａｘ１＋ａｙ１ ＝０， ｎ１·ＤＡ → １ ＝ａｘ１＋ａｚ１ ＝０ { ； ｎ２· →ＤＢ＝ａｘ２＋ａｙ２ ＝０， ｎ２· →ＤＥ＝ａｙ２＋ ａ ２ｚ２ ＝０ { ． 取ｘ１＝ｘ２＝１，得ｎ１＝（１，－１，－１），ｎ２＝（１，－１，２）． 所以ｎ１·ｎ２ ＝１×１＋（－１）×（－１）＋（－１）×２ ＝０． 所以平面Ａ１ＢＤ⊥平面ＥＢＤ． 评注：本题中动点运动到线段的中点，并据此设置 垂直问题．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两 个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直 问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接 求两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到 两个平面垂直． 书 １７．（１５分）（２０２４江苏阶段训练）已知 Ａ（１，２，３）， Ｂ（１，－１，－２），Ｃ（－１，０，０）． （１）写出直线ＢＣ的一个方向向量； （２）设平面α经过点 Ａ，且→ＢＣ是 α的一个法向量， Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）是平面α内任意一点，试写出ｘ，ｙ，ｚ满足的关 系式． １８．（１７分）（２０２３湖南教研联盟质检）如图６，四棱 锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ，ＰＤ＝ＡＤ，底面ＡＢＣＤ 为正方形，Ｅ为ＰＣ的中点，点Ｆ在ＰＢ上，问点Ｆ在何位 置时， →ＰＢ为平面ＤＥＦ的一个法向量？ １９．（１７分）（２０２４辽宁开学考试）如图７，在矩形 ＡＢＢ１Ａ１中，ＡＡ１＝２，ＡＢ＝槡３，Ｃ，Ｄ分别为ＢＢ１，ＡＡ１的中 点，现将矩形ＣＤＡ１Ｂ１沿ＣＤ折至ＣＤＥＦ的位置，使得平 面ＣＤＥＦ⊥平面ＡＢＣＤ，Ｍ，Ｎ，Ｇ，Ｈ分别为ＡＢ，ＥＦ，ＡＣ，ＥＣ 的中点，如图８所示． （１）求证：ＧＨ∥平面ＤＭＮ； （２）在线段ＥＣ上是否存在点Ｑ，使得ＡＱ⊥ＤＧ？若 存在，求出 ＥＱ ＱＣ的值；若不存在，请说明理由                                                                                                                                 ． 书 法向量是立体几何的一个概念，垂直于平面的直线 的方向向量为该平面的法向量．由于空间内有无数条直 线垂直于已知平面，且每条直线存在不同的方向向量， 因此一个平面存在无数个法向量，这些法向量相互平 行．从理论上讲，空间零向量是任何平面的法向量，但是 由于零向量不能表示平面的信息，故不选择零向量为平 面的法向量． 课本上法向量的求法： （１）设：设所求平面上的法向量为（ｘ，ｙ，ｚ）； （２）找：找到平面上的两条不共线向量； （３）乘：将平面上向量与法向量相乘，点乘积为零； （４）赋：以计算方便为原则，对ｘ，ｙ，ｚ中的一个进行 赋值（务必注意不能赋值０）； （５）得：得出结论，求得法向量． 此方法在求出平面内两个不共线的向量的基础上， 需要利用法向量与其垂直的性质，利用数量积为零，得 出两个关于ｘ，ｙ，ｚ的方程组，继而又因为三个未知数通 过两个方程得不出唯一解，需要将其中一个变量适当赋 值，再去求解．这个过程是一个难点和易错点，如何避免 此处求解出错，急需我们了解更为简单、易操作的方法！ 法向量秒解大招： １．找到平面内的两个不共线的向量，求其坐标，分 别为ａ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）， ２．将两个坐标分别在两行写两遍： ３．划掉最边上两列 ４．从左到右每相邻两列交叉相乘再相减（用“捺” 减去“撇”） 故平面的法向量为： ｘ＝ｙ１ｚ２－ｚ１ｙ２，ｙ＝ｚ１ｘ２－ｘ１ｚ２，ｚ＝ｘ１ｙ２－ｙ１ｘ２． 你学会了吗？赶快试试吧！ 例１已知平面 α上三点 Ａ（３，２，１），Ｂ（－１，２，０）， Ｃ（４，－２，－１），则平面α的一个法向量为 （　　） （Ａ）（４，－９，－１６） （Ｂ）（４，９，－１６） （Ｃ）（－１６，９，－４） （Ｄ）（１６，９，－４） 秒解： →ＡＢ＝（－４，０，－１），→ＡＣ＝（１，－４，－２）． 则ｎ＝（－４，－９，１６），只要跟ｎ成倍数都是平面的 法向量，所以选（Ｂ）． 例２在三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ中，ＣＰ， ＣＡ，ＣＢ两两垂直，ＡＣ＝ＣＢ＝１，ＰＣ＝ ２，如图１建立空间直角坐标系，则下 列向量中是平面ＰＡＢ的法向量的是 （　　） （Ａ (） １，１，１ )２ （Ｂ）（１，槡２，１） （Ｃ）（１，１，１） （Ｄ）（２，－２，１） 秒解：Ａ（１，０，０），Ｂ（０，１，０），Ｐ（０，０，２）． 所以 →ＰＡ＝（１，０，－２），→ＡＢ＝（－１，１，０）． 设平面ＰＡＢ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 所以ｎ＝（２，２，１），只要跟ｎ成倍数，λｎ（λ≠０）都 是平面的法向量，所以选（Ａ）． 如图 ２，长方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝２， ＣＣ１ ＝３，Ｅ，Ｆ分别是 ＢＣ，ＣＤ的 中点，以 Ｄ为原点，分别以 ＤＡ， ＤＣ，ＤＤ１为坐标轴建立空间直角 坐标系，则平面 Ｄ１ＥＦ的一个法 向量是 ． 秒解：Ｄ１（０，０，３），Ｅ（１，４，０），Ｆ（０，２，０）． 所以Ｄ１ → Ｅ＝（１，４，－３），Ｄ１→ Ｆ＝（０，２，－３）． 设平面Ｄ１ＥＦ的一个法向量是ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 所以ｎ＝（－６，３，２），只要跟ｎ成倍数，λｎ（λ≠０） 都是平面的法向量． 由于这种方法，并非课标要求，未出现在高中数学 教材中，因此在使用时要注意：不能直接呈现在“解答 题”中． 在解答题中计算法向量时，需要把列方程组求法 向量的过程体现出来，在“赋值”那一步，可以在草稿 纸上使用这种简易算法，把结果计算出来，在试卷上呈 现出对ｘ（或ｙ或ｚ）的“赋值”． 在“选择题”和“填空题”中求解法向量时，由于计 算过程不会呈现在试卷上，所以可以大胆放心地使用． 书 空间位置关系是立体几何中的重要内容，本文介绍 用空间向量证明线线垂直、线面垂直、线面平行与面面 垂直问题，供同学们参考． 一、证明线线垂直 利用向量证明线线垂直，一 般先确定出两条直线的方向向 量，然后利用向量垂直的充要条 件证明． 例１在棱长为 １的正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点 Ｅ，Ｆ分别 为 Ｄ１Ｄ，ＢＤ的中点，求证：ＥＦ⊥ Ｂ１Ｃ． 证明：如图１，以 Ｄ为坐标原 点，建立空间直角坐标系Ｄｘｙｚ， 则 (Ｅ ０，０，１ )２ ， (Ｆ １２，１２， )０ ，Ｃ（０，１，０），Ｂ１（１， １，１），→ＥＦ (＝ １２，１２，－１ )２ ，Ｂ１→ Ｃ＝（－１，０，－１）． 因为 →ＥＦ·Ｂ１→ Ｃ＝０．所以→ＥＦ⊥Ｂ１→ Ｃ，即ＥＦ⊥Ｂ１Ｃ． 二、证明线面垂直 利用向量证明直线与平面垂直主 要有两条途径：（１）根据线面垂直的判 定定理，利用向量证明直线与平面内的 两条相交直线垂直；（２）转化为证明直 线的方向向量与平面的法向量共线． 例２如图２，在正四棱柱 ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＡ１ ＝２ＡＢ＝４，点 Ｅ在 ＣＣ１上且Ｃ１Ｅ＝３ＥＣ．求证：Ａ１Ｃ⊥平面 ＢＤＥ． 证明：以Ｄ为坐标原点，建立如图２所示的空间直 角坐标系 Ｄｘｙｚ，则 Ｄ（０，０，０），Ｂ（２，２，０），Ｃ（０，２，０）， Ｅ（０，２，１），Ａ１（２，０，４）． 所以 →ＤＥ＝（０，２，１），→ＤＢ＝（２，２，０），Ａ１→ Ｃ＝（－２，２，－４）． 因为Ａ１ → Ｃ·→ＤＢ＝０，Ａ１→ Ｃ·→ＤＥ＝０， 所以Ａ１Ｃ⊥ＤＢ，Ａ１Ｃ⊥ＤＥ． 又ＤＢ∩ＤＥ＝Ｄ，所以Ａ１Ｃ⊥平面ＢＤＥ． 三、证明线面平行 利用向量证明线面平行主要有两条途径：（１）证明 直线所对应的向量与平面的法向量垂直；（２）利用向量 平行的条件，证明直线所对应的向量与平面内一条直线 所对应的向量是平行向量． 例３如图 ３，在四棱锥 Ｏ－ ＡＢＣＤ中，底面 ＡＢＣＤ是边长为１ 的菱形，∠ＡＢＣ＝４５°，ＯＡ⊥底面 ＡＢＣＤ，ＯＡ＝２，Ｍ为ＯＡ的中点，Ｎ 为ＢＣ的中点，求证：直线 ＭＮ∥ 平面 ＯＣＤ． 证明：作ＡＰ⊥ＣＤ于点Ｐ，建 立如图３所示的空间直角坐标系 Ａｘｙｚ， 则 Ａ（０，０，０），Ｂ（１，０，０）， (Ｐ ０，槡２２， )０ ， (Ｄ －槡２２，槡２２，)０ ， Ｏ（０，０，２），Ｍ（０，０，１）， (Ｎ １－槡２４，槡２４，)０ ， 所以 →ＭＮ (＝ １－槡２４，槡２４，－ )１ ，→ＯＰ (＝ ０，槡２２， － )２ ，→ＯＤ (＝ －槡２２，槡２２，－ )２ ． 设平面ＯＣＤ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则ｎ·→ＯＰ＝０，ｎ·→ＯＤ＝０， 即 槡２ ２ｙ－２ｚ＝０， －槡２２ｘ＋ 槡２ ２ｙ－２ｚ＝０ { ． 令ｚ＝槡２，得ｎ＝（０，４，槡２）． 因为 →ＭＮ·ｎ＝０，所以 →ＭＮ⊥ｎ． 故直线ＭＮ∥平面ＯＣＤ． 四、证明面面垂直 利用向量证明平面与平面垂直主要有两条途径： （１）根据面面垂直的判定定理，利用向量证明一个 平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量； （２）转化为证明这两个平面的法向量互相垂直． 例４如图４，已知四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ的底面为直角梯 形，ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＤＡＢ ＝９０°， ＰＡ⊥底面 ＡＢＣＤ，且ＰＡ＝ＡＤ ＝ＤＣ＝１，ＡＢ＝２． 求证：平面 ＰＡＤ⊥ 平面 ＰＣＤ． 证明：如图４，以 Ａ为坐标原点，建立空间直角坐标 系， 则 Ａ（０，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｃ（１，１，０），Ｄ（１，０，０）， Ｐ（０，０，１）， 所以 →ＰＤ＝（１，０，－１），→ＰＣ＝（１，１，－１）． 易知平面ＰＡＤ的一个法向量为ｎ１ ＝（０，２，０）． 设平面ＰＣＤ的一个法向量为ｎ２ ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ｎ２· →ＰＤ＝ｘ－ｚ＝０， ｎ２· →ＰＣ＝ｘ＋ｙ－ｚ＝０{ ． 令ｘ＝１，得ｎ２ ＝（１，０，１）． 因为ｎ１·ｎ２ ＝０，所以平面ＰＡＤ⊥平面ＰＣＤ． ! " !" #"$ %! !!"#" $"$%&!"'$!( !"#$ %&' ()*+,-./ ! " # $ % & ' " ! # ! ( ' ! % ! ) ! " ! * " + # & ' % , - ) ! & ! # " '& % * ) ! % !"# #$$%&'( )*+,- ./012 !"#$%&'( )*+,-.&/01 2345'(6789 :;<=>"?@A BCDEFG6HG IJ5KLMHGNO P<QR6ST&?@ G'DEUVWX&Y Z[\]6B@5 ^ _`'(Ca_:bc d6ef-g/hi *3jfklm7no pa_qrlm st+u6vw xyz {|}Q~z' (p;€‚)* -ƒ6„…†z‡"ˆ ‰Š‹6ŒZzM+ ,-ƒoz:Že ‘’6“”z‡"•– ?@e‘’A—˜™ š–†z'(›•– œžŸ A—˜™ { |}¡Cz7¢'(£ ¤6¥¦§¨©ªžŸ 6«¬­ƒ®¯z°± fk5‡›:²Ž³´  zµ]h¢T¶o· ¸¹¹6º»z¼:½ žŸ¾¿ÀÁ©AL@5 ;Â{|}›Q~z' (:?@ÃÄAž ÆÇÈ,6Éw5 ! " # % ' & ( # ! " !' ! % ! ! $ ) ! 34 5 6 "789:9% ' ";ABC% "DEFGH?"&(!)($*!$(+ "78IJ?34KLMNOPQRST !&$UVW8XY&VZDEF "[\D]?"&"""+ "N^F_8`2?"&(!%($*!!$( "&(!%($*!$&*!ab( "_c?de78N^FJfghijk[l!m( "[\_c`2?!!!#( "nopq_rs_tu_ "78vhijKwN(xyz{|8 "}~€n‚U?!%""""%"""!!" "}~FGH?"&(!%($*!$(( "78ƒ„…†‡aˆ‰Š‹ŒŽwN‘’Q“”•–—˜™1 !! Uš›‰œ‹‰žŸ ¡¢$de78N^FJf£¤ ¥¦§¨ & %š ) *+ ©ª« , ) *+ ¬5­ , % - .+ ®¯« , ) *+ ° ± , ) *+ ² ³ -./01+ ® ´ 23/01+ ®µ¶ -4506+ · ¸ -4578+ ¹º» 5¼½ ¾ ¿ ÀOÁ  à ÄÅÆ ¬ÇÈ Âɵ Ê º ËÌÁ ÍΪ ¾ÏÐ AÏÑ ¬ªÒ Ó³& ÔÕ¿ Ö Æ ×ØÙ 56Ú 91-.+ 5¼½ 91:;+ ×ØÙ <=-.+ ¬ÛÜ >?-.+ ÝÞß @ABC+ àáâ 34ãäåZæç 34ãåy蘙aˆéê 34ãåë쀋ŒŽæí VW8XDEC% Xî?©ª« iïðBñòC%óU?,-!%)"*"*.!/( [ôõU?$!)!+# ! ! !"#$% Y&VZö÷øùúû¨Bü¥ýãå%š̈ !" < !"#$%&'()*+,'-. & ! ! ! ) ! & ! ! ! ) ! & $ ! $ ) $ & $ ! $ ) $ & ! ! ! ) ! & ! ! ! ) ! & $ ! $ ) $ & $ ! $ ) $ & ! ! ! ) ! & ! ! ! ) ! & $ ! $ ) $ & $ ! $ ) $ )% ! " )% )! )$ )% ! " )% )! )$ &."&Ê)$Ë)Ê)%Ë&Ê)!Ë0)%z !.Ê)!Ë&!)Ê)%Ë&Ê)$Ë0)1z ).Ê)%Ë&Ê)%Ë)"&!0!+' ! # " * ) % & ! " ! )! " ! )$ " ! )! " ! )$ " &."&")Ê)$Ë&!0$z !.Ê)$Ë&Ê)!Ë)!&"0$z ).!&!)Ê)!Ë&"0!' ! " ( # " ! # ! $ ' ' ! % ! % ) & ! $ ! " % $ )& )& ! " % $ )& )& &.%&Ê)&Ë)Ê)&Ë&$0)+z !.Ê)&Ë&")!&Ê)&Ë0&z ).!&$)%&"0$' fÌNÍ ÎÏÐÑ6Ìk ! " ' % # & " ! ' ! % ! # ! ) ! $ ! þ4 ® ÿ # " ( ' $ % * ! ' ! !… 5"» # " # ! % ' % ! # , / " $ 0 + % ' ( ! ( ! ! ! # " ' % & # ! " ! ' ! % ! ) ! ! ( ! # " ' % & # ! " ! ' ! % ! ) ! & ( !#$%&'"<( 书 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ａ； ４ (． ３２，－１２， )３ ；　５ (． ４３，４３， )４３ ． ６．解：ａ＋ｂ＝（２，－３，５）＋（－３，１，－４）＝（－１，－２，１）， ａ－ｂ＝（２，－３，５）－（－３，１，－４）＝（５，－４，９）， ８ａ＝８（２，－３，５）＝（１６，－２４，４０）， ａ·ｂ＝（２，－３，５）·（－３，１，－４）＝－６－３－２０＝－２９． 专项小练二 １．ＡＢＣ；　２．Ａ；　３．ＢＣ；　４．－１０３， ３ ２；　５． 槡２ ４２ ２１ ． ６．解：因为Ａ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｏ（０，０，０），Ｂ（槡２，槡３，２），ＡＯ＝１， 所以Ａ是以Ｏ为球心，１为半径的球上的点． 因为Ｂ（槡２，槡３，２），所以ＯＢ＝ （槡２）２＋（槡３）２＋２槡 ２ ＝３． 所以ＡＢ的最小值为ＯＢ－ＯＡ＝３－１＝２， 当且仅当Ｏ，Ａ，Ｂ三点共线，且Ａ在Ｏ，Ｂ中间时ＡＢ取最小值． 一、单项选择题 １～４　ＡＡＡＣ　５～８　ＢＣＣＢ 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＣＤ． 三、填空题 １２ (． １３，２３， )２３ (或 －１３，－２３，－ )２３ ； １３ (． ５，１２， )０ ；　１４．（－２，４）∪（４，＋∞）． 四、解答题 １５．解：（１）→ＡＢ＝（－１，－１，－１）－（１，－２，－３）＝（－２，１，２）． （２）因为ａ∥ｂ，所以 ｘ－２＝ ４ ｙ ＝ １ －１， 解得ｘ＝２，ｙ＝－４， 则ａ＝（２，４，１），ｂ＝（－２，－４，－１）． 又因为ｂ⊥ｃ，所以ｂ·ｃ＝０，即 －６＋８－ｚ＝０， 解得ｚ＝２，于是ｃ＝（３，－２，２）． １６．解：（１）→  → →ＢＤ＝ＡＤ－ＡＢ＝ １２ →ＡＣ＋１２ＡＡ → １ →－ＡＢ， Ｂ１ → →Ｃ＝ＢＣ－ＢＢ→ １ → →＝ＡＣ－ＡＢ－ＡＡ→ １． （２）连接ＡＢ１，假设线段ＣＢ１上存在一点Ｅ，使得ＢＤ⊥ＡＥ， 且Ｂ１ → Ｅ＝λＢ１→ Ｃ，λ∈［０，１］，则→ＡＥ＝ＡＢ→ １＋Ｂ１→ →Ｅ＝ＡＢ＋ＡＡ→ １ ＋λＢ１ → Ｃ＝λ→ＡＣ＋（１－λ）→ＡＢ＋（１－λ）ＡＡ→ １，因为ＢＤ⊥ＡＥ， 所以→ＢＤ·→ (ＡＥ＝ １２→ＡＣ＋１２ＡＡ→ １ → )－ＡＢ ·［λ→ＡＣ＋（１－λ）→ＡＢ ＋（１－λ）ＡＡ→ １］＝１２（１－３λ） →ＡＣ·→ＡＢ＋１２λ →ＡＣ２＋１２（１－λ）ＡＡ → １ ２ －（１－λ）→ＡＢ２ ＝１－３λ＋２λ＋８（１－λ）－４（１－λ）＝５－５λ＝０， 所以λ＝１，此时点Ｅ与点Ｃ重合， → →｜ＡＥ｜＝｜ＡＣ｜＝２， 所以存在点Ｅ，且 →｜ＡＥ｜＝２． １７．解：→ＡＢ＝（－２，－１，３），→ＡＣ＝（１，－３，２）． （１）因为ｃｏｓ〈→ＡＢ，→ＡＣ〉＝ →ＡＢ·→ＡＣ →｜ＡＢ｜· →｜ＡＣ｜ ＝ －２＋３＋６ ４＋１＋槡 ９· １＋９＋槡 ４ ＝ １２． 所以ｓｉｎ〈→ＡＢ，→ＡＣ〉＝槡３２． 所以 →Ｓ＝｜ＡＢ｜· →｜ＡＣ｜ｓｉｎ〈→ＡＢ，→ＡＣ〉＝ 槡７３． 即以ＡＢ，ＡＣ为边的平行四边形面积为 槡７３． （２）设ａ＝（ｘ，ｙ，ｚ），由｜ａ｜＝槡３，ａ⊥ →ＡＢ，ａ⊥→ＡＣ， 可得 ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ ＝３， －２ｘ－ｙ＋３ｚ＝０， ｘ－３ｙ＋２ｚ＝ { ０  ｘ＝１， ｙ＝１， ｚ＝１ { ， 或 ｘ＝－１， ｙ＝－１， ｚ＝－１ { ． 所以ａ＝（１，１，１）或ａ＝（－１，－１，－１）． １８．解：（１）设ＡＡ１长为ｔ，以Ｄ为 坐标原点，ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ１所在直线分别 为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴，建立如图所示空间 直角坐标系，则Ａ（４，０，０），Ｂ（４，４，０）， (Ｍ ２，４， １２ )ｔ，Ｎ（２，２，ｔ）， → ( ＡＭ ＝ －２，４，１２ )ｔ，→ＢＮ＝（－２，－２，ｔ）， 由→ＡＭ⊥ →  ＢＮ，故→ＡＭ·→  ＢＮ＝０， 即有 －２×（－２）＋４×（－２）＋１２ｔ ２ ＝０， 解得ｔ＝ 槡２２（负值舍去），即ＡＡ１ ＝ 槡２２． （２）由ｔ＝ 槡槡２ ２，故 →ＡＭ ＝（－２，４，槡２），→  ＢＮ＝（－２，－２， 槡２２）， →  ＣＤ＝（０，－４，０），设存在实数λ１，λ２，λ３，使得 λ１ →ＡＭ＋ λ２ →  ＢＮ＋λ３ →  ＣＤ＝０成立． 则有 －２λ１－２λ２ ＝０， ４λ１－２λ２－４λ３ ＝０， 槡２λ１＋ 槡２２λ２ ＝０ { ， 解得 λ１ ＝０， λ２ ＝０， λ３ ＝０ { ， 即当且仅当λ１ ＝λ２＝λ３＝０时，λ１ →ＡＭ＋λ２→  ＢＮ＋λ３ →  ＣＤ ＝０，所以→ＡＭ，→  ＢＮ，→  ＣＤ线性无关． １９．解：（１）由题知ａ＝ｉ＋２ｊ＋３ｋ，ｂ＝－ｉ＋ｊ＋２ｋ， 所以ａ＋ｂ＝（ｉ＋２ｊ＋３ｋ）＋（－ｉ＋ｊ＋２ｋ）＝３ｊ＋５ｋ， 所以ａ＋ｂ＝［０，３，５］． （２）设ｉ，ｊ，ｋ分别为与→ＡＢ，→ＡＤ，ＡＡ→ １同方向的单位向量， 则→ＡＢ＝２ｉ，→ＡＤ＝２ｊ，ＡＡ→ １ ＝３ｋ， ①ＥＤ→ １ ＝ＡＤ→ １ →－ＡＥ＝（→ＡＤ＋ＡＡ→ １） (→－ ＡＢ＋１２ＡＡ→ )１ ＝ → →－ＡＢ＋ＡＤ＋１２ＡＡ → １ ＝－２ｉ＋２ｊ＋ ３ ２ｋ [＝ －２，２， ]３２ ， ②由题ＡＣ→ １ → →＝ＡＢ＋ＡＤ＋ＡＡ→ １ ＝２ｉ＋２ｊ＋３ｋ， 因为→ＡＭ＝［２，ｔ，０］，所以→ＡＭ＝２ｉ＋ｔｊ， 由→ＡＭ⊥ＡＣ→ １知→ＡＭ·ＡＣ→ １＝（２ｉ＋２ｊ＋３ｋ）·（２ｉ＋ｔｊ）＝０， ４ｉ２＋２ｔｊ２＋（４＋２ｔ）ｉ·ｊ＋６ｋ·ｉ＋３ｔｋ·ｊ＝０， ４＋２ｔ＋（４＋２ｔ）· １２ ＋３＋ ３ｔ ２ ＝０ｔ＝－２， 则 →｜ＡＭ｜＝｜２ｉ－２ｊ｜＝ （２ｉ－２ｊ）槡 ２ ＝ ４ｉ２＋４ｊ２－８ｉ·槡 ｊ＝ ４＋４－槡 ４＝２． 书 １．（２０２４江苏课后作业）若 Ａ（２，１，１），Ｂ（１，２，２） 在直线ｌ上，则直线ｌ的一个方向向量为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）（２，１，１） （Ｂ）（－２，２，２） （Ｃ）（－３，２，１） （Ｄ）（２，１，－１） ２．（多选）（２０２４福建漳州阶段练习）下列向量为 直线２ｘ－３ｙ＋１＝０的方向向量的有 （　　） （Ａ）（－２，－３） （Ｂ）（６，４） （Ｃ）（－３，－２） （Ｄ）（３，２） ３．（２０２４海南高二课时练）过点（ｘ０，ｙ０），且法向量 ｎ＝（ｕ，ｖ）的直线ｌ的点法式方程的适用范围是 （　　） （Ａ）ｕｖ＝０ （Ｂ）ｕ２＋ｖ２≠０ （Ｃ）ｕｖ≠０ （Ｄ）ｕ２＋ｖ２ ＝０ ４．若ｎ是坐标平面ｘＯｙ的一个法向量，则ｎ的坐标 可以表示为 ． ５．已知平面 α内两向量 ａ＝（１，１，１），ｂ＝（０，２， －１）且ｃ＝ｍａ＋ｎｂ＋（４，－４，１）．若ｃ为平面α的法 向量，则ｍ＝ ，ｎ＝ ． ６．如下图，已知长方体ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱长ＡＢ ＝２，ＡＤ＝４，ＡＡ′＝３．以点 Ｄ为原点，分别以ＤＡ，ＤＣ， ＤＤ′所在直线为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴，并均以１为单位长度，建 立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： （１）ＡＡ′；（２）ＢＤ′． １．（２０２４湖北高二校联考阶段练习）已知点 Ａ（２， －６，２）在平面α内，ｎ＝（３，１，２）是平面α的一个法向 量，则下列点Ｐ中，在平面α内的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 （Ａ）Ｐ（１，－１，１） （Ｂ） (Ｐ １，３， )３２ （Ｃ） (Ｐ １，－３， )３２ （Ｄ） (Ｐ －１，－３，－ )３４ ２．（多选）（２０２４江苏盐城期中）ｖ为直线ｌ的方向 向量，ｎ１和ｎ２分别为平面α与β的法向量（α与β不重 合，ｌα），下列选项正确的有 （　　） （Ａ）ｎ１∥ｎ２α∥β （Ｂ）ｎ１⊥ｎ２α⊥β （Ｃ）ｖ∥ｎ１ｌ∥α （Ｄ）ｖ１⊥ｎ１ｌ∥α ３．（２０２４江西课时练）已知直线 ｌ经过点 Ａ（１，１， ２），Ｂ（０，１，０），平面 α的一个法向量为 ｎ＝（－２，０， －４），则 （　　） （Ａ）ｌ∥α （Ｂ）ｌ⊥α （Ｃ）ｌα （Ｄ）ｌ与α相交，但不垂直 ４．已知ｌ∥α，且ｌ的方向向量为ｎ１＝（２，ｍ，１），平 面α的法向量为ｎ２ ＝ １， １ ２，( )２，则ｍ＝ ． ５．（２０２４江西上饶市二中课后作业）已知空间直角 坐标系Ｏ－ｘｙｚ中的点Ａ（１，１，１），平面α过点Ａ并且与 直线ＯＡ垂直，动点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）是平面α内的任意一点， 则直线ＯＡ的一个方向向量为 ，点Ｐ的坐标满 足的条件为 ． ６．如下图，正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１， Ｐ，Ｑ分别是ＡＤ１和ＢＤ上的点，且Ｄ１Ｐ∶ＰＡ＝ＤＱ∶ＱＢ ＝５∶１２． （１）求线段ＰＱ的长； （２）求证：ＰＱ／／平面ＣＤＤ１Ｃ１． 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．若直线ｌ１，ｌ２的方向向量分别为ａ＝（１，２，－２）， ｂ＝（－２，３，２），则 （　　） （Ａ）ｌ１∥ｌ２ （Ｂ）ｌ１⊥ｌ２ （Ｃ）ｌ１，ｌ２相交但不垂直 （Ｄ）不能确定 ２．（２０２４江苏常州期中）已知直线 ｌ的一个方向向 量ｍ＝（２，－１，３），且直线ｌ过Ａ（０，ｙ，３）和Ｂ（－１，２，ｚ） 两点，则ｙ－ｚ＝ （　　） （Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３ ３．（２０２４河北石家庄月考） 如图 １，在单位正方体 ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，以 Ｄ为原点，ＤＡ， ＤＣ，ＤＤ１所在直线为ｘ，ｙ，ｚ轴建立 空间直角坐标系，则平面 Ａ１ＢＣ１ 的法向量是 （　　） （Ａ）（１，１，１） （Ｂ）（－１，１，１） （Ｃ）（１，－１，１） （Ｄ）（１，１，－１） ４．若直线ｌ的方向向量为ｂ，平面α的法向量为ｎ，则 可能使ｌ∥α的是 （　　） （Ａ）ｂ＝（１，０，０），ｎ＝（－２，０，０） （Ｂ）ｂ＝（１，３，５），ｎ＝（１，０，１） （Ｃ）ｂ＝（０，２，１），ｎ＝（－１，０，－１） （Ｄ）ｂ＝（１，－１，３），ｎ＝（０，３，１） ５．（２０２４山西第二外国语学校阶段练习）已知直线 ｌ的一个方向向量ｍ＝（３，－２，１），且直线ｌ经过Ａ（ａ，２， －１）和Ｂ（－２，３，ｂ）两点，则ａ＋ｂ＝ （　　） （Ａ）－２ （Ｂ）－１ （Ｃ）１ （Ｄ）２ ６．（２０２４湖北孝感期 末）如图２，在空间直角坐标 系 Ｄ －ｘｙｚ中，正四棱柱 ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的底面边 长为４，高为２，Ｏ为上底面中 心，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别为棱ＡＤ，ＡＢ， Ｃ′Ｄ′的中点．若平面ＯＥＦ与平面ＯＢＧ的交线为ｌ，则ｌ的 方向向量可以是 （　　） （Ａ）（２，－１，２） （Ｂ）（２，－１，１） （Ｃ）（２，１，－２） （Ｄ）（２，１，－１） ７．（２０２４四川南充阶段测 试）《九章算术》是我国古代的数学 名著，书中将底面为矩形，且有一 条侧棱垂直于底面的四棱锥称为 阳马．如图３，在阳马Ｐ－ＡＢＣＤ中， ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面 ＡＢＣＤ是正 方形，Ｅ，Ｆ分别为ＰＤ，ＰＢ的中点，点Ｇ在线段ＡＰ上，ＡＣ 与 ＢＤ交于点Ｏ，ＰＡ＝ＡＢ＝２，若ＯＧ∥平面ＥＦＣ，则ＡＧ ＝ （　　） （Ａ）１２ （Ｂ） ３ ４ （Ｃ）２３ （Ｄ）１ ８．（２０２４河南濮阳阶段练习）在长方体 ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝ＡＤ＝１，ＡＡ１ ＝槡２， →ＢＭ＝２ＭＤ→ １，→ＤＮ →＝ＮＣ，Ｑ为长方体表面上的动点，且→ＱＮ· →ＭＤ＝０，则点 Ｑ的轨迹为 （　　） （Ａ）槡２ｘ－２ｙ＋ｚ＝１ （Ｂ）ｘ－ 槡２２ｙ＋ｚ＝ １ ２ （Ｃ）ｘ－ 槡２２ｙ－ｚ＝ １ ２ （Ｄ）槡２ｘ＋２ｙ－ｚ＝１ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．已知ａ，ｂ分别是直线ｌ１，ｌ２的方向向量，则以下四 组向量中，它们互相平行的是 （　　） （Ａ）ａ＝（１，－２，１），ｂ＝（－１，２，－１） （Ｂ）ａ＝（８，４，０），ｂ＝（２，１，０） （Ｃ）ａ＝（１，０，－１），ｂ＝（－３，０，３） （Ｄ）ａ (＝ －４３，１－ )１ ，ｂ＝（４，－３，３） １０．（２０２４江西抚州高二联考）在空间直角坐标系 中，已知向量ｕ＝（ａ，ｂ，ｃ）（其中ａｂｃ≠０），定点Ｐ０（ｘ０， ｙ０，ｚ０），异于点Ｐ０的动点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ），则以下说法正确的 是 （　　） （Ａ）若ｕ为直线ＰＰ０的方向向量，则 ｘ－ｘ０ ａ ＝ ｙ－ｙ０ ｂ ＝ ｚ－ｚ０ ｃ （Ｂ）若ｕ为直线 ＰＰ０的方向向量，则 ａ（ｘ－ｘ０）＋ ｂ（ｙ－ｙ０）＋ｃ（ｚ－ｚ０）＝０ （Ｃ）若ｕ为平面α的法向量，平面α经过Ｐ０和Ｐ，则 ｘ－ｘ０ ａ ＝ ｙ－ｙ０ ｂ ＝ ｚ－ｚ０ ｃ （Ｄ）若ｕ为平面α的法向量，平面α经过Ｐ０和Ｐ，则 ａ（ｘ－ｘ０）＋ｂ（ｙ－ｙ０）＋ｃ（ｚ－ｚ０）＝０ １１．（２０２４江苏省天一中学模拟预测）已知平面α的 一个法向量为ｎ１ (＝ １，－２，－ )１２ ，平面β的一个法向 量为ｎ２＝（－１，０，－２），直线ｌ的方向向量为ａ＝（１，０， ２），直线ｍ的方向向量为ｂ＝（０，１，－２），则 （　　） （Ａ）ｌ∥α （Ｂ）α⊥β （Ｃ）ｌ与ｍ为相交直线或异面直线 （Ｄ）ａ在ｂ (向量上的投影向量为 ０，４５， )８５ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４新疆阶段测试）设平面α的一个法向量为 ｍ＝（－１，３，５），点Ｐ（－１，１，１）在平面α内，Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ） 是α内任意一点，则ｘ，ｙ，ｚ满足的关系式为 ． １３．（２０２４山东菏泽期末）已知平面α与平面ＡＢＣ是 不重合的两个平面，若平面α的法向量为ｍ＝（２，－１， ４），且→ＡＢ＝（２，０，－１），→ＡＣ＝（１，６，１），则平面α与平面 ＡＢＣ的位置关系是 ． １４．（２０２４北京期中）直线ｍ的方向向量为ｍ＝（１， －２，λ），直线ｎ的方向向量为ｎ＝（－２，４，５），平面α的 法向量为ｋ＝（μ，－８，γ），ｍ⊥ｎ，ｎ⊥α，则λ，μ，γ的值 依次为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）（２０２４长春市第二实验中学阶段测试） 如图４，在棱长为３的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｍ 在棱Ｃ１Ｃ上，且ＣＭ ＝２ＭＣ１．求平面 ＭＤ１Ｂ的一个法向 量． １６．（１５分）如图５所示的五面体中，四边形 ＡＢＣＤ 是正方形，ＤＡ⊥平面 ＡＢＥＦ，ＡＢ∥ ＥＦ，ＡＥ⊥ ＡＦ，ＤＡ＝ ＡＦ＝１，ＡＥ＝槡３，Ｐ，Ｑ分别为ＡＥ，ＢＤ的中点．求证：ＰＱ ∥平面                                                                                                                                                             ＢＣＥ． ! 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