第15期 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 一、求线段 例１已知一个６０°的二面角 的棱上有两点 Ａ，Ｂ，ＡＣ，ＢＤ分别 是这两个面内且垂直于 ＡＢ的线 段，又知ＡＢ＝４，ＡＣ＝６，ＢＤ＝８， 求ＣＤ的长． 分析：求线段的长度可转化求向量的模，运用公式 ｜ａ｜２ ＝ａ２转化成数量积的形式． 解：如图１，由ＣＡ⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＢ，二面角为６０°． 得〈 →ＣＡ，→ＢＤ〉＝１２０°， 又 →ＣＤ＝→ＣＡ＋→ＡＢ＋→ＢＤ， 且 →ＣＡ·→ＡＢ＝０，→ＢＤ·→ＡＢ＝０， 所以｜→ＣＤ｜２ ＝→ＣＤ·→ＣＤ ＝（→ＣＡ＋→ＡＢ＋→ＢＤ）２ ＝｜→ＣＡ｜２＋｜→ＡＢ｜２＋｜→ＢＤ｜２＋２→ＣＡ·→ＢＤ ＝｜→ＣＡ｜２＋｜→ＡＢ｜２＋｜→ＢＤ｜２＋２｜→ＣＡ｜·｜→ＢＤ｜· ｃｏｓ〈→ＣＡ，→ＢＤ〉 ＝３６＋１６＋６４＋２×６×８ (× －１ )２ ＝６８． 所以｜→ＣＤ｜＝２槡１７，故ＣＤ＝２槡１７． 二、证垂直 例２已知空间四边形ＡＢＣＤ的每条边和对角线的长 都等于ａ，点Ｍ，Ｎ分别是边ＡＢ，ＣＤ的中点．求证：ＭＮ为 ＡＢ和ＣＤ的公垂线． 分析：证ＭＮ为ＡＢ和ＣＤ的公垂线，必先证ＭＮ与 ＡＢ和ＣＤ都垂直且相交，而证垂直只需证向量的数量积 为０即可． 解：选择 →ＡＢ，→ＡＣ，→ＡＤ作为基底， 由 →ＭＮ＝→ＡＮ－→ＡＭ ＝ １２（ →ＡＣ＋→ＡＤ）－１２ →ＡＢ ＝ １２（ →ＡＣ＋→ＡＤ－→ＡＢ）， 则 →ＭＮ·→ＡＢ＝ １２（ →ＡＣ＋→ＡＤ－→ＡＢ）·→ＡＢ ＝ １２ →ＡＣ·→ＡＢ＋１２ →ＡＤ·→ＡＢ－１２ →ＡＢ·→ＡＢ ＝ １２｜ →ＡＣ｜·｜→ＡＢ｜·ｃｏｓ６０°＋１２｜ →ＡＤ｜·｜→ＡＢ｜· ｃｏｓ６０°－１２｜ →ＡＢ｜２ ＝０． 所以 →ＭＮ⊥ →ＡＢ，同理可证 →ＭＮ⊥ →ＣＤ． 故ＭＮ为ＡＢ和ＣＤ的公垂线． 规律解读：由空间向量基本定理，只要有三个不共 面的向量，空间中任一个向量均可用它们来进行线性表 示，并且是唯一的，所以在选择基底时，最好选择同一个 点出发的三个不共面的向量，并且最好向量与向量之间 的夹角为已知或成直角的三个向量作为基底，这样有助 于简化问题，然后把问题要研究的向量全部用基底来表 示，从而达到求解的目的． 三、证平行 （１）线线平行问题 例 ３如图 ２，已知梯形 ＡＢＣＤ中，ＤＣ∥ ＡＢ，Ｅ，Ｆ分别 是腰ＡＤ，ＢＣ的中点． 求证：ＥＦ∥ＡＢ∥ＣＤ． 证明：因为 →ＣＤ与→ＡＢ共线， 所以存在实数ｘ使得→ＡＢ＝ｘ→ＤＣ． 而 →ＥＦ＝→ＥＡ＋→ＡＢ＋→ＢＦ＝→ＥＤ＋→ＤＣ＋→ＣＦ， →ＥＦ＝ １２［（ →ＥＡ＋→ＥＤ）＋（→ＡＢ＋→ＤＣ）＋（→ＢＦ＋→ＣＦ）］ ＝ １２（ →ＡＢ＋→ＤＣ）＝ １２（ｘ →ＤＣ＋→ＤＣ） ＝ １２（ｘ＋１） →ＤＣ． 故 →ＥＦ∥ →ＣＤ，从而ＥＦ∥ＡＢ∥ＣＤ． （２）线面平行问题 例４如图 ３，已知四边形 ＡＢＣＤ，ＡＢＥＦ为两个正方形， Ｍ，Ｎ分别在其对角线ＢＦ和ＡＣ 上，且 ＦＭ ＝ＡＮ，求证：ＭＮ∥ 面ＥＢＣ． 分析：要证 ＭＮ∥ 平面 ＥＢＣ，可证 →ＭＮ∥平面ＥＢＣ，即证 →ＭＮ，→ＢＣ，→ＢＥ共面． 证明：在正方形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ中， 因为ＦＭ ＝ＡＮ，ＦＢ＝ＡＣ， 所以存在实数λ使 →ＦＭ ＝λ→ＦＢ，→ＡＮ＝λ→ＡＣ． 又因为ＢＥ＝ＡＢ， 所以 →ＭＮ＝ →ＭＦ＋→ＦＡ＋→ＡＮ＝λ→ＢＦ＋→ＥＢ＋λ→ＡＣ ＝λ（→ＢＥ＋→ＢＡ＋→ＡＢ＋→ＡＤ）＋→ＥＢ ＝λ（→ＢＥ＋→ＡＤ）＋→ＥＢ ＝（λ－１）→ＢＥ＋λ→ＢＣ． 所以 →ＭＮ，→ＢＣ，→ＢＥ共面． 因为Ｍ平面ＥＢＣ， 所以ＭＮ∥平面ＥＢＣ． 书 从近几年高考看，空间向量的题目几乎都离不开空 间向量的坐标运算．运用空间向量的坐标运算可以解决 有关定量和定性的问题下面举例说明，供大家参考． 一、求长度 例１已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标分别是（２，－１，２），（４， ５，－１），（－２，２，３），且→ＡＭ＝１２（ →ＡＢ－２→ＡＣ），求向量→ＡＭ 的模． 分析：利用向量的坐标运算求出 →ＡＢ，→ＡＣ的坐标，便 可得 →ＡＭ的坐标，再由→ＡＭ的坐标求模． 解： →ＡＢ＝（２，６，－３），→ＡＣ＝（－４，３，１）， 则 →ＡＭ ＝ １２（ →ＡＢ－２→ＡＣ） (＝ ５，０，－５ )２ ， 所以｜→ＡＭ｜＝ ５２＋０２ (＋ －５ )２槡 ２ ＝５槡５２． 点评：本题给出了确定未知向量的坐标的方法，关 键是正确地进行向量的坐标运算． 二、求角度 例２已知空间三点Ａ（１，２，３），Ｂ（２，－１，５），Ｃ（３，２， －５），设ａ＝→ＡＢ，ｂ＝→ＡＣ，若ａ与ｂ的夹角为θ，求ｃｏｓθ． 分析：要求 ｃｏｓθ，则应利用向量夹角的坐标公式进 行计算． 解：因为 →ＡＢ＝（１，－３，２），→ＡＣ＝（２，０，－８）， 所以｜ａ｜＝｜→ＡＢ｜＝ １２＋（－３）２＋２槡 ２ ＝槡１４， ｜ｂ｜＝｜→ＡＣ｜＝ ２２＋０２＋（－８）槡 ２ ＝２槡１７． 所以ｃｏｓθ＝ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ｜ａ｜·｜ｂ｜＝－ 槡２３８ ３４ ． 点评：利用向量的夹角的坐标公式，我们可以求出 空间向量的夹角，进而解决空间中的夹角问题，这也是 向量法求空间角的最重要的思路． 例３在长方体 ＯＡＢＣ－Ｏ１Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，ＯＡ＝２，ＡＢ＝３，ＡＡ１＝２，Ｅ为ＢＣ的 中点，求ＡＯ１与Ｂ１Ｅ所成角的余弦值． 解：建立空间直角坐标系 Ｏ－ｘｙｚ 如图１所示． 由题意得 Ａ（２，０，０），Ｏ１（０，０，２）， Ｂ１（２，３，２），Ｅ（１，３，０），所以 →ＡＯ１ ＝（－２，０，２），Ｂ１→ Ｅ＝ （－１，０，－２），所以ｃｏｓ〈→ＡＯ１，Ｂ１→ Ｅ〉＝ －２ ２槡１０ ＝－槡１０１０， 即ＡＯ１与Ｂ１Ｅ所成角的余弦值为槡 １０ １０． 点评：由夹角公式求向量 ａ，ｂ的夹角，关键是利用 向量的夹角公式．一般是把向量用坐标表示或用一组基 底表示出来，再求其他有关的向量． 三、处理平行问题 例４已知Ａ（１，５，－２），Ｂ（２，４，４），Ｃ（ａ，３，ｂ＋２），如 果Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，则ａ＋ｂ＝ ． 分析：Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，可转化为→ＡＢ∥ →ＡＣ． 解：因为 Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，所以→ＡＢ∥ →ＡＣ，而→ＡＢ＝ （１，－１，６），→ＡＣ＝（ａ－１，－２，ｂ＋４），则ａ－１１ ＝ －２ －１＝ ｂ＋４ ６ ，所以ａ＝３，ｂ＝８．所以ａ＋ｂ＝１１． 点评：三点共线问题一般可转化为两向量平行问题 来求解，而用坐标法判定两向量平行则主要依据以下定 理：若 ｂ≠０，ａ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则 ａ∥ ｂｘ１ ＝λｘ２，ｙ１ ＝λｙ２，ｚ１ ＝λｚ２． 四、处理垂直问题 例５已知ａ＝（２，－１，３），ｂ＝（－４，２，ｘ），ｃ＝（１， －ｘ，２），若（ａ＋ｂ）⊥ｃ，则ｘ＝ ． 分析：先运用向量的坐标运算法则计算出 ａ＋ｂ的 坐标，再利用向量垂直的充要条件列方程，解之即得ｘ． 解：ａ＋ｂ＝（－２，１，ｘ＋３），ｃ＝（１，－ｘ，２）． 因为（ａ＋ｂ）⊥ｃ， 所以 －２－ｘ＋２（ｘ＋３）＝０， 解得ｘ＝－４． 点评：破解此题的主要依据是空间向量垂直的充要 条件，通过列方程即可求解． 例６在直三棱柱 ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，∠ＡＢＣ＝９０°， ｜ＢＣ｜＝２，｜ＣＣ１｜＝４，Ｄ为ＣＣ１的中点． 求证：Ｂ１Ｄ⊥平面ＡＢＤ． 证明：如图２，以Ｂ为坐标原点，建立空间直角坐标 系，则Ｂ（０，０，０），Ｄ（０，２，２），Ｂ１（０，０，４）． 设ＢＡ＝ａ，则Ａ（ａ，０，０）， 所以 →ＢＡ＝（ａ，０，０），→ＢＤ＝（０，２，２）， Ｂ１ → Ｄ＝（０，２，－２）． 因为Ｂ１ → Ｄ·→ＢＡ＝０，Ｂ１→ Ｄ·→ＢＤ＝０， 所以Ｂ１Ｄ⊥ＢＡ，Ｂ１Ｄ⊥ＢＤ． 又ＢＡ∩ＢＤ＝Ｂ， 因此Ｂ１Ｄ⊥平面ＡＢＤ． 点评：运用空间向量的坐标运算，把证明问题化为 计算问题，简捷方便． 五、巧解探究性问题 例７已知矩形ＡＢＣＤ，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＰＣ的中点，∠ＰＤＡ＝θ，能否确定θ，使直线ＭＮ是直 线ＡＢ与ＰＣ的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确 定，请说明理由． 解：如图３，以点 Ａ为坐标原点建 立空间直角坐标系，设 Ａ（０，０，０）， Ｄ（２ａ，０，０），Ｂ（０，２ｂ，０），Ｃ（２ａ，２ｂ，０）， 那么Ｐ（０，０，２ａｔａｎθ），Ｍ（０，ｂ，０）， Ｎ（ａ，ｂ，ａｔａｎθ）， 所以 →ＡＢ＝（０，２ｂ，０），→ＰＣ＝（２ａ， ２ｂ，－２ａｔａｎθ），→ＭＮ＝（ａ，０，ａｔａｎθ）． 因为 →ＡＢ· →ＭＮ＝（０，２ｂ，０）·（ａ，０，ａｔａｎθ）＝０， 所以 →ＡＢ⊥ →ＭＮ，即ＡＢ⊥ＭＮ恒成立． 若ＭＮ⊥ＰＣ，则 →ＭＮ·→ＰＣ＝（ａ，０，ａｔａｎθ）·（２ａ，２ｂ， －２ａｔａｎθ）＝２ａ２－２ａ２ｔａｎ２θ＝０，得ｔａｎ２θ＝１． 因为θ为锐角，所以ｔａｎθ＝１，即θ＝４５°． 即当θ＝４５°时，直线ＭＮ是直线ＡＢ与ＰＣ的公垂线． 点评：当图形中有三条直线两两垂直时，通过建立 空间直角坐标系，往往能够迅速地解决该题． 书 一、结论多解型 例１如右图所示，在正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，①（ →ＡＢ＋ →ＢＣ）＋ＣＣ→ １；②（ＡＡ→ １ ＋Ａ１Ｄ→ １）＋ Ｄ１Ｃ → １；③（ →ＡＢ ＋ ＢＢ→ １） ＋ Ｂ１Ｃ→ １； ④（ＡＡ→ １＋Ａ１Ｂ→ １）＋Ｂ１Ｃ→ １．上列各式 中运算的结果为向量ＡＣ→ １的共有 （将以上运算结果为ＡＣ→ １的序号填到横线 上）． 分析：根据向量的运算法则逐个将各式化简作出判断． 解：①（→ＡＢ＋→ＢＣ）＋ＣＣ→ １＝→ＡＣ＋ＣＣ→ １＝ＡＣ→ １；②（ＡＡ→ １ ＋Ａ１Ｄ → １）＋Ｄ１Ｃ → １ ＝ＡＤ → １＋Ｄ１Ｃ → １ ＝ＡＣ → １；③（ →ＡＢ＋ＢＢ→ １）＋ Ｂ１Ｃ → １＝ＡＢ → １＋Ｂ１Ｃ → １＝ＡＣ → １；④（ＡＡ → １＋Ａ１Ｂ → １）＋Ｂ１Ｃ → １＝ＡＢ → １ ＋Ｂ１Ｃ → １ ＝ＡＣ → １．所以运算结果是ＡＣ → １的有①②③④． 点评：结论开放型创新问题，结论是不确定或不唯 一的，解题时要注意运用相应的解题策略，如举反例、特 殊值法、排除法、等价转化、数形结合等． 二、知识交汇型 例２已知空间任意一点Ｏ和不共线的三点Ａ，Ｂ，Ｃ， 满足 →ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ，ｚ∈Ｒ），则 “ｘ＋ｙ＋ｚ＝１＂是“点Ｐ位于平面ＡＢＣ内”的 （　　） （Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分又不必要条件 分析：根据共面向量定理，结合充要条件的概念作 出判断． 解：若空间任意一点 Ｏ和不共线的三点 Ａ，Ｂ，Ｃ，满 足 →ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ，ｚ∈Ｒ），且ｘ ＋ｙ＋ｚ＝１，则点Ｐ位于平面ＡＢＣ内，反之，若点Ｐ位于 平面ＡＢＣ内，且→ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ， ｚ∈Ｒ），则ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．故选（Ｃ）． 点评：本题只要是空间向量与逻辑条件的交汇问 题，解题的关键是熟练掌握充分条件、必要条件、充要条 件的概念． 三、探索型 例３已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线，对平面ＡＢＣ外的任一 点Ｏ，若 →ＯＭ＝２→ＯＡ－→ＯＢ－→ＯＣ，则点Ｍ是否与Ａ，Ｂ，Ｃ一 定共面，并说明理由． 分析：若确定点Ｍ是否与Ａ，Ｂ，Ｃ一定共面，就看是 否存在实数对（ｘ，ｙ），使得→ＡＭ ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ成立． 解：点Ｍ与Ａ，Ｂ，Ｃ不共面，理由如下： 假设点Ｍ与Ａ，Ｂ，Ｃ一定共面， 则存在实数对（ｘ，ｙ），使得→ＡＭ ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ成立． 于是对平面ＡＢＣ外任一点Ｏ，→ＯＭ＝（１－ｘ－ｙ）→ＯＡ ＋ｘ→ＯＢ＋ｙ→ＯＣ，比较原式，由基本定理得 １－ｘ－ｙ＝２， ｘ＝－１， ｙ＝－１ { ， 此方程组无解，这与假设矛盾， 所以不存在ｘ，ｙ使→ＡＭ ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ成立． 所以点Ｍ与Ａ，Ｂ，Ｃ不共面． 点评：本题主要考查了空间向量的共面向量定理， 考查了方程思想的运用，从结论入手降低了思维难度． ! 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" ! ! ) & - % , * ! $ , ( & ) . % - ! & * ) , * + ) ! , ! * ! + ! 书 １７．（１５分）（２０２４成都七中月考）已知空间三点 Ａ（０，２，３），Ｂ（－２，１，６），Ｃ（１，－１，５）． （１）求以ＡＢ，ＡＣ为边的平行四边形的面积； （２）若｜ａ｜＝槡３且ａ分别与 →ＡＢ，→ＡＣ垂直，求向量ａ 的坐标． １８．（１７分）正四棱柱 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，底面 ＡＢＣＤ是边长为４的正方形，Ａ１Ｃ１与Ｂ１Ｄ１交于点Ｎ，ＢＣ１ 与Ｂ１Ｃ交于点Ｍ，且ＡＭ⊥ＢＮ． （１）用向量方法求ＡＡ１的长； （２）对于ｎ个向量ａ１，ａ２，…，ａｎ，如果存在不全为零 的ｎ个实数λ１，λ２，…，λｎ，使得λ１ａ１＋λ２ａ２＋… ＋λｎａｎ ＝０，则称ｎ个向量ａ１，ａ２，…，ａｎ叫做线性相关，否则称 为线性无关．试判断→ＡＭ，→ＢＮ，→ＣＤ是否线性相关． １９．（１７分）（２０２４江苏常州统考期中）空间中，两两 互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如 果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称 为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数 轴的夹角均为６０°，我们将这种坐标系称为“斜６０°坐标 系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜６０°坐标 系”下向量的斜６０°坐标：ｉ，ｊ，ｋ，分别为“斜６０°坐标系” 下三条数轴（ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴）正方向的单位向量，若向量 ｎ＝ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ，则ｎ与有序实数组（ｘ，ｙ，ｚ）相对应，称向 量的斜６０°坐标为［ｘ，ｙ，ｚ］，记作ｎ＝［ｘ，ｙ，ｚ］． （１）若ａ＝［１，２，３］，ｂ＝［－１，１，２］，求ａ＋ｂ的斜 ６０°坐标； （２）在平行六面体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝ＡＤ ＝２，ＡＡ１ ＝３，∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＡ１ ＝∠ＤＡＡ１ ＝６０°，如图 ７，以｛→ＡＢ，→ＡＤ，ＡＡ→ １｝为基底建立“空间斜６０°坐标系”． ①若→ＢＥ＝ＥＢ→ １，求向量ＥＤ→ １的斜６０°坐标； ②若→ＡＭ ＝［２，ｔ，０］，且→ＡＭ⊥ＡＣ→ １，求 →                                                                                                                                                                   ｜ＡＭ｜． / ) , , ! ) ! * ! 0 * + + ! $ ! % ! .3 ·¸à !ÿ!"#$"<( 书 专项小练一 １．ＡＣＤ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．（０，２，－３）；　５．（１，４，６）． ６．解：以棱长为１的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的对称中心Ｏ 为坐标原点， 过点Ｏ且分别平行于ＡＢ，ＡＤ， ＡＡ１的直线作 ｘ，ｙ，ｚ轴建立如右图 所示的空间直角坐标系， 则 (Ａ － １２，－１２，－ )１２ ， (Ｂ １２，－ １２，－ )１２ ， (Ｃ １２， １ ２， － )１２ ， (Ｄ － １２， １２， － )１２ ，Ａ (１ － １２， － １２， )１２ ， Ｂ (１ １２，－１２， )１２ ， Ｃ (１ １２，１２， )１２ ，Ｄ (１ －１２，１２， )１２ ． 专项小练二 １．ＢＤ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．ｂ－ａ－ｃ；　５．－２３ａ＋ １ ２ｂ＋ １ ２ｃ． ６．解：（１）→ → →  →ＡＢ＋ＢＣ－ＤＣ＝ＡＢ＋ → →  → →  →ＢＣ＋ＣＤ＝ＡＣ＋ＣＤ＝ＡＤ，如图中向量 →ＡＤ． （２）→ →  → → →  ＡＢ－ＤＧ－ＣＥ＝ＡＢ＋ＧＤ＋ → → → → → → →ＥＣ＝ＡＢ＋ＢＧ＋ＥＣ＝ＡＧ＋ＧＦ＝ＡＦ， 如图中向量→ＡＦ． 专项小练三 １．ＡＢＣ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．３π４；　５．４． ６．解：（１）→ＢＡ·→ → →ＢＣ＝｜ＢＡ｜｜ＢＣ｜ｃｏｓ〈→ＢＡ，→ＢＣ〉 ＝３×４×ｃｏｓ１２０°＝－６． （２）因为→  → → →ＣＤ＝ＣＢ＋ＢＡ＋ＡＤ， 所以 →  ｜ＣＤ｜２ ＝（→ → →ＣＢ＋ＢＡ＋ＡＤ）２ →＝｜ＣＢ｜２ →＋｜ＢＡ｜２＋ →｜ＡＤ｜２＋２（→ＣＢ·→ →ＢＡ＋ＢＡ·→ →ＡＤ＋ＣＢ·→ＡＤ）＝１６＋９＋２５＋２（４ ×３×ｃｏｓ６０°＋３×５×ｃｏｓ６０°＋４×５×ｃｏｓ９０°）＝７７，所以ＣＤ →  ＝｜ＣＤ｜＝槡７７． 一、单项选择题 １～４　ＡＣＡＣ　５～８　ＢＣＢＣ 二、多项选择题 ９．ＢＤ；　１０．ＡＢ；　１１．ＡＤ． 三、填空题 １２．２；　１３．充分不必要；　１４．槡１０． 四、解答题 １５．解：由题图可得→ → → →ＭＮ＝ＭＡ＋ＡＤ＋ＤＮ， ① → → → →  ＭＮ＝ＭＢ＋ＢＣ＋ＣＮ， ② → →ＭＡ＝－ＭＢ，→ →  ＤＮ＝－ＣＮ． 因此，① ＋②得２→ → →ＭＮ＝ＡＤ＋ＢＣ， 即→ＭＮ＝ １２ →ＡＤ＋１２ →ＢＣ． １６．解：设Ｂ１ → Ｅ＝λＢ１Ｃ→ １（０≤λ≤１）． 因为→ＡＥ＝ＡＢ→ １＋Ｂ１→ Ｅ＝ＡＢ→ １＋λＢ１Ｃ→ １ →＝ＡＢ＋ＢＢ→ １＋λＢ１Ｃ→ １， 所以→ＡＥ·→ＡＣ＝（→ＡＢ＋ＢＢ→ １＋λＢ１Ｃ→ １）·→ＡＣ →＝ＡＢ·→ＡＣ＋ＢＢ→ １·→ＡＣ＋λＢ１Ｃ→ １·→ＡＣ ＝１×槡２×ｃｏｓ４５°＋λ×１×槡２×ｃｏｓ４５°＝１＋λ． 所以向量→ＡＥ在向量→ＡＣ方向上的投影数量为１＋λ 槡２ ， 又０≤λ≤１，所以１≤１＋λ≤２，所以槡２２≤ １＋λ 槡２ ≤槡２． 所以向量→ＡＥ在向量→ＡＣ [方向上投影数量的取值范围为 槡２２，槡 ]２ ． １７．解：设→ＡＢ＝ａ，→ＡＣ＝ｂ，→ＡＤ＝ｃ， 则｜ａ｜＝｜ｂ｜＝｜ｃ｜＝１，〈ａ，ｂ〉＝〈ｂ，ｃ〉＝〈ｃ，ａ〉＝６０°． （１）→ＥＦ＝ １２ →ＢＤ＝ １２（ → →ＡＤ－ＡＢ）＝ １２ｃ－ １ ２ａ， →ＢＡ＝－ａ， →ＥＦ·→ (ＢＡ＝ １２ｃ－１２ )ａ ·（－ａ）＝ １２ａ２－１２ａ·ｃ ＝ １２ ×１ ２－１２ ×１×１× １ ２ ＝ １ ４． （２）→ＥＧ·→  ＢＤ＝（→ →ＥＡ＋ＡＧ）·（→ →ＡＤ－ＡＢ） (＝ －１２→ＡＢ＋１２→ＡＣ＋１２→ )ＡＤ ·（→ →ＡＤ－ＡＢ） (＝ －１２ａ＋１２ｂ＋１２ )ｃ ·（ｃ－ａ） ＝ １２ (× －１×１×１２ ＋１×１×１２ ＋１２＋１２－１×１× １ ２ －１×１× )１２ ＝ １２． １８．（１）证明：设→ＣＡ＝ａ，→ＣＢ＝ｂ，→ＣＣ′＝ｃ， 根据题意，｜ａ｜＝｜ｂ｜＝｜ｃ｜，且ａ·ｂ＝ｂ·ｃ＝ｃ·ａ＝０， 所以→ＣＥ＝ｂ＋１２ｃ， →Ａ′Ｄ＝－ｃ＋１２ｂ－ １ ２ａ． 所以→ＣＥ·→Ａ′Ｄ＝－１２ｃ ２＋１２ｂ ２ ＝０． 所以→ＣＥ⊥ →Ａ′Ｄ，即ＣＥ⊥ Ａ′Ｄ． （２）解：因为→ＡＣ′＝－ａ＋ｃ，→｜ＡＣ′｜＝槡２｜ａ｜，→｜ＣＥ｜＝槡５２｜ａ｜， →ＡＣ′·→ＣＥ＝（－ａ＋ｃ）· ｂ＋１２( )ｃ＝ １ ２ｃ ２＝ １２｜ａ｜ ２， 所以ｃｏｓ〈→ＡＣ′，→ＣＥ〉＝ １ ２｜ａ｜ ２ 槡２·槡 ５ ２｜ａ｜ ２ ＝槡１０１０． 即异面直线ＣＥ与ＡＣ′所成角的余弦值为槡１０１０． １９．解：因为ＡＢ＝ （ｘ１－ｘ２）２＋（ｙ１－ｙ２）２＋（ｚ１－ｚ２）槡 ２ ＝ 槡３，所以设｜ｘ１－ｘ２｜＝槡３ｃｏｓθｓｉｎφ，｜ｙ１－ｙ２｜＝槡３ｓｉｎθｓｉｎφ， ｜ｚ１－ｚ２｜＝槡３ｃｏｓφ，其中θ，φ [∈ ０，π ]２ ，因此ｄ（Ａ，Ｂ） ＝｜ｘ１－ｘ２｜＋｜ｙ１－ｙ２｜＋｜ｚ１－ｚ２｜ ＝槡３ｃｏｓθｓｉｎφ＋槡３ｓｉｎθｓｉｎφ＋槡３ｃｏｓφ ＝槡３ｓｉｎφ（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）＋槡３ｃｏｓφ ＝槡６ｓｉｎφ (ｓｉｎ θ＋π )４ ＋槡３ｃｏｓφ， 因为θ [∈ ０，π ]２ ，所以θ＋π４ [∈ π４，３π]４ ， 因此 (ｓｉｎ θ＋π )４ [∈ 槡２２， ]１ ， 设ｔ＝ (ｓｉｎ θ＋π )４ [∈ 槡２２， ]１ ， 于是有ｄ（Ａ，Ｂ）＝槡６ｓｉｎφ (ｓｉｎ θ＋π )４ ＋槡３ｃｏｓφ＝槡６ｔｓｉｎφ ＋槡３ｃｏｓφ＝ ６ｔ２＋槡 ３ｓｉｎ（φ＋α）， 其中ｔａｎα＝槡２２ｔ，因为φ [∈ ０，π ]２ ，所以φ＋α [∈ α，α＋π ]２ ， 因此当ｔ＝１且φ＋α＝ π２时， ｄ（Ａ，Ｂ）有最大值 ６×１＋槡 ３＝３， 当ｔ＝槡２２，即α＝ π ４，且φ＝０或φ＝ π ２时，ｄ（Ａ，Ｂ）有最 小值，此时ｄ（Ａ，Ｂ） ＝槡６ｓｉｎ π ４或ｄ（Ａ，Ｂ） ＝槡６ｓｉｎ ３π ４， 所以ｄ（Ａ，Ｂ）有最小值槡６×槡 ２ ２ ＝槡３， 综上，Ａ和Ｂ两点之间的“直角距离”的取值范围是［槡３，３］． 书 １．若 ｐ：ａ，ｂ，ｃ是三个非零向量；ｑ：｛ａ，ｂ，ｃ｝为空间 的一个基底，则ｐ是ｑ的 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 ２．（２０２４黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中） 已知Ｏ为原点，ａ＝（１，－２，１），ａ－ｂ＝（－１，２，－１）， 则ｂ＝ （　　） （Ａ）（２，－４，２） （Ｂ）（－２，４，－２） （Ｃ）（－２，０，－２） （Ｄ）（２，１，－３） ３．已知ａ＝（１，１，０），ｂ＝（０，１，１），ｃ＝（１，０，１）， ｐ＝ａ－ｂ，ｑ＝ａ＋２ｂ－ｃ，则ｐ·ｑ＝ （　　） （Ａ）－１ （Ｂ）１ （Ｃ）０ （Ｄ）－２ ４．已知｛ａ，ｂ，ｃ｝是空间的一个单位正交基底，向量 ｐ＝ａ＋２ｂ＋３ｃ，｛ａ＋ｂ，ａ－ｂ，ｃ｝是空间的另一个基底， 向量ｐ在基底｛ａ＋ｂ，ａ－ｂ，ｃ｝下的坐标为 ． ５．已知向量ａ＝（－１，２，３），ｂ＝（１，１，１），则向量 ａ在向量ｂ上的投影向量为 ． ６．已知ａ＝（２，－３，５），ｂ＝（－３，１，－４），求ａ＋ ｂ，ａ－ｂ，８ａ，ａ·ｂ． １．（多选）下列各组向量中平行的是 （　　） （Ａ）ａ＝（１，２，－２），ｂ＝（－２，－４，４） （Ｂ）ｃ＝（１，０，０），ｄ＝（－３，０，０） （Ｃ）ｅ＝（２，３，０），ｆ＝（０，０，０） （Ｄ）ｇ＝（－２，３，５），ｈ＝（１６，２４，４０） ２．已知向量 ａ＝（－３，２，１），ｂ＝（１，ｘ，－１），且 ａ·ｂ＝２，则ｘ的值为 （　　） （Ａ）３　　　 （Ｂ）４　　　 （Ｃ）５　　　 （Ｄ）６ ３．（多选）若向量ａ＝（１，λ，２），ｂ＝（２，－１，２），且 ａ与ｂ的夹角的余弦值为 ８９，则λ＝ （　　） （Ａ）２ （Ｂ）－２ （Ｃ）２５５ （Ｄ）－ ２ ５５ ４．已知向量 ａ＝（２，－１，ｘ），ｂ＝（４，－２，３），若 ａ⊥ｂ，则ｘ＝ ；若ａ∥ｂ，则ｘ＝ ． ５．已知向量ａ＝（－１，２，３），ｂ＝（１，１，１），则向量 ａ与向量ｂ夹角的余弦值为 ． ６．（２０２４湖南衡阳月考）已知空间中点Ａ（ｘ，ｙ，ｚ）， Ｏ（０，０，０），Ｂ（槡２，槡３，２）．若ＡＯ＝１，求ＡＢ的最小值． !"#$%&'()*+ ,$%&-./0123 ! 4*56789:; <=,$%&>?=@A= BCDEF/0123 ! 4*G6789:; !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! H:4IJKLMNOP!QRSTUVWP !" X !"#$%&' !" !" 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( % . ! / 0 # & " ! # D % & ( ! . * " D % ' ! & , ! - % - + & - " ) " - 4版”数理教” 高◆梦学：选理性公修第一洗海大格·第13-16型 详细答案 详细答案 德中抛学：感年性轮棒第一【北舞大精上雾13华用 数理报1版 前，G同，鞋+y+海n+4线. 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）2024年10月 4+,,-44a 候解日硬直，问矿可的现为，机州/ 诗位少法内加年国，涛达心力31高3，，认专是 第13~16期参考答案 1国14转1年4 . 。1年。车■4 ▣ □44·子址个西 月4m事，到年1年年，址。1,13 T品e:】的后海A的的t早生 面齿性的内标线心速典址物湖房 一：单第容用有1444■号44妈平 甲 44年1减=e3因作。e,:/ 化天边h.,f有年样身制生 里0平有面#4464制 L年年年1.同想中特2非2州 …←1…-) 449,群43m,14693到 主速明称利，时学一++广用，， 与4一早科，鞋中4造子， {-十子.-寸 1地+e升，世有， 1量+-4，-， 与裤矿期十 情冷九？冷新年军，柱南中的：为日二 t--片）子 同为5.样.上e 锅小8二 4镇可，道。一新生，有 E -川同子子) 是1.43。-g5 作h种■金A1 出44多=4男 4短山直可又可的的 得量✉是。 制明里方可理主立列风有韩华时在1A成通 是飘的，M是 D在年，与单童序1F人1形 ka1A1,.0,L am,得.芋，41网n再1一 y0CPL4金特重年来1回， m什小得早) 0量DEA州-十量、1-2 群4■球开件P环材， 1倍引品清存) 8.(什g）:仕 方平制=他过3,1，日缺，，花e 4=P4件口件=传以新材 01件年市1e ,++(「-导 准-纳：(c于一 w丽.。4 hh3,nn时十方=1 p国a甲自年纯这作t路了，P n外4于1形，1中雪一发 阳期，1A群尚江，：双料利1n 片--小（告91 a量11丛+量+请a 4专同内编 =1,131+44-14-14-14+厘 in-nt is- +÷+图，只 合好古 2-3e中卡r3t3=■量 0词山一：一1出+年电 车e离的人汽造：中卡e多年宜 E法是信明0直中子本，钢g■ 车心有专A在：转上有利框 中通已年情：-←， 11一生：同花0有来速钟 一一中年子发城国 传动A1鞋，+地有有十 ,卡速温作国 得月代A两N。 传w得叫~全-)州-飞》 1-4道B有+M了 有 11华2，”言车d 14。+d+-1+1+(-212m从1446 、2m44 用为。一究青44 用++35.U电为a45 程3圆月■3A第5，F■ 2利指起A在转上销：4▣=： -, 4。=4种得=41 0年个高下年 值年期34+子4于组（子- 得0.u4-14 代人引严▣女+专=1 0要国4山玉海生包4以 1LA3核+。年1一1e位。。.制e成 得1罐售南，门专显A女制海球，F中 -Nl.. 上生实画对月.44气4-1+年+14打年1为 年=4星.f每1化00打作得■年Ak行/4 士，司，H4-244 4 anA有的十+d 时袖1间上子+444 ++4·4+ :i 已)■C上有两点单N关广青且 时4与后可回色 期球年得，。■ 这7、-一+子 得期了的样色角4轻每区的 生稀年1年健得甲内得考4知与 wapd.i-rsten 4作94师意7时铜 型情A网领，川段吉 4非汇确： 生十4中+4+年年1有甲同青为正# 1年1-1利441， 平小园仔平 1的点为周法量商为+：4一5.1时 格与法，界E神线利与▣年■是 边影我有物商业面球戏象，，市 .8写湖 C其有，里4，-非行#-14.1-4 与%✉宁+料-与+1+如，宁 2版数格 高●物学：选理性公修第一洗海大格·第13-16题 详细答案 详细答案 真中整学：感年性是棒第一【北件大精上雾13华用 数理极3版 e13的了年由1年在事下年1卡4 为，2日 《u41,14161g。学，王 国州厚 a日制联，配 月行天，广内件松长多 1.,101制4t情3.-5414 同。有，可家 取4材】01、11年1方1，内上度1上5所..，度31日 :钢接关为1方样奶里一无AA4 n-士M.0-函- 4H44+。1.1.1 热想国-4计一计，3，料=离 行#1到年行级A期 司中中十… 以4AU线，航nA4得4线 3g…= ✉} 5红回 前-官：国官+止2属-国 食调物量还市金速卫重长点年金重国 -十，-十 这，城。过.运、d 网●华0果表年 一，雅理这维量 经}圣 二，本作想 合子矿士的 是，位出 “题帝，d灵子，十元 ■年 1子) 两米 +4 线4指名4为批地身一4A毛民队线1：3 足.子▣子士：南：同，念 2,配，，7.减 (子)士)合 士11士士41a1 确，同：，：同，对，1 +42登41-4这41-4非西0上4 1(子日 T线1生西口可行 1… 清（合合买试✉ 有电小想二 料线。￥移装43 4川度1i▣不·，记-名. 月 上己，}窝问，，}显，子·时对呢，4帽 服月，1。卡■1量4e1,及短+知卡-e年e法e得 片，动]可，减时成. -0-1济 4读，配，这。这宿 十配，可，十同记叶7十日 :-+书+ 料et■g+/4光南 m=16=1。+1+4+414-4年1-。， :了上7或围任A 这+，，司 ,了4-277年t,-4得M4C开 出里时记己，d1子。。 属民功4，专白，底子，心：士量：吉子是十风 t.国ea3a1i2年B,eE3 -0小 上】得w, 阳园0（告量，十是十利吉 南m记清。 十 云：宁成子常十耐对，子风可 院时减a山专y◆÷宁片小×十 1信+，司，影t过t4时t, ar吾 十·号3文5n .点当，随10f 州量年研：有一干 了，7-完，士后.南-冠。十元 确得复马1.口14年年1 市成裙付河对，手灵风 ▣ 前可+动前中…计 为过，灵星，d,量：十买 球过建中山子+是 #(1.14非调a非：+1。” 空两直物生年果：宝两利害与内重限用两市转心年洲时 +=如她"= L4非行44 +到m+由到+点-： 6一+)4-… 制F子=1风1a年 4间，话，言，d,-,克 :]m…子：2 【国带年用-t小+与=EL-4 -十1后屋✉月-足，子成 （中4十)山，量 碳-+-摩小 认7可·，子：家两 可 京s院，7-（日子片，+网） 【-1d宁第12-10t 4雕话0，d,A过上：C士话，✉t 3…-…） 【子R)附现 --44- 这，动市 。41d1▣对，d✉，t 43， +。下g 1--1-} 43引自清▣14AA,f。148:3 =号w…好…-l 卫白尽▣，40,4w有，414，到4园+4 t。ge ?1号=子时 4以h不1T3 年期 :别：+于，年444一号制4有 (传子)★-子] 时。，， 生 冬回子小请（是子-国。 ,t家件餐量 (0,士44 4宜和644。，年▣两 批4：上：子。4 4,-) 中裤4有m11卡 Ld▣1己2,1国-3观1对年拉鞋月雕n 器（小号利+别 d,请-3,4. 4(3子1：6 或▣t✉实A,武， 专明中眼一 4":24:14 理4，证▣434+ 国.国灵冠，国-7+士国到 4-小什4) }请动-- -}风-+1