2.2.2 双曲线的简单几何性质同步基础练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版高中数学选修1 第2章 2.2 双曲线的简单几何性质 同步基础练习 一、选择题 双曲线 的实轴长是 A． B． C． D． 双曲线 的左焦点与右顶点之间的距离等于 A． B． C． D． 已知双曲线 ：，则 A． 的焦距为 B． 的虚轴长是实轴长的 倍 C．双曲线 与 的渐近线相同 D．点 在 上 为双曲线 上任意一点， 是坐标原点，则 的最小值是 A． B． C． D． 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则该双曲线的标准方程为 A． B． C． D． 等轴双曲线（实半轴长与虚半轴长相等）的一个焦点是 ，则它的标准方程是 A． B． C． D． 若双曲线 的虚轴长为 ，则实数 的值为 A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 双曲线的方程为 ，则其离心率为 A． B． C． D． 若双曲线 的离心率为 ，则 的虚轴长为 A． B． C． D． 双曲线 的离心率为 ，且其焦点与椭圆 的焦点重合，则 的值为 A． B． C． D． 一个焦点为 且与双曲线 有相同离心率的双曲线的标准方程为 A． B． C． D． 已知椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数关系，则 A． B． C． D． 已知双曲线 ，则 是双曲线 的离心率大于 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于 A． B． C． D． 已知双曲线 的实轴长为 ，则该双曲线的渐近线的斜率为 A． B． C． D． 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程可以是 A． B． C． D． 已知双曲线 ：，则下列说法正确的是 A． 的虚轴长为 B． 的渐近线方程为 C． 的焦距为 D． 的渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为 已知双曲线 ，则不因 变化而变化的是 A．渐近线方程 B．顶点坐标 C．离心率 D．焦距 已知双曲线 过点 且渐近线方程为 ，则下列结论正确的是 A．双曲线 的方程为 B．双曲线 的离心率为 C．曲线 经过双曲线 的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为 二、填空题 若点 在双曲线 上，则 的最小值是 ． 若三个点 ，， 中恰有两个点在双曲线 上，则该双曲线的方程为 ． 设双曲线 ： 的左，右焦点分别为 ，，若在双曲线的右支上存在一点 ，使得 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是 ． 已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为 ． 三、解答题 若点 是双曲线 上的点，试求该双曲线的实轴长，虚轴长，焦距、焦点坐标、顶点坐标，离心率，渐近线方程． 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，，若双曲线上存在一点 ，使 ，求该双曲线的离心率的取值范围． 过双曲线 的一个焦点 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段 （ 为原点）的垂直平分线上，求双曲线的离心率． 答案 1. 【答案】D 【解析】因为双曲线的标准方程为 ， 所以 ， 故实轴长为 ． 2. 【答案】B 【解析】由已知得左焦点的坐标为 ，右顶点的坐标为 ，所以左焦点与右顶点之间的距离等于 ． 3. 【答案】B；C 【解析】由已知得 ，， 所以 ，，焦距为 ，A错误； 因为 ，所以B正确； 双曲线 与 的渐近线均为 ，C正确； 因为 ， 所以 不在 上，D错误． 故选BC． 4. 【答案】B 【解析】设 ，则 ， 因为点 在双曲线 上， 因为 ，， 所以 ． 5. 【答案】D 【解析】由题意可知 ，，则 ，解得 ， 所以该双曲线的标准方程为 ． 故选D． 6. 【答案】B 【解析】由题意知，该双曲线的焦点在 轴上， 设等轴双曲线的标准方程为 ， 所以 ， 所以 ， 故该双曲线的标准方程为 ． 7. 【答案】A 【解析】已知双曲线 的虚轴长为 ， ①当 时，双曲线方程可化为 ，有 ，得 ； ②当 时，双曲线方程可化为 ，有 ，得 ． 故实数 的值为 或 ． 8. 【答案】B 【解析】因为双曲线的方程为 ， 所以 ，，因此 ， 所以离心率为 ． 故选B． 9. 【答案】C 【解析】因为双曲线 的离心率为 ， 故 ， 解得 ， 所以虚轴长为 ．