第12期 《锐角三角函数》章节测试卷（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 《锐角三角函数》章节测试卷 ◆数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间１２０分钟，满分１２０分）　 题　号 一 二 三 总　分 得　分 一、精心选一选（本大题１０小题，每小题３分，满分３０分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３晋中模拟）２ｓｉｎ３０°的值为 （　　） Ａ．１２ 槡Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ． ２ ３ ２．（２０２３西安模拟）如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝２，ＡＣ＝３， 则ｔａｎＢ的值是 （　　） Ａ． 槡３ １３１３ Ｂ． ３ ２ Ｃ． 槡２ １３ １３ Ｄ． ２ ３ ３．如图２，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群 众，沿ＡＣ修了一条近路，已知ＡＢ＝８０米，新修小路与ＡＢ的夹角∠ＣＡＢ为 ４０°，则走这条近路ＡＣ的长可以表示为 （　　） Ａ．８０ｓｉｎ４０°米 Ｂ．８０ｃｏｓ４０°米 Ｃ． ８０ｓｉｎ４０°米 Ｄ． ８０ ｃｏｓ４０°米 ４．如图３，在△ＡＢＣ中，已知ＡＤ是ＢＣ边上的高，ＤＣ＝１，ＢＤ＝２，ｔａｎＢ ＝ｃｏｓ∠ＤＡＣ，则ＡＢ的值为 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．３ Ｄ．７ ５．如图４，点Ａ到点Ｃ的距离为２００米，要测量河对岸Ｂ点到河岸ＡＤ的 距离．小明在Ａ点测得Ｂ在北偏东６０°的方向上，在Ｃ点测得Ｂ在北偏东 ３０°的方向上，则Ｂ点到河岸ＡＤ的距离为 （　　） Ａ．１００米 Ｂ．２００米 Ｃ． 槡２００３３ 米 槡Ｄ．１００３米 ６．（２０２４宜宾模拟）电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电 线铁塔ＡＢ建在了一个坡度为１∶０．７５的山坡ＣＤ的平台ＢＣ上（如图５），测 得∠ＡＥＤ＝５２５°，ＢＣ＝５米，ＣＤ＝３５米，ＤＥ＝１９米，则铁塔ＡＢ的高度 约为（参考数据：ｓｉｎ５２．５°≈０７９，ｃｏｓ５２．５°≈０６１，ｔａｎ５２５°≈１．３０） （　　） Ａ．３２．５米 Ｂ．２７．５米 Ｃ．３０．５米 Ｄ．５８．５米 ７．（２０２４烟台月考）某型号飞机的机翼形状如图６所示，根据图中数 据计算ＡＢ的长为 （　　） Ａ．（５３槡３＋１．６）ｍ Ｂ．（ ５ ３槡３－１．６）ｍ Ｃ．（５２槡２＋０．９）ｍ Ｄ．（ ５ ２槡２－０．９）ｍ ８．（２０２４梧州二模）如图７所示，某景区以山脚Ａ为起点，沿途修建长度分 别为１２００ｍ，９００ｍ的两段索道ＡＢ和ＣＤ及观景平台ＢＣ（ＢＣ∥ＡＦ），已知索道 ＡＢ与ＡＦ的夹角是２０°，ＣＤ与ＢＣ的延长线的夹角是６０°，则点Ｄ到ＡＦ的距离 是 （　　） Ａ．（ 槡４５０３＋１２００ｓｉｎ２０°）ｍ Ｂ．（ 槡４５０３＋１２００ｃｏｓ２０°）ｍ Ｃ．（４５０＋１２００ｓｉｎ２０°）ｍ Ｄ．（ 槡４５０３＋１２００ｔａｎ２０°）ｍ ９．（２０２３桂林一模）如图８，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１，ｓｉｎＡ ＝１３，以点Ｂ为圆心，以合适长度为半径作弧，分别交ＢＣ，ＢＡ于Ｎ，Ｍ两点， 再分别以点Ｍ，Ｎ为圆心，大于 １２ＭＮ的长为半径作弧，两弧交于点Ｐ，作射 线ＢＰ交ＡＣ于点Ｄ，则ＣＤ的长度为 （　　） Ａ．２３ Ｂ． 槡２ ２ Ｃ． 槡２５ ５ 槡Ｄ．２２ １０．如图９，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，ＡＢ＝槡５，连接 ＡＢ并延长至点 Ｃ，连接ＯＣ，若满足ＯＣ２ ＝ＢＣ·ＡＣ，ｔａｎα＝ １２，则点Ｃ的坐标为 （　　） Ａ．（－２，４） Ｂ．（－４３， ２ ３） Ｃ．（－ ２ ３， ４ ３） Ｄ．（－１，２） 二、细心填一填（本大题８小题，每小题３分，满分２４分） １１．已知∠α为锐角，且ｃｏｓα＝ １２，则ｔａｎα＝ ． １２．如图１０，一架落地座钟的钟摆长２ｍ，钟摆摆动时，偏离铅垂线的 最大夹角为α，那么，钟摆摆至最高位置与摆至最低位置的高度之差为 ｍ（用含α的式子表示）． １３．如图１１，在△ＡＢＣ中，ｓｉｎＢ＝１３，ｔａｎＣ＝２，ＡＢ＝３，则ＡＣ的长为 ． １４．如图１２，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，若ＢＣ＝１４，ＡＤ＝１２，ＢＤ ＝ ３４ＡＤ，则ｓｉｎＣ＝ ． １５．某指示牌的平面示意图如图１３所示，若ＡＢ∥ＣＤ，∠ＥＣＤ＝∠ＢＡＥ ＝５０°，ＡＥ＝ＣＥ＝２米，则点 Ａ到地面的距离为 米（参考数据： ｓｉｎ５０°≈０．７７，ｃｏｓ５０°≈０．６４，ｔａｎ５０°≈１．１９）． １６．（２０２４福建）无动力帆船是借助风力前行的．图１４是帆船借助风 力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角 ∠ＰＤＡ 为７０°，帆与航行方向的夹角∠ＰＤＱ为３０°，风对帆的作用力Ｆ为４００Ｎ．根 据物理知识，Ｆ可以分解为两个力Ｆ１与Ｆ２，其中与帆平行的力 Ｆ１不起作 用，与帆垂直的力Ｆ２可以分解为两个力ｆ１与ｆ２，ｆ１与航行方向垂直，被舵的 阻力抵消；ｆ２与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常 用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：Ｆ＝ＡＤ＝４００，则ｆ２ ＝ ＣＤ＝ （单位：Ｎ，参考数据：ｓｉｎ４０°≈０．６４，ｃｏｓ４０°≈０．７７）． １７．（２０２４哈尔滨三模）如图 １５，∠ＢＡＣ ＝９０°，ＡＢ ＝ＡＣ ＝ＡＤ， ｃｏｓ∠ＡＢＤ＝槡５５，ＢＤ＝４，则△ＢＤＣ的面积为 ． １８．如图１６，已知正方形ＡＢＣＤ边长为１，Ｅ为ＡＢ 边上一点，以点Ｄ为中心，将△ＤＡＥ按逆时针方向旋 转得到△ＤＣＦ，连接 ＥＦ，分别交 ＢＤ，ＣＤ于点 Ｍ，Ｎ， 若 ＡＥ ＤＮ＝ ２ ５，则ｓｉｎ∠ＥＤＭ ＝ ． !"#$%&'( ! " #! !!"#" $"% !" !"!#&$'%$( ) * + & & & & & & & & & , - + & & & & & & & & & . / + & & & & & & & & & % ' 0 1 2 3 4 5 , - 5 . 6 ! ' 0 7 8 9 : ; < = > ? 9 ( ' 0 @ 1 A B C D E 8 F G ( H B I 名 师 名 卷 J K L ) * + , !"#$ !"#$%& ! " # ! % ! $ " ! ! " % & $ ! ( ' % " $ & ! ) " % & $ ! %!! %" ( " ) % * $ ' ! ! %* !"# #)# $ ! ('# + " ) + % ! * ! % + * $ " ) ! , ,! - $ . " ! ! $ ( ' " % $ & ! - " & $ ! %% ! %( %" ( ' $ & & ( % ( ! / % / ! " % 0 + ! "# $%&# $ ! %# ( !MNOPQRSTUV! !MWXPQRSTVYZ[\]^_` RSTVabcdefgh !ijXPQklmn !noQpqr !stuvwxiyz{Q./%#0"-"-1|2} & $ " % ! %) % " & $ ! # 书 三、耐心解一解（本大题８小题，共６６分） １９．（６分）计算： ２ｔａｎ３０°－２ｓｉｎ６０°ｃｏｓ４５°＋３ｔａｎ３０°ｓｉｎ４５°． ２０．（６分）如图１７，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１３，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，ｓｉｎＡ ＝１２１３． （１）求ＢＤ的长； （２）求ｔａｎＣ的值． ２１．（８分）如图１８，某渔船向正东方向以１４海里 ／时的速度航行，在Ａ 处测得小岛Ｃ在北偏东７０°方向，２小时后渔船到达Ｂ处，测得小岛Ｃ在北 偏东４５°方向，已知该岛周围２０海里范围内有暗礁（结果精确到０１海里， 参考数据：ｓｉｎ７０°≈０９４，ｃｏｓ７０°≈０３４，ｔａｎ７０°≈２．７５，槡２≈１４１）． （１）求Ｂ处距离小岛Ｃ的距离； （２）为安全起见，渔船在Ｂ处向东偏南转了２５°继续航行，通过计算说 明船是否安全？ ２２．（８分）如图１９，在平行四边形ＡＢＣＤ中，以Ａ为圆心，ＡＢ长为半径 画弧交ＡＤ于点Ｆ；再分别以Ｂ，Ｆ为圆心，大于 １２ＢＦ的长为半径画弧，两弧 交于点Ｐ；连接ＡＰ并延长交ＢＣ于点Ｅ，连接ＥＦ． （１）求证：四边形ＡＢＥＦ是菱形； （２）若菱形ＡＢＥＦ的周长为４，ＡＥ＝槡３，请直接写出ｃｏｓＣ＝ ． ２３．（２０２４天津，８分）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上 一座桥的桥塔ＡＢ的高度（如图２０－①）．某学习小组设计了一个方案：如 图２０－②，点Ｃ，Ｄ，Ｅ依次在同一条水平直线上，ＤＥ＝３６ｍ，ＥＣ⊥ＡＢ，垂足 为Ｃ．在Ｄ处测得桥塔顶部Ｂ的仰角（∠ＣＤＢ）为４５°，测得桥塔底部Ａ的俯 角（∠ＣＤＡ）为６°，又在Ｅ处测得桥塔顶部Ｂ的仰角（∠ＣＥＢ）为３１°． （１）求线段ＣＤ的长（结果取整数）； （２）求桥塔ＡＢ的高度（结果取整数，参考数据：ｔａｎ３１°≈０．６，ｔａｎ６° ≈０．１）． ２４．（８分）如图２１，已知Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是斜边ＡＢ上的 中线，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ，ＡＥ分别与ＣＤ，ＣＢ相交于点Ｈ，Ｅ，ＡＨ＝２ＣＨ． （１）求ｓｉｎＢ的值； （２）如果ＣＤ＝槡５，求ＢＥ的值． ２５．（２０２４苏州，１０分）图２２－①是某种可调节支撑架，ＢＣ为水平固定 杆，竖直固定杆ＡＢ⊥ＢＣ，活动杆ＡＤ可绕点Ａ旋转，ＣＤ为液压可伸缩支撑 杆，已知ＡＢ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝２０ｃｍ，ＡＤ＝５０ｃｍ． （１）如图２２－②，当活动杆ＡＤ处于水平状态时，求可伸缩支撑杆ＣＤ 的长度（结果保留根号）； （２）如图２２－③，当活动杆ＡＤ绕点Ａ由水平状态按逆时针方向旋转 角度α，且ｔａｎα＝３４（α为锐角）时，求此时可伸缩支撑杆ＣＤ的长度（结果 保留根号）． ２６．（１２分）白沙岛是众多海钓人的梦想之地．月月的爸爸周末去白沙 岛钓鱼，将鱼竿ＡＢ摆成如图２３－①所示．已知ＡＢ＝４．８ｍ，鱼竿尾端Ａ离 岸边０．４ｍ，即ＡＤ＝０．４ｍ．海面与地面 ＡＤ平行且相距１．２ｍ，即 ＤＨ＝ １．２ｍ． （１）如图２３－①，在无鱼上钩时，鱼竿ＡＢ与地面ＡＤ的夹角∠ＢＡＤ＝ ２２°，海面上方的鱼线ＢＣ与海面ＨＣ成一定角度，求点Ｂ到海面ＨＣ的距离； （２）如图２３－②，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠ＢＡＤ＝５３°，此 时鱼线被拉直，鱼线ＢＯ＝５．４６ｍ，点Ｏ恰好位于海面，求点Ｏ到岸边ＤＨ的 距离（参考数据：ｓｉｎ３７°＝ｃｏｓ５３°≈ ３５，ｃｏｓ３７°＝ｓｉｎ５３°≈ ４ ５，ｔａｎ３７°≈ ３ ４，ｓｉｎ２２°≈ ３ ８，ｃｏｓ２２°≈ １５ １６，ｔａｎ２２°≈ ２ ５）． ! " # $%&'()*+, " !-2345 !6789:0$%#!&#'(!'#) !;<=>?@ABCDEFGHIJK !%' LMN<OPQMR678 !ST6U0$%$$$) !EV8W<X!0$%#!!#'(!!'# $%#!!#'(!'%(YZ[, !W\?]^;<EV8>_`abcdSeYfg !STW\X!?!!!*# !hijkWlmWnoW !;<pabcBqEgrstuv< !wxyz{h|L0!+,,,,+,,,!!, !wx89:0,%#!!#'(!'## !;<}~€Z‚ƒ„…†‡ˆq‰ŠE‹ŒHŽ‘’“” !! Lg•ƒ–—…ƒ˜™š›œ]^;<EV8>_žŸ ! " # $ ! !( " ! % & ' # ( ! !- '#" +#" (," % " ! ( # ! !* ( " % ) ! # ! '! * ! ( " ) + !" #$ * ( " ) # !" % & ! " ! '% % " # ! ( ! " ! ', ! " ( # ! " # ( "! ! " ( # # ! " $ ! ''