第11期 4.3 解直角三角形 4.4 解直角三角形的应用（参考答案见13期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 一、与坐标系相结合 例１　如图１，在平面直角坐 标系内有一点 Ｐ（３，４），连接 ＯＰ， 则ＯＰ与ｘ轴正方向所夹锐角α的 正弦值是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３４ Ｂ． ４ ３ Ｃ．３５ Ｄ． ４ ５ 解析：过点Ｐ作ＰＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，因为Ｐ（３，４），所 以ＰＭ ＝４，ＯＭ＝３，由勾股定理得ＯＰ＝５，所以ｓｉｎα ＝ＰＭＯＰ＝ ４ ５．故选Ｄ． 二、与四边形相结合 例２　 如图２，在矩形纸片 ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝５，ＢＣ ＝３，将 △ＢＣＤ沿 ＢＤ折叠到 △ＢＥＤ位 置，ＤＥ 交 ＡＢ 于 点 Ｆ， 则 ｃｏｓ∠ＡＤＦ的值为 （　　） Ａ．８１７ Ｂ． ７ １５ Ｃ．１５１７ Ｄ． ８ １５ 解析：因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，所以ＣＤ＝ＡＢ＝ ５，ＡＤ＝ＢＣ＝３，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°． 根据折叠可知，ＢＥ＝ＢＣ＝３，ＤＥ＝ＤＣ＝５，∠Ｅ＝ ∠Ｃ ＝ ９０°， 所 以 在 △ＡＦＤ 和 △ＥＦＢ 中， ∠Ａ＝∠Ｅ＝９０°， ∠ＡＦＤ＝∠ＥＦＢ， ＡＤ＝ＢＥ＝３ { ， 所以△ＡＦＤ≌△ＥＦＢ，所以ＡＦ＝ ＥＦ，ＤＦ＝ＢＦ， 设ＡＦ＝ＥＦ＝ｘ，则ＢＦ＝５－ｘ，在Ｒｔ△ＢＥＦ中，由 勾股定理，得（５－ｘ）２＝ｘ２＋３２，解得ｘ＝８５，则ＤＦ＝ ＢＦ＝５－８５＝ １７ ５，所以ｃｏｓ∠ＡＤＦ＝ ＡＤ ＤＦ＝ １５ １７．故选Ｃ． 三、与旋转相结合 例３　如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８， 将△ＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转得 到△ＡＢ′Ｃ′，使点Ｃ′落在ＡＢ边 上，连接 ＢＢ′，则 ｓｉｎ∠ＢＢ′Ｃ′的 值为 （　　） Ａ．３５ 　　　Ｂ． ４ ５ Ｃ．槡５５ 　　　Ｄ． ２槡５ ５ 解析：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８， 由勾股定理得ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝１０． 由旋转的性质可知，ＡＣ′＝ＡＣ＝６，Ｂ′Ｃ′＝ＢＣ＝ ８，∠ＡＣ′Ｂ′＝∠Ｃ＝９０°，所以ＢＣ′＝ＡＢ－ＡＣ′＝１０－ ６＝４，所以在 Ｒｔ△ＢＢ′Ｃ′中，由勾股定理得 ＢＢ′＝ ＢＣ′２＋Ｂ′Ｃ′槡 ２ ＝４槡５，所以ｓｉｎ∠ＢＢ′Ｃ′＝ ＢＣ′ ＢＢ′＝ 槡５ ５． 故选Ｃ． 书 １６．（１）过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为 Ｄ，在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｔａｎＡ＝ＣＤＡＤ ＝４３，所以设ＣＤ＝４ｋ， 则ＡＤ＝３ｋ， 由勾股定理，得ＡＣ ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ （３ｋ）２＋（４ｋ）槡 ２ ＝ ５ｋ，因为 ＡＣ＝１５，所以 ５ｋ＝１５，解得ｋ＝３，所 以ＡＤ＝９，ＣＤ＝１２，所 以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ ＝ １２×１５×１２＝９０． （２） 在 Ｒｔ△ＢＣＤ 中，ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝１５ －９＝６，ＣＤ＝１２，所以 由勾股定理，得 ＢＣ＝ ＣＤ２＋ＢＤ槡 ２ ＝ 槡６ ５， 所以ｃｏｓＢ＝ＢＤＣＢ＝ ６ 槡６５ ＝槡５５，所以∠Ｂ的余弦 值为槡 ５ ５． １７．（１）过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长 线于点 Ｄ，在 Ｒｔ△ＡＤＣ 中，ＡＣ＝４，因为∠ＡＣＢ ＝１５０°，所以∠ＡＣＤ＝ ３０°，所以ＡＤ＝１２ＡＣ＝ ２，ＣＤ＝ＡＣ·ｃｏｓ３０°＝ ４×槡３２ ＝ 槡２ ３，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｔａｎＢ ＝ ＡＤ ＢＤ＝ ２ ＢＤ ＝ １ ８，所以 ＢＤ＝１６，所以ＢＣ＝ＢＤ －ＣＤ＝１６－ 槡２３． （２）在 ＢＣ边上取 一点Ｍ，使得 ＣＭ ＝ＡＣ ＝４，连接 ＡＭ，因为 ∠ＡＣＢ ＝１５０°，所以 ∠ＡＭＣ ＝ ∠ＭＡＣ ＝ １５°，因为ＣＤ＝ 槡２３，所 以ＭＤ＝４＋ 槡２３，所以 ｔａｎ１５°＝ｔａｎ∠ＡＭＤ＝ ＡＤ ＭＤ ＝ ２ ４＋ 槡２３ ＝ 书 上期２版 ４．１．１正弦 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．Ｄ； ５．７；　６．１２；　７． 槡５ ５；　８． 槡２１ １４． ９．因为 ∠Ｃ＝９０°，∠ＡＤＣ＝４５°，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＤＣ＝４５°，所以ＡＣ＝ＣＤ，因为ＢＤ＝２ＤＣ，所以ＢＣ＝ ３ＡＣ，所以ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝槡１０ＡＣ，所以ｓｉｎ∠ＡＢＣ ＝ＡＣＡＢ＝ 槡１０ １０． ４．１．２余弦 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．１２１３；　５．４； ６．槡２５５． ７．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＣ＝１５，所以ＡＢ＝１５，因为ＢＤ⊥ ＡＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°，因为ｃｏｓＡ＝ＡＤＡＢ＝ ４ ５，所以ＡＤ ＝ ４５×１５＝１２，所以ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝１５－１２＝３，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，根据勾股定理，可得ＢＤ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １５２－１２槡 ２ ＝９． 能力提高 　８．因为槡３２ ＜ｃｏｓＡ＜ｃｏｓＢ， 槡３ ２ ＝ ｃｏｓ３０°，当０＜α＜９０°，α越大，ｃｏｓα越小，所以∠Ｂ＜ ∠Ａ＜３０°． ４．２正切 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．６；　５．槡７３； ６．４５°；　７．等腰直角． ８．（１）原式 ＝ ３４； （２）原式 ＝ ７２． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．６０°；　１０．５７；　１１． 槡２２ ３；　１２． １ ４； １３．槡２１７ ． 三、１４．（１）原式 ＝ （槡３） ２＋２×槡２２ ２×（槡３２） ２－１２ ＝３＋槡２３ ２－ １ ２ ＝３ ＋槡２； （２）原式 ＝槡３×槡 ３ ３＋ 槡２ ２× 槡２ ２＋（ 槡３ ２） ２×１２ ＝１ ＋１２＋ ３ ４× １ ２ ＝ １５ ８． １５．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，所以 由勾股定理，得ＡＢ＝ ３２＋４槡 ２ ＝５，所以ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ４ ５，ｃｏｓＡ＝ ＡＣ ＡＢ＝ ３ ５，ｔａｎＡ＝ ＢＣ ＡＣ＝ ４ ３． 书 重点集训营 １．（２０２３佛山一模）如图１，某中学依山而建，校门 Ａ处有一坡度ｉ＝５∶１２的斜坡ＡＢ，长度为１３米，在坡 顶Ｂ处看教学楼ＣＦ的楼顶Ｃ的仰角∠ＣＢＦ＝４５°，离 Ｂ点４米远的Ｅ处有一个花台，在Ｅ处仰望Ｃ的仰角是 ∠ＣＥＦ＝６０°，ＣＦ的延长线交校门处的水平面于点Ｄ， 求楼顶Ｃ的高度ＣＤ（结果保留根号）． ２．（２０２３河南模拟）鹏鹏和好朋友一起旅游．如图 ２，他们租住的宾馆ＡＢ坐落在坡度为ｉ＝１∶２４的斜坡 ＢＤ上．宾馆ＡＢ高为１２９米．鹏鹏在宾馆顶楼的海景房Ａ 处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像 Ｃ（雕像的高度 忽略不计），已知雕像 Ｃ距离海岸线 Ｄ的距离 ＣＤ为 ２６０米，与宾馆ＡＢ的水平距离为３６米，远处海面上一 艘即将靠岸的轮船Ｅ的俯角为２７°． （１）求ＢＣ的长度； （２）求轮船Ｅ距离海岸线Ｄ的距离ＥＤ的长（结果 保留整数，参考数据：ｔａｎ２７°≈０５１，ｓｉｎ２７°≈０４５）． 辅助线周周练 １．如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ为ＢＣ的中 点，点Ｅ在ＡＢ上，ＡＤ，ＣＥ交于点Ｆ，ＡＥ＝ＥＦ＝４，ＦＣ＝ ９，则ｃｏｓ∠ＡＣＢ的值为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图２，△ＡＢＣ中，ＣＤ为边ＡＢ上的中线，点Ｅ在 ＡＣ上，连接ＢＥ交ＣＤ于点Ｆ，∠ＢＥＣ＝１２０°，ＢＦ＝ＡＥ ＋ＥＦ，若ＡＢ＝ 槡４７，ＡＥ＝８，则ＣＤ的长为 ． 【提示】 １．延长ＡＤ到Ｍ，使得ＤＭ＝ＤＦ，连接ＢＭ．利用 全等三角形的性质证明ＢＭ＝ＣＦ＝９，ＡＢ＝ＢＭ，利 用勾股定理求出ＢＣ，ＡＣ即可解决问题． ２．延长ＢＥ到Ｔ，使得ＥＴ＝ＡＥ，连接ＡＴ，过点Ａ 作ＡＪ⊥ＢＥ于Ｊ，过点Ｅ作ＥＫ⊥ＣＤ于Ｋ．解直角三 角形求出 ＡＴ，ＢＴ，再利用三角形中位线定理求出 ＤＦ，根据相似三角形对应边成比例求出 ＣＦ可得结 论． 书 重点集训营 １．（２０２３佛山一模）如图１，某中学依山而建，校门 Ａ处有一坡度ｉ＝５∶１２的斜坡ＡＢ，长度为１３米，在坡 顶Ｂ处看教学楼ＣＦ的楼顶Ｃ的仰角∠ＣＢＦ＝４５°，离 Ｂ点４米远的Ｅ处有一个花台，在Ｅ处仰望Ｃ的仰角是 ∠ＣＥＦ＝６０°，ＣＦ的延长线交校门处的水平面于点Ｄ， 求楼顶Ｃ的高度ＣＤ（结果保留根号）． ２．（２０２３河南模拟）鹏鹏和好朋友一起旅游．如图 ２，他们租住的宾馆ＡＢ坐落在坡度为ｉ＝１∶２４的斜坡 ＢＤ上．宾馆ＡＢ高为１２９米．鹏鹏在宾馆顶楼的海景房Ａ 处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像Ｃ（雕像的高度 忽略不计），已知雕像Ｃ距离海岸线Ｄ的距离ＣＤ为 ２６０米，与宾馆ＡＢ的水平距离为３６米，远处海面上一 艘即将靠岸的轮船Ｅ的俯角为２７°． （１）求ＢＣ的长度； （２）求轮船Ｅ距离海岸线Ｄ的距离ＥＤ的长（结果 保留整数，参考数据：ｔａｎ２７°≈０５１，ｓｉｎ２７°≈０４５）． 辅助线周周练 １．如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ为ＢＣ的中 点，点Ｅ在ＡＢ上，ＡＤ，ＣＥ交于点Ｆ，ＡＥ＝ＥＦ＝４，ＦＣ＝ ９，则ｃｏｓ∠ＡＣＢ的值为． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图２，△ＡＢＣ中，ＣＤ为边ＡＢ上的中线，点Ｅ在 ＡＣ上，连接ＢＥ交ＣＤ于点Ｆ，∠ＢＥＣ＝１２０°，ＢＦ＝ＡＥ ＋ＥＦ，若ＡＢ＝槡４７，ＡＥ＝８，则ＣＤ的长为． 【提示】 １．延长ＡＤ到Ｍ，使得ＤＭ＝ＤＦ，连接ＢＭ．利用 全等三角形的性质证明ＢＭ＝ＣＦ＝９ＡＢ＝ＢＭ，利 用勾股定理求出Ｂ，ＡＣ即可解决问题． ２．延长ＢＥ到Ｔ，使得ＥＴ＝ＡＥ，连接ＡＴ，过点Ａ 作ＡＪ⊥ＢＥ于Ｊ，过点Ｅ作ＥＫ⊥Ｄ于Ｋ．解直角三 角形求出ＡＴＢＴ，再利用三角形中位线定理求出 ＤＦ，根据相似三角形对应边成比例求出ＣＦ可得结 论． 书 例１　在一次综合实践活 动中，某小组对一建筑物进行 测量．如图１，在山坡坡脚Ｃ处 测得该建筑物顶端 Ｂ的仰角 为６０°，沿山坡向上走２０ｍ到 达Ｄ处，测得建筑物顶端Ｂ的 仰角为３０°．已知山坡坡度ｉ＝３∶４，即ｔａｎθ＝３４，请你 帮助该小组计算建筑物的高度 ＡＢ（结果精确到０．１ｍ， 参考数据：槡３≈１７３２）． 解析：作ＤＥ⊥ＡＣ交ＡＣ于点Ｅ，作ＤＦ⊥ＡＢ交ＡＢ于 点Ｆ，作ＣＨ⊥ＤＦ交ＤＦ于点Ｈ，则ＤＥ＝ＡＦ，ＨＦ＝ＡＣ， ＤＨ＝ＣＥ，因为ｔａｎθ＝３４，所以设ＤＥ＝３ｘｍ，则ＣＥ＝ ４ｘｍ，在Ｒｔ△ＣＤＥ中，∠Ｅ＝９０°，由勾股定理，得（３ｘ）２＋ （４ｘ）２ ＝２０２，解得ｘ＝４（负值舍去），所以ＤＥ＝ＡＦ＝ １２ｍ，ＣＥ＝ＤＨ＝１６ｍ． 设ＢＦ＝ｙｍ，则ＡＢ＝（ｙ＋１２）ｍ，在Ｒｔ△ＢＤＦ中， ∠ＢＤＦ＝３０°，因为 ｔａｎ∠ＢＤＦ＝ＢＦＤＦ＝ 槡３ ３，所以 ＤＦ＝ 槡３ｙｍ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝６０°，因为ｔａｎ∠ＡＣＢ＝ＡＢＡＣ ＝槡３，所以ＡＣ＝ＨＦ＝槡 ３ ３（ｙ＋１２）ｍ． 因为ＤＦ－ＦＨ＝ＤＨ，所以槡３ｙ－槡 ３ ３（ｙ＋１２）＝１６， 解得ｙ＝６＋ 槡８３，所以ＡＢ＝ＢＦ＋ＦＡ＝６＋ 槡８３＋１２＝ １８＋ 槡８３≈３１９（ｍ）． 答：该建筑物ＡＢ的高度约为３１．９ｍ． 例２　如图２，芳芳在Ｃ 处看见飞机Ａ的仰角为４５°， 同时亮亮在斜坡 ＣＦ上的 Ｄ 处看见飞机Ａ的仰角为３０°， 若斜坡ＣＦ的坡比 ＝１∶３， 铅垂高度ＤＧ＝３０米（点Ｅ， Ｇ，Ｃ，Ｂ在同一水平线上）．求： （１）芳芳和亮亮之间的距离ＣＤ； （２）此时飞机的高度ＡＢ（结果保留根号）． 解析：（１）由题意，得ＤＧＣＧ＝ １ ３，因为ＤＧ＝３０米，所 以ＣＧ＝９０（米）， 在Ｒｔ△ＣＤＧ中，由勾股定理，得ＣＤ＝ ＤＧ２＋ＣＧ槡 ２ ＝ 槡３０ １０（米）． 答：芳芳和亮亮之间的距离为 槡３０ １０米． （２）过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，则四边形ＢＨＤＧ是 矩形，所以ＢＨ＝ＤＧ＝３０米，ＤＨ＝ＢＧ，因为∠ＡＢＣ＝ ９０°，∠ＡＣＢ＝４５°，所以△ＡＢＣ是等腰直角三角形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，设ＡＢ＝ＢＣ＝ｘ米，则ＡＨ＝ＡＢ－ＢＨ＝（ｘ－ ３０）米，ＤＨ＝ＢＧ＝ＣＧ＋ＢＣ＝（ｘ＋９０）米． 在Ｒｔ△ＡＤＨ中，∠ＡＤＨ＝３０°，所以ｔａｎ∠ＡＤＨ＝ＡＨＤＨ ＝槡３３，即 ｘ－３０ ｘ＋９０＝ 槡３ ３，解得ｘ＝ 槡６０３＋９０，所以ＡＢ＝ （ 槡６０３＋９０）米． 答：此时飞机的高度ＡＢ为（ 槡６０３＋９０）米． 【对应练习见《重点集训营》】 书 一、转化思想 例１　（２０２４齐齐哈尔模 拟）如图１，在 △ＡＢＣ中，∠Ｂ ＝３０°，ＡＣ＝２，ｃｏｓＣ＝３５，则 ＡＢ边的长为 ． 解析：过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，因为ｃｏｓＣ＝ＣＤＡＣ＝ ３ ５，ＡＣ＝２，所以ＣＤ＝ ６ ５，在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理易 求得ＡＤ＝８５，又因为∠Ｂ＝３０°，所以ＡＢ＝２ＡＤ＝ １６ ５． 故填 １６ ５． 二、分类讨论思想 例２　（２０２３哈尔滨一模）已知ＡＤ是△ＡＢＣ中ＢＣ 边上的高，ｔａｎ∠ＡＢＤ＝ ４３，ＡＢ＝５，ＢＣ＝６，则ＣＤ的长 为 ． 解析：如图２所示，当 △ＡＢＣ是锐角三角形时，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｔａｎ∠ＡＢＤ＝ＡＤＢＤ＝ ４ ３，所以设ＡＤ＝４ｘ，ＢＤ ＝３ｘ，在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理得（３ｘ）２＋（４ｘ）２＝５２， 解得ｘ＝１，所以ＢＤ＝３，所以ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝３； 如图３所示，当 △ＡＢＣ是钝角三角形时，同理可得 ＢＤ＝３，所以ＣＤ＝ＢＣ＋ＢＤ＝９． 综上所述，ＣＤ的长为３或９． 故填３或９． 三、方程思想 例 ３　（２０２３苏州模 拟）如图４，一机器人从 Ａ 处向正南方向走２００米到 达Ｂ处，再从Ｂ处向正东方 向走５００米到达Ｃ处，然后 从Ｃ处向北偏西３７°走到 Ｄ处，最后从Ｄ回到Ａ处，已知Ｄ在Ａ的北偏东７３°方向， 则Ｃ到Ｄ（即ＣＤ）的距离是 米（结果保留整数， 参考数值：ｓｉｎ７３°≈ １９２０，ｃｏｓ７３°≈ ２９ １００，ｔａｎ７３°≈ １０ ３， ｓｉｎ３７°≈ ３５，ｃｏｓ３７°≈ ４ ５，ｔａｎ３７°≈ ３ ４）． 解析：设ＣＤ为ｘ米，由题意知∠ＥＣＤ＝３７°，∠ＭＡＤ ＝７３°，则 ＣＥ＝ＣＤｃｏｓ３７°＝ ４５ｘ，ＤＥ＝ＣＤｓｉｎ３７°＝ ３ ５ｘ，所以ＭＤ＝５００－ ３ ５ｘ，所以ＡＭ＝ ＭＤ ｔａｎ７３°＝１５０－ ９ ５０ｘ，因为ＡＢ＋ＡＭ ＝ＢＭ ＝ＣＥ，即２００＋１５０－ ９ ５０ｘ＝ ４ ５ｘ，解得ｘ＝ ２５００ ７ ≈３５７． 故填３５７． 书 如图１，在直角三角形 ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，ａ，ｂ，ｃ，∠Ａ，∠Ｂ这五个元 素间有如下关系： （１）锐角之间的关系：∠Ａ＋∠Ｂ ＝ ． （２）三边之间的关系：ａ２＋ｂ２＝ （勾股定理）． （３）边角之间的关系： ｓｉｎＡ＝ ａｃ；ｃｏｓＡ＝ ｂ ｃ；ｔａｎＡ＝ ａ ｂ； ｓｉｎＢ＝ ｂｃ；ｃｏｓＢ＝ ａ ｃ；ｔａｎＢ＝ ｂ ａ． 以上三点正是解直角三角形的依据． 我们已经掌握Ｒｔ△ＡＢＣ的边角关系、三边关系、两 角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有 一个 ）后，就可以求出其他元素．所以把由已 知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 例　如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＢＣ＝４，求这个直 角三角形的其他边和角． 解析：因为∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°， 所以∠Ｂ＝９０°－∠Ａ＝ ． 因为ｔａｎＡ＝ＢＣＡＣ＝ ４ ＡＣ＝ 槡３ ３，所以ＡＣ＝ ． 因为ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ４ ＡＢ＝ １ ２，所以ＡＢ＝ ． 归纳总结： 在解直角三角形中，锐角三角函数是沟通三角形边 角关系的桥梁，只要题目中已知加未知的三个元素中有 边、有角，就可以使用锐角三角函数．那么，如何从三角 函数的公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ （１）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知 角的某个三角函数； （２）若求角：一般用已知边比已知边（正弦、余弦时 斜边作为分母），去寻找未知角的某个三角函数； 在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再 错”和“累积误差”． （３）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当 的辅助线把它们分割成一些直角三角形，从而把它们转 化为直角三角形的问题来解决． ! ! ! " # $ % & ! " ! " ' !!" # $ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ( ! )!#"$# * + ! ! ' '! "! " , ! # ! %& '() """""""""""""""""""" ! ! " #! !!"#" $"% !! "%"$&&'!"( !"#$ !"#$%& *+, "-# ./01 2/34567/89 !! : % ! 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" ! %& o ' - 1 . " ' , & ' ( )* ! ! ' , " - . ! " ! " " . , 1 - ' " - 1 ' . , ! ! ' " . 1 , - ! " 书 １ ２＋槡３ ＝２－槡３≈０．３． １８．（１）由题意，得 ｓｉｎ１２０°＝ｓｉｎ（１８０°－ １２０°）＝ｓｉｎ６０°＝槡３２； ｃｏｓ１２０°＝－ｃｏｓ（１８０° －１２０°） ＝－ｃｏｓ６０° ＝－ １２； ｓｉｎ１５０° ＝ ｓｉｎ（１８０°－１５０°） ＝ ｓｉｎ３０°＝ １２． （２）因为三角形的 三个内角的比是１∶１∶ ４，所以三个内角分别为 ３０°，３０°，１２０°， ① 当 ∠Ａ＝３０°， ∠Ｂ＝１２０°时，易求得 方程的两根分别为 １ ２， －１２，将ｘ＝ １ ２代入方 程，得４×（１２） ２－ｍ× １ ２－１＝０，解得ｍ＝０， 经检验ｘ＝－１２是方程 ４ｘ２－１＝０的根， 所以ｍ＝０符合题 意； ②当∠Ａ＝１２０°， ∠Ｂ＝３０°时，则方程两 根为槡 ３ ２， 槡３ ２，不符合题 意； ③ 当 ∠Ａ＝３０°， ∠Ｂ＝３０°时， 则方程的两根为 １ ２， 槡３ ２，将ｘ＝ １ ２代入 方程，得４×（１２） ２－ｍ ×１２－１＝０，解得ｍ＝ ０，经检验槡３２不是方程 ４ｘ２－１＝０的根，所以 不符合题意． 综上所述，ｍ ＝０， ∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝１２０°． 上期４版 重点集训营 １．Ｄ；　２．Ｃ； ３．６０°或３０°； ４．等腰直角三角 形． ５．过点 Ａ作 ＡＤ⊥ ＢＣ于点Ｄ，因为 ∠Ａ＝ １２０°，ＡＢ＝ＡＣ， 所以∠Ｂ＝∠Ｃ＝ １ ２（１８０°－∠Ａ）＝３０°， ＢＣ＝２ＢＤ，在Ｒｔ△ＡＢＤ 中，∠ＡＤＢ ＝ ９０°，∠Ｂ ＝３０°，ＡＢ ＝１，因为 ｃｏｓＢ＝ＢＤＡＢ，所以ＢＤ＝ ＡＢ·ｃｏｓＢ＝１×ｃｏｓ３０° ＝槡３２，所以 ＢＣ＝２ＢＤ ＝２×槡３２＝槡３，所以ＢＣ 的长是槡３． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２３西安模拟）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝５， ｓｉｎＢ＝ ３４，则△ＡＢＣ的面积为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５ Ｂ．９２ Ｃ．６ Ｄ． １５ ２ ２．如图１是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯ＡＢ 的坡角为３０５°，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度 ＢＣ为５米，则自动扶梯ＡＢ的长为 （　　） Ａ．５ｔａｎ３０５°米 Ｂ．５ｓｉｎ３０５°米 Ｃ． ５ｓｉｎ３０５°米 Ｄ． ５ ｃｏｓ３０５°米 ３．如图２，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是斜边ＡＢ 的中线，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ，垂足为点Ｅ．若ｓｉｎＡ＝１３， ＡＢ＝６，则△ＣＤＥ的周长为 （　　） Ａ．４＋ 槡２２ Ｂ．４＋ 槡４２ Ｃ．６＋ 槡２２ Ｄ．６＋ 槡４２ ４．（２０２４桂林模拟）如图３，为了测量某建筑物 ＡＢ 的高度，在平地上Ｃ处测得建筑物顶端Ａ的仰角为３０°， 沿ＣＢ方向前进１８ｍ到达Ｄ处，在Ｄ处测得建筑物顶端 Ａ的仰角为４５°，则建筑物ＡＢ的高度等于 （　　） Ａ．１８（槡３＋１）ｍ Ｂ．１８（槡３－１）ｍ Ｃ．９（槡３＋１）ｍ Ｄ．９（槡３－１）ｍ ５．如图４为单车示意图，ＡＢ与地面平行，点 Ａ，Ｂ，Ｄ 共线，点Ｄ，Ｆ，Ｇ共线，坐垫Ｃ可沿射线ＢＥ方向调节．已 知∠ＡＢＥ＝７０°，车轮半径为２０ｃｍ，当ＢＣ＝６０ｃｍ时，小 明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫Ｃ离地面高度约 为（结果精确到１ｃｍ，参考数据：ｓｉｎ７０°≈０９４，ｃｏｓ７０° ≈０３４，ｔａｎ７０°≈２７５） （　　） Ａ．８０ｃｍ Ｂ．７２ｃｍ Ｃ．７６ｃｍ Ｄ．７０ｃｍ ６．（２０２３金华期末）桔槔示意图如图５所示，ＯＭ是 垂直于水平地面的支撑杆，ＯＭ＝３米，ＡＢ是杠杆，ＡＢ＝ ６米，ＯＡ∶ＯＢ＝２∶１．当点Ａ位于最高点Ａ１时，∠Ａ１ＯＭ ＝１２０°．此时，点Ａ１到地面的距离为 （　　） Ａ．（槡２３＋３）米 Ｂ．５米 Ｃ．６米 Ｄ．７米 ７．如图６所示，河北岸点Ａ处观测到河对岸有一点 Ｃ在Ａ的南偏西６０°的方向上，沿河岸向西前行２０ｍ到 达Ｂ处，又测得Ｃ在Ｂ的南偏西４５°的方向上，请你根据 以上数据，则这条河的宽度为（结果保留根号） （　　） Ａ．（ 槡１０３＋１０）ｍ Ｂ．（ 槡１０３＋２０）ｍ Ｃ．（ 槡２０３＋１０）ｍ Ｄ．（ 槡２０３＋２０）ｍ ８．如图７，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ ＝９０°，ｔａｎ∠ＢＡＣ＝１２，ＡＤ＝２，ＢＤ ＝４，连接ＣＤ，则ＣＤ长的最大值为 （　　） 槡Ａ．２５＋ ３ ４ 槡　　Ｂ．２５＋１ 槡Ｃ．２５＋ ３ ２ 槡　　Ｄ．２５＋２ 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．（２０２３吉安模拟）如图８，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ为 直角，ＣＤ⊥ ＡＢ于点 Ｄ，ＢＣ ＝３，ＡＢ ＝５，则 ＤＢ ＝ ． １０．如图９，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤 在Ａ处．在接受放射性治疗时，射线从肿瘤右侧１０ｃｍ的 Ｂ处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为 ∠ＣＢＡ＝ ３２．７°，则肿瘤在皮下的深度ＡＣ约为 ｃｍ（参考 数据：ｓｉｎ３２．７°≈０．５４，ｃｏｓ３２．７°≈０．８４，ｔａｎ３２．７°≈ ０．６４）． １１．（２０２３平顶山期末）如图１０，长尾夹的侧面是 △ＡＢＣ，当ＡＣ与ＡＢ张开到互相平行时，达到最大夹纸厚 度，已知ＡＢ＝ＡＣ＝１５ｍｍ，∠ＡＣＢ＝７０°，则这个长尾夹 最大夹纸厚度为 ｍｍ（结果精确到１ｍｍ，参考 数据：ｓｉｎ７０°＝０９４，ｃｏｓ７０°＝０３４，ｔａｎ７０°＝２７５）． １２．（２０２４眉山）如图１１，斜坡ＣＤ的坡度ｉ＝１∶２， 在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 ＡＢ，当太阳光与 水平面的夹角为６０°时，大树在斜坡上的影子 ＢＥ长为 １０米，则大树ＡＢ的高为 米． １３．为了消防安全，学校在校 园广场步行梯（折线ＡＢＣＤ）处新 建了学生宿舍安全通道（折线 ＡＥＦ），其剖面示意图如图１２所 示，广场步行梯ＡＢ，ＣＤ的坡角都 是３２°，且ＡＢ＝６米，ＣＤ＝４米， 水平部分ＢＣ＝２４米；新建安全 通道中水平部分ＡＥ＝３９米，步梯ＥＦ的坡度ｉ≈０６２． 新建安全通道顶端点 Ｆ到广场步行梯底部所在水平面 ＤＧ的距离 ＤＦ的长约为 米（结果精确到 ０．１米，参考数据：ｓｉｎ３２°≈０５３，ｃｏｓ３２°≈０８５，ｔａｎ３２° ≈０６２）． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（２０２３北京海淀区月考，８分）如图１３，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝６，∠Ｂ＝３０°，ｔａｎＣ＝３，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，求ＡＤ 和ＡＣ的长． １５．（２０２４泸州，８分）如图１４，海中有一个小岛 Ｃ， 某渔船在海中的Ａ点测得小岛Ｃ位于东北方向上，该渔 船由西向东航行一段时间后到达Ｂ点，测得小岛Ｃ位于 北偏西３０°方向上，再沿北偏东６０°方向继续航行一段 时间后到达Ｄ点，这时测得小岛Ｃ位于北偏西６０°方向 上．已知Ａ，Ｃ相距３０ｎｍｉｌｅ．求Ｃ，Ｄ间的距离（计算过程 中的数据不取近似值）． １６．（２０２４河北，１０分）中国的探月工程激发了同学 们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 Ｐ 恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 ＢＱ＝ ４ｍ，仰角为α；淇淇向前走了３ｍ后到达点Ｄ，透过点Ｐ 恰好看到月亮，仰角为β，如图１５是示意图．已知淇淇的 眼睛与水平地面ＢＱ的距离ＡＢ＝ＣＤ＝１．６ｍ，点 Ｐ到 ＢＱ的距离ＰＱ＝２．６ｍ，ＡＣ的延长线交ＰＱ于点Ｅ（注：图 中所有点均在同一平面）． （１）求β的大小及ｔａｎα的值； （２）求ＣＰ的长及ｓｉｎ∠ＡＰＣ的值． １７．（２０２３重庆沙坪坝区模拟，１０分）如图１６是某货 站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全 性，工人师傅欲减少传送带与地面的夹角，使其由３１°改 为２２°，已知原传送带ＡＢ长为５米（参考数据：ｓｉｎ２２°≈ ３ ８，ｔａｎ２２°≈ ２ ５，ｓｉｎ３１°≈ １３ ２５，ｔａｎ３１°≈ ３ ５）． （１）求新传送带ＡＣ的长度； （２）如果需要在货物着地点Ｃ的正前方留出１米的 通道，试判断距离Ｂ点３米的货物ＭＮＱＰ是否需要挪走？ 并说明理由． １８．（２０２３济南二模，１２分）要修建一个地下停车 场，停车场的入口设计示意图如图１７所示，其中斜面ＡＤ 的坡度为１∶３，一楼到地下停车场地面的垂直高度 ＣＤ ＝３２米，一楼到地平线的距离ＢＣ＝１米． （１）求斜面ＡＤ的长度（结果保留整数）； （２）如果送货的货车高度为２．８米，那么按这样的 设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由 （参考数据：槡１０≈３．２）                                                                                                                                                                 ． 书 ４．３解直角三角形 １．（２０２３西安模拟）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ｓｉｎＢ＝５１３，点Ｄ在ＢＣ边上，且ＣＤ＝ＡＣ，连接ＡＤ， 若ＡＢ＝１３，则ＢＤ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．８ Ｂ．７ Ｃ．６ Ｄ．５ ２．如图２，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＢＣ＝ ８，Ｄ为ＡＣ边上一点，且ｔａｎ∠ＡＢＤ＝１２，则ＢＤ的长度为 （　　） Ａ． 槡１５５８ 槡Ｂ．２５ Ｃ．５ Ｄ． 槡２４５ １１ ３．如图３，四边形ＯＡＢＣ中，ＯＡ在ｘ轴的正半轴上， ∠ＯＣＢ＝∠ＯＡＢ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，ｃｏｓ∠ＡＯＣ＝ ｃｏｓ∠ＤＣＢ＝ ３５，则点Ｃ的坐标是 ． ４．（２０２３山东模拟）如图４，在 △ＡＢＣ中，ｓｉｎＢ＝ １ ２，ｔａｎＣ＝ 槡２ ２，ＡＢ＝４，则△ＡＢＣ的面积为 ． ５．如图５，在 △ＡＢＣ中，ＡＤ是 ＢＣ边上的高，ＡＥ是 ＢＣ边上的中线，ｃｏｓＣ＝槡２２，ｓｉｎＢ＝ １ ３，ＡＤ＝１． （１）求ＢＣ的长； （２）求ｔａｎ∠ＤＡＥ的值． ４．４解直角三角形的应用（第一课时） １．（２０２３长春月考）如图１，一把梯子靠在垂直水 平地面的墙上，梯子ＡＢ的长是３米．若梯子与地面的夹 角为α，则梯子底端到墙面的距离ＡＣ为 （　　） Ａ．３ｓｉｎα米 Ｂ．３ｃｏｓα米 Ｃ．３ｓｉｎα 米 Ｄ．３ｃｏｓα 米 ２．如图２，在水平地面上有房屋 ＢＣ与一棵树 ＤＥ， 在地面观测点Ａ处观测到屋顶Ｃ与树梢的仰角分别是 ４５°与６０°，已知∠ＤＡＣ＝６０°，∠ＤＣＡ＝９０°，ＢＣ＝５米， 则树高ＤＥ为 （　　） 槡Ａ．６２米 槡Ｂ．６３米 槡Ｃ．５６米 槡Ｄ．１２２米 ３．（２０２３岳阳模拟）如图 ３，由游客中心Ａ处修建通往百 米观景长廊 ＢＣ的两条栈道 ＡＢ，ＡＣ，若ＢＣ＝１００ｍ，∠Ｂ＝ ６０°，∠Ｃ＝４５°，则游客中心 Ａ 到观景长廊的距离 ＡＤ的长为 ｍ（结果保留根号）． ４．（２０２４陕西）如图４所示，一座小山顶的水平观 景台的海拔高度为１６００ｍ，小明想利用这个观景台测 量对面山顶Ｃ点处的海拔高度，他在该观景台上选定了 一点Ａ，在点Ａ处测得Ｃ点的仰角∠ＣＡＥ＝４２°，再在ＡＥ 上选一点Ｂ，在点Ｂ处测得Ｃ点的仰角∠ＣＢＥ＝４５°，ＡＢ ＝１０ｍ．求山顶 Ｃ点处的海拔高度（小明身高忽略不 计，参考数据：ｓｉｎ４２°≈０．６７，ｃｏｓ４２°≈０．７４，ｔａｎ４２°≈ ０．９０）． ５．（２０２３深圳模拟）图５是一辆登高云梯消防车工 作示意图，起重臂 ＡＣ（２０米 ≤ ＡＣ≤３０米）是可伸缩 的，且起重臂ＡＣ可绕点Ａ在一定范围内上下转动张角 ∠ＣＡＥ（９０°≤∠ＣＡＥ≤１５０°），转动点Ａ距离地面的高 度ＡＥ为４米． （１）当起重臂 ＡＣ的长度为２４米，张角 ∠ＣＡＥ＝ １２０°时，云梯消防车最高点Ｃ距离地面的高度ＣＦ的长 为 米； （２）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高 度为２６米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请 说明理由（参考数据：槡３≈１７，提示：当起重臂ＡＣ伸到 最长且张角∠ＣＡＥ最大时，云梯顶端 Ｃ可以达到最大 高度）． ４．４解直角三角形的应用（第二课时） １．（２０２３保定期末）如图 １，在平地和在山坡上树木的 株距（相邻两棵树之间的水 平距离）均为４ｍ，已知山坡 的坡度为０．５，则山坡上相邻 两棵树之间的坡面距离为 （　　） 槡 槡Ａ．２３ｍ Ｂ．２５ｍ 槡Ｃ．４３ｍ Ｄ．８ｍ ２．如图２，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上 面是一块平地．已知ＢＣ∥ＡＤ，斜坡ＡＢ长２６ｍ，斜坡ＡＢ 的坡度为１２∶５，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决 定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 ５３°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 Ａ不 动，则坡顶Ｂ沿ＢＣ至少向右移动 ｍ时，才能确 保山体不滑坡（取ｔａｎ５３°≈ ４３）． ３．如图３，轮船Ｂ在码头Ａ的正东方向，与码头Ａ的 距离为１００海里，轮船Ｂ向北航行４０海里到达Ｃ处时， 接到Ｄ处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西４５° 方向航行到Ｄ处，解救渔船后轮船沿南偏西３２°返回到 码头Ａ，那么码头Ａ与Ｄ的距离为 海里（结果 保留整数，参考数据：ｓｉｎ３２°≈ ０５，ｃｏｓ３２°≈ ０８， ｔａｎ３２°≈０６）． ４．（２０２３合肥一模）如图４，风轩亭Ｂ在翠微阁Ａ的 正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在 Ａ，Ｂ之间 修建一条直通景观隧道．为测量Ａ，Ｂ两点之间距离，在 一条东西方向的公路ｌ上选择Ｐ，Ｑ两点分别观测Ａ，Ｂ， 已知点Ａ在点Ｐ的北偏东４５°方向上，点Ｂ在点Ｑ的北 偏东３０°方向上，ＢＱ＝１２００米，ＰＱ＝２０００米，试求Ａ， Ｂ两点之间的距离（精确到１米，其中槡２≈１４１，槡３≈ １７３）． ５．（２０２３苏州月考）如图５，在河流两边有甲、乙两 座山，现在从甲山Ａ处的位置向乙山Ｂ处拉电线．已知 甲山上Ａ点到河边Ｃ的距离ＡＣ＝１３０米，点Ａ到ＣＤ的 垂直高度为１２０米；乙山ＢＤ的坡比为４∶３，乙山上Ｂ点 到河边Ｄ的距离ＢＤ＝４５０米，从Ｂ处看Ａ处的俯角为 ２５°（参考数据：ｓｉｎ２５°≈ ０４２３，ｃｏｓ２５°≈ ０９０６， ｔａｎ２５°≈０４６６）． （１）求乙山Ｂ处到河边ＣＤ的垂直距离； （２）求河ＣＤ的宽度（结果保留整数） 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! !""#$%&' ()*+,- !# ./ !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 01234561*7 !! . %&'( ! 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