第17期 26.2 实际问题与反比例函数 第二十六章整章复习（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 在近几年的中考试题中，总会出现一些将反比例函 数的图象与几何图形综合到一起考查的问题，这类问题 在考查反比例函数的同时，又考查了同学们对几何图形 性质的掌握程度，下面我们一起来看几道例题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，△ＡＢＣ是等腰 直角三角形，直角顶点 Ｃ与坐标 原点重合，若点Ｂ在反比例函数ｙ ＝１ｘ（ｘ＞０）的图象上，则经过点 Ａ的 反 比 例 函 数 表 达 式 为 ． 解析：过点Ａ作ＡＥ⊥ｘ轴于Ｅ，过点Ｂ作ＢＤ⊥ｘ轴 于Ｄ，则∠ＡＥＯ＝∠ＯＤＢ＝９０°， 由题意得 ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＯＢ＝９０°，所以 ∠ＥＡＯ＋ ∠ＥＯＡ＝∠ＡＯＥ＋∠ＢＯＤ ＝９０°，所以 ∠ＥＡＯ ＝ ∠ＤＯＢ，所以 △ＡＥＯ≌ △ＯＤＢ，所以 ＡＥ＝ＯＤ，ＯＥ＝ ＢＤ． 设点Ｂ的坐标为（ａ，ｂ），则ＡＥ＝ＯＤ＝ａ，ＯＥ＝ＢＤ ＝ｂ，所以点Ａ的坐标为（－ｂ，ａ）， 因为点Ｂ在反比例函数ｙ＝ １ｘ上，所以ａｂ＝１， 所以经过点Ａ的反比例函数表达式为ｙ＝－１ｘ． 故填ｙ＝－１ｘ． 例２　如图２，正方形 ＡＢＣＤ 的边长为５，点Ａ的坐标为（４，０）， 点Ｂ在ｙ轴上，若反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｋ≠０）的图象过点Ｃ，则ｋ的 值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．－３ Ｄ．３ 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ｙ轴于点Ｅ， 在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，所以 ∠ＡＢＯ＋∠ＣＢＥ＝９０°，因为∠ＯＡＢ＋∠ＡＢＯ＝９０°，所 以∠ＯＡＢ＝∠ＣＢＥ，因为点Ａ的坐标为（４，０），所以ＯＡ ＝４， 因为ＡＢ＝５，所以由勾股定理，得ＯＢ＝ ５２－４槡 ２ ＝３， 在 △ＡＢＯ和 △ＢＣＥ中， ∠ＯＡＢ＝∠ＣＢＥ， ∠ＡＯＢ＝∠ＢＥＣ， ＡＢ＝ＢＣ { ， 所以 △ＡＢＯ≌△ＢＣＥ，所以ＯＡ＝ＢＥ＝４，ＣＥ＝ＯＢ＝３， 所以ＯＥ＝ＢＥ－ＯＢ＝４－３＝１，所以点Ｃ的坐标 为（－３，１）， 因为反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象过点Ｃ，所以 ｋ＝ｘｙ＝－３×１＝－３． 故选Ｃ． 例３　如图３，点Ｄ是ＯＡＢＣ 内一点，ＡＤ与ｘ轴平行，ＢＤ与ｙ轴 平行，ＢＤ ＝槡３，∠ＢＤＣ ＝１２０°， Ｓ△ＢＣＤ ＝ 槡 ９３ ２，若反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＜０）的图象经过 Ｃ，Ｄ两点， 则ｋ的值是 （　　） Ａ．－ 槡６３ Ｂ．－６ Ｃ．－ 槡１２３ Ｄ．－１２ 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ｙ轴于点Ｅ，延长ＢＤ交ＣＥ于 点Ｆ， 因为四边形ＯＡＢＣ为平行四边形，所以ＡＢ∥ＯＣ，ＡＢ ＝ＯＣ，又因为ＢＤ∥ｙ轴，所以∠ＣＯＥ＝∠ＡＢＤ， 因为ＡＤ∥ｘ轴，所以∠ＡＤＢ＝９０°，所以△ＣＯＥ≌ △ＡＢＤ，所以ＯＥ＝ＢＤ＝槡３， 因为Ｓ△ＢＤＣ ＝ １ ２ＢＤ·ＣＦ＝ 槡９３ ２，所以ＣＦ＝９， 因为∠ＢＤＣ＝１２０°，所以∠ＣＤＦ＝６０°， 所以∠ＤＣＦ＝３０°，所以由勾股定理，得ＤＦ＝ 槡３３， 所以点Ｄ的纵坐标为 槡４３． 设Ｃ（ｍ，槡３），Ｄ（ｍ＋９，槡４３）， 因为反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图象经过Ｃ，Ｄ两 点，所以ｋ＝槡３ｍ＝ 槡４３（ｍ＋９），解得ｍ＝－１２，所以ｋ ＝－ 槡１２３． 故选Ｃ． 书 !"#$%&'()*+,-./012345 6789 ： ①“:;”，<=.5#$%&'>'?@A，B! "CDE'F:G#$%&'>HI; ； ②“J"”，J"#$%&'>KL()*+,-； ③“MN”，O(P*+,-Q，RMNSTU>V WXY ． 3Z[%89\] ，̂ _?`ab ． ! １　 （２０２３ !"#$%&' ） cde 、 fghi j ｓ（ () ：ｋｍ）， klmehno9pqfh ， rkl9 p>Qs ｔ（ () ：ｈ） tu9pov ｖ（ () ：ｋｍ／ｈ） >& 'wxy （　　） "# ： *+,-./ ， 0123456 ， *+237 89:;<=>7?@ABCDEFGH ． $ ： z{-N| ｖ·ｔ＝ｓ， }2 ｔ＝ ｓｖ， ~ ｔ  ｖ €s>&'wx#$%&'wx ， ‚z{ *+Nƒ ｖ＞０，ｔ＞０， }2„wxO….x† ． ~‡ Ｃ． ! ２　 ˆ‰Š‹>SŒŽ ， ‘’QŽ“” •–—˜ ２０℃， Ž“q １００℃ Q™š‘’ ， ›œŽ“ 3ž ． Ž“ ｙ（℃） Ÿ Qs ｘ（ｍｉｎ） ¡#$% tE ． ¢Ž“O ２０℃ Q£Ÿ ¤ ， .¥Qs¦ ， Ž“ ｙ  Ÿ Qs ｘ €s>&'tE§w}¨ ． （１） Ž“m ２０℃ ‘’q １００℃， ©R ｍｉｎ； （２） :Ž“3žª«¬ ，ｙ  ｘ >&'tE; ， ­®GS TU ｘ >VWXY ； （３） §¯—° ８ ±£Ÿ  ¤ ， ²³ ８：２０ €´ ， Ž“µ¶u ８０℃ >Qs|·¸ ？ "# ：（１） *+IJKLMNOPQRST ２０℃ C DU1NOV ２０℃ KLW １００℃ XYMZ ； （２） *+[\]23^_ （４，１００）， DU1`a6 ； （３） Qbcd1NO5W １００℃ e5W ８０℃ #5 W １００℃ fghW ８０℃ XYMZCD ． $ ：（１） ¹‘’QŽ“”•–—˜ ２０℃， }2Ž“m ２０℃ ‘’q １００℃， }©Qs １００－２０ ２０ ＝４（ｍｉｎ）． ~º ４． （２） »-¼½ ， ± （４，１００） O#$%&'wx— ， ¾#$%&'tE; ｙ＝ ｋｘ， ¿± （４，１００） ÀÁ¼½ ｋ＝４００， }2 ｙ＝４００ｘ，  ｙ＝２０ Q ，ｘ＝４００２０ ＝２０， }2Ž“3žª«¬ ，ｙ  ｘ >&'tE;y ｙ＝ ４００ ｘ（４≤ｘ≤２０）． （３）  ０＜ｘ＜４ Q ， ¾ ｙ＝ｋｘ＋２０， ¿ （４，１００） ÀÁ ， ¼½ ４ｋ＋２０＝１００， (½ ｋ＝２０， }2 ０＜ｘ＜４ Q ，ｙ＝２０ｘ＋２０，  ｙ＝８０ Q ， B ２０ｘ＋２０＝８０， (½ ｘ＝３，  ｙ＝８０ Q ， ４００ ｘ ＝８０， (½ ｘ＝５， }2Ž“µ¶u ８０℃ >Qs ５－３＝２（ QR ）． P ： Ž“µ¶u ８０℃ >Qs| ２ •– ． 书 （上接２版参考答案） １８．（１）函数 ｙ１的 表达式为ｙ１＝ ３ ｘ，函数 ｙ２的表达式为 ｙ２ ＝－ｘ ＋４． （２）由平移的性质 可得点Ｄ坐标为（－３，ｎ －３），因为点 Ｄ在函数 ｙ１ 的 图 象 上， 所 以 －３（ｎ－３）＝２ｎ，解得 ｎ＝ ９５，所以 ｎ的值为 ９ ５． １９．（１）一次函数 的表达式为ｙ１ ＝－ｘ＋ ３． （２）①因为点 Ｂ，Ｃ 都在第一象限，ｋ＝－１， 联立ｙ１，ｙ２得－ｘ＋ｂ＝ ｍ ｘ，整理，得 －ｘ ２＋ｂｘ－ ｍ＝０，由题意知该方程 有解，所以 ｂ２ －４× （－１）×（－ｍ）＝ｂ２－ ４ｍ≥０． ②因为ｍ－ｂ＝２， 所以 ｍ ＝ｂ＋２，由 ① 知，当ｂ２－４ｍ＝０时， Ｂ，Ｃ重合，此时 ＢＣ最 小，所以 ｂ２－４（ｂ＋２） ＝０，解得ｂ＝２± 槡２３， 又因为ｂ≥６，而２±槡２３ ＜６，所以当ｂ＝６，ｍ＝ ８时，ＢＣ有最小值，令 －ｘ＋６＝ ８ｘ，整理，得 －ｘ２＋６ｘ－８＝０，解得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝４，故Ｂ（４，２）， Ｃ（２，４），所以 ＢＣｍｉｎ ＝ （４－２）２＋（２－４）槡 ２ ! " #! !!"# " $"% !" !"!#&$%'!#( !"#$%&'" ()*+,-'. !"# !$" %&'( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ % & ' ! ! ! $ " % ( ' & ! & " )* +,- ! '()" $ $%% !% &!#" * + , - ) * ) * ) * ) $ * $$$ ! ( & $ + ! $ !'" " ./ 011 ) *+ 234 , ) *+ +56 , # - .+ 784 , ) *+ 9 : , ) *+ ; < -./01+ 7 = 23/01+ 7>? -4506+ @ 1 -4578+ ABC 5DE F G HIJ K L MNO +PQ KR> S B TUJ VW3 FXY ZX[ +3\ ]<& ^_G ` O abc 5de 91-.+ FXY 91:;+ VW3 <=-.+ fXg >?-.+ hij @ABC+ klm .nopqrst .noquvwxyz{| .noq}~€‚ƒ„s… †‡ˆ‰Š‹Œ% ‰Ž234 ‘’“”Œ%•–Ž,.$#/"0"01—2( ˜™š–Ž!3/340 !"#$ !"#$%& 书书书 １９． （２０２４ 河 南 ，８ 分 ） 如 图 １０ ，矩 形 ＡＢＣＤ 的 四 个 顶 点 都 在 格 点 （ 网 格 线 的 交 点 ） 上 ，对 角 线 ＡＣ ，ＢＤ 相 交 于 点 Ｅ ，反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋｘ （ｘ ＞ ０ ） 的 图 象 经 过 点 Ａ． （１ ） 求 这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ； （２ ） 请 先 描 出 这 个 反 比 例 函 数 图 象 上 不 同 于 点 Ａ 的 三 个 格 点 ， 再 画 出 反 比 例 函 数 的 图 象 ； （３ ） 将 矩 形 ＡＢＣＤ 向 左 平 移 ，当 点 Ｅ 落 在 这 个 反 比 例 函 数 的 图 象 上 时 ， 平 移 的 距 离 为 ． ２０． （２０２４ 南 通 一 模 ，８ 分 ） 如 图 １１ ，某 公 司 今 年 推 出 一 款 产 品 ． 根 据 市 场 调 研 ，发 现 如 下 信 息 ． 信 息 １ ：每 月 的 销 售 总 量 ｙ （ 件 ） 和 销 售 单 价 ｘ（ 元 ／ 件 ） 存 在 函 数 关 系 ，其 图 象 由 部 分 双 曲 线 Ｅ Ｆ 和 线 段 ＦＧ 组 成 ． 信 息 ２ ：该 产 品 ２ 月 份 的 单 价 为 ６６ 元 ／ 件 ，３ 月 份 的 单 价 降 低 至 ４５ 元 ／ 件 ，在 生 产 成 本 不 变 的 情 况 下 ，这 两 月 的 销 售 利 润 相 同 ． 根 据 以 上 信 息 ，解 答 下 列 问 题 ： （１ ） 求 该 产 品 的 生 产 成 本 ； （２ ） 该 公 司 计 划 在 ４ 月 份 通 过 技 术 改 造 ， 使 生 产 成 本 降 低 ４０％ ， 同 时 继 续 降 低 销 售 价 格 ，使 得 ４ 月 份 的 销 售 利 润 不 低 于 ３ 月 份 ． 求 ４ 月 份 该 产 品 销 售 单 价 的 范 围 ． ２１． （２０２４ 遂 宁 ，１０ 分 ） 如 图 １２ ，一 次 函 数 ｙ １ ＝ ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０ ） 的 图 象 与 反 比 例 函 数 ｙ ２ ＝ ｍｘ （ｍ ≠ ０ ） 的 图 象 相 交 于 Ａ （１ ，３ ） ，Ｂ （ｎ ， － １ ） 两 点 ． （１ ） 求 一 次 函 数 和 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ； （２ ） 根 据 图 象 直 接 写 出 ｙ １ ＞ ｙ ２ 时 ，ｘ 的 取 值 范 围 ； （ ３ ） 过 点 Ｂ 作 直 线 Ｏ Ｂ ， 交 反 比 例 函 数 图 象 于 点 Ｃ ， 连 接 ＡＣ ， 求 △ ＡＢＣ 的 面 积 ． ２２． （１０ 分 ） 如 图 １３ ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，Ａ （ － １ ，２ ） ，Ｂ （ － １ ， － ２ ） ， 以 ＡＢ 为 边 向 右 作 正 方 形 ＡＢＣＤ ，边 ＡＤ ，ＢＣ 分 别 与 ｙ 轴 交 于 点 Ｅ ，Ｆ ，反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋｘ （ｋ ≠ ０ ） 的 图 象 经 过 点 Ｄ ． （１ ） 求 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ； （２ ） 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 是 否 存 在 点 Ｐ ，使 得 △ ＰＥＦ 的 面 积 等 于 正 方 形 ＡＢＣＤ 面 积 的 一 半 ？若 存 在 ， 请 求 出 点 Ｐ 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ． ２３． （２０２４ 成 都 三 模 ，１０ 分 ） 如 图 １４ － ① ，反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｍｘ （ｍ ≠ ０ ） 与 一 次 函 数 ｙ ＝ － ｘ ＋ ４ 的 图 象 交 于 点 Ａ ，点 Ｂ （ｎ ，１ ） ，且 一 次 函 数 ｙ ＝ － ｘ ＋ ４ 与 ｙ 轴 相 交 于 点 Ｃ． （１ ） 求 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ； （２ ） 连 接 Ｏ Ａ ，Ｏ Ｂ ， 在 ｘ 轴 上 是 否 存 在 一 点 Ｄ ， 使 △ ＡＣＤ 的 面 积 是 △ Ｏ ＡＢ 面 积 的 ２ 倍 ，若 存 在 ，请 求 出 点 Ｄ 的 坐 标 ；若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 ； （３ ） 如 图 １４ － ② ，点 Ｅ 是 反 比 例 函 数 图 象 上 Ａ 点 右 侧 一 点 ，连 接 ＡＥ ， 把 线 段 ＡＥ 绕 点 Ａ 顺 时 针 旋 转 ９０°，点 Ｅ 的 对 应 点 Ｆ 恰 好 也 落 在 这 个 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ，求 点 Ｅ 的 坐 标 ． ２４． （１２ 分 ） 矩 形 Ｏ ＣＢＡ 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图 １５ 所 示 ，点 Ｃ 在 ｘ 轴 的 正 半 轴 上 ，点 Ａ 在 ｙ 轴 的 正 半 轴 上 ，已 知 点 Ｂ 的 坐 标 为 （４ ，２ ） ， 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋｘ 的 图 象 经 过 ＡＢ 的 中 点 Ｄ ，且 与 ＢＣ 交 于 点 Ｅ ，设 直 线 Ｄ Ｅ 的 表 达 式 为 ｙ ＝ ｍ ｘ ＋ ｎ ，连 接 Ｏ Ｄ ，Ｏ Ｅ． （１ ） 求 反 比 例 函 数 的 表 达 式 和 点 Ｅ 的 坐 标 ； （２ ） 点 Ｍ 为 ｙ 轴 正 半 轴 上 一 点 ，若 △ Ｍ ＢＯ 的 面 积 等 于 △ Ｏ Ｄ Ｅ 的 面 积 ，求 点 Ｍ 的 坐 标 ； （３ ） 点 Ｐ 为 ｘ 轴 上 一 点 ，点 Ｑ 为 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋｘ 图 象 上 一 点 ，是 否 存 在 点 Ｐ ，Ｑ ， 使 得 以 点 Ｐ ，Ｑ ，Ｄ ，Ｅ 为 顶 点 的 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ？若 存 在 ，请 直 接 写 出 点 Ｑ 的 坐 标 ；若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 ． !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ ! ' , ( $ % - " & ! $ & ! ' - ( % & $ " ! ' - ( % & $ " ! $ 4 # $ % ! $ & ( ' % " 054#&!3 3 ! & # 4 5 0 6 7 3 % - ! 3 % ! $ & ! 3 ! ' " ( ! 3 # ! " ! $ & - " , ! $ & ( " ' ! 3 3 ! $ & , - # 4 % 3 % % # % # 4 5 5 . 书 ２６．２实际问题与反比例函数 １．（２０２３合肥一模）阿基米德说：“给我一个支点， 我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要 的物理学知识———杠杆原理，即“阻力 ×阻力臂 ＝动 力 ×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为 １２００Ｎ和０５ｍ，则这一杠杆的动力Ｆ和动力臂Ｌ之间 的函数图象大致是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．（２０２４河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇 家计划购买５００度电，若平均每天用电 ｘ度，则能使用 ｙ天．下列说法错误的是 （　　） Ａ．若ｘ＝５，则ｙ＝１００ Ｂ．若ｙ＝１２５，则ｘ＝４ Ｃ．若ｘ减小，则ｙ也减小 Ｄ．若ｘ减小一半，则ｙ增大一倍 ３．（２０２４海南二模）如图１，综合实践小组的同学们 用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的 液体中时，浸在液体中的高度ｈ（单位：ｃｍ）是液体的密 度ρ（单位：ｇ／ｃｍ３）的反比例函数，当密度计悬浮在密度 为１ｇ／ｃｍ３的水中时，ｈ＝２０ｃｍ，当密度计悬浮在另一种 液体中时，ｈ＝２５ｃｍ，则该液体的密度ρ为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０．６ｇ／ｃｍ３ Ｂ．０．７ｇ／ｃｍ３ Ｃ．０．８ｇ／ｃｍ３ Ｄ．０．９ｇ／ｃｍ３ ４．（２０２３南通期末）如图２，一块砖的 Ａ，Ｂ，Ｃ三个 面的面积比是４∶２∶１，如果Ｂ面向下放在地上，地面所 受压强为ａＰａ，那么Ａ面向下放在地上时，地面所受压 强为 Ｐａ． ５．（２０２３唐山一模）如 图３是某种电子理疗设备 工作原理的示意图，其开始 工作时的温度是２０℃，然 后按照一次函数关系一直 增加到７０℃，这样有利于 打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函 数关系缓慢下降至３５℃，然后在此基础上又沿着一次 函数关系一直将温度升至７０℃，再在此温度下沿着反 比例函数关系缓慢下降至３５℃，如此循环下去． （１）ｔ的值为 ； （２）如果在０～ｔ分钟内温度大于或等于５０℃时， 治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为 分钟． 能力提高 ６．（２０２４厦门模拟）心理学研究发现，一般情况下， 在一节４０分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间 的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强， 中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定 状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可 知，学生的注意力指标数ｙ随时间ｘ（分钟）的变化规律 如图４所示，点Ｂ的坐标为（１０，４０），点Ｃ的坐标为（２４， ４０），ＣＤ为反比例函数图象的一部分． （１）求ＣＤ所在的反比例函数的表达式； （２）吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准 备安排２３分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学 生的注意力指标数不低于３８，请问吴老师的安排是否 合理？并说明理由． 重点集训营 １．（２０２３西安三模）如图１，点Ａ，Ｄ分别在反比例 函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＜０），ｙ＝ ６ ｘ（ｘ＞０）的图象上，点Ｂ，Ｃ 在ｘ轴上．若四边形ＡＢＣＤ为正方形，且Ｄ的坐标是（２， ｎ），则ｋ的值为 ． ２．（２０２３杭州模拟）如图２，菱形ＯＡＢＣ的一边ＯＡ 在ｘ轴的负半轴上，Ｏ是坐标原点，Ａ点坐标为（－５，０）， 对角线ＡＣ和ＯＢ相交于点Ｄ，且ＡＣ·ＯＢ＝４０．若反比 例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图象经过点Ｄ，并与ＢＣ的延长 线交于点Ｅ，则Ｓ△ＯＣＥ ＝ ． ３．（２０２３邢台一模）如图３， 在平面直角坐标系中，已知双曲 线 ｙ＝ ｋｘ（ｋ＜０，ｘ＜０）把 Ｒｔ△ＡＯＢ分成Ｗ１，Ｗ２两部分，且 与ＡＢ，ＯＡ交于点Ｃ，Ｄ，点Ａ的坐 标为（－６，４）．连接 ＯＣ，若 Ｓ△ＯＡＣ ＝９，则 ｋ的值为 ，点Ｄ的坐标为 ． ４．（２０２３商丘一模）如图４，在平面直角坐标系中， 反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的图象与矩形 ＯＡＢＣ的边 ＡＢ，ＢＣ分别交于点 Ｍ，Ｎ，且 Ｍ为 ＡＢ的中点，点 Ｂ（４， ３）． （１）求反比例函数的表达式； （２）连接ＯＭ，ＯＮ，ＭＮ，求△ＭＯＮ的面积． 上期２版 ２６．１．１反比例函数 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ； ３．－２；　４．ａ≠－３；　５．反． ６．（１）由题意，可得ｓ＝６０ｔ（０≤ｔ≤２７７６０），是正比 例函数，比例系数为６０； （２）由题意，可得ｙ＝２０ｘ（ｘ＞０），是反比例函数， 比例系数为２０； （３）由题意，可得ｙ＝１０００ａｘ （ｘ＞０），是反比例函 数，比例系数为１０００ａ． 能力提高　７．ａ＝３，该函数关系式为ｙ＝ ６ｘ． ２６．１．２反比例函数的图象和性质（第一课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ； ４．ｘ＜－２或０＜ｘ＜３；　５．ｙ＝－５ｘ； ６．ｋ１ ＜ｋ２ ＜ｋ３． 能力提高　７．（１）－３２，－６，－２，－ ３ ２． （２）图略． （３）该函数的性质有：① 该函数图象关于 ｙ轴对 称；②图象均在ｘ轴的下方；③ｘ＜０时，ｙ随ｘ增大而减 小；ｘ＞０时，ｙ随ｘ增大而增大（选其中两个即可）． ２６．１．２反比例函数的图象和性质（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．３；　５．３． 能力提高　６．（１）反比例函数的表达式为ｙ＝３２ｘ． （２）存在点Ｐ（８，４）或Ｐ（－８，－４），使得△ＯＡＰ的 面积等于菱形ＯＡＢＣ的面积． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ 二、９．－２；　１０．ｙ＝ ２ｘ；　１１．８；　１２．（２，６）； １３．４；　１４．５２． 三、１５．ｙ＝ ３２ｘ＋ １ ２ｘ－４． １６．（１）ｙ＝－３６ｘ． （２）ｙ的取值范围为 －９≤ｙ＜－６． １７．（１）过点Ｃ作ＣＭ⊥ｙ轴于点Ｍ．因为∠ＡＯＢ＝ ∠ＣＭＡ＝∠ＢＡＣ＝９０°，所以∠ＢＡＯ＋∠ＣＡＭ ＝９０°， ∠ＡＢＯ＋∠ＢＡＯ＝９０°，所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＡＭ，因为ＢＡ ＝ＡＣ，所以△ＡＯＢ≌△ＣＭＡ，所以ＯＢ＝ＡＭ，ＯＡ＝ＣＭ， 因为点Ａ的坐标是（０，６），点Ｂ的坐标是（－２，０），所以 ＯＡ＝６，ＯＢ＝２，所以ＣＭ＝６，ＡＭ＝２，所以ＯＭ＝４， 所以点Ｃ的坐标是（６，４）． （２）因为点Ａ的坐标是（０，６），点 Ｃ的坐标是（６， ４），Ｄ为 ＡＣ的中点，所以点 Ｄ（３， ５），因为反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图 象经过点Ｄ，所以５＝ｋ３，解得ｋ＝ １５，故ｋ的值是１５． （下转１，４版中缝 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ） !!"#$#% !&,#-% !./012*$%#!&#'(!'#) !!"34*56789:;<=>?@ !%' ABC"DEFBG./0 !HI.J*$%$$$) !:K0L"MN*$%#!!#'(!!'# $%#!!#'(!'%(OPQR !LS*TU!":K04VWXYZ[H\O]R !HILSMN*!!!*# !^_`aLbcLdeL !!"fXYZ7O:Rghijk" !lmnop^qA*!+,,,,+,,,!!, !lm012*,%#!!#'(!'## !!"rstuvPwxyz{|}O~:€=‚ƒ„…†‡ˆ‰ !! ARŠx‹ŒzxŽ‘‹TU!":K04V’“ 书 ＝ 槡２２． ２０．（１）①（４，２）． ② ＝． （２）①因为Ｓ１＝Ｓ２ ＝ １２ｋ，且Ｓ１＋Ｓ２ ＝２， 所以ｋ＝２．因为 Ｓ１ ＝ １ ２ＡＤ·ＡＯ＝ １ ２ＡＤ·２ ＝１，解得ＡＤ＝１，所以 点 Ｄ的坐标为（１，２）． 因为Ｓ２＝ １ ２ＣＯ·ＥＣ＝ １ ２·４·ＥＣ＝１，解得ＥＣ ＝１２，所以点Ｅ的坐标 为（４，１２）． ②△ＯＤＥ是直 角 三角形，理由：因为 ＯＡ ＝２，ＯＣ＝４，ＡＤ＝１， ＥＣ＝１２，所以ＢＤ＝３， ＢＥ＝ ３２．在 Ｒｔ△ＡＤＯ 中，ＤＯ２＝ＡＯ２＋ＡＤ２＝ ５，在 Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＤＥ２ ＝ＤＢ２＋ＢＥ２ ＝４５４，在 Ｒｔ△ＣＥＯ 中，ＯＥ２ ＝ ＣＯ２＋ＣＥ２ ＝６５４，所以 ＤＯ２＋ＤＥ２＝ＯＥ２，所以 △ＯＤＥ是直角三角形． 因为 ＤＯ ＝槡５，ＤＥ ＝ 槡３５ ２，所以Ｓ△ＯＤＥ ＝ １ ２· ＤＯ·ＤＥ＝ １２ ×槡５× 槡３５ ２ ＝ １５ ４． 上期４版 重点集训营 １．Ｂ；　２．－４＜ｙ ＜－４３． ３．（１）一次函数的 关系式为ｙ１＝ｘ－４，反 比例函数的关系式为ｙ２ ＝１２ｘ． （２）对于ｙ１ ＝ｘ－ ４，令ｘ＝０，则ｙ１＝－４， 所以Ｃ（０，－４），因为点 Ｅ是点Ｃ关于ｘ轴的对 称点，所以 Ｅ（０，４），所 以ＥＣ＝８，所以 Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＣＥＢ＋Ｓ△ＣＥＡ ＝ １ ２× ８×２＋１２×８×６＝３２． !"#$%&'()*+ ,%#!&#'(!')* !",-%&'()*+ ,%#!&#'(!!'# ! ! !"#$ O”• "‹#%F–R ! ! ! ! " # - . / 0 " # " # " # $ % & ! ' '# ' (, %# ', ! (!"#$ )%$& ! % ( &! $ * ) % ! " ( ! ) + % * & $ ), - ( ! ' ( % . $ / ! & ) ! + ( ) ! 0 ' 0 ! * % & $ ! % —˜!!"™‘š O›œžŸ 'R ! " 1 +, ', !, '+ ! * &$ % ) ( ! + EFBG¡¢hFœ£ "# ' 书书书 《 反 比 例 函 数 》 章 节 测 试 卷 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ３ ０ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答 案 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 １０ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ３ ０ 分 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． （ ２０ ２３ 天 津 红 桥 区 月 考 ） 下 面 四 个 关 系 式 中 ，ｙ 是 ｘ的 反 比 例 函 数 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．ｙ ＝ ２ｘ － １ Ｂ． ｙ ＝ ｘ２ ＋ ｘ Ｃ． ｙ ＝ ３ ｘ Ｄ ．ｙ ＝ － １ ３ ｘ ２． 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ （ ｋ ≠ ０） 的 图 象 经 过 点 （ － ４， ３） ，这 个 反 比 例 函 数 的 图 象 一 定 经 过 （ 　 　 ） Ａ ．（ － ４， － ３） Ｂ． （ ３， － ４） Ｃ． （ ３， ４） Ｄ ．（ － ３， － ４） ３． （ ２０ ２ ３ 保 定 期 末 ） 《 传 》 曰 ： 篇 之 世 ， 宋 员 外 ， 家 有 良 田 百 顷 ， 今 也 以 田 溉 田 ，阴 灌 之 ， 其 源 二 万 方 ， 译 ： “ 据 古 书 记 载 ： 在 北 宋 时 期 ， 有 一 宋 员 外 ，家 有 良 田 百 顷 ，现 需 修 一 蓄 水 池 用 以 农 田 的 灌 溉 ，已 知 每 年 灌 溉 农 田 所 需 水 量 为 ２０ ００ ０ 立 方 米 ．” 设 宋 员 外 所 修 圆 柱 形 水 池 底 面 积 为 ｓ平 方 米 ，水 池 高 为 ｈ 米 ，则 其 高 与 底 面 积 之 间 的 函 数 关 系 式 为 （ 　 　 ） Ａ ．ｈ ＝ ２０ ００ ０ｓ Ｂ． ｈ ＝ ２０ ００ ０ － ｓ Ｃ． ｈ ＝ ２０ ００ ０ ｓ Ｄ ．ｓ ＝ ２０ ００ ０ｈ ４． （ ２０ ２４ 天 津 ） 若 点 Ａ（ ｘ １ ， － １） ，Ｂ （ ｘ ２ ，１ ） ，Ｃ （ ｘ ３ ，５ ） 都 在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ５ ｘ 的 图 象 上 ，则 ｘ １ ，ｘ ２ ，ｘ ３ 的 大 小 关 系 是 （ 　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ ．ｘ １ ＜ ｘ ２ ＜ ｘ ３ Ｂ． ｘ １ ＜ ｘ ３ ＜ ｘ ２ Ｃ． ｘ ３ ＜ ｘ ２ ＜ ｘ １ Ｄ ．ｘ ２ ＜ ｘ １ ＜ ｘ ３ ５． （ ２０ ２４ 济 南 三 模 ） 如 图 １， Ｒ ｔ △ ＡＯ Ｃ 的 直 角 边 Ｏ Ｃ 在 ｘ轴 上 ， ∠ ＡＣ Ｏ ＝ ９０ °， 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ３ ｘ 经 过 ＡＣ 的 中 点 Ｄ ，则 △ ＡＯ Ｃ 的 面 积 为 （ 　 　 ） Ａ ．２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ ．６ ６． 若 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 的 图 象 过 点 （ ａ， ａ － ２ ＋ １ ａ ） ，则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 的 图 象 位 于 二 、四 象 限 Ｂ． ｙ 随 ｘ 的 增 大 而 增 大 Ｃ． ｘ ＝ － １ 时 ，ｙ ＜ ０ Ｄ ．ｋ 有 最 小 值 ７． （ ２０ ２４ 邯 郸 三 模 ） 嘉 嘉 利 用 如 图 ２ － ① 所 示 的 电 路 探 究 电 流 与 电 阻 的 关 系 ，通 过 实 验 ， 发 现 电 流 Ｉ（ Ａ ） 随 着 电 阻 Ｒ（ Ω ） 的 变 化 而 变 化 ， 并 结 合 数 据 描 点 ，连 线 ，画 成 图 ２ － ② 所 示 的 函 数 图 象 ．若 该 电 路 的 最 小 电 阻 为 １． ５ Ω ，则 该 电 路 能 通 过 的 （ 　 　 ） Ａ ．最 大 电 流 是 ２４ Ａ Ｂ． 最 大 电 流 是 ２７ Ａ Ｃ． 最 小 电 流 是 ３６ Ａ Ｄ ．最 小 电 流 是 ２４ Ａ ８ ． （ ２０ ２４ 长 春 二 模 ） 如 图 ３， 直 线 ｙ ＝ １ ２ ｘ ＋ １ 分 别 与 ｘ 轴 、ｙ 轴 交 于 Ａ， Ｂ 两 点 ，以 ＡＢ 为 边 作 正 方 形 ＡＢ ＣＤ ，双 曲 线 ｙ ＝ ｋ ｘ 经 过 点 Ｄ ，则 ｋ的 值 为 （ 　 　 ） Ａ ． － ２ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ ． － ３ ９． 函 数 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 与 函 数 ｙ ＝ ｋｂ ｘ 在 同 一 坐 标 系 中 的 大 致 图 象 正 确 的 是 （ 　 　 ） １０ ．如 图 ４， 已 知 矩 形 ＡＢ ＣＤ 的 顶 点 Ａ， Ｂ 分 别 落 在 双 曲 线 ｙ ＝ ｋ ｘ （ ｋ ≠ ０） 上 ，顶 点 Ｃ， Ｄ 分 别 落 在 ｙ 轴 、 ｘ轴 上 ，双 曲 线 ｙ ＝ ｋ ｘ 过 ＡＤ 的 中 点 Ｅ， 若 Ｏ Ｃ ＝ ３， 则 ｋ 的 值 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ ．５ Ｂ． ２ Ｃ． ２． ５ Ｄ ．３ 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９０ 分 ） 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 ６ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 １８ 分 ） １１ ．（ ２０ ２４ 北 京 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 ｘＯ ｙ 中 ，若 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ （ ｋ ≠ ０） 的 图 象 经 过 点 （ ３， ｙ １ ） 和 （ － ３， ｙ ２ ） ，则 ｙ １ ＋ ｙ ２ 的 值 是 ． １２ ．（ ２０ ２４ 德 州 二 模 ） 如 图 ５， 取 一 根 长 １０ ０ ｃｍ 的 匀 质 木 杆 ， 用 细 绳 绑 在 木 杆 的 中 点 Ｏ 并 将 其 吊 起 来 ．在 中 点 Ｏ 的 左 侧 相 距 ２５ ｃｍ （ Ｌ １ ＝ ２５ ｃｍ ） 处 挂 一 个 重 ９． ８ Ｎ （ Ｆ １ ＝ ９． ８ Ｎ ） 的 物 体 ，在 中 点 Ｏ 右 侧 用 一 个 弹 簧 秤 向 下 拉 ，使 木 杆 处 于 水 平 状 态 ，弹 簧 秤 与 中 点 Ｏ 的 距 离 Ｌ（ 单 位 ： ｃｍ ） 及 弹 簧 秤 的 示 数 Ｆ（ 单 位 ： Ｎ ） 满 足 ＦＬ ＝ Ｆ １ Ｌ １ ．若 弹 簧 秤 的 示 数 Ｆ 不 超 过 ７ Ｎ ，则 Ｌ 的 值 至 少 为 ｃｍ ． １３ ． 若 点 Ａ（ １３ ，ｙ １ ） ，Ｂ （ － ３， ｙ ２ ） ，Ｃ （ １１ ，ｙ ３ ） 都 在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ２ ＋ １ ｘ 的 图 象 上 ，则 ｙ １ ，ｙ ２ ，ｙ ３ 的 大 小 关 系 是 （ 用 “ ＜ ” 连 接 ） ． １４ ．（ ２０ ２４ 盐 城 二 模 ） 如 图 ６， 点 Ｐ 是 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ４ ｘ 图 象 上 一 点 ， 作 ＰＡ ⊥ ｘ 轴 ，Ｐ Ｂ ⊥ ｙ 轴 ，垂 足 分 别 为 Ａ， Ｂ， 交 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ （ ０ ＜ ｋ ＜ ４） 的 图 象 于 Ｃ， Ｄ 两 点 ， △ ＰＣ Ｄ 的 面 积 是 ２ ９ ，则 ｋ 的 值 是 ． １５ ．将 一 副 三 角 板 如 图 ７ 放 置 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，直 角 顶 点 Ａ 在 ｙ轴 的 正 半 轴 上 ，Ｃ Ｂ ⊥ ｘ轴 于 点 Ｂ， Ｏ Ｂ ＝ ６， 点 Ｅ， Ｆ 分 别 是 ＡＣ ，Ｃ Ｄ 的 中 点 ，将 这 副 三 角 板 整 体 向 右 平 移 个 单 位 ，Ｅ ，Ｆ 两 点 同 时 落 在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 的 图 象 上 ． １６ ．在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 函 数 ｙ ＝ ｍ ｘ （ ｘ ＞ ０， ｍ 是 不 为 ０ 常 数 ） 的 图 象 经 过 点 Ａ（ １， ４） ， 点 Ｂ（ ａ， ｂ） ，其 中 ａ ＞ １． 过 点 Ａ 作 ｘ 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 Ｃ， 过 点 Ｂ 作 ｙ 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 Ｄ ，Ａ Ｃ 与 ＢＤ 相 交 于 点 Ｍ ，连 接 ＡＤ ，Ｄ Ｃ ， ＣＢ ，Ａ Ｂ． 若 ＡＤ ＝ ＢＣ ，则 ｂ 的 值 为 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 ８ 个 小 题 ， 共 ７２ 分 ） １７ ．（ ６ 分 ） 如 图 ８， 一 次 函 数 ｙ ＝ ｋｘ － １ 与 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｍ ｘ 的 图 象 交 于 Ａ（ － ２， １） ，Ｂ 两 点 ，分 别 求 出 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 关 系 式 ． １８ ．（ ２０ ２３ 沧 州 期 末 ，８ 分 ） 如 图 ９， 根 据 小 孔 成 像 的 科 学 原 理 ， 当 像 距 和 物 高 不 变 时 ，火 焰 的 像 高 ｙ（ 单 位 ： ｃｍ ） 是 物 距 ｘ（ 单 位 ： ｃｍ ） 的 反 比 例 函 数 ，当 ｘ ＝ ６ 时 ，ｙ ＝ ２． （ １） 求 ｙ 关 于 ｘ 的 函 数 表 达 式 ； （ ２） 若 某 一 时 刻 像 高 为 ３ ｃｍ ，则 此 时 物 距 为 多 少 ？ '()*+,'- G … ¨ © ª ) « ¬ ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / - . / 0 ( ! ) ( ! ) ( ! ) ( ! ) ( * & ! + % ) $ ! + ! " ) ( ! % * & ( ! * & % ) $ ! % ! # " ! ! " ! ) ( $ ! % ) & 2 * ) , + ( ) , - ( ( $ ! % ) ! * ! ' ! " 6 - 3 3 ! 4 ! * ! ' 5 + ' % + 5 ( * $ # & + ! %) ! ( ( ) . / 0 1 ! 5