第14期 25.3 用频率估计概率 第二十五章整章复习（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 （２）答案不惟一， 只要袋子中红球、绿球 和白球的数量相等即 可．如取走 １个绿球和 ３个白球． １７．（１）１２． （２）根据题意，画 树状图略． 由树状图可知，共 有１２种等可能的结果， 其中小军抽取的字谜均 是猜“数学家人名”的 有２种，所以小军抽取 的字谜均是猜“数学家 人名”的概率是 ２ １２＝ １ ６． １８．（１）１４． （２）画树状图略， 由树状图知，共有 １６种等可能的结果，其 中第２次摸到的小球编 号比第１次摸到的小球 编号小１的结果有３种， 所以 Ｐ（第 ２次摸到的 小球编号比第１次摸到 的小球编号小 １） ＝ ３ １６． １９．（１）由于所有 等可能的结果有 ５种， 其中 得 奖 的 结 果 有 ２种，则小芳得奖的概 率是 ２ ５．故填 ２ ５． （２）不赞同他的观 点．理由如下： 用Ａ１，Ａ２分别代表 是兵马俑图片，Ｂ１，Ｂ２， Ｂ３分别代表没有兵马 俑的图片，列表略， 书 一、“频率”与“概率”相混淆 例１　假设抛一枚质地均匀的硬币１０次，有３次出 现正面，７次出现反面，则出现反面的概率是 ， 出现反面的频率是 ． 错解： ７ １０，０．７． 剖析：频率不等于概率，但试验次数足够多时，事件 发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用此时的 频率值估计概率，错解在于试验的次数不够多，只通过 １０次试验就用频率估计概率． 正解： 二、“放回”与“不放回”相混淆 例２　不透明袋中装有大小形状质地完全相同的 ４个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄 色，从中一次性随机取出２个小球，取出２个小球的颜色 恰好是一红一蓝的概率是 ． 错解：列表如下： 红 白 蓝 黄 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） （红，黄） 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） （白，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） （蓝，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，蓝） （黄，黄） 由表格可知，所有等可能出现的结果共有１６种，其 中取出２个小球的颜色恰好是一红一蓝的结果有２种， 所以Ｐ＝ ２１６＝ １ ８． 剖析：错解没有注意到是一次性摸出２个小球，也就 是摸出一个后“不放回”再摸出一个，所以在列表时，两 种颜色的球重复的一栏是不符合题意的． 正解： 书 在试验过程中，经过大量的重复试验，得到的频 率可以近似地看作概率．利用这个知识点可以解决一 些问题． 一、估计概率 例１　（２０２３子洲期末）某林业局将一种树苗移植 成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗 移植成活的概率约为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．０．９５ Ｂ．０．９０ Ｃ．０．８５ Ｄ．０．８０ 解析：这种树苗成活的频率稳定在０．９，成活的概 率估计值约是０．９０．故选Ｂ． 二、估计数量 例２　（２０２３永州期末）在一个不透明的布袋中， 红色、黑色、白色的小球共４０个，除颜色不同外其他完 全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的 频率分别稳定在２５％和４５％，则口袋中白色球的个数 可能是 （　　） Ａ．４个 Ｂ．８个 Ｃ．１２个 Ｄ．１６个 解析：由题意知，红色球的个数为 ４０×２５％ ＝ １０（个），黑色球的个数为４０×４５％ ＝１８（个），所以口 袋中白色球的个数为４０－１０－１８＝１２（个）．故选Ｃ． 【练一练】 １．（２０２３宁波江北区期中）某射击运动员在同一 条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 ２０ ８０ １００ ２００ ４００１０００ “射中８环以上”的次数 １８ ６８ ８２ １６８ ３２７ ８２３ “射中８环以上”的频率 （结果保留两位小数） ０．９００．８５０．８２０．８４０．８２０．８２ 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时 “射中８环以上”的概率约是 （　　） Ａ．０．９０ Ｂ．０．８２ Ｃ．０．８５ Ｄ．０．８４ ２．（２０２３胶州二模）某工厂生产电子芯片，质检部 门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如 表：由此估计，从这批芯片中取 １００００个芯片，约有 个合格品． 抽查数ｎ １０００ ２０００ ３０００ ４０００ ５０００ 合格品数ｍ ９５７ １９２６ ２８６８ ３８４４ ４８１０ 合格品频率 ｍ ｎ ０．９５７ ０．９６３ ０．９５６ ０．９６１ ０．９６２ 答案：１．Ｂ；　２．９６００． 书 在一些游戏中，常常需要通过判断游戏获胜的可能 性来揭露游戏的公平性，那么这时就需要概率这个“裁 判”来主持公道．这种问题在各类考试中经常出现，现 撷取一例解析如下，供同学们参考． 例　（２０２４甘肃）在一只不透明的布袋中，装有质 地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字１，２， ３，４．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随 机各摸出１个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲 胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （１）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概 率； （２）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理 由． 分析：（１）先画出树状图得到所有等可能的结果， 再找到两球上的数字之和为奇数的结果，最后利用概率 计算公式求解即可； （２）同（１）求出乙获胜的概率即可得到结论． 解：（１）画树状图如图， 由树状图可知，一共有１２种等可能的结果，其中两 球上的数字之和为奇数的结果有８种， 所以甲获胜的概率为 ８ １２＝ ２ ３． （２）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（１）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数 的结果有４种，所以乙获胜的概率为 ４１２＝ １ ３， 因为 １ ３ ＜ ２ ３，所以甲获胜的概率大于乙获胜的概 率， 所以这个游戏规则对甲乙双方不公平． （２０２４玉溪二模）玉溪高原体育运动中心，２０２４中 国足球协会甲级联赛正如火如荼进行．数学老师用游戏 的方式从小组积分较高的甲、乙两个学习小组中确定一 个小组，并给小组全部成员提供足球票集体观看某一场 足球比赛． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标 有数字１，２，３，４的四张卡片（除标号外，其余都相同）， 甲组代表从口袋中任意摸出１张卡片，卡片上的数字记 为ｘ．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字１，２，３ 的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从口袋 里任意摸出１个小球，小球上的数字记为ｙ．然后计算这 两个数的积，即ｘｙ．若ｘｙ为奇数，则甲组获得足球票；否 则，乙组获得足球票． （１）用列表法或画树状图法，求（ｘ，ｙ）所有可能出 现的结果； （２）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理 由；如果不公平，请判断哪一组更有可能获得足球票． ! !" # $ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! " #! !!"# " $"% !" !"!#&$%'&( !"#$ !"#$%& !"#$%&'" ()*+,-'. " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! %& '() ) *+ *+, , ) *+ '-. , # - .+ /0, , ) *+ 1 2 , ) *+ 3 4 -./01+ / 5 23/01+ /67 -4506+ 8 9 -4578+ :;< -=> # ? @AB C D EFG 'HI CJ6 K ; LMB NO+ #PQ RPS '+T U4V WX? Y G Z[\ -]^ 91-.+ #PQ 91:;+ NO+ <=-.+ _P` >?-.+ abc @ABC+ def !ghijklm !ghjnopqrstu !ghjvwxyz{|}l~ €‚ƒ„…† ‚‡ˆ*+, ‰Š‹(Œ…†Žˆ'($#)%*%*+,‘ ’“”ˆ!-)-.* $ ! # & $ & # ! ! & # $ $ ! & # # . *& . /& # . . / * ! " # $%!&' () $ %01. %21% %23. %23% % -% -! -#! # / 3 ! •– —˜™ š› !œžŸ ‘ 书书书 （１ ） 若 从 以 上 非 物 质 文 化 遗 产 中 任 选 一 个 ， 则 选 中 Ｃ． 民 间 面 塑 传 承 人 的 概 率 是 ； （２ ） 若 该 学 校 决 定 邀 请 两 位 非 遗 传 承 人 进 校 园 进 行 宣 讲 ， 请 用 画 树 状 图 或 列 表 的 方 法 ，求 选 中 Ｂ．陕 北 民 歌 和 Ｄ ．皮 影 制 作 传 承 人 的 概 率 ． １９．（ ２０ ２３ 黔 东 南 期 中 ， ８ 分 ） 已 知 一 只 纸 箱 中 装 有 除 颜 色 外 完 全 相 同 的 红 色 、黄 色 、 蓝 色 乒 乓 球 共 １００ 个 ． 从 纸 箱 中 任 意 摸 出 一 球 ， 记 下 颜 色 后 放 回 ，多 次 试 验 后 测 得 摸 到 红 色 乒 乓 球 、 黄 色 乒 乓 球 的 频 率 分 别 稳 定 在 ２０％ 和 ３０％ 左 右 ． （１ ） 试 估 计 纸 箱 中 摸 到 蓝 色 乒 乓 球 的 概 率 为 ； （２ ） 假 设 向 纸 箱 中 再 放 进 红 色 乒 乓 球 ｘ 个 ，这 时 从 纸 箱 中 任 意 取 出 一 个 球 是 红 色 乒 乓 球 的 概 率 为 ０．５ ，试 求 ｘ 的 值 ． ２０． （ ８ 分 ） 如 图 １０ 是 一 个 竖 直 放 置 的 钉 板 ，其 中 黑 色 圆 面 表 示 钉 板 上 的 钉 子 ，Ａ １ ，Ｂ １ ，Ｂ ２ ，… ，Ｄ ３ ，Ｄ ４ 分 别 表 示 相 邻 两 颗 钉 子 之 间 的 空 隙 ， 这 些 空 隙 大 小 均 匀 相 等 ，从 入 口 Ａ １ 处 投 放 一 个 直 径 略 小 于 两 颗 钉 子 之 间 空 隙 的 圆 球 ，圆 球 下 落 过 程 中 ，总 是 碰 到 空 隙 正 下 方 的 钉 子 ，且 沿 该 钉 子 左 右 两 个 相 邻 空 隙 继 续 下 落 的 机 会 相 等 ， 直 至 圆 球 落 入 下 面 的 某 个 槽 内 ． （１ ） 请 用 树 状 图 或 列 表 法 求 圆 球 在 下 落 过 程 中 碰 到 Ｃ ２ 的 概 率 ； （２ ） 求 圆 球 落 入 ③ 号 槽 内 的 概 率 ． ２１． （１０ 分 ） 如 图 １１ ，在 ３ × ３ 的 正 方 形 网 格 中 ，点 Ａ ，Ｂ ，Ｃ ，Ｄ ，Ｅ ，Ｆ 都 是 格 点 ． （１ ） 从 Ａ ，Ｄ ，Ｅ ，Ｆ 四 点 中 任 意 取 一 点 ，以 这 点 及 点 Ｂ ，Ｃ 为 顶 点 画 三 角 形 ，求 所 画 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 的 概 率 ； （２ ） 从 Ａ ，Ｄ ，Ｅ ，Ｆ 四 点 中 任 意 取 两 点 ，以 这 两 点 及 点 Ｂ ，Ｃ 为 顶 点 画 四 边 形 ，求 所 画 四 边 形 是 平 行 四 边 形 的 概 率 ． ２２． （１０ 分 ） 已 知 有 ２ 条 长 度 分 别 为 ４ ｃｍ 和 ５ ｃｍ 的 线 段 ，同 时 有 ７ 张 正 面 分 别 标 注 了 ３ ｃｍ ，４ ｃｍ ，４ ｃｍ ，５ ｃ ｍ ，６ ｃｍ ，７ ｃｍ ，７ ｃｍ 且 背 面 完 全 相 同 的 卡 片 ． 把 这 ７ 张 卡 片 背 面 朝 上 ，从 中 随 机 抽 取 １ 张 卡 片 ，以 卡 片 上 标 注 的 数 据 作 为 第 三 条 线 段 的 长 度 ，回 答 以 下 问 题 ： （１ ） 求 取 出 的 卡 片 上 标 注 的 数 据 对 应 的 线 段 能 够 与 已 知 线 段 组 成 等 腰 三 角 形 的 概 率 ； （２ ） 小 兰 和 小 英 做 游 戏 ． 随 机 取 出 两 张 卡 片 ， 若 卡 片 上 标 注 的 数 据 对 应 的 线 段 与 已 知 线 段 组 成 的 四 边 形 的 周 长 为 奇 数 ， 小 兰 胜 ； 四 边 形 的 周 长 为 偶 数 ，小 英 胜 ．请 问 游 戏 公 平 吗 ？ 若 公 平 ， 请 说 明 理 由 ； 若 不 公 平 ， 请 重 新 设 计 一 个 公 平 的 规 则 ． ２３． （２０２４ 宜 宾 ， １０ 分 ） 某 校 为 了 落 实 “ 五 育 并 举 ” ，提 升 学 生 的 综 合 素 养 ．在 课 外 活 动 中 开 设 了 四 个 兴 趣 小 组 ：Ａ． 插 花 组 ；Ｂ． 跳 绳 组 ；Ｃ． 话 剧 组 ；Ｄ ．书 法 组 ． 为 了 解 学 生 对 每 个 兴 趣 小 组 的 参 与 情 况 ， 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 进 行 调 查 ，并 将 调 查 结 果 绘 制 成 如 图 １２ 不 完 整 的 统 计 图 ． 请 结 合 图 中 信 息 解 答 下 列 问 题 ： （１ ） 本 次 共 调 查 了 名 学 生 ，并 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ； （２ ） 话 剧 组 所 对 应 扇 形 的 圆 心 角 为 度 ； （ ３ ） 书 法 组 成 绩 最 好 的 ４ 名 学 生 由 ３ 名 男 生 和 １ 名 女 生 构 成 ．从 中 随 机 抽 取 ２ 名 参 加 比 赛 ，请 用 列 表 或 画 树 状 图 的 方 法 ，求 刚 好 抽 到 １ 名 男 生 与 １ 名 女 生 的 概 率 ． ２４． （２０２３ 厦 门 二 模 ，１２ 分 ） 某 商 场 举 行 有 奖 促 销 活 动 ， 顾 客 购 买 一 定 金 额 的 商 品 后 即 可 抽 奖 ．抽 奖 规 则 如 下 ： １．抽 奖 方 案 有 以 下 两 种 ： 方 案 Ａ ：从 装 有 １ 个 红 球 、２ 个 白 球 （ 仅 颜 色 不 同 ） 的 甲 袋 中 随 机 摸 出 １ 个 球 ，若 是 红 球 ，则 获 得 奖 金 １５ 元 ，否 则 没 有 奖 金 ， 兑 奖 后 将 摸 出 的 球 放 回 甲 袋 中 ； 方 案 Ｂ ：从 装 有 ２ 个 红 球 、１ 个 白 球 （ 仅 颜 色 不 同 ） 的 乙 袋 中 随 机 摸 出 １ 个 球 ，若 是 红 球 ，则 获 得 奖 金 １０ 元 ，否 则 没 有 奖 金 ， 兑 奖 后 将 摸 出 的 球 放 回 乙 袋 中 ． ２．抽 奖 条 件 ： 顾 客 购 买 商 品 的 金 额 每 满 １００ 元 ， 可 根 据 方 案 Ａ 抽 奖 一 次 ； 每 满 １２０ 元 ，可 根 据 方 案 Ｂ 抽 奖 一 次 （ 例 如 某 顾 客 购 买 商 品 的 金 额 为 ３１０ 元 ， 则 该 顾 客 采 用 的 抽 奖 方 式 可 以 有 以 下 三 种 ， 根 据 方 案 Ａ 抽 奖 三 次 或 方 案 Ｂ 抽 奖 两 次 或 方 案 Ａ ，Ｂ 各 抽 奖 一 次 ）． 已 知 某 顾 客 在 该 商 场 购 买 商 品 的 金 额 为 ２５０ 元 ． （１ ） 若 该 顾 客 只 选 择 根 据 方 案 Ａ 进 行 抽 奖 ，求 其 所 获 奖 金 为 １５ 元 的 概 率 ； （２ ） 以 顾 客 所 获 得 的 奖 金 的 平 均 值 为 依 据 ，判 断 采 用 哪 种 方 式 抽 奖 更 合 算 ？请 说 明 理 由 ． !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ " - # - $ - % - % ! $ ! % & % # $ & # ! ! " # $ ! - % ! - - " # $ % & ' - / - !3# ( " # $ % * + , $ # $ " - % 4 %& " 4 ! - ! ¡¢ !£&†V¤‘ 书 由表格知，共有 ２０种等可能的结果，其 中得奖的结果有１４种， 因此小明得奖的概率Ｐ ＝１４２０＝ ７ １０，因为 ７ １０＜ ２ ５×２，所以小明得奖的 概率不是小芳的两倍． ２０．（１）１３． （２）列表略， 由表格可知共有 ９种等可能的结果，因 为 （－２）２＋（－２）槡 ２ ＝ 槡２ ２ ＜ ５， （－２）２＋３槡 ２ ＝槡１３ ＜ ５， （－２）２＋（－４）槡 ２ ＝ 槡２５＜５， ３ ２＋３槡 ２ ＝ 槡３２＜５，所以满足题意 的结果有（－２，－２）， （３，－２），（－４，－２）， （－２，３），（３，３），（－２， －４）这 ６种，所以点 Ｎ（ｍ，ｎ）落在以原点 Ｏ 为圆心，５为半径的圆 内的概率 Ｐ ＝ ６９ ＝ ２ ３． １３期４版 重点集训营 １．（１）共有３种等 可能的情况，“学生甲 分到Ａ班”有一种情况， 则“学生甲分到 Ａ班” 的概率是 １ ３．故填 １ ３． （２）画树状图略， 由树状图知，共有 ９种等可能的情况，甲、 乙两位新生分到同一个 班的情况有 ３种，所以 甲、乙两位新生分到同 一个班的概率为 ３ ９ ＝ １ ３． ２．（１）由题意，得 小明选择基地Ａ的概率 为 １ ３．故填 １ ３． （２）列表略， 由表 格 知，共 有 ９种等可能的结果，其中 小明和小丽选择到相同 基地的结果有３种，所以 小明和小丽选择相同基 地的概率为 ３ ９ ＝ １ ３． 书 上期２版 ２５．１．１随机事件 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　 ４．３；　５．＞；　６．３或４． 能力提高　７．（１）不能够事先确定小丽摸出的球 的颜色． （２）因为红色球有３个，白色球有２个，绿色球有 １个，３＞２＞１，所以小丽摸到每一种颜色的球的可能 性不一样． （３）答案不惟一，如把１号球先取出来，再摸球． ２５．１．２概率 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ； ４．３８；　５． １ ２；　６．３． ７．（１）１６． （２）１３． （３）设转盘上转出的数字为ｘ，因为三角形的三边 长为４，６，ｘ，所以６－４＜ｘ＜６＋４，所以２＜ｘ＜１０， 所以ｘ的值可以是３，４，５，６，所以这三条线段能构成三 角形的概率是 ４ ６ ＝ ２ ３． 能力提高　８．（１）因为袋子中装有５个红球和１０个 黄球，所以将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球， 摸出的球是红球的概率为 ５ ５＋１０＝ １ ３． （２）设这９个球中红球有ｘ个，则黄球为（９－ｘ）个，根 据题意，得 ５＋ｘ ５＋１０＋９＝ １０＋９－ｘ ５＋１０＋９，解得ｘ＝７， 经检验，ｘ＝７是原方程的解，所以黄球的个数为９ －７＝２（个）． 答：这９个球中红球有７个，黄球有２个． ２５．２用列举法求概率 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１３；　４． １ ６． ５．列表略． 由表可知共有９种等可能结果，其中所选矩形含点 Ａ的有ｂｃｍｎ，ｂｃｍｌ，ａｃｍｎ，ａｃｍｌ这４种结果，所以所选矩 形含点Ａ的概率为 ４９． 能力提高　６．（１）１２． （２）这个游戏不公平，小红获胜的可能性大，理由： 画树状图略，由树状图知Ｓ共有１２种等可能的结果，其 中是偶数的结果有４种，是奇数的结果有８种，所以小明 获胜的概率为 ４ １２＝ １ ３，小红获胜的概率为 ８ １２＝ ２ ３，因 为 １ ３ ＜ ２ ３，所以这个游戏不公平，小红获胜的可能性 大． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．随机；　１０．４７；　１１． １ ３；　１２． １ ３；　１３． １ ６；　 １４．５８． 三、１５．将军的阴谋中，一休被 罚是必然事件；原本的方法中，一 休被罚是随机事件；一休的办法 中，一休被罚是不可能事件． １６．（１）摸到白球的可能性最 大，摸到红球的可能性最小． （下转１，４版中缝） 书 ２５．３用频率估计概率 １．（２０２３宁波月考）口袋中有白球和红球共１０个， 这些球除颜色外其它都相同．小明将口袋中的球搅匀后 随机从中摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，小明继 续重复这一过程，共摸了１００次，结果有４０次是红球，请 你估计下一次操作摸到红球的概率是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０．３ Ｂ．０．４ Ｃ．０．５ Ｄ．０．６ ２．（２０２３榆林期末）某小组做“用频率估计概率”的 试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图１的折线 统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是 （　　） Ａ．玩“石头”“剪刀”“布”时，小亮随机出的是“石 头” Ｂ．掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面”朝上的 概率 Ｃ．投掷一枚骰子，点数“６”朝上的概率 Ｄ．袋子中有除颜色外其余都相同的 １个红球和 ２个黄球，从中任取一球是黄球 ３．（２０２３长春期末）小刚的爸爸是养鱼专业户，他 想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出 １００条，将每条鱼标上记号放入水中，待它们充分混入鱼 群后，又捞出２００条，其中带有记号的鱼有５条，则鱼池 中估计有鱼 条． ４．（２０２３咸阳期中）某运动员进行打靶训练，对该 运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图２ 所示的统计图，根据图中信息回答问题． （１）估计该运动员正中靶心的概率为 （结 果精确到０．１）； （２）在一次练习中，他一共打了１６０枪，试估计他正 中靶心的枪数为多少枪？ ５．（２０２３佛山月考）在一个不透明的布袋中，有三 个除颜色外其它均相同的小球，其中两个黑色，一个红 色． （１）请用表格或树状图求出一次随机取出２个，颜 色不同的小球的概率； （２）如果老师在布袋中加入若干个红色小球，然后 小明通过做试验的方式猜测加入的小球数，小明每次摸 出一个小球记录下颜色并放回，试验数据如下表： 试验次数 １００ ２００ ３００ ４００ ５００ １０００ 摸出红球 ７８ １４７ ２２８ ３０４ ３７３ ７５１ 请你帮小明算出老师放入了多少个红色小球． １．万年县举行校园安全知识竞赛，要求每个学校只 派一名学生参赛．某学校举行了校内选拔赛，其中袁梦 和孟想两位同学获得最高分（分数相同），袁梦和孟想想 通过游戏来决定谁参加县里比赛．游戏规则：在一个不 透明的口袋中装有４个完全相同的小球，分别标有数字 １，２，３，４，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相 等的三个扇形区域，分别标有数字５，６，７（如图１）．一人 从口袋中摸出一个球，另一个人转动圆盘，如果所摸球 上的数字与圆盘上转出数字之和小于８，那么袁梦去；否 则孟想去． （１）用树状图或列表法求出袁梦参加比赛的概率； （２）你认为该游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规 则，使游戏公平． ２．（２０２３昆明模拟）安安和桃桃两位同学玩抽卡游 戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的４张卡片上 分别标上数字２，４，４，５，将这４张卡片放入一个不透明盒 子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数 字，然后将卡片放回搅匀．安安和桃桃各抽取卡片一次， 若取出的两张卡片数字之和为２的倍数，则安安胜；否则 桃桃胜． （１）请你用列表或画树状图的方法分析说明此游戏 是否公平； （２）请你基于（１）中得到的数据，设计出一种公平 的游戏规则（列出一种即可）． ３．（２０２４宿迁月考）甲、乙两同学玩转盘游戏时，把 质地相同的两个盘Ａ，Ｂ分别平均分成２份和３份，并在 每一份内标有数字如图２所示．游戏规则：甲、乙两同学 分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所 在区域的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙 胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘． （１）用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率； （２）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？如果不公 平，请改变游戏规则，使之变得公平 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !"#$%&'"() !" * +,#-./01 23(4567*8 !9.:;:< , !=B:C< !DEFGHI-"#.+#&'.&#( !9.JKLMNOPQRSTUVWX ."&YZ[.\]"Z$DEF !^_D`I-"---( !RaFbcdeI-"#.!#&'..&# -"#.!#&'.&"'fghi !jkIlm9.RaFKnopqrs^tfuv !^_bkdeL...)# !wxyzb{|b}~b !9cpqrOfR8€‚ƒ„c !…†‡ˆ‰wŠYL./----/---..- !…†FGHL-"#.!#&'.&## !-c‹ŒŽ‘’“”•–—f˜™Rš›UœžŸ ¡¢£ .. Y¤¥’¦§”’¨©ª«0¦lm9.RaFKn¬­ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ®,$9./01 23(¯°67*± .-- &-- "-- /-- #-- .6- -6) -6( -6/ -6& - !" #$ ! . %&'(" )*$+!, .6- -65 -6) -6' &- /- (- )-.-- - ! & # ' ( ! . -./0 " # / ! & & " ". #. 书书书 《 概 率 初 步 》 章 节 测 试 卷 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ３０ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答 案 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 １０ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ３０ 分 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． （ ２０ ２４ 武 汉 模 拟 ） 古 诗 句 “ 小 荷 才 露 尖 尖 角 ，早 有 蜻 蜓 立 上 头 ” 中 “ 早 有 蜻 蜓 立 上 头 ” 描 述 的 事 件 是 （ 　 　 ） Ａ ．随 机 事 件 Ｂ． 确 定 性 事 件 Ｃ． 必 然 事 件 Ｄ ．不 可 能 事 件 ２． （ ２０ ２３ 宿 州 期 中 ） 小 刚 将 二 维 码 打 印 在 面 积 为 ２０ 的 正 方 形 纸 片 上 ，如 图 １， 为 了 估 计 黑 色 阴 影 部 分 的 面 积 ， 他 在 纸 内 随 机 掷 点 ， 经 过 大 量 试 验 ，发 现 点 落 在 黑 色 阴 影 的 频 率 稳 定 在 ０． ６ 左 右 ， 则 据 此 估 计 此 二 维 码 中 黑 色 阴 影 的 面 积 为 （ 　 　 ） Ａ ．８ Ｂ． １２ Ｃ． ０． ４ Ｄ ．０ ．６ ３． （ ２０ ２４ 广 州 二 模 ） 从 下 列 一 组 数 － ２， π ， － １ ２ ， － ０． １２ ，０ ， － 槡 ５ 中 随 机 抽 取 一 个 数 ，这 个 数 是 无 理 数 的 概 率 为 （ 　 　 ） Ａ ． ５ ６ Ｂ． ２ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ ． １ ３ ４ ． （ ２０ ２３ 太 原 月 考 ） 一 个 密 闭 不 透 明 的 盒 子 里 有 若 干 个 红 球 ， 在 不 允 许 将 球 倒 出 来 的 情 况 下 ，为 估 计 红 球 的 个 数 ，小 强 向 其 中 放 入 ２０ 个 白 球 ，摇 匀 后 从 中 随 机 摸 出 一 个 球 记 下 颜 色 ， 再 把 它 放 回 盒 中 ， 不 断 重 复 ， 共 摸 球 ５０ ０ 次 ，其 中 ５０ 次 摸 到 白 球 ，估 计 盒 中 大 约 有 红 球 （ 　 　 ） Ａ ．１ ５０ 个 Ｂ． １８ ０ 个 Ｃ． ２０ ０ 个 Ｄ ．２ ２０ 个 ５． （ ２０ ２３ 包 头 月 考 ） 小 红 、小 明 在 玩 “ 石 头 、 剪 刀 、 布 ” 游 戏 ， 小 红 给 自 己 一 个 规 定 ： 一 直 不 出 “ 石 头 ” ．小 红 、 小 明 获 胜 的 概 率 分 别 是 Ｐ １ ，Ｐ ２ ， 则 小 红 获 胜 的 概 率 为 （ 　 　 ） Ａ ． １ ２ Ｂ． １ ３ Ｃ． ２ ３ Ｄ ． ５ ６ ６ ． （ ２０ ２３ 南 阳 月 考 ） 在 如 图 ２ 所 示 的 电 路 中 ，随 机 闭 合 开 关 Ｓ １ ，Ｓ ２ ，Ｓ ３ 中 的 两 个 ，能 让 红 灯 发 光 的 概 率 是 （ 　 　 ） Ａ ． １ ３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． ３ ４ Ｄ ． １ ２ ７． 如 图 ３， 用 两 个 转 盘 设 计 一 个 “ 配 紫 色 ” 的 游 戏 ， 则 获 胜 的 概 率 为 （ 　 　 ） Ａ ． １ ２ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ４ Ｄ ． ２ ３ ８． （ ２０ ２３ 衢 州 月 考 ） 某 学 习 小 组 做 “ 用 频 率 估 计 概 率 ” 的 试 验 时 ， 统 计 了 某 一 结 果 出 现 的 频 率 ， 绘 制 了 如 图 ４ 所 示 折 线 统 计 图 ，则 符 合 这 一 结 果 的 试 验 最 有 可 能 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．袋 中 装 有 仅 颜 色 不 同 的 ３ 个 红 球 和 ２ 个 黄 球 ，随 机 取 一 个 为 红 球 Ｂ． 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 正 六 面 体 骰 子 ，向 上 的 面 的 点 数 是 ３ 的 倍 数 Ｃ． 先 后 两 次 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ，两 次 都 出 现 反 面 Ｄ ．掷 一 枚 质 地 均 匀 的 正 六 面 体 骰 子 ，向 上 的 面 的 点 数 是 偶 数 ９． （ ２０ ２３ 商 丘 月 考 ） 如 图 ５ 所 示 ４ 张 背 面 相 同 的 卡 片 ， 卡 片 正 面 画 有 常 见 的 生 活 现 象 ，现 将 所 有 卡 片 背 面 朝 上 洗 匀 ，从 中 随 机 抽 取 两 张 ，则 这 两 张 卡 片 正 面 恰 好 都 是 化 学 变 化 图 案 的 概 率 是 （ 　 　 ） Ａ ． １ ２ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ４ Ｄ ． １ ６ １０ ．如 图 ６， 在 平 行 四 边 形 纸 板 ＡＢ ＣＤ 中 ，点 Ｅ， Ｆ， Ｏ 分 别 为 ＡＢ ，Ｃ Ｄ ，Ｂ Ｄ 的 中 点 ，连 接 Ｄ Ｅ， Ｏ Ｆ， ＢＦ ．将 一 飞 镖 随 机 投 掷 到 平 行 四 边 形 纸 板 上 ，则 飞 镖 落 在 阴 影 部 分 的 概 率 为 （ 　 　 ） Ａ ． １ ４ Ｂ． １ ８ Ｃ． ３ ８ Ｄ ． １ ２ 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９０ 分 ） 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 ６ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 １８ 分 ） １１ ．（ ２０ ２３ 陇 南 期 末 ） 在 “ 抛 掷 正 六 面 体 ” 的 试 验 中 ， 正 六 面 体 的 六 个 面 分 别 标 有 数 字 １， ２， ３， ４， ５ 和 ６， 如 果 试 验 的 次 数 增 多 ，则 数 字 １ 朝 上 的 频 率 逐 渐 接 近 的 值 是 ． １２ ．（ ２０ ２４ 湖 南 ） 有 四 枚 材 质 、大 小 、 背 面 图 案 完 全 相 同 的 中 国 象 棋 棋 子 “ 车 ” “ 马 ” “ 炮 ” “ 帅 ” ， 将 它 们 背 面 朝 上 任 意 放 置 ， 从 中 随 机 翻 开 一 枚 ，恰 好 翻 到 棋 子 “ 帅 ” 的 概 率 是 ． １３ ．（ ２０ ２３ 佳 木 斯 月 考 ） 在 不 透 明 的 袋 中 装 有 仅 颜 色 不 同 的 １ 个 红 球 和 １ 个 蓝 球 ，从 此 袋 中 摸 出 １ 个 小 球 ，然 后 放 回 去 ，再 随 机 摸 出 １ 个 球 ， 则 两 次 摸 出 的 都 是 蓝 球 的 概 率 是 ． １４ ．（ ２０ ２３ 成 都 期 中 ） 利 用 电 脑 程 序 模 拟 频 率 估 计 概 率 ，在 如 图 ７ 所 示 的 同 心 圆 中 ，大 圆 的 半 径 为 ３， 向 大 圆 中 （ 不 含 边 界 ） 随 机 投 射 ３０ ０ 个 点 ，并 统 计 落 在 小 圆 中 （ 不 含 边 界 ） 的 点 数 ， 经 历 大 量 试 验 ， 发 现 随 机 点 落 在 小 圆 中 的 点 数 稳 定 在 １０ ０ 粒 左 右 ， 则 可 估 计 小 圆 的 面 积 为 ． １５ ．（ ２０ ２３ 襄 阳 模 拟 ） 在 ４ 张 卡 片 上 分 别 写 有 １ ～ ４ 的 整 数 ，随 机 抽 取 一 张 后 放 回 ，再 随 机 地 抽 取 一 张 ， 那 么 第 二 次 取 出 的 数 字 能 够 整 除 第 一 次 取 出 的 数 字 的 概 率 是 ． １６ ．甲 、乙 、丙 、 丁 、 戊 五 位 同 学 参 加 一 次 节 日 活 动 ， 很 幸 运 的 是 他 们 都 得 到 了 一 件 精 美 的 礼 品 （ 如 图 ８） ，他 们 每 人 只 能 从 其 中 一 串 的 最 下 端 取 一 件 礼 品 ，直 到 礼 物 取 完 为 止 ，甲 第 一 个 取 得 礼 物 ， 然 后 乙 、 丙 、 丁 、 戊 依 次 取 得 第 ２ 到 第 ５ 件 礼 物 ，当 然 取 法 各 种 各 样 ， 那 么 他 们 共 有 种 不 同 的 取 法 ．事 后 他 们 打 开 礼 物 仔 细 比 较 ，发 现 礼 物 Ｄ 最 精 美 ，那 么 取 得 礼 物 Ｄ 可 能 性 最 大 的 是 同 学 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 ８ 个 小 题 ， 共 ７２ 分 ） １７ ．（ ６ 分 ） 小 明 在 操 场 上 做 游 戏 ，他 发 现 地 上 有 一 个 不 规 则 的 封 闭 图 形 ＡＢ Ｃ 如 图 ９ 所 示 ． 为 了 求 其 面 积 ，小 明 在 封 闭 图 形 中 找 出 了 一 个 半 径 为 １ ｍ 的 圆 ，在 不 远 处 向 封 闭 图 形 内 掷 石 子 （ 石 子 落 在 封 闭 图 形 内 各 点 的 概 率 相 等 ） ，且 记 录 如 下 表 ： 　 　 　 　 掷 石 子 次 数 石 子 落 在 区 域 内 　 　 　 　 　 　 ５０ １５ ０ ３０ ０ 石 子 落 在 ⊙ Ｏ 内 （ 含 ⊙ Ｏ 上 ） 次 数 ｍ １４ ４３ ９３ 石 子 落 在 阴 影 内 次 数 ｎ ２９ ８５ １８ ６ 求 出 封 闭 图 形 ＡＢ Ｃ 的 面 积 ． １８ ．（ ２０ ２３ 西 安 月 考 ，８ 分 ） 某 学 校 为 让 学 生 深 入 了 解 非 物 质 文 化 遗 产 ，决 定 邀 请 Ａ． 秦 腔 ，Ｂ ．陕 北 民 歌 ，Ｃ ．民 间 面 塑 ，Ｄ ．皮 影 制 作 的 相 关 传 承 人 （ 每 项 一 人 ） 进 校 园 进 行 宣 讲 ． ! . 1 2 3 4 5 6 7 8 6 9 : ; < = 5 > ? 8 6 9 @ A B C 5 6 7 8 6 9 D E F G 5 6 7 8 6 9 ! # H I H JK I H ! " ! / - ! " - 6 " / - 6 " " - 6 " & - 6 " . . - - & - - # - - ) - - . - - - # $ $ ! ' # " % & ' ! ) " ' # $ ! 5 ( & ' # $ " % ! ( ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / 7LMNOP7Q $ Ÿ ¶ · ¸ ? ¹ º ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / ! & 7 . 7 & 7 " I : J : 2»¼ .¦/ ½"¾±