第13期 25.1 随机事件与概率 25.2 用列举法求概率（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 １２期参考答案 一、１．Ａ；　２．Ｃ； 　３．Ｂ；　４．Ａ；　５．Ｃ； 　６．Ａ；　７．Ａ；　８．Ｄ； 　９．Ａ；　１０．Ｃ． 二、１１．三角形的三 个内角中至少有两个钝 角；　１２．１５０°； 　１３． π４ －１＋ 槡２ ２； 　１４．３５°；　１５．１０５°； 　１６．槡２３π． 三、１７．∠ＢＡＣ的度 数为６５°． １８．（１）证明略． （２）四边形 ＤＯＥＣ 的面积为槡３． １９．（１）（２，－１）； 槡２５． （２）点 Ｍ 在 ⊙Ｐ 上． （３）５４π． ２０．（１）证明：因为 ) ) ＡＣ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝ ∠Ｄ．因为 ∠ＥＡＣ ＝ ∠Ｄ，所以 ∠ＥＡＣ ＝ ∠Ｂ．因为ＡＢ是 ⊙Ｏ的 直径，所以 ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所以 ∠Ｂ＋∠ＢＡＣ ＝９０°，所以 ∠ＥＡＣ＋ ∠ＢＡＣ＝９０°，所以 ＢＡ ⊥ＡＥ，因为 ＯＡ为 ⊙Ｏ 的半径，所以ＡＥ是⊙Ｏ 的切线． （２） ) ＡＣ的长为４π３． ２１．（１）∠ＣＯＡ的 度数为６０°． （２）ＣＥ的长为２． （３）阴影部分的面 积为 ８ ３π－ 槡４３． ２２．（１）证明：连接 ＯＤ，因为 ＯＡ＝ＯＤ，所 以∠ＢＡＤ＝∠ＯＤＡ，所 以∠ＢＯＤ＝２∠ＢＡＤ， 因为 ＡＤ是 ∠ＢＡＣ 的平分线，所以 ∠ＢＡＣ 书 １１期２版 ２４．３正多边形和圆 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．３６°；　５．槡１３２； ６．６或３０． 能力提高　７．（１）证明：连接ＡＥ，ＡＤ，ＡＣ，因为六边 形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边形，所以ＥＦ＝ＥＤ＝ＣＤ ＝ＢＣ，所以 ) ) ) ) ＥＦ＝ＥＤ＝ＣＤ＝ＢＣ，所以∠ＦＡＥ＝∠ＥＡＤ ＝∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ，所以过顶点Ａ的三条对角线四等分 ∠ＢＡＦ． （２） Ｓ１ Ｓ２ ＝ 槡２３π９ ． ２４．４弧长和扇形面积（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．１３π６；　４．８π； ５．３π＋９． 能力提高　６．（１）ＡＤ⊥ＣＤ．理由略． （２） ) ＰＢ长为π，ＯＥ长为 槡２２， ) ＰＢ的长度比ＯＥ的长 度长． ２４．４弧长和扇形面积（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．４－π；　４．８＋４π； ５．（３２π－ 槡３２）． 能力提高　６．（１）证明：连接ＯＢ，因为ＣＤ是⊙Ｏ的 直径，所以∠ＣＢＤ＝９０°．因为ＯＥ∥ＢＣ，所以∠ＢＧＥ＝ ∠ＣＢＤ＝９０°，所以∠Ｅ＋∠ＥＢＧ＝９０°．因为ＡＥ与⊙Ｏ 相切于点Ｂ，所以ＯＢ⊥ＡＥ，所以∠ＯＢＤ＋∠ＥＢＧ＝９０°， 所以∠Ｅ＝∠ＯＢＤ．因为ＯＢ＝ＯＤ，所以∠Ｄ＝∠ＯＢＤ， 所以∠Ｄ＝∠Ｅ． （２）阴影部分的面积为２π３－ 槡３ ２． ２４．４弧长和扇形面积（第三课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．槡２２；　４． １ ４；　５．１２５π． 能力提高 　６．（１）它的侧面展开图的圆心角是 ９０°． （２）它所走的最短路线长是 槡１０５ｃｍ． １１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ 二、９．１２；　１０．６π５；　１１． ４ ５；　１２．１２；　１３． ５ １６π－ ５ ８；　１４．（槡２＋１）π． 三、１５．ｒ６为 槡３３ｃｍ，Ｓ６为 槡５４３ｃｍ ２． １６．（１）ＣＥ的长为６－ 槡３２． （２）弧ＤＥ的长为 ３４π． １７．（１）母线长ＡＢ长为５ｍ． （２）所需油毡的面积至少是６３ｍ２． １８．（１）ＢＰ与半圆Ａ相切．理由如下：连接 ＰＡ．因为 ＡＢ为半圆Ｏ的直径，所以∠ＡＰＢ＝９０°，即ＡＰ⊥ＢＰ．又 因为ＰＡ为半圆Ａ的半径，所以ＢＰ与半圆Ａ相切． （２）阴影部分的面积为４π３－槡３． １９．（１）证明：连接ＡＤ，因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以 ∠ＡＤＢ＝９０°，因为ＴＤ＝ＢＤ，所以ＡＤ垂直平分ＢＴ，所以 ＡＢ＝ＡＴ．因为ＡＴ是⊙Ｏ的切线，所以∠ＢＡＴ＝９０°，所 以△ＡＢＴ是等腰直角三角形，所以 ∠ＡＢＴ＝∠ＡＴＢ＝ ４５°． （２） ) ＤＥ的长为π４，阴影部分的面积为 ４＋π－ 槡２２ ８ ． ２０．（１）９． （２） ) ＡＣ的长是３２９π． （３）扇形ＡＯＤ的面积为３２９π或 ４４ ９π或 ５６ ９π． １１期４版 重点集训营 １．３２３π； ２．ａ２； ３．１２； ４．５３π－ 槡２３． 书 近年来，概率携手统计的问题逐渐成为中考的热 点，实现了概率与统计知识的有效结合，开辟了中考试 题始终创新的新天地．下面举例说明． 例　（２０２４烟台）“山海同行，舰回烟台”．２０２４年 ４月２３日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立７５周 年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强 军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取 部分学生对研学活动时长（用 ｔ表示，单位：ｈ）进行调 查．经过整理，将数据分成四组（Ａ组：０≤ ｔ＜２；Ｂ组：２ ≤ｔ＜４；Ｃ组：４≤ｔ＜６；Ｄ组：６≤ｔ＜８），并绘制了如 图１所示不完整的条形统计图和扇形统计图． （１）请补全条形统计图； （２）扇形统计图中，ａ的值为 ，Ｄ组对应的 扇形圆心角的度数为 ； （３）Ｄ组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽 取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两 人恰好是一名男生和一名女生的概率． 解析：（１）１０÷２０％ ＝ ５０（人），所以Ｃ组人数为 ５０－１０－１６－４＝２０（人）． 补全条形图如图２． （２）ａ％ ＝ １６５０ × １００％ ＝３２％，所以ａ＝ ３２；Ｄ组对应的扇形圆心 角的度数为３６０°×４５０＝ ２８．８°．故填３２，２８．８°． （３）列表如下： 男１ 男２ 女１ 女２ 男１ 男１，男２ 男１，女１ 男１，女２ 男２ 男２，男１ 男２，女１ 男２，女２ 女１ 女１，男１ 女１，男２ 女１，女２ 女２ 女２，男１ 女２，男２ 女２，女１ 由表格知，共有１２种等可能的结果，其中抽中一男 一女的结果有８种，所以Ｐ＝ ８１２＝ ２ ３． 书 一、概率与坐标系水乳交融 例１　（２０２３重庆开州区月考）有三张完全一样的 卡片，正面分别标有数字 －１，１，２，将其背面朝上洗匀， 从中抽出一张记为Ｐ点的横坐标ｘ，放回后洗匀，再从中 抽出一张记为Ｐ点的纵坐标ｙ，则点Ｐ（ｘ，ｙ）在第一象限 的概率是 ． 解析：画树状图 如图１， 由树状图知，共 有 ９种等可能的结 果，其中点 Ｐ（ｘ，ｙ）在第一象限的有４种结果，所以点 Ｐ（ｘ，ｙ）在第一象限的概率为 ４９．故填 ４ ９． 二、概率与一元二次方程如影相随 例２　（２０２３周口月考）如果从１，２，３，４中随机选取 一个数，记为ｎ，再从这四个数中随机选取一个数，记为 ｍ，则关于ｙ的一元二次方程ｎｙ２＋４ｙ＋ｍ＝０没有实数 根的概率为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１２ Ｂ． １ ５ Ｃ． １ ４ Ｄ． ２ ３ 解析：画树状图如图２， 由树状图知，共有１６种等可能的结果，其中满足Δ ＝１６－４ｍｎ＜０，即ｍｎ＞４的结果有（２，３），（２，４），（３， ２），（３，３），（３，４），（４，２），（４，３），（４，４）这８种，所以关 于ｙ的一元二次方程ｎｙ２＋４ｙ＋ｍ＝０没有实数根的概 率为 ８ １６＝ １ ２．故选Ａ． 三、概率与函数脉脉相通 例３　从 －３，０，１，３四个数中任选两个数作为一次 函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的系数ｋ，ｂ，则一次函数的图象经过一、 二、四象限的概率为 ． 解析：画树状图如图３， 由树状图知，共有１２种等可能的结果，其中一次函 数的图象经过一、二、四象限（ｋ＜０，ｂ＞０）的结果有 ２种，所以一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为 ２ １２＝ １ ６．故填 １ ６． 书 数学思想是数学知识的精髓，是数学的生命和灵 魂，是把知识转化为能力的桥梁．现举例说明本章中涉 及的数学思想． 一、整体思想 例１　如图１，在两个同心圆中，四条直径把大圆 分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在灰色区域 的概率是 ． 解析：可将小圆绕圆心旋转４５°而圆环部分不动， 如图２所示，这样容易求出灰色区域的面积占大圆面积 的 １ ２，即Ｐ（飞镖落在灰色区域）＝ １ ２．故填 １ ２． 点评：本题通过旋转小圆，使图中的灰色区域集中 在一起，从而方便求出灰色区域占大圆面积的比例． 二、分类思想 例２　在ｘ２□２ｘｙ□ｙ２的 □ 中，分别填上“＋”或 “－”，在所得的代数式中，不能构成完全平方式的概率 是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．３４ Ｃ． １ ２ Ｄ． １ ４ 解析：两个“□”中填的可能是同号，也可能是异 号，因此应分两种情况： （１）当两个“□”中填的是同号时：①同时是“＋” 号，此时ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２是完全平方式；②同时是“－”号， 此时ｘ２－２ｘｙ－ｙ２不是完全平方式． （２）当两个“□”中填的是异号时：①前面是“＋” 号，后面是“－”号，此时ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２不是完全平方式； ② 前面是“－”号，后面是“＋”号，此时ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２是 完全平方式． 所以一共有４种情况，其中有２种情况不能构成完 全平方式，因此Ｐ（不能构成完全平方式）＝２４ ＝ １ ２．故 选Ｃ． 点评：本题利用分类讨论求解，这与列表法和画树 状图法具有异曲同工之效． 三、方程思想 例３　（２０２４菏泽二模）某口袋中有２０个球，其中 白球ｘ个，绿球２ｘ个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出 一个球，若为绿球获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋 中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙 双方公平，则ｘ应该是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．２ Ｄ．４ 解析：由题意，得甲获胜的概率为 ２ｘ ２０；乙获胜的概 率为 ２０－ｘ－２ｘ ２０ ＝ ２０－３ｘ ２０ ，则 ２ｘ ２０＝ ２０－３ｘ ２０ ，解得ｘ＝ ４．故选Ｄ． 点评：本题考查的是游戏公平性的判断，分别确定 甲、乙获胜的概率是解答本题的关键． 书 重点集训营 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．（２０２４江西）某校一年级开设人数相同的 Ａ，Ｂ， Ｃ三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初 学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （１）“学生甲分到Ａ班”的概率是 ； （２）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生 分到同一个班的概率． ２．（２０２４盐城）在“重走建军路，致敬新四军”红色 研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以 下三个基地开展研学活动：Ａ．新四军纪念馆（主馆区）； Ｂ．新四军重建军部旧址（泰山庙）：Ｃ．新四军重建军部 纪念塔（大铜马），小明和小丽各自随机选择一个基地 作为本次研学活动的第一站． （１）小明选择基地Ａ的概率为 ； （２）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选 择相同基地的概率． 辅助线周周练 １．如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝３０°，ＡＢ ＝６，点Ｐ是在△ＡＢＣ内一点，连接ＡＰ，ＢＰ，ＣＰ，将△ＡＰＢ 绕点Ａ逆时针旋转６０°得到△ＡＰ′Ｂ′．若点Ｃ，Ｐ，Ｐ′，Ｂ′恰好 在同一直线上，则ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝ ． ２．（２０２４榆林二模）如图２，在ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６， 连接ＡＣ，ＡＢ＝ＡＣ＝５，以点Ｃ为圆心，１５ＣＤ长为半径 画弧，弧分别交ＢＣ，ＡＣ，ＣＤ于点Ｍ，Ｈ，Ｎ，点Ｐ是 ) ＨＮ上 方△ＡＣＤ内一动点，点Ｑ是 ) ＨＮ上一动点，连接ＡＰ，ＤＰ， ＰＱ，则ＡＰ＋ＤＰ＋ＰＱ的最小值为 ． 书 列表法和画树状图法是求解概率的两种主要方法， 在题目没有特别说明的情况下，用哪种方法比较简便 呢？下面举例说明． 一、画树状图法 当一次试验涉及两步或者多步且出现的等可能性 结果不太多时，常用画树状图法．画树状图法可以直观 地、不重不漏地列出所有可能的结果． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３菏泽）用数字０，１，２，３组成个位数字 与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ． 解析：画树状图如图， 由树状图知，共有９种等可能的结果，其中是偶数的 结果有５种，所以是偶数的概率为 ５９．故填 ５ ９． 二、列表法 当一次试验涉及两步且出现的等可能性结果较多 时，常用列表法．列表法可以不重不漏地、有条理地列出 所有可能的结果． 例２　（２０２３威海）一个不透明的袋子中装有２个红 球、３个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中 任意摸出１个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸 出１个球．两人都摸到红球的概率是 （　　） Ａ．１１０ Ｂ． ２ ２５ Ｃ． ４ ２５ Ｄ． ２ ５ 解析：列表如下， 红 红 黄 黄 黄 红 （红，红） （黄，红） （黄，红） （黄，红） 红 （红，红） （黄，红） （黄，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） 由表知，共有２０种等可能的结果，其中两人都摸到 红球的有２种结果，所以两人都摸到红球的概率为 ２２０＝ １ １０．故选Ａ． 【对应练习见《重点集训营》】 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"!#$%&' ()*+,-./0 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " #! !!"# " $"% !" !"!#&$'!%( !"#$ !"#$%& !"#$%&'" ()*+,-'. % ! 12345672*8 "# / '()* ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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" + , - 书 【提示】 １．过点Ｂ′作ＢＥ′⊥ＡＣ交直线ＡＣ于点Ｅ，利用旋 转的性质得△ＡＰＢ≌△ＡＰ′Ｂ′，再证明∠ＡＢ′Ｅ＝ ３０°，根据含３０°直角三角形的性质及勾股定理求出 Ｂ′Ｅ，ＡＥ的长，然后在Ｒｔ△Ｂ′ＥＣ中，根据勾股定理即 可得出答案． ２．把△ＡＰＤ绕点Ｄ顺时针旋转６０°得到 △Ａ′Ｐ′Ｄ，连接ＰＰ′，ＡＡ′，ＰＰ′交ＡＤ于点Ｋ，证明 △ＤＰＰ′为等边三角形，△ＡＡ′Ｄ为等边三角形，可得 ＰＤ＝ＰＰ′，Ａ′Ａ＝Ａ′Ｄ，当Ｃ，Ｑ，Ｐ，Ｐ′，Ａ′共线时，即ＡＰ ＋ＤＰ＋ＰＱ＝ＰＱ＋ＰＰ′＋Ａ′Ｐ′＝ＣＡ′－ＣＱ＝Ａ′Ｑ时 最小，根据勾股定理分别求出Ａ′Ｋ，ＣＫ的长度，进而 求出Ａ′Ｑ的长即可． !" ! " # $ # !" +1 +% +# +! +" 1 % # ! " ($ +% +" !" ! ! $ "# ÿ$% r.& ! . A2'g 书 ＝２∠ＢＡＤ， 所 以 ∠ＢＯＤ ＝ ∠ＢＡＣ，所以ＯＤ∥ＡＣ， 所以 ∠ＯＤＢ＝∠ＡＣＢ ＝９０°， 因为ＯＤ为⊙Ｏ的 半径，所以ＢＣ是⊙Ｏ的 切线． （２）ＡＤ的长为 槡３２ ＋ 槡３６． ２３．（１）∠ＣＡＢ ＝ ３４°，∠ＣＡＤ＝２８°． （２）ＣＥ＝ 槡２２． ２４．（１）证明：连接 ＡＯ，并延长 ＡＯ交 ⊙Ｏ 于点Ｆ，连接ＣＦ， 因为ＡＦ是⊙Ｏ的直 径，所以∠ＡＣＦ＝９０°， 所以 ∠Ｆ＋∠ＦＡＣ ＝９０°， 因为∠Ｆ＝∠ＡＢＣ， ∠ＡＢＣ＝∠ＥＡＣ， 所以∠ＥＡＣ＝∠Ｆ， 所 以 ∠ＥＡＣ ＋ ∠ＦＡＣ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＥＡＦ＝９０°， 因为 ＡＯ是 ⊙Ｏ的 半径，所以直线 ＡＥ是 ⊙Ｏ的切线． （２）⊙Ｏ的半径为 ２５ ３． ② 作 ∠ＣＡＢ的平 分线交ＣＤ于点Ｈ，连接 ＢＨ，过点 Ｈ作 ＨＭ⊥ ＡＣ，ＨＮ⊥ＢＣ， 因为ＯＤ⊥ ＡＢ，ＡＤ ＝ＢＤ，所以 ＡＣ＝ＢＣ， 所以ＣＤ平分∠ＡＣＢ，因 为ＡＨ平分∠ＣＡＢ，所以 点Ｈ是△ＡＢＣ的内心， 因为 ＨＭ⊥ ＡＣ，ＨＮ⊥ ＢＣ，ＨＤ⊥ＡＢ，所以 ＭＨ ＝ＮＨ＝ＤＨ， 在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，由 勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝１０＝ ＢＣ， 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＣＨ ＋Ｓ△ＡＢＨ ＋Ｓ△ＢＣＨ，所以 １ ２×１６×６＝ １ ２×１０× ＭＨ＋１２ ×１６×ＤＨ＋ １ ２×１０×ＮＨ，解得ＤＨ ＝ ８３， 所以 ＯＨ ＝ＣＯ－ ＣＨ＝ＣＯ－（ＣＤ－ＤＨ） ＝２５３ －（６－ ８ ３） ＝ △ＡＢＣ的内心到点Ｏ的 距离为５． 书 ２５．１．１随机事件 １．（２０２４武汉月考）下列成语所描述的事件，是随 机事件的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．水中捞月 Ｂ．守株待兔 Ｃ．瓜熟蒂落 Ｄ．竹篮打水 ２．（２０２４内江）下列事件是必然事件的是 （　　） Ａ．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人 类首次背月采样”的新闻 Ｂ．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查 员，至少有两名学生来自同一个班级 Ｃ．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 Ｄ．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这 四本书中随机抽取一本是《三国演义》 ３．（２０２４合肥一模）某路口红绿灯的时间设置如 下：直行绿灯４０秒，左转绿灯２０秒，红灯６０秒，黄灯 ３秒．出租车经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大 （　　） Ａ．直行绿灯 Ｂ．左转绿灯 Ｃ．红灯 Ｄ．黄灯 ４．一个不透明的口袋中有８个红球和２个白球，从 袋子中任意摸出 ｎ个球，其中摸到红球是一个必然事 件，则ｎ的最小值是 ． ５．（２０２４泰州二模）如图， 在Ａ，Ｂ，Ｃ（ＡＢ＞ＢＣ）三地之间 的电缆有一处断点，断点出现在 Ａ，Ｂ两地之间的可能 性为Ｐ１，断点出现在Ｂ，Ｃ两地之间的可能性为Ｐ２，则Ｐ１ Ｐ２（填“＞”“＜”或“＝”）． ６．从３名女生和５名男生中选５名学生参加数学竞 赛，规定男生选ａ名，当ａ＝ 时，女生小芳当选 是不确定事件． ７．不透明的盒子里有 １号球（红色）、２号球（红 色）、３号球（红色）、４号球（白色）、５号球（白色）、６号 球（绿色），这６个球的形状和大小完全一样．小丽从这 个盒子里任意摸出一个球． （１）能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ （２）小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ （３）如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性 一样，该怎么办？请写出你的方案． ２５．１．２概率 １．（２０２４嘉兴三模）佳佳、芊芊等１０人去体育馆看 演出，座位号是第五排１号 ～１０号，１０人随机抽号就 座，佳佳第一个抽中７号，接着芊芊抽号，则芊芊抽中与 佳佳座位号相邻的概率是 （　　） Ａ．１１０ Ｂ． １ ９ Ｃ． １ ５ Ｄ． ２ ９ ２．（２０２４滁州三模）２０２４年巴黎奥运会和残奥会的 口号公布：“ＯＵＶＲＯＮＳＧＲＡＮＤＬＥＳＪＥＵＸ”，中文可以 译为“奥运更开放”．从 “ＯＵＶＲＯＮＳＧＲＡＮＤ ＬＥＳ ＪＥＵＸ”中任选一个字母，选中Ｕ的概率为 （　　） Ａ．１１４ Ｂ． １ １９ Ｃ． ２ １９ Ｄ． １ １１ ３．（２０２４南阳三模）从 －２，－１，１，３这四个数中随 机选取一个数，记为ａ，则关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ ２ｘ＋１＝０有实数根的概率是 （　　） Ａ．２３ Ｂ． １ ２ Ｃ． １ ４ Ｄ． ３ ４ ４．（２０２４苏州）如图，正八边 形转盘被分成八个面积相等的三 角形，任意转动这个转盘一次，当 转盘停止转动时，指针落在阴影部 分的概率是 ． ５．（２０２４深圳三模）已知｜ａ｜ ＝２，｜ｂ｜＝５，则｜ａ＋ｂ｜的值为７的概率是 ． ６．（２０２４上海）一个袋子中有若干个白球和绿球， 它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到 绿球的概率是 ３ ５，则袋子中至少有 个绿球． ７．在学习过“概率”之后，张老师要评价学生们的 学习效果，他设计了一个转盘，并将其均匀分成６份，分 别标上１，２，３，４，５，６这六个数字，转动转盘，转盘停止 时，指针所指向的数字即为转出的数．张老师让同学们 自己提出问题，下面是三位同学的问题，请你帮助解 答． （１）小颖：转动转盘，转出的数字为 ６的概率是 ； （２）小琪：转动转盘，转出的数字小于３的概率是 ； （３）小乐拿了两张分别写有数字４，６的卡片，随机 转动转盘，停止后记下指针指向的数字，与卡片上的数 字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成三 角形的概率． 能力提高 ８．在一个不透明的袋子中装有５个红球和１０个黄 球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀 后，随机摸出一球． （１）求出摸出的球是红球的概率； （２）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去９个 同样的红球或黄球，那么这９个球中红球和黄球的数量 分别应是多少？ ２５．２用列举法求概率 １．（２０２３沈阳期中）小华抛一枚质地均匀的硬币两 次，分别是正、反面各一次朝上的概率是 （　　） Ａ．１４ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ２ ３ ２．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明 的盒子中装有２个黑色棋子和１个白色棋子，每个棋子 除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后 放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色 的棋子的概率是 （　　） Ａ．４９ Ｂ． １ ２ Ｃ． ５ ９ Ｄ． ２ ３ ３．（２０２３吉林期末）如图１，随机闭合开关 Ｋ１，Ｋ２， Ｋ３中的两个，能让两盏灯泡 Ｌ１，Ｌ２同时发光的概率为 ． ４．（２０２３西安期中）如图２，两个相同的可以自由 转动的转盘Ａ和Ｂ，转盘Ａ被三等分，分别标有数字２， ０，－１；转盘Ｂ被四等分，分别标有数字３，２，－２，－３． 如果同时转动转盘 Ａ，Ｂ，转盘停止时，两个指针指向转 盘Ａ，Ｂ上的对应数字分别为ｘ，ｙ（当指针指在两个扇形 的交线时，需重新转动转盘），那么点（ｘ，ｙ）落在平面直 角坐标系ｙ轴正半轴上的概率是 ． ５．如图３，在三条横线和三条竖线组成的图形中， 任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这 些矩形中任选一个，求所选矩形含点Ａ的概率． ６．将四个分别标有数字１，２，５，８的小球放在一个 不透明的袋子中，每个小球除编号外都相同，每次摸出 小球后记下数字放回袋子中． （１）从袋子中随机的摸出一个小球，求小球上的数 字是奇数的概率； （２）小明和小红做游戏，从袋子中随机地摸出２个 小球，摸出的２个小球上数字之和记为Ｓ．他们规定若Ｓ 是偶数，则小明获胜；若 Ｓ是奇数，则小红获胜．这个游 戏对双方是否公平？若不公平，谁获胜的可能性大？说 明理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２４湖北）下列各事件是必然事件的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是３ Ｂ．某同学投篮球，一定投不中 Ｃ．经过红绿灯路口时，一定是红灯 Ｄ．画一个三角形，其内角和为１８０° ２．如图１，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可 以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 （　　） Ａ．１５ Ｂ． １ ６ Ｃ． １ ７ Ｄ． １ ８ ３．（２０２４中卫一模）如图２是九（１）班的同学每周 课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不 含后一个边界值）．由图可知，每周课外阅读时间不少于 ６小时的概率是 （　　） Ａ．２１５ Ｂ． １４ ４５ Ｃ． ８ ４５ Ｄ． ４ ５ ４．（２０２４南阳二模）生物学家研究发现，人体许多 特征都是由基因决定的．如人的单眼皮或双眼皮由常染 色体上的一对基因决定，决定双眼皮的基因 Ａ是显性 的，单眼皮的基因 ａ是隐性的，因此决定单双眼皮的一 对基因有ＡＡ，Ａａ，ａａ三种，其中基因为ＡＡ和Ａａ的人为双 眼皮，基因为ａａ的人为单眼皮，父母分别将他们一对基 因中的一个基因等可能性地遗传给子女．若父母的基因 都是Ａａ，则他们子女是双眼皮的概率为 （　　） Ａ．１４ Ｂ． １ ２ Ｃ． ２ ３ Ｄ． ３ ４ ５．（２０２４福建）哥德巴赫提出“每个大于２的偶数都 可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润 在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质 数２，３，５中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率 是 （　　） Ａ．１４ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ２ ３ ６．四张外观相同的卡片分别标有 ＡＢ∥ＣＤ， ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，从中随机一次抽 出两张，这两张卡片上标有的条件能够判断四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形的概率是 （　　） Ａ．１６ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ２ ３ ７．（２０２４锦州二模）如图３， 是由智力玩具七巧板的七块板拼 成的正方形，其中１，２，３，５，７号板 是等腰直角三角形，４号板是正方 形，６号板是平行四边形．若随机 向正方形上投掷一个米粒，那么 米粒刚好落在７号板区域的概率是 （　　） Ａ．１４ Ｂ． １ ７ Ｃ． １ ８ Ｄ． １ １６ ８．（２０２４长沙二模）一个密码箱的密码，每个数位 上的数都是从０到９的自然数．若要使不知道密码的人 一次就拨对密码的概率小于 １ ２０２４，则密码的位数至少 需要设 （　　） Ａ．五位 Ｂ．四位 Ｃ．三位 Ｄ．二位 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．（２０２４深圳二模）“八月十五云遮月，正月十五雪 打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的 话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）． １０．（２０２４黄石三模）某班为了提升数学成绩，进行 数学小组帮扶，在后续考试中，发现有组成绩提升非常明 显，该组有４位男同学和３位女同学，现从中随机抽取１位 同学分享学习成果，则抽到男同学的概率是 ． １１．（２０２４菏泽二模）如果一个三位数中任意两个 相邻数字之差的绝对值不超过１，则称这个三位数为“平 稳数”，用１，２，３这三个数字随机组成一个无重复数字 的三位数，恰好是“平稳数”的概率为 ． １２．（２０２４重庆）甲、乙两人分别从Ａ，Ｂ，Ｃ三个景区 中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景 区的概率为 ． １３．（２０２４襄阳模拟）现有４张卡片，正面书写不同 类型的变化：“糖块融化”、“盐酸除锈”、“石块粉碎”、 “食物腐烂”，除此之外完全相同，把这４张卡片背面朝 上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片呈现的变化 都是物理变化的概率是 ． １４．两人一组，每个人在纸上随机写一个不大于４的 正整数分别作为ａ和ｂ的值，则一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ的图 象与两坐标轴围成的三角形的面积不小于１的概率为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）文化体验：一休得罪了幕府将军，将军 决定处罚一休，幸得安国寺长老和百姓们的求情，将军 同意让一休自己来决定自己的命运．方法是：将军写下 两张签，一张罚，一张免，让一休抽签，抽中罚则罚，抽中 免则免．将军一心想处罚一休，在两张签上都写上“罚”． 一休早就料到了这一点，抽中之后将手中之签销毁，让 众人看另一张签，另一张是“罚”，一休手中自然是 “免”．请你分析以上内容中的必然事件、随机事件和不 可能事件． １６．（１０分）一只不透明的袋子中有２个红球、３个绿 球和５个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中 任意摸出一个球． （１）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？摸到 哪种颜色的球的可能性最小？ （２）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸 到这三种颜色的球的概率相等？ １７．（２０２４连云港，１０分）数学文化节猜谜游戏中， 有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字 谜Ａ，字谜Ｂ，字谜Ｃ，字谜Ｄ，其中字谜Ａ，字谜Ｂ是猜“数 学名词”，字谜Ｃ，字谜Ｄ是猜“数学家人名”． （１）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽 取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ； （２）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用 画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学 家人名”的概率． １８．（２０２４苏州二模，１０分）一只不透明的袋子中装 有４个小球，分别标有编号１，２，３，４，这些小球除编号外 都相同． （１）搅匀后从中任意摸出１个球，这个球的编号是３ 的概率为 ． （２）搅匀后从中任意摸出１个球，记录球的编号后 放回、搅匀，再从中任意摸出１个球．求第２次摸到的小 球编号比第１次摸到的小球编号小１的概率是多少（用 画树状图或列表的方法说明）？ １９．（２０２４西安模拟，１２分）小芳和小明玩一个游 戏，规则如下：有５张大小完全相同的纸牌，背面都是大 雁塔图片，正面有２张是兵马俑图片，其余３张没有兵马 俑．现将５张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的 纸牌中有兵马俑就有奖，没有兵马俑就没有奖． （１）小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张 纸牌，小芳得奖的概率是 ； （２）在（１）中小芳翻牌之后又把五张牌背面朝上并 洗匀，然后小明获得两次翻牌机会，小明同时翻开两张 纸牌．小明认为这样得奖的概率是（１）中小芳得奖概率 的两倍，你赞同他的观点吗？请用树状图或列表法进行 分析说明． ２０．（１２分）将整数 －２，３，－４分别记在三张形状大 小完全相同的卡片上，记数字的面朝下，将卡片洗均匀， 开始抽取，完成下列问题： （１）若随机抽取一张，则该卡片上的数字是方程 ｘ２ －５ｘ＋６＝０的解的概率是 ； （２）若抽取两次，第一次抽到的数字记作ｍ，放回洗 匀后，第二次抽到的数字记作ｎ，则点Ｎ（ｍ，ｎ）落在以原 点Ｏ为圆心，５为半径的圆内的概率是多少                                                                                                                                                                 ？ !" #$ %& !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# !"#$%&&!,"-&!,#' ! ! !"#$ ()*+,-.)/0 !" 1 %&'( ! 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