第11期 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长和扇形面积（参考答案见13期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 １８．证明：（１）因为 点Ｉ是 △ＡＢＣ的内心， 所以ＡＩ平分 ∠ＢＡＣ，所 以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ， 因为 ) ) ＣＤ＝ＣＤ，所 以∠ＣＢＤ＝∠ＣＡＤ，所 以∠ＢＡＤ＝∠ＣＢＤ． （２）连接ＤＣ，因为 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，所以 ＢＤ＝ＣＤ．因为点 Ｉ是 △ＡＢＣ的内心，所以 ∠ＡＢＩ＝∠ＣＢＩ． 由（１）得∠ＣＢＤ＝ ∠ＢＡＤ，因为 ∠ＢＩＤ ＝ ∠ＡＢＩ＋∠ＢＡＤ，∠ＤＢＩ ＝∠ＣＢＩ＋∠ＣＢＤ，所 以 ∠ＢＩＤ ＝∠ＩＢＤ，所 以ＩＤ＝ＢＤ，所以ＢＤ＝ ＣＤ＝ＩＤ．所以点 Ｄ是 △ＢＩＣ的外心． １９．证明：（１）连接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＡＩ，因为ＡＢ ＝ＡＣ，ＯＢ＝ＯＣ，ＯＡ＝ ＯＡ， 所 以 △ＡＯＢ ≌ △ＡＯＣ，所以 ∠ＢＡＯ＝ ∠ＣＡＯ，所以 ＡＯ平分 ∠ＢＡＣ，因 为 点 Ｉ是 △ＡＢＣ的内心，所以 ＡＩ 平分∠ＢＡＣ，所以ＡＯ与 ＡＩ在同一条直线上，所 以ＯＡ所在的直线经过 点Ｉ． （２）连接 ＯＤ，则 ＯＤ＝ＯＡ，所以 ∠ＯＡＤ ＝∠ＯＤＡ，所以２∠ＯＡＤ ＋∠ＡＯＤ＝１８０°，所以 ∠ＯＡＤ＋ １２∠ＡＯＤ ＝ ９０°，因 为 ∠ＡＢＤ ＝ １ ２∠ＡＯＤ，所以 ∠ＯＡＤ ＋∠ＡＢＤ ＝９０°，因为 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＤ ＝ 书 １．（２０２４重庆二模）如图１，Ｃ，Ｄ是以ＡＢ为直径的 半圆周的三等分点，ＣＤ＝８，Ｐ是直径上的任意一点． 则阴影部分的面积等于 （结果保留π）． ２．（２０２４大同二模）如图２是同学们设计的“心” 形图案，正方形ＡＢＣＤ的边长为ａ，以Ａ为圆心，ＡＢ长为 半径作扇形，又分别以ＢＣ和ＣＤ的长为直径作半圆，则 图中阴影部分的面积为 ． ３．（２０２４周口一模）如图 ３，矩形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，分别以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＡＤ为直径向外作半圆，若 ＡＢ ＝３，ＢＣ＝４，则阴影部分的面积为 ． ４．（２０２４泰安期中）如图４，已知⊙Ｏ的半径为１， ＡＢ是直径，分别以点Ａ，Ｂ为圆心，以ＡＢ的长为半径画 弧，两弧相交于 Ｃ，Ｄ两点，则图中阴影部分的面积是 ． １．如图１，在扇形 ＡＢＤ中，∠ＢＡＤ＝６０°，ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ交弧ＢＤ于点Ｃ，点Ｐ为半径ＡＢ上一动点，若ＡＢ ＝４，则阴影部分周长的最小值为 ． ２．如图 ２，四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｄ ＝９０°， ∠ＤＡＢ＝１３５°，且ＡＢ＝２，ＡＤ＝ 槡４２．以Ｂ为圆心，ＢＣ 为半径作弧，交ＢＡ的延长线于点Ｅ，若点Ｑ为弧ＥＣ上 的动点，过点Ｑ作ＱＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，设点Ｉ为△ＢＱＨ的 内心，连接ＢＩ，ＱＩ，当点Ｑ从点Ｃ运动到点Ｅ时，则内心 Ｉ所经过的路径长为 ． 书 【提示】 １．作点Ｄ关于直线ＡＢ的对称点Ｄ′，连接ＤＤ′交 ＡＢ于点Ｅ，连接Ｄ′Ｃ交ＡＢ于点Ｐ，连接ＰＤ，ＡＤ′，则当 Ｄ′，Ｐ，Ｃ三点共线时，阴影部分的周长最小，即ＤＰ＋ ＰＣ＝Ｄ′Ｐ＋ＰＣ＝Ｄ′Ｃ，根据角平分线性质得到 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ＝１ ２∠ＢＡＤ，推出∠ＣＡＤ′＝９０°，根 据弧长公式算出) ＤＣ，利用勾股定理算出Ｄ′Ｃ即可． ２．连接ＩＣ，则∠ＱＢＩ＝∠ＣＢＩ，证明△ＩＢＱ≌ △ＩＢＣ，得到∠ＢＩＣ＝∠ＢＩＱ，计算∠ＱＢＩ＋∠ＩＱＢ的 度数，得到∠ＢＩＣ＝∠ＢＩＱ＝１３５°，过Ｂ，Ｉ，Ｃ三点作 ⊙Ｏ，内心Ｉ经过的路径长为) ＢＣ的长，求得 ∠ＢＯＣ的 度数，求出ＢＣ＝１０，在等腰直角三角形ＢＣＯ中，利用 勾股定理得ＢＯ的长，最后根据弧长公式解题即可． 书 利用弧长公式可以直接计算弧长，也可以由公式变 形求圆心角和半径．下面就弧长公式的应用举例说明如 下，供同学们学习参考． 一、求弧长 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，ＡＣ是弦，ＡＢ ＝４，∠Ａ＝ ３０°，则 ) ＢＣ的长度为 ． 解析：连接 ＯＣ，因为 ∠Ａ＝ ３０°，所以∠ＣＯＢ＝６０°，因为ＡＢ ＝４，所以ＯＢ＝２，所以 ) ＢＣ的长 度为 ６０π·２ １８０ ＝ ２π ３．故填 ２π ３． 二、求圆心角 例２　如图２，传送带的一 个转动轮的半径为１８ｃｍ，转动 轮转ｎ°，传送带上的物品 Ａ被 传送１２πｃｍ，则ｎ＝ ． 解析：由题意，得 ｎπ×１８ １８０ ＝１２π，解得 ｎ＝１２０．故填 １２０． 三、求半径 例３　（２０２４乌鲁木齐期中）已知圆上一段弧长为 ５πｃｍ，它所对的圆心角为１００°，则该圆的半径为 （　　） Ａ．６ｃｍ Ｂ．９ｃｍ Ｃ．１２ｃｍ Ｄ．１８ｃｍ 解析：设该圆的半径为 ｒｃｍ，根据题意，得１００πｒ１８０ ＝ ５π，解得ｒ＝９，即该圆的半径为９ｃｍ．故选Ｂ． 四、求复杂路径 例４　（２０２４湖州期中）如图３，将含有３０°角的直角 三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上 点Ａ的位置变化为Ａ→Ａ１→Ａ２，其中ＡＢ＝６，第二次翻 滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成２０°角，则 点Ａ翻滚到Ａ２位置时共走过的路径长为 ． 解析：因为ＡＢ＝６，∠ＡＣＢ＝３０°，∠Ａ２Ｃ１Ｄ＝２０°， 所以∠ＡＣＢ＝∠Ａ１Ｃ１Ｂ＝∠Ａ２Ｃ１Ｂ２＝３０°，∠ＡＢＣ＝ ∠Ａ１ＢＣ１ ＝６０°，ＢＣ＝２ＡＢ＝１２，所以 ＡＣ＝Ａ１Ｃ１ ＝ １２２－６槡 ２ ＝ 槡６３， 所以∠ＡＢＡ１ ＝１２０°，∠Ａ１Ｃ１Ａ２ ＝１３０°， 所以点 Ａ翻滚到 Ａ２位置时共走过的路径长为 １２０π×６ １８０ ＋ １３０π× 槡６３ １８０ ＝４π＋ 槡１３３ ３ π． 故填４π＋ 槡１３３３ π． 书 上期２版 ２４．２．１点和圆的位置关系 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．一组对边平行 但不相等的四边形是平行四边形； ５．３或５；　６．５；　７．槡５＋１． 能力提高　８．（１）（１，－２）． （２）点Ｄ在⊙Ｍ外部，理由略． ２４．２．２直线和圆的位置关系（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．６０； ５．１＜ｄ＜５． ６．证明略． 能力提高　７．证明：（１）连接ＯＤ，ＯＢ，ＡＣ，因为⊙Ｏ 经过菱形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，Ｄ，所以ＡＣ过点Ｏ，ＡＤ＝ＤＣ＝ ＢＣ＝ＡＢ，∠ＤＡＯ＝∠ＢＡＯ，∠ＤＣＯ＝∠ＢＣＯ．又因为ＯＤ ＝ＯＢ，所以△ＡＯＤ≌△ＡＯＢ，所以∠ＡＤＯ＝∠ＡＢＯ．因 为ＡＢ与⊙Ｏ相切，所以∠ＡＤＯ＝∠ＡＢＯ＝９０°，因为ＯＤ 是半径，所以ＡＤ与⊙Ｏ相切． （２）连接ＯＦ，ＯＥ，在 △ＤＯＣ和 △ＢＯＣ中，因为 ＤＣ ＝ＢＣ，∠ＤＣＯ ＝∠ＢＣＯ，ＯＤ ＝ＯＢ，所以 △ＤＯＣ≌ △ＢＯＣ，所以∠ＯＤＦ＝∠ＯＢＥ． 因为ＯＤ＝ＯＦ＝ＯＢ＝ＯＥ，所以∠ＯＤＦ＝∠ＯＦＤ＝ ∠ＯＢＥ＝∠ＯＥＢ，所以∠ＤＯＦ＝∠ＢＯＥ，所以ＤＦ＝ＢＥ． ２４．２．２直线和圆的位置关系（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．１０；　４．３５°；　５．１２． ６．（１）ＰＡ＝６． （２）∠ＡＰＢ＝３６°． 能力提高　７．（１）证明：因为Ｉ是△ＡＢＣ的内心， 所以ＡＥ平分∠ＣＡＢ，ＢＩ平分∠ＡＢＣ， 所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ，∠ＡＢＩ＝∠ＣＢＩ． 因为 ∠ＢＩＥ＝∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＩ，∠ＩＢＥ＝∠ＩＢＤ＋ ∠ＥＢＤ，因为∠ＣＢＥ＝∠ＣＡＥ，所以 ∠ＢＩＥ＝∠ＥＢＩ，所 以ＥＢ＝ＥＩ． （２）ＡＩ＝４． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ 二、９．内；　１０．４０°；　１１．９；　１２．４１８；　１３．１．５； １４．６＋槡６１． 三、１５．（１）图略． （２）⊙Ｏ的半径为槡４１． １６．（１）证明略． （２）ＢＥ的长为１． １７．（１）证明：连接ＯＤ，因为ＯＤ＝ＯＥ，所以∠ＯＥＤ ＝∠ＯＤＥ，因为ＤＥ∥ＯＡ，所以∠ＯＤＥ＝∠ＡＯＤ，∠ＤＥＯ ＝∠ＡＯＣ，所以 ∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＣ， 又因为 ＯＡ＝ＯＡ，ＯＣ＝ＯＤ，所以 △ＡＯＤ≌△ＡＯＣ，因为ＡＣ是切线， 所以∠ＡＣＢ＝９０°，所以 ∠ＡＤＯ＝ ∠ＡＣＢ＝９０°．因为ＯＤ是半径，所以 ＡＢ是⊙Ｏ的切线． （２）ＡＣ的长为６． （下转１，４版中缝） 书 求与圆有关的阴影部分的面积这类题目在各地考 试题中时常出现，所给阴影部分的图形一般是不规则 的，需要将不规则图形转化成规则图形求解．现介绍几 种转化方法，供大家学习时参考． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、和差转化法 例 １　（２０２４重庆三 模）如图 １，平行四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交 于点Ｏ，且 ＡＣ⊥ ＡＢ，以 Ｏ 为圆心，分别以 ＯＡ，ＯＣ的 长为半径画弧交对角线ＢＤ于点Ｅ，Ｆ，若ＡＣ＝４，∠ＡＢＯ ＝３０°，则图中阴影部分的面积为 ． 解析：因为ＡＣ⊥ＡＢ，所以∠ＢＡＣ＝９０°，因为∠ＡＢＯ ＝３０°，所以∠ＡＯＢ＝６０°，因为ＡＣ＝４，所以ＯＡ＝ＯＣ＝ １ ２ＡＣ＝２，所以ＡＢ＝ 槡２３，所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＡＢ·ＯＡ＝ 槡２３，Ｓ扇形ＡＯＥ ＝ ６０π·２２ ３６０ ＝ ２ ３π，所以Ｓ阴影 ＝２（Ｓ△ＡＯＢ － Ｓ扇形ＡＯＥ）＝２（槡２３－ ２ ３π）＝ 槡４３－ ４ ３π． 故填 槡４３－ ４ ３π． 二、等积转化法 例２　（２０２４安阳三模）如图 ２，以等边三角形的一边 ＢＣ为直 径作半圆 Ｏ交另两边于 Ｄ，Ｅ两 点，等边三角形的边长为６，则图 中阴影部分的面积为 ． 解析：连接 ＯＤ，ＯＥ，ＤＥ．因为 △ＡＢＣ是等边三角形，所以∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，因 为ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ＯＥ＝ １２ＢＣ＝３，所以 △ＢＯＤ， △ＣＯＥ都是等边三角形，所以 ∠ＢＯＤ＝∠ＥＯＣ＝６０°， ＢＤ＝ＣＥ＝３，所以 ∠ＤＯＥ＝６０°，ＡＤ＝ＡＥ＝３，所以 △ＤＯＥ是等边三角形，△ＡＤＥ是等边三角形，所以 △ＡＤＥ≌ △ＢＯＤ≌ △ＣＯＥ≌ △ＤＯＥ，所以 Ｓ△ＡＤＥ ＝ Ｓ△ＢＯＤ ＝Ｓ△ＣＯＥ ＝Ｓ△ＤＯＥ，所以弓形ＢＤ，弓形ＤＥ与弓形ＣＥ 的面积相等，所以Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＯＤ ＝ ６０π×３２ ３６０ ＝ ３ ２π． 故填 ３ ２π． 三、容斥原理法 例３　（２０２４周口二模） 如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，分别以点 Ｂ，Ｃ为圆心，以ＢＡ长为半径 画弧，两弧分别交线段 ＢＣ 于点Ｅ，Ｄ，若ＤＥ＝４－槡２２， 则图中的阴影部分面积为 ． 解析：因为在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，所 以∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°．设ＡＢ＝ＡＣ＝ａ，则ＢＣ＝槡２ａ，所 以ＤＥ＝ＢＥ＋ＣＤ－ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ－ＢＣ＝２ａ－槡２ａ，所 以４－ 槡２２＝２ａ－槡２ａ，解得ａ＝２，所以Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＡＣＤ ＋Ｓ扇形ＡＢＥ－Ｓ△ＡＢＣ ＝ ４５π×２２ ３６０ ＋ ４５π×２２ ３６０ － １ ２×２×２＝ π－２． 故填π－２． 【对应练习见《重点集训营》】 书 一、计算圆锥的底面半径 例１　（２０２４淮北模拟）如图１， 以正方形纸片 ＡＢＣＤ的顶点 Ａ为圆 心，ＡＢ长为半径画弧，用这个纸片制 作一个无底的圆锥．若正方形的边 长为１，则圆锥底面的半径为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１４ Ｂ． １ ３ Ｃ．２３ Ｄ．１ 解析：设圆锥的底面半径为 ｒ，由题意，得２πｒ＝ ９０×１×π １８０ ，解得ｒ＝ １ ４．故选Ａ． 二、计算圆锥的高 例 ２　 如图 ２，有一块半径为 １ｍ，圆心角为９０°的扇形铁皮，要把 它做成一个圆锥形容器（接缝忽略 不计），那么这个圆锥形容器的高为 （　　） Ａ．１４ｍ Ｂ． ３ ４ｍ Ｃ． 槡１５ ４ ｍ Ｄ． 槡３ ２ｍ 解析：设圆锥底面半径为ｒｍ，则２πｒ＝９０π×１１８０ ，解 得ｒ＝１４，所以其高ｈ＝ １ ２ (－ )１４槡 ２ ＝槡１５４ （ｍ）． 故选Ｃ． 三、计算圆锥的母线 例３　（２０２４昆明月考）已知一个圆锥的侧面展开 图是圆心角为２４０°的扇形，若这个圆锥的底面半径长 是６，则这个圆锥的母线长为 （　　） Ａ．３ Ｂ．６ Ｃ．９ Ｄ．１２ 解析：圆锥的底面周长 ＝２π×６＝１２π，则 ２４０π×ｌ １８０ ＝１２π，解得ｌ＝９．故选Ｃ． 四、计算展开图中扇形的圆心角 例４　 如图３，已知圆锥的 高与母线夹角 ∠α＝３０°，则此 圆锥侧面展开图的圆心角度数 为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．１２０° Ｃ．１８０° Ｄ．３６０° 解析：设圆锥侧面展开图的 圆心角度数为ｎ°，底面圆半径为 ｒ，因为∠α＝３０°，所以ＡＢ＝２ｒ．因为２πｒ＝ｎπ·２ｒ１８０ ，所 以ｎ＝１８０．故选Ｃ． 五、计算圆锥的侧面积 例５　小吴同学在数学综合 实践活动中，制作了一个圆锥模 型（如图４所示），经过小吴同学 测量，得到圆锥底面直径为 １０ｃｍ，圆锥的高为１２ｃｍ，则根据 测量数据推算该圆锥的侧面积为 ｃｍ２（结果保留π）． 解析：因为 ｈ＝１２ｃｍ，ｒ＝ １ ２ｄ＝５（ｃｍ），可设圆锥母线长为 ｌｃｍ，由勾股定理，得ｌ＝ ５２＋１２槡 ２ ＝１３（ｃｍ），圆锥侧 面展开图的面积为Ｓ侧 ＝πｒｌ＝６５π（ｃｍ ２）．故填６５π． 书 一、求边长 例１　（２０２４抚顺期末） 如图１，ＡＢ，ＡＣ分别是某圆内 接正六边形、正方形的一边， 若 ＡＢ ＝２，则 ＡＣ的长为 ． 解析：设圆的圆心是Ｏ，连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，因为ＡＢ是 圆内接正六边形的一边，所以∠ＡＯＢ＝６０°，所以△ＡＯＢ 是等边三角形，所以ＯＡ＝ＡＢ＝２．因为ＡＣ是圆内接正 方形的一边，所以∠ＡＯＣ＝９０°，所以△ＡＯＣ是等腰直角 三角形，所以ＯＡ＝ＯＣ＝２，所以ＡＣ＝ 槡２２．故填 槡２２． 二、求角度 例２　（２０２４银川二模）如图 ２，正五边形ＡＢＣＤＥ内接于⊙Ｏ，Ｐ 为劣弧ＡＢ上的动点，则∠ＡＰＢ的 大小为 ． 解析：连接 ＯＡ，ＯＢ，ＡＤ，ＢＤ， 因为五边形是 ＡＢＣＤＥ正五边形， 所以∠ＡＯＢ＝３６０°５ ＝７２°，所以 ∠ＡＤＢ＝１２∠ＡＯＢ＝３６°，因为正五边形ＡＢＣＤＥ的外接 圆为⊙Ｏ，所以四边形ＡＰＢＤ是⊙Ｏ的内接四边形，所以 ∠ＡＰＢ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，所以∠ＡＰＢ＝１４４°．故填１４４°． 三、求面积 例３　（２０２３杭州）如图３，六 边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边 形，设正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的面积为 Ｓ１，△ＡＣＥ的面积为 Ｓ２，则 Ｓ１ Ｓ２ ＝ ． 解析：连接ＯＡ，ＯＣ，ＯＥ，因为六 边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边形，所以ＡＣ＝ＡＥ＝ ＣＥ，所以 △ＡＣＥ是 ⊙Ｏ的内接正三角形．因为 ∠Ｂ＝ １２０°，ＡＢ＝ＢＣ，所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝３０°，因为∠ＣＡＥ ＝６０°，所以 ∠ＯＡＣ＝∠ＯＡＥ＝３０°，所以 ∠ＢＡＣ＝ ∠ＯＡＣ＝３０°，同理可得，∠ＢＣＡ＝∠ＯＣＡ＝３０°．又因为 ＡＣ＝ＡＣ，所以△ＢＡＣ≌△ＯＡＣ，所以Ｓ△ＢＡＣ ＝Ｓ△ＯＡＣ，由 圆和正六边形的性质可得，Ｓ△ＢＡＣ ＝Ｓ△ＡＦＥ ＝Ｓ△ＣＤＥ，由圆 和正三角形的性质可得，Ｓ△ＯＡＣ ＝Ｓ△ＯＡＥ ＝Ｓ△ＯＣＥ．因为Ｓ１ ＝Ｓ△ＢＡＣ ＋Ｓ△ＡＦＥ ＋Ｓ△ＣＤＥ ＋Ｓ△ＯＡＣ ＋Ｓ△ＯＡＥ ＋Ｓ△ＯＣＥ ＝ ２（Ｓ△ＯＡＣ ＋Ｓ△ＯＡＥ ＋Ｓ△ＯＣＥ）＝２Ｓ２，所以 Ｓ１ Ｓ２ ＝２．故填２． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " #! !!"# " $"% !! !"!#&$'%!( !"#$ !"#$%& !"#$%&'" ()*+,-'. % ! !"#$%&'"() !! * '()* ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +,"-./01 23(456 %&*7 " 89 :;< " => ?@A " BC DEF " =9 G H ! " # $ % & ! ! ' $ ( " ! % # & ! & ! & # % ! % % ! ! # " & % ! % ! # %" ,- %! ,- ! & # ! & % ! # " ( ! % $ & ! % # ! & $ % " ! ! & ! 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∠ＢＡＤ＝∠ＤＢＣ． （２）证 明：连 接 ＣＤ， 因 为 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ，所以 ) ) ＢＤ＝ＣＤ， 所以ＢＤ＝ＤＣ，因为ＢＥ 平 分 ∠ＡＢＣ， 所 以 ∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ． 因 为 ∠ＥＢＤ ＝ ∠ＤＢＣ ＋ ∠ＥＢＣ， ∠ＢＥＤ ＝ ∠ＤＡＢ ＋ ∠ＡＢＥ，由（１）知∠ＢＡＤ ＝∠ＤＢＣ，所以 ∠ＥＢＤ ＝∠ＢＥＤ，所以 ＤＢ＝ ＤＥ，所以 ＤＢ＝ＤＥ＝ ＤＣ，所以点Ｂ，Ｅ，Ｃ在以 点Ｄ为圆心的同一个圆 上． （３）△ＡＢＣ内心与 外心之间的距离为 ５ ２． 上期４版 重点集训营 １．（１）图略． （２）证明略 ２．（１）证明：连接 ＯＤ，因为 ＡＢ为 ⊙Ｏ的 直径，所以 ∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＤＢ ＝ ９０°．因 为 ∠ＡＣＢ的平分线交 ⊙Ｏ 于点Ｄ，所以 ∠ＡＣＤ＝ ∠ＢＣＤ ＝ ４５°，所 以 ∠ＤＡＢ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ４５°，所以△ＤＡＢ是等腰 直角三角形．因为ＯＡ＝ ＯＢ，所以 ＯＤ⊥ ＡＢ，所 以 ∠ＯＤＢ＝∠ＤＣＢ＝ ４５°，因 为 ∠ＢＤＥ ＝ ∠ＤＣＥ，所以 ∠ＢＤＥ＝ ４５°，所 以 ∠ＯＤＥ ＝ ９０°，因为ＯＤ是⊙Ｏ的 半径，所以ＤＥ是⊙Ｏ的 切线． （２）ＢＤ 的 长 为 槡５２ ２． 书 ２４．３正多边形和圆 １．（２０２４昭通一模）如图１，正八边形内接于⊙Ｏ， 连接ＯＡ，ＯＢ，则∠ＡＯＢ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５５° Ｂ．５０° Ｃ．４５° Ｄ．４０° ２．（２０２４成都三模）半径为２的圆的一个内接正多 边形的内角为１２０°，则这个内接正多边形的边长为 （　　） 槡 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．２３ ３．如图２，已知⊙Ｏ的周长等于６π，则它的内接正 六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是 （　　） Ａ． 槡２７３２ Ｂ． 槡２７３ ４ Ｃ． 槡９３ ４ 槡Ｄ．２７３ ４．（２０２３河北期末）如图３，五边形ＡＢＣＤＥ是⊙Ｏ 的内接正五边形，则∠ＡＥＢ的度数为 ． ５．（２０２４赣州模拟）如图４摆放的两个正六边形的 顶点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在圆上．若 ＡＢ＝１，则该圆的半径为 ． ６．（２０２４苏州模拟）已知ＡＢ是⊙Ｏ的内接正十边 形的一条边，ＢＣ是⊙Ｏ的内接正十五边形的一条边，则 以 ＡＣ为一边的 ⊙Ｏ的内接正多边形的边数是 ． ７．如图５，六边形ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边形． （１）求证：在六边形ＡＢＣＤＥＦ中，过顶点 Ａ的三条 对角线四等分∠ＢＡＦ； （２）设⊙Ｏ的面积为Ｓ１，六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积为 Ｓ２，求 Ｓ１ Ｓ２ 的值（结果保留π）． ２４．４弧长和扇形面积（第一课时） １．（２０２４温州一模）点Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上的位置如图 １所示，∠Ａ＝７０°，⊙Ｏ的半径为３，则 ) ＢＣ的长是 （　　） Ａ．７６π Ｂ． ７ ３π Ｃ． ７ ２π Ｄ．７π ２．把长度为２π的一根铁丝弯成圆心角是１２０°的 一条弧，那么这条弧所在圆的半径是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ３．（２０２４福州模拟）如图２，四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，⊙Ｏ的半径为 ３，∠Ｄ ＝１１５°，则 ) ＡＣ的长是 ． ４．（２０２４惠州二模）在社会实践活动中，小明同学 用一个半径为１２ｃｍ的定滑轮带动重物上升．如图３，滑 轮上一点Ａ绕点Ｏ逆时针旋转１２０°，假设绳索（粗细不 计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ｃｍ． ５．（２０２４清远三模）如图４，在扇形 ＡＯＢ中，半径 ＯＡ＝９，将扇形ＡＯＢ沿过点Ｂ的直线折叠，点Ｏ恰好落 在 ) ＡＢ上的点Ｄ处，折痕交ＯＡ于点Ｃ，则图中阴影部分 的周长是 ． ６．（２０２４保定一模）如图５，ＡＢ是半圆Ｏ的直径，点 Ｐ为半圆上一点（不与点Ｂ重合），点Ｃ是 ) ＰＢ的中点，过 点Ｃ作⊙Ｏ的切线，交ＡＰ的延长线于点Ｄ，交ＡＢ的延 长线于点Ｅ． （１）判断ＡＤ与ＣＤ的位置关系，并说明理由； （２）若ＡＢ＝４，∠ＰＡＢ＝４５°，求 ) ＰＢ与线段ＯＥ的长 度，并比较二者的大小． ２４．４弧长和扇形面积（第二课时） １．（２０２４大连一模）已知某扇形弧长为３π，圆心角 为６０°，则该扇形面积为 （　　） Ａ．５２π Ｂ． ７ ２π Ｃ． １７ ２π Ｄ． ２７ ２π ２．如果两个扇形的半径之比为１∶２，圆心角之比也 为１∶２，那么它们的面积之比为 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶１ Ｄ．１∶８ ３．（２０２４昆明二模）如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ 为对角线，Ｏ为ＡＣ中点．分别以点Ａ，Ｃ为圆心，以ＡＯ的 长为半径画弧，与正方形的边相交．当ＡＢ＝２时，阴影 部分的面积为 （结果保留π）． ４．（２０２４肇庆一模）如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，以ＡＢ为直径的⊙Ｏ与ＡＣ相交于点Ｄ． 若ＡＢ＝８，则图中阴影部分的面积是 ． ５．（２０２４邵阳一模）如图３， 在圆心角为１３５°的扇形 ＡＯＢ 中，半径ＯＡ＝２ｃｍ，Ｃ，Ｄ为弧 ＡＢ的三等分点，连接 ＯＣ，ＯＤ， ＡＣ，ＣＤ，ＢＤ，则图中阴影部分的 面积为 ｃｍ２． ６．（２０２４临沂一模）如图４，ＣＤ是 ⊙Ｏ的直径，ＡＥ 与⊙Ｏ相切于点Ｂ，连接ＢＣ，ＢＤ，过圆心Ｏ作ＯＥ∥ＢＣ， 连接ＥＢ并延长，交ＤＣ延长线于点Ａ． （１）求证：∠Ｄ＝∠Ｅ； （２）若Ｆ是ＯＥ的中点，⊙Ｏ的半径为２，求阴影部 分的面积． ２４．４弧长和扇形面积（第三课时） １．（２０２４达州三模）如图１，用一个圆心角为θ的扇 形纸片围成一个底面半径为２，侧面积为８π的圆锥，则 该扇形的圆心角为θ为 （　　） Ａ．９０° Ｂ．１３５° Ｃ．１８０° Ｄ．２７０° ２．（２０２４苏州二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角 为１２０°的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为 （　　） Ａ．３∶２ Ｂ．２∶１ Ｃ．３∶１ Ｄ．４∶１ ３．（２０２４济宁一模）如图２，⊙Ａ的半径为３，作正六 边形ＡＢＣＤＥＦ，点Ｂ，点Ｆ在⊙Ａ上，若图中阴影部分恰 是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． ４．（２０２４武威期中）如图３，从一张腰长为槡２ｃｍ的 等腰直角三角形铁皮 ＯＡＢ中剪出一个最大的扇形 ＯＣＤ，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损 耗），则该圆锥的底面半径为 ｃｍ． ５．（２０２４楚雄二模）如图４，在矩形纸片ＡＢＣＤ中， ＡＤ长为３０ｃｍ，把它分割成正方形纸片ＡＢＦＥ和矩形纸 片ＥＦＣＤ后，分别裁出扇形ＥＦＢ和半径最大的圆，恰好 能作为一个圆锥的侧面和底面，则围成的圆锥的表面 积为 ｃｍ２． ６．如图５所示，已知圆锥底面半径ｒ＝５ｃｍ，母线长 为２０ｃｍ． （１）求它的侧面展开图的圆心角； （２）若一甲虫从Ａ点出发沿着圆锥侧面绕行到母 线ＳＡ的中点 Ｂ，请你动脑筋想一想它所走的最短路线 是多少 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ？ 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２４南京一模）若圆锥的底面直径为６，高为４， 则该圆锥的侧面积是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１２π Ｂ．１５π Ｃ．２４π Ｄ．３０π ２．（２０２４宿州二模）如图１，四边形ＡＢＣＤ内接于圆 Ｏ，且ＡＢ，ＢＣ都是圆的内接正五边形 ＡＢＣＥＦ的边，则 ∠Ｄ的度数为 （　　） Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７２° ３．（２０２４深圳模拟）每年８月８日为“全民健身日”， 为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华 人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．侧抬 腿运动可以保证全身得到锻炼！如图２是侧抬腿运动的 示意图，已知小敏大腿根部距脚尖 ９０ｃｍ，即 ＯＡ＝ ９０ｃｍ，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度 为 （　　） Ａ．４５２πｃｍ Ｂ． ４５ ４πｃｍ Ｃ．４５πｃｍ Ｄ． ４５ ２ｃｍ ４．（２０２４遵义月考）贵州毕节风车草原成为近年来 网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来 参观．风车扇叶示意图如图 ３所示，扇叶 ＯＡ的长为 ２０米，当扇叶ＯＡ旋转至ＯＢ位置时，扇叶ＯＡ扫过的面 积为 （　　） Ａ．４０π３ 平方米 Ｂ． ８０π ３ 平方米 Ｃ．４００π３ 平方米 Ｄ． ８００π ３ 平方米 ５．（２０２４昆明三模）如图４，螺母的一个面的外沿可 以看作是正六边形，如果这个正六边形ＡＢＣＤＥＦ的周长 是 槡１８３ｃｍ，则这个正六边形的外接圆半径是 （　　） 槡 槡 槡Ａ．３ｃｍ Ｂ．２３ｃｍ Ｃ．３３ｃｍ Ｄ．６ｃｍ ６．（２０２４凉山模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加 工零件时广泛使用的一种图形．如图５，以等边三角形 ＡＢＣ的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧 围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ＡＢＣ的边 长为２，则该“莱洛三角形”的面积等于 （　　） Ａ．２π Ｂ．２π－槡３ Ｃ．２π－ 槡２３ Ｄ．２π＋槡３ ７．（２０２４合肥二模）某仿古墙上原有一个矩形的门 洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外 接于矩形门，如图６．已知矩形的宽为２ｍ，对角线为４ｍ， 则改建后门洞的圆弧长是 （　　） Ａ．（５３π＋２）ｍ Ｂ． １０ ３πｍ Ｃ．８３πｍ Ｄ． ５ ３πｍ ８．（２０２４晋城三模）如图 ７，在 ⊙Ｏ中，Ａ，Ｂ为 ⊙Ｏ上两 点，且 ∠ＡＯＢ＝１２０°，分别以 点Ａ，Ｂ为圆心，ＯＡ长为半径画 圆，将两圆相交的公共部分依 次绕点Ｏ顺时针旋转７２°得到 如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若ＯＡ＝１，则图中 “五叶花瓣”的面积为 （　　） Ａ．５π３－ 槡５３ ２ Ｂ． π ６－ 槡３ ４ Ｃ．π－槡３４ Ｄ． 槡５３ ２ － π ６ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．（２０２４哈尔滨三模）一个扇形的面积是２４πｃｍ２， 圆心角是６０°，则此扇形的半径是 ｃｍ． １０．（２０２４泸州一模）如图８，正五边形ＡＢＣＤＥ的边 长为２，以Ｂ为圆心，以ＢＡ为半径作弧ＡＣ，则阴影部分的 面积为 ． １１．传统服饰日益受到关注，明清时期女子主要裙 式之一的马面裙可以近似地看作扇环，如图９所示为其 示意图，其中 ∠ＡＯＤ＝６０°， ) ＡＤ长为 π３米， ) ＢＣ长为 ３π ５米，则裙长ＡＢ为 米． １２．如图１０，已知点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为一个正多边形的顶 点，Ｏ为正多边形的中心，若 ∠ＡＤＢ＝１５°，则这个正多 边形的边数为 ． １３．（２０２４洛阳三模）如图１１，在２×３的网格图中， 每个小正方形的边长均为１，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都在格点上， 线段ＣＤ与弧 ＡＣ交于点 Ｅ，则图中阴影部分的面积为 ． １４．如图 １２，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ２，将正方形 ＡＢＣＤ按如图所示方式在直线ｌ进行两次旋转，则点Ｃ在 两次旋转过程中经过的路径的长是 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图 １３，已知 ⊙Ｏ内接正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的边长为６ｃｍ，求这个正六边形的边心距ｒ６、面 积Ｓ６． １６．（２０２４亳州二模，１０分）如图１４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ＝６，∠ＢＡＣ＝４５°，以ＡＢ为直径作半圆，交ＢＣ于 点Ｄ，交ＡＣ于点Ｅ． （１）求线段ＣＥ的长； （２）求弧ＤＥ的长． １７．（１０分）如图１５，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆 锥的底面圆的半径为４ｍ，高为３ｍ． （１）求这个圆锥的母线长； （２）为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油 毡的面积至少是多少（π取３．１４，结果精确到１ｍ２）？ １８．（２０２４信阳二模，１０分）某数学小组使用量角器 探究圆的相关性质，如图１６所示，将两块量角器完全重 合在一起（量角器的直径为ＡＢ，圆心为Ｏ），保持下面一 块不动，上面的一块沿ＡＢ所在的直线向左平移，当圆心 与点Ａ重合时，量角器停止平移，此时半圆Ｏ与半圆Ａ交 于点Ｐ，连接ＢＰ． （１）ＢＰ与半圆Ａ有怎样的位置关系？请说明理由． （２）若量角器的直径ＡＢ＝４，求图中阴影部分的面 积． １９．（２０２４武汉，１２分）如图１７，ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ＡＴ是⊙Ｏ的切线，ＢＴ交⊙Ｏ于另一点Ｄ，且ＴＤ＝ＢＤ． （１）求证：∠ＡＢＴ＝４５°； （２）若Ｅ为 ) ＡＤ的中点，ＡＢ＝２，连接ＢＥ，求 ) ＤＥ的长 及阴影部分的面积． ２０．（１２分）如图１８－①，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝８， 点Ｃ在⊙Ｏ上且位于直线ＡＢ上方，将半径ＯＣ绕点Ｏ顺 时针旋转４０°，点Ｃ的对应点为点Ｄ，连接ＣＤ，ＢＤ． （１）以 ＣＤ为边的 ⊙Ｏ内接正多边形的边数为 ； （２）当直径ＡＢ平分∠ＣＯＤ时，求 ) ＡＣ的长； （３）如图１８－②，连接ＡＣ并延长，交ＢＤ的延长线 于点Ｅ，当△ＡＢＥ是等腰三角形时，直接写出扇形 ＡＯＤ 的面积                                                                                                                                                                 ． !" #$ %& !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() 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