第18期 5.3 二次函数 5.4 二次函数的图象和性质（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 重点集训营 题型一：函数图象 １．在同一坐标系中，一次函数ｙ＝ａｘ＋ｋ与二次函 数ｙ＝ｋｘ２＋ａ的图象可能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．若二次函数ｙ＝２（ｘ－１）２－ １的图象如图１所示，则坐标原点可 能是 （　　） Ａ．点Ｍ Ｂ．点Ｎ Ｃ．点Ｐ Ｄ．点Ｑ 题型二：比较大小 ３．已知点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）（两点不重合）均在抛 物线ｙ＝ｘ２－１上，则下列说法正确的是 （　　） Ａ．若ｙ１ ＝ｙ２，则ｘ１ ＝ｘ２ Ｂ．若ｘ１ ＝－ｘ２，则ｙ１ ＝－ｙ２ Ｃ．若０＜ｘ１ ＜ｘ２，则ｙ１ ＞ｙ２ Ｄ．若ｘ１ ＜ｘ２ ＜０，则ｙ１ ＞ｙ２ ４．如图２所示，在同一 平面直角坐标系中，两条 抛物线有相同的对称轴， 下列关系不正确的是 （　　） Ａ．ｈ＝ｍ Ｂ．ｋ＝ｎ Ｃ．ｋ＞ｎ Ｄ．ｋ＞０，ｎ＜０ 辅助线周周练 １．如图１，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ｔａｎＢ＝ ３ ４，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＡＥ平分∠ＣＡＢ，分别交ＢＣ，ＣＤ于Ｅ， Ｆ，Ｇ为ＥＦ的中点，连接ＣＧ，则ＥＧＡＧ的值为 ． ２．如图２，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝ ∠Ｄ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ边上的中 点，则ｓｉｎ∠ＥＣＦ的值为 ． 书 【提示】 １．过点Ｅ作ＥＨ⊥ＡＢ于Ｈ，利用角平分线的性质 得ＣＥ＝ＥＨ，设ＡＣ＝３ｋ，ＢＣ＝４ｋ，得到ＡＢ，设ＣＥ＝ ＥＨ＝ｘ，利用等面积法求ｘ的值；证△ＣＦＥ为等腰三 角形，得到∠ＣＧＦ＝９０°，利用勾股定理求ＡＥ，利用 等面积法求ＣＧ，再利用勾股定理即可求得ＥＧ和ＡＧ 的长，即可求出比值． ２．连接ＡＣ，ＥＦ，过Ｅ作ＥＮ⊥ＣＦ于Ｎ，证明 △ＡＢＣ≌△ＡＤＣ，得到∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ，ＢＣ＝ＣＤ，再 证明△ＢＥＣ≌△ＤＦＣ，得到ＣＥ＝ＣＦ，设ＢＥ＝ａ，再 求出ＢＣ，ＣＥ，ＣＦ，设ＦＮ＝ｂ，可得出ＣＮ，在Ｒｔ△ＣＥＮ 和Ｒｔ△ＦＥＮ中，由勾股定理可得ＥＮ ２ ＝ＥＣ ２ －ＣＮ ２ ＝ ＥＦ ２ －ＮＦ ２ ，求出ＮＦ的长，再解出ＥＮ的长，最后求出 所求角的正弦值即可． 书 二次函数是函数大家族中极为重要的成员，它的许 多性质在我们实际生活中有着广泛应用，因此同学们学 习时一定要深刻领会二次函数的概念，通过对问题情境 的分析确定二次函数的表达式，为运用二次函数及其性 质解决实际问题打下坚实的基础． 一、二次函数的概念 一般地，形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０） 的函数，叫做二次函数．其中，ｘ是自变量，ａ，ｂ，ｃ分别是 函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： （１）二次函数的自变量ｘ的最高次数是２； （２）特别要注意ａ≠０这一个条件．若ａ＝０，表达式 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中就不含有二次项，它就成了一次函数 ｙ＝ｂｘ＋ｃ； （３）当ｂ＝０，ｃ＝０时，ｙ＝ａｘ２是特殊的二次函数． 例１　下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二 次函数？ （１）ｙ＝ｘ＋１ｘ；　（２）ｙ＝（３ｘ－１） ２－９ｘ２； （３）ｙ＝１０πｒ２；　（４）ｙ＝槡３ｘ ３＋２ｘ２－５； （５）ｙ＝３（ｘ－１）２＋２０２３；　（６）ｙ＝ １ ２ｘ２ ＋４ｘ． 分析：（１）的最高次数不是２，且含有自变量的式子 包含分式；（２）利用去括号与合并同类项后得ｙ＝－６ｘ＋ １，是一次函数；（３）是二次函数；（４）的自变量的最高次 数是３；（５）整理后可得ｙ＝３ｘ２－６ｘ＋２０２６，符合二次 函数的定义；（６）的最高次数是２，但含有自变量的式 子包含分式． 解：（３）（５）是二次函数，（１）（２）（４）（６）不是二次函数． 方法指导：识别二次函数的关键是：（１）函数的表 达式是整式；（２）经化简整理后，自变量的最高次数是 ２；（３）二次项系数不等于零． 二、建立二次函数模型 解有关二次函数的应用题，与一次函数应用题类 似，都是寻找等量关系，如总利润 ＝单件利润×数量，长 方形的面积 ＝长 ×宽等． 例２　用一根长为８００ｃｍ的木条做一个矩形窗框， 若宽为ｘｃｍ，写出它的面积ｙ与ｘ之间的函数表达式，并 判断ｙ是ｘ的二次函数吗？ 分析：根据矩形的周长表示出长，根据面积 ＝长 × 宽即可得出ｙ与ｘ之间的函数表达式． 解：由题意得，矩形的周长为８００ｃｍ， 所以矩形的长为 ８００－２ｘ ２ ｃｍ， 所以ｙ＝ｘ×８００－２ｘ２ ＝－ｘ ２＋４００ｘ（０＜ｘ＜４００）． 所以ｙ是ｘ的二次函数． 方法指导：列二次函数的表达式要遵循以下步骤： （１）审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，并把 未知量用字母表示；（２）找出已知量、未知量之间的数 量关系，用代数式表示；（３）找出等量关系，把文字语 言、图形语言等用等式表示，并把等式化为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ（ａ≠０）的形式． 书 １６．（１）函数表达 式为ｙ＝１２ｘ． （２）小孔到蜡烛的 距离为４ｃｍ． １７．（１）过点 Ｃ作 ＣＭ⊥ｙ轴于点Ｍ． 因 为 ∠ＡＯＢ ＝ ∠ＣＭＡ ＝ ∠ＢＡＣ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＢＡＯ ＋ ∠ＣＡＭ＝９０°，∠ＡＢＯ＋ ∠ＢＡＯ＝９０°， 所 以 ∠ＡＢＯ ＝ ∠ＣＡＭ， 因为ＢＡ＝ＡＣ， 所 以 △ＡＯＢ ≌ △ＣＭＡ（ＡＡＳ）， 所以ＯＢ＝ＡＭ，ＯＡ ＝ＣＭ， 因为点Ａ的坐标是 （０，６），点 Ｂ的坐标是 （－２，０）， 所以ＯＡ＝６，ＯＢ＝ ２， 所以 ＣＭ ＝６，ＡＭ ＝２， 所以ＯＭ ＝４， 所以点Ｃ的坐标是 （６，４）． （２）因为点Ａ的坐 标是（０，６），点Ｃ的坐标 是（６，４），Ｄ为 ＡＣ的中 点， 所以点Ｄ（３，５）， 因为反比例函数 ｙ ＝ ｋｘ的图象经过点Ｄ， 所以５＝ ｋ３， 解得ｋ＝１５， 故ｋ的值是１５． １８．（１）函数 ｙ１的 表达式为ｙ１＝ ３ ｘ，函数 ｙ２的表达式为 ｙ２ ＝－ｘ ＋４． （２）由平移的性质 可得点Ｄ坐标为（－３，ｎ 书 上期２版 ５．２反比例函数（第一课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ； ３．－２；　４．ａ≠－３；　５．反． ６．（１）由题意，可得ｓ＝６０ｔ（０≤ｔ≤２７７６０），是正比 例函数，比例系数为６０； （２）由题意，可得ｙ＝２０ｘ（ｘ＞０），是反比例函数，比 例系数为２０； （３）由题意，可得ｙ＝１０００ａｘ （ｘ＞０），是反比例函 数，比例系数为１０００ａ． 能力提高 　７．因为反比例函数的表达式为 ｙ＝ ａ＋３ ｘ｜ａ｜－２ ， 所以｜ａ｜－２＝１，ａ＋３≠０， 解得ａ１ ＝３，ａ２ ＝－３（不符合题意，舍去）． 所以该函数表达式为ｙ＝ ６ｘ． ５．２反比例函数（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ； ４．ｘ＜－２或０＜ｘ＜３；　５．３；　６．３． 能力提高　７．（１）反比例函数的表达式为ｙ＝３２ｘ． （２）存在． 设Ｐ点的横坐标为ｍ， 因为Ｓ菱形ＯＡＢＣ ＝ＢＣ·｜ｘＣ｜＝５×４＝２０， 所以Ｓ△ＯＡＰ ＝ １ ２ＯＡ·｜ｘＰ｜＝ １ ２×５｜ｍ｜＝２０， 解得ｍ＝±８， 当ｍ＝８时，ｙ＝３２８ ＝４，即Ｐ（８，４）， 当ｍ＝－８时，ｙ＝３２－８＝－４，即Ｐ（－８，－４）． 综上，存在点Ｐ（８，４）或Ｐ（－８，－４），使得△ＯＡＰ 的面积等于菱形ＯＡＢＣ的面积． ５．２反比例函数（第三课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．３００． 能力提高　４．（１）ｙ＝ －２ｘ＋１０（０≤ｘ≤３）， １２ ｘ（ｘ＞３） { ． （２）能，理由如下： 令ｙ＝１２ｘ ＝１， 解得ｘ＝１２， 因为１２＜１５， 故能在１５天以内达到不超过最高允许的１．０ｍｇ／Ｌ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ａ Ｄ 二、９．－２；　１０．ｙ＝ ２ｘ；　１１．２．２；　１２．（２，６）； １３．４；　１４．５２． 三、１５．由题意，设ｙ１ ＝ｋ１ｘ，ｙ２ ＝ ｋ２ ｘ－２， 因为ｙ＝ｙ１－ｙ２， 所以ｙ＝ｋ１ｘ－ ｋ２ ｘ－２， 因为当ｘ＝１时，ｙ＝１； 当ｘ＝３时，ｙ＝５， 所以 ｋ１＋ｋ２ ＝１， ３ｋ１－ｋ２ ＝５ { ， 解得 ｋ１ ＝ ３ ２， ｋ２ ＝－ １ ２ { ， 所以ｙ＝ ３２ｘ＋ １ ２ｘ－４． 书 一、ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象是一条抛物线，它 的对称轴是ｙ轴，顶点是原点（０，０）． （１）用描点法作二次函数的图象：①列表；②描点； ③连线． （２）当ａ＞０和ａ＜０时，二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 的图象具有不同的性质，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 ｙ轴 （０，０）， 为最 低点 当ｘ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而减 小；当ｘ＞０时， ｙ随 ｘ的增大而 增大 ａ＜０ 向下 ｙ轴 （０，０）， 为最 高点 当ｘ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而增 大；当ｘ＞０时， ｙ随 ｘ的增大而 减小 抛物线ｙ＝ａｘ２的开口大小与｜ａ｜的关系非常密切， 当｜ａ｜越大时，抛物线的开口越小；当｜ａ｜越小时，抛物 线的开口越大． 二、ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象是一条 抛物线，它的对称轴是直线ｘ＝ｈ，顶点坐标为（ｈ，ｋ）．二 次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的性质与ａ，ｈ，ｋ的关 系密切，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 直线 ｘ＝ｈ （ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而减小； 当ｘ＞ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而增大； 当 ｘ＝ｈ时，ｙ有 最小值，其最小 值为ｋ ａ＜０ 向下 直线 ｘ＝ｈ （ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而增大； 当ｘ＞ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而减小； 当 ｘ＝ｈ时，ｙ有 最大值，其最大 值为ｋ 【对应练习见《重点集训营》】 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !" ! " # # $ ! " # ! " # ! " # $ % & ' ! % ! " ( ! " ( ! " ( !)* ! " ( !)* !"!#$%&' ()*+,-./0 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ") % & !!+," & -. ") % ' !!+*" & -/ ! " ( ! & !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 二次函数的图象形象直观地反映了二次函数的性 质，含有大量的有用信息，是考查数形结合思想和获取 图象信息能力的好素材． 一、单图象问题 例１　在同一平面直角坐标系中，一次函数ｙ＝ａｘ ＋ｂ与二次函数ｙ＝ｂ（ｘ－ａ）２的图象大致为 （　　） 分析：本题可先由一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ图象得到字 母系数的正负，再与二次函数ｙ＝ｂ（ｘ－ａ）２的图象相比 较看是否一致． 解：Ａ．由一次函数图象可知，经过一、二、三象限，则 ａ＞０，ｂ＞０，由抛物线可知，开口向上，对称轴在ｙ轴的 右侧，可得ｂ＞０，ａ＞０，故此选项正确； Ｂ．由一次函数图象可知，经过一、二、四象限，则 ａ ＜０，ｂ＞０，由抛物线可知，开口向上，对称轴在ｙ轴的右 侧，可得ｂ＞０，ａ＞０，故此选项错误； Ｃ．由一次函数图象可知，经过二、三、四象限，则 ａ ＜０，ｂ＜０，由抛物线可知，开口向上，对称轴在ｙ轴的右 侧，可得ｂ＞０，ａ＞０，故此选项错误； Ｄ．由一次函数图象可知，经过一、三、四象限，则 ａ ＞０，ｂ＜０，由抛物线可知，开口向下，对称轴在ｙ轴的左 侧，可得ｂ＜０，ａ＜０，故此选项错误．故选Ａ． 例２　二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋ ３）２＋ｋ的图象如图１所示，已知 点 Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２）和 Ｃ（－６．５，ｙ３）都在该图象上，则 ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ３ ＞ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ３ ＞ｙ２ ＞ｙ１ Ｃ．ｙ２ ＞ｙ１ ＞ｙ３ Ｄ．ｙ２ ＞ｙ３ ＞ｙ１ 分析：根据函数表达式可知，其对称轴为直线 ｘ＝ －３，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性，利用 在对称轴的左侧，ｙ随ｘ的增大而增大，可判断ｙ２＞ｙ１＞ ｙ３． 解：由二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋３）２＋ｋ，可知对称轴为直 线ｘ＝－３，根据二次函数图象的对称性可知，点Ａ（－１， ｙ１）与点（－５，ｙ１）对称，点Ｂ（－２，ｙ２）与点（－４，ｙ２）对称． 因为点（－５，ｙ１），Ｃ（－６５，ｙ３）与点（－４，ｙ２）在对 称轴的左侧，所以ｙ随ｘ的增大而增大． 因为 －４＞－５＞－６．５，所以ｙ２＞ｙ１＞ｙ３．故选Ｃ． 二、双图象问题 例３　 如图２，抛物线 ｙ１ ＝ａ（ｘ＋２）２＋ｍ过原点，与抛 物线ｙ２＝ １ ２（ｘ－３） ２＋ｎ交于 点Ａ（１，３），过点Ａ作ｘ轴的平 行线，分别交两条抛物线于点 Ｂ，Ｃ．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为５；②ｘ＝ ０时，ｙ２＝５；③当ｘ＞３时，ｙ１－ｙ２＞０；④ｙ轴是线段ＢＣ 的中垂线，结论正确的是 （填写正确结论的序 号）． 分析：根据二次函数的对称轴判定 ①；令 ｘ＝０，求 出ｙ２的值，比较判定②；观察图象，判定③；令ｙ＝３，求 出Ａ，Ｂ，Ｃ的横坐标，然后求出ＡＢ，ＡＣ的长，判定④． 解：因为抛物线ｙ１ ＝ａ（ｘ＋２） ２＋ｍ与抛物线ｙ２ ＝ １ ２（ｘ－３） ２＋ｎ的对称轴分别为直线ｘ＝－２，直线ｘ＝３， 所以两条抛物线的对称轴距离为５，故①正确； 因为抛物线ｙ２＝ １ ２（ｘ－３） ２＋ｎ交于点Ａ（１，３），所 以２＋ｎ＝３，解得ｎ＝１，所以ｙ２ ＝ １ ２（ｘ－３） ２＋１． 把ｘ＝０代入ｙ２＝ １ ２（ｘ－３） ２＋１，得ｙ２＝ １１ ２≠５， 故②错误； 由图象可知，当ｘ＞３时，ｙ１ ＞ｙ２，所以当ｘ＞３时， ｙ１－ｙ２ ＞０，故③正确； 因为抛物线ｙ１ ＝ａ（ｘ＋２） ２＋ｍ过原点和点Ａ（１，３）， 所以 ４ａ＋ｍ＝０， ９ａ＋ｍ＝３{ ，解得 ａ＝ ３５， ｍ＝－１２５ { ， 所以ｙ１ ＝ ３ ５（ｘ＋２） ２－１２５． 令ｙ１ ＝３，则３＝ ３ ５（ｘ＋２） ２－１２５， 解得ｘ１ ＝－５，ｘ２ ＝１，所以ＡＢ＝１－（－５）＝６； 令ｙ２ ＝３，则 １ ２（ｘ－３） ２＋１＝３， 解得ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝１， 所以点Ｃ（５，３），所以ＡＣ＝５－１＝４，所以ＢＣ＝１０， 所以ｙ轴是线段ＢＣ的中垂线，故④正确． 故填①③④． 练一练：已知二次函数 ｙ＝（ｘ－２ａ）２＋ａ－１（ａ为 常数），当 ａ取不同的值时， 其图象构成一个“抛物线 系”．如图 ３分别是当 ａ＝ －１，ａ＝０，ａ＝１，ａ＝２时 二次函数的图象．它们的顶 点在一条直线上，这条直线的表达式是 ． # " ! $ ! ( " ! ( " ! ( " ! ( " " 12 3 4 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ( " !)() ! % ! ( 0 " & " " % 1 2 ! & ! ( 3*& 3*% 3*+ 3*(% " ! ) " 56 7 8 " ! " #! !!!" " $"% !" !"#$ 9:;<=>?:*@ "# / % ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. %&'()* 1ABCD<EF 1ABDGHIJKLMN 1ABDOPQRSTUVEW ;X$YZ[\] Y^_`ab cdefgh\]ij_!,%'(+-+-.k/l & '( `ab ) & '( mno ) # * +, 7pb ) & '( q r ) & '( s t -+./0, 7 u 12./0, 7vw *34/5, x y *3467( z{| n}~  € ‚ƒ „ … †‡ˆ m‰Š „‹v Œ { Žƒ a ‘’ “‘” ma• –t: —˜€ ™ ˆ š›œ nž 80-+( x Ÿ 809:( n  ;<-+(  ‘¡ =>-+, ¢ £ ?@AB, ¤¥¦ ##$§¨§] 0 #©“§\] #Z[­®¯_+)1%(1&-%&12 ##$°±_1A²³´µ‚¶·¸¹º %)& j;X$Y9:;<Z[­ #»¼Z½_+)+++2 #µ¾­¿$ÀÁ_+)1%!1&-%%&1 +)1%!1&-%&)-ÂKÃl #¿Ä_ÅÆ#$µ¾­±ÇÈÉcÊË»Ì(Íl #»¼¿ÄÀÁ_%%%31 #ÎÏÐÑ¿ÒÓ¿ÔÕ¿ ##$ÖÉcʲkµ0×GØÙÚ$ #ÛÜQRÝÎÞj_%'++++'+++%%+ #ÛÜ­®¯_+)1%!1&-%&11 ##$ßà62áKLâãSTUV(äåµæç·èéêëìIJí %% jlîâïðSâñòóô&ïÅÆ#$µ¾­±Çõö " ÷3 øùú (.û %ï' ]:ül (ýþ ' ])*+,l Â.û &ï) ]:ül 0 4 5 1 6 2 ! & 26 7 5 4 1 0 ! " 书 －３）， 因为点Ｄ在函数ｙ１ 的图象上， 所以－３（ｎ－３）＝ ２ｎ，解得ｎ＝ ９５， 所以ｎ的值为 ９５． 附加题　（１）一次 函数的表达式为 ｙ１ ＝ －ｘ＋３． （２）①因为点 Ｂ，Ｃ 都在第一象限，ｋ＝－１， 联立ｙ１，ｙ２得－ｘ＋ ｂ＝ｍｘ， 整理，得 －ｘ２＋ｂｘ －ｍ＝０， 由题意知该方程有 解， 所 以 ｂ２ － ４ × （－１）×（－ｍ）＝ｂ２－ ４ｍ≥０． ②因为ｍ－ｂ＝２， 所以ｍ＝ｂ＋２， 由①知，当ｂ２－４ｍ ＝０时，Ｂ，Ｃ重合，此时 ＢＣ最小， 所以ｂ２－４（ｂ＋２） ＝０， 解得ｂ＝２± 槡２３， 又因为ｂ≥６，而２±槡２３ ＜６， 所以当ｂ＝６，ｍ＝ ８时，ＢＣ有最小值， 令－ｘ＋６＝ ８ｘ， 整理，得 －ｘ２＋６ｘ －８＝０， 解得 ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝ ４， 故 Ｂ（４，２），Ｃ（２， ４）， 所 以 ＢＣｍｉｎ ＝ （４－２）２＋（２－４）槡 ２ ＝ 槡２２． 上期４版 重点集训营 １．Ｂ；　２．－４＜ｙ ＜－４３． ３．（１）一次函数的 表达式为ｙ１＝ｘ－４，反 比例函数的表达式为ｙ２ ＝１２ｘ． （２）对于ｙ１ ＝ｘ－ ４，令ｘ＝０，则ｙ１＝－４， 所以Ｃ（０，－４）， 因为点Ｅ是点Ｃ关 于ｘ轴的对称点， 所以Ｅ（０，４）， 所以ＥＣ＝８，所以 Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＣＥＢ ＋Ｓ△ＣＥＡ ＝１２×８×２＋ １ ２×８× ６＝３２． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列各式中，ｙ是关于ｘ的二次函数的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝４ｘ＋２ Ｂ．ｙ＝ａｘ２＋１ Ｃ．ｙ＝３ｘ２＋５－４ｘ Ｄ．ｙ＝ １ ｘ２ ２．二次函数ｙ＝ｘ２＋２的对称轴为 （　　） Ａ．直线ｘ＝２ Ｂ．直线ｘ＝０ Ｃ．直线ｘ＝－２ Ｄ．直线ｘ＝１ ３．若函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｍ的图象上有两点Ａ（０，ｙ１）， Ｂ（１，ｙ２），则 （　　） Ａ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ１ ＝ｙ２ Ｄ．ｙ１，ｙ２的大小不确定 ４．已知二次函数ｙ＝－１４（ｘ－２） ２＋５，若ｙ随ｘ的 增大而减小，则ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ＞２ Ｂ．ｘ＜２ Ｃ．ｘ＞－２ Ｄ．ｘ＜－２ ５．若抛物线ｙ＝１３（ｘ－２） ２向右平移ｍ（ｍ＞０）个 单位长度后经过点（３，３），则ｍ＝ （　　） Ａ．１ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ ６．已知抛物线ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｋ（ａ＜０，ａ，ｋ为常 数），Ａ（－３，ｙ１），Ｂ（－１，ｙ２），Ｃ（２，ｙ３）是抛物线上三点， 则ｙ１，ｙ２，ｙ３由小到大依序排列为 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ Ｂ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３ Ｃ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ２ ＜ｙ１ ７．关于抛物线ｙ＝－４（ｘ＋６）２－５的图象，下列结论 正确的是 （　　） Ａ．对称轴是直线ｘ＝６ Ｂ．当ｘ＜－６时，ｙ随ｘ的增大而增大 Ｃ．与ｙ轴的交点坐标是（０，－５） Ｄ．顶点坐标是（－６，５） ８．在正比例函数ｙ＝ｋｘ中，ｙ随ｘ的增大而减小，则 二次函数ｙ＝ｋ（ｘ－１）２的图象大致是 （　　） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．一台机器原价５０万元，如果每年的折旧率是 ｘ， 两年后这台机器的价格为ｙ万元，则ｙ与ｘ的函数表达式 为 ． １０．已知抛物线ｙ＝ａｘ２的图象开口向上，且｜ａ｜＝ ４，则ａ＝ ． １１．已知关于ｘ的二次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ２－ｘ＋ｍ２ －１的图象经过原点，则ｍ的值为 ． １２．已知函数ｙ１ ＝ａ１ｘ ２，ｙ２ ＝ａ２ｘ ２，ｙ３ ＝ａ３ｘ ２如图１ 所示，则ａ１，ａ２，ａ３由小到大的顺序为 ． １３．已知二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ，当ａ≤ｘ≤ｂ时，其最 小值为－１，最大值为３，则ｂ－ａ的最大值是 ． １４．二次函数ｙ＝ｘ２的函数图象如图２，点Ａ０位于坐 标原点，点Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，…都在ｙ轴的正半轴上，点Ｂ１， Ｂ２，Ｂ３，Ｂ４，…都在二次函数ｙ＝ｘ ２位于第一象限的图象 上，且 △Ａ０Ｂ１Ａ１，△Ａ１Ｂ２Ａ２，△Ａ２Ｂ３Ａ３，… 都是直角顶点 在抛物线上的等腰直角三角形，则△Ａ１０Ｂ１１Ａ１１的斜边长 为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１０分）已知ｙ＝（ｋ＋２）ｘｋ２＋ｋ－４是二次函数，且 当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的增大而增大． （１）求ｋ的值； （２）求该函数的顶点坐标和对称轴． １６．（１０分）如图３，已知二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 与一次函数ｙ＝ｋｘ－２的图象相交于Ａ（－１，－１），Ｂ两 点． （１）ａ＝ ，ｋ＝ ； （２）求点Ｂ的坐标； （３）直接写出ａｘ２ ＜ｋｘ－２时ｘ的取值范围． １７．（１２分）如图４，抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ＜ ０，ｋ＞０）的顶点为Ａ，对称轴与ｘ轴交于点Ｃ，当以ＡＣ为 对角线的正方形ＡＢＣＤ的另外两个顶点Ｂ，Ｄ恰好在抛物 线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方 形ＡＢＣＤ为它的内接正方形． （１）当抛物线ｙ＝ａｘ２＋２是“美丽抛物线”时，则ａ ＝ ； （２）当抛物线ｙ＝－１２（ｘ－１） ２＋ｋ是“美丽抛物 线”时，则ｋ＝ ； （３）若抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ是“美丽抛物线”， 求ａ，ｋ之间的数量关系． １８．（１２分）如图５，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３与 ｘ轴交于Ａ（－３，０）和Ｂ（１，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ． （１）求抛物线的表达式； （２）设抛物线的顶点为Ｍ，试判断△ＡＣＭ的形状； （３）在ｘ轴上方的抛物线上是否存在一点 Ｐ，使 △ＰＡＢ的面积为８，若存在，请直接写出点 Ｐ的坐标；若 不存在，请说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 ５．３二次函数 １．当函数ｙ＝（ａ－１）ｘ２＋ｂｘ＋ｃ是二次函数时，ａ 的取值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ａ＝１ Ｂ．ａ＝－１ Ｃ．ａ≠－１ Ｄ．ａ≠１ ２．设ａ，ｂ，ｃ分别是二次函数ｙ＝－ｘ２＋３的二次项 系数、一次项系数、常数项，则 （　　） Ａ．ａ＝－１，ｂ＝３，ｃ＝０ Ｂ．ａ＝－１，ｂ＝０，ｃ＝３ Ｃ．ａ＝－１，ｂ＝３，ｃ＝３ Ｄ．ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝３ ３．若二次函数ｙ＝（２ｘ－１）２＋１的二次项系数为 ａ，一次项系数为 ｂ，常数项为 ｃ，则 ｂ２－４ａｃ ０（填“＞”“＜”或“＝”）． ４．若函数ｙ＝ｘｍ－１＋ｘ－３是关于ｘ的二次函数，则 ｍ＝ ． ５．根据下面的描述列出函数表达式，并判断列出 的关系式是否为二次函数． （１）正方体的体积ｙ与棱长ｘ之间的关系； （２）某商品在６月的售价为３０元，７月和８月连续 两次降价销售，平均每月降价的百分率为ｘ，该商品８月 的售价ｙ与ｘ之间的关系； （３）距离ｓ一定时，汽车匀速行驶的时间ｙ与速度ｘ 之间的关系； （４）等腰三角形的顶角度数ｙ与底角度数ｘ之间的 关系． ６．已知函数ｙ＝ｍ（ｍ＋２）ｘ２＋ｍｘ＋ｍ＋１． （１）当ｍ为何值时，此函数是一次函数？ （２）当ｍ为何值时，此函数是二次函数？ ５．４二次函数的图象和性质（第一课时） １．下列抛物线，开口最大的是 （　　） Ａ．ｙ＝ １４ｘ ２ Ｂ．ｙ＝ｘ２ Ｃ．ｙ＝２ｘ２ Ｄ．ｙ＝－３ｘ２ ２．当ａｂ＞０时，ｙ＝ａｘ２与ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象大致 是 （　　） ３．已知二次函数ｙ＝ａｘ２的图象开口向上，请写出 一个符合条件的ａ的值： ． ４．已知点（－１，２）在二次函数ｙ＝ｋｘ２的图象上，则 ｋ的值是 ． ５．如图１，正方形的边长为３，以 正方形的中心为原点建立平面直角 坐标系，作出函数 ｙ＝２ｘ２ 与 ｙ＝－２ｘ２的图象，则图中阴影部分 的面积是 ． ６．如图２，直线ｙ＝－ｘ＋ｂ与ｙ 轴交于点Ａ，与抛物线ｙ＝ａｘ２交于 Ｂ，Ｃ两点，且点Ｂ坐标为（２，２）． （１）求ａ，ｂ的值； （２）连接ＯＣ，ＯＢ，求△ＢＯＣ的面积． ５．４二次函数的图象和性质（第二课时） １．抛物线ｙ＝２（ｘ＋９）２－３的顶点坐标是 （　　） Ａ．（９，－３） Ｂ．（－９，－３） Ｃ．（９，３） Ｄ．（－９，３） ２．下列关于抛物线ｙ＝－（ｘ＋２）２＋３的性质，说法 正确的是 （　　） Ａ．开口向上 Ｂ．顶点坐标是（２，３） Ｃ．对称轴是直线ｘ＝－２ Ｄ．当 －５＜ｘ≤０时，－６＜ｙ≤－１ ３．二次函数ｙ＝（ｘ－３２） ２＋３４ 的图象（１≤ｘ≤３）如图１所示，则该 函数在所给自变量的取值范围内，函 数值ｙ的取值范围是 （　　） Ａ．ｙ≥ ３４ Ｂ．３４ ＜ｙ＜３ Ｃ．３４≤ｙ≤３ Ｄ．０≤ｙ≤３ ４．已知二次函数ｙ＝（ｘ－ｍ）２＋１，当ｘ＜１时，ｙ随 着ｘ的增大而减小，请写出一个符合条件的 ｍ的值是 ． ５．如果二次函数ｙ＝３（ｘ－２）２－ｍ的图象经过坐 标原点，那么ｍ的值为 ． ６．二次函数ｙ＝（ｘ－１）２＋２，当 －３＜ｘ＜２时， ｙ的取值范围是 ． ７．已知二次函数ｙ＝２（ｘ－ｍ）２－２（ｍ是常数）的 图象经过点Ｐ（ａ，ｂ）． （１）若ａ＝３，ｂ＝６，求ｍ的值； （２）若点Ｐ到对称轴的距离为１，求ｂ的值． ５．４二次函数的图象和性质（第三课时） １．抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋９的顶点坐标是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（３，０） Ｂ．（－３，０） Ｃ．（－３，９） Ｄ．（３，９） ２．已知二次函数ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋５，当ｙ随ｘ的增大 而增大时，ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≤－１ Ｂ．ｘ≥１ Ｃ．ｘ≤１ Ｄ．ｘ≥－１ ３．关于二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｂ，ｃ是常数）的图 象，点点和圆圆两位同学分别准确描述了该函数图象 特征：点点说该函数图象的对称轴是直线ｘ＝１；圆圆说 该函数图象的顶点到ｘ轴的距离为２．则该二次函数可 能是 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋３ Ｂ．ｙ＝ｘ２－２ｘ＋１ Ｃ．ｙ＝ｘ２－２ｘ＋３ Ｄ．ｙ＝ｘ２＋４ｘ－３ ４．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）图象的对 称轴为直线 ｘ＝１，且经过点（－１，ｙ１），（０，ｙ２），则 ｙ１ ｙ２（填“＞”“＜”或“＝”）． ５．二次函数ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋ｃ在 －３≤ｘ≤２的范 围内有最小值 －５，则ｃ的值是 ． ６．如图，直线ｙ＝－２３ｘ＋２分别交ｘ轴、ｙ轴于Ａ， Ｂ两点，抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ过点Ａ，Ｂ． （１）求抛物线的表达式； （２）点Ｍ是抛物线上的一点，且在直线ＡＢ上方，连 接ＡＭ，ＢＭ．设点Ｍ横坐标为ｍ，△ＡＢＭ的面积为Ｓ，求Ｓ 与ｍ之间的函数表达式，并直接写出自变量 ｍ的取值 范围． 如图，已知二次函数ｙ＝ｘ２－ａｘ的对称轴为直线ｘ ＝２，过点Ａ（５，ｂ）． （１）直接写出ａ，ｂ的值； （２）若点Ｂ是抛物线对称轴上的一点，且点Ｂ在第 一象限，当△ＯＡＢ的面积为１５时，求Ｂ的坐标； （３）在（２）的条件下，Ｐ是ｙ轴上的点，当ＰＡ－ＰＢ 的值最大时，求Ｐ的坐标 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! 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