第13期 4.4～4.7（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 二、９．２ｘ２－３ｘ＋５ ＝０；　１０．ｍ≤ ９８； １１．－１；　１２．ｘ１＝ ４，ｘ２ ＝－１；　１３．１； １４．１－槡１７２ ． 三、１５．（１）ｘ１ ＝１， ｘ２ ＝－２； （２）ｘ１ ＝１＋槡 ６ ２，ｘ２ ＝１－槡６２； （３）ｘ１ ＝ ５＋槡１７ ４ ， ｘ２ ＝ ５－槡１７ ４ ． １６．（１）等式的基 本性质． （２）③，等号右边 没有加４． （３）移项，得２ｘ２－ ８ｘ＝１８，两边同除以２， 得ｘ２－４ｘ＝９，配方得， ｘ２－４ｘ＋４＝９＋４，即（ｘ －２）２ ＝１３，所以 ｘ－２ ＝ 槡１３或 ｘ－２ ＝ －槡１３，所以 ｘ１ ＝２＋ 槡１３，ｘ２ ＝２－槡１３． １７．（１）一元二次 方程３ｘ２＋７ｘ＋４＝０为 星辰方程．理由如下： 因为当ｘ＝－１时， ３－７＋４＝０，所以一元 二次方程３ｘ２＋７ｘ＋４＝ ０为星辰方程． （２）因为４ｘ２－ｍｘ ＋ｎ＝０是关于ｘ的星辰 方程，所以４＋ｍ＋ｎ＝ ０，即ｎ＝－（ｍ＋４），因 为ｍ是此星辰方程的一 个根，所以４ｍ２－ｍ２＋ｎ ＝０，即ｎ＝－３ｍ２，所以 －３ｍ２ ＝－（ｍ＋４），整 理得３ｍ２－ｍ－４＝０， 解得 ｍ１ ＝ ４ ３，ｍ２ ＝ －１，所以 ｍ的值为 ４３ 书 上期２版 ４．１一元二次方程 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｃ； ６．２００（１＋ｘ）２ ＝２８８；　７．２０２５；　８．ｘ＝－３． ９．ｂ＝１，ｃ＝－２． ４．２用配方法解一元二次方程 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ； ４．ｘ１ ＝３＋槡１０，ｘ２ ＝３－槡１０； ５．第二象限；　６．ｘ１ ＝ｘ２ ＝３． ７．（１）ｘ１ ＝ ７ ２，ｘ２ ＝－ ７ ２； （２）ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－２； （３）ｘ１ ＝－９，ｘ２ ＝－３； （４）ｘ１ ＝３＋槡１１，ｘ２ ＝３－槡１１． 能力提高　８．（１）代数式ｘ２－４ｘ的最小值为 －４． （２）ａ２＋ｂ２＋ａｂ－６ｂ＋１４＝（ａ２＋ａｂ＋１４ｂ ２）＋ ３ ４（ｂ ２－８ｂ）＋１４＝（ａ＋１２ｂ） ２＋３４（ｂ ２－８ｂ＋１６）＋ １４－１２＝（ａ＋１２ｂ） ２＋３４（ｂ－４） ２＋２，因为（ａ＋ １ ２ｂ） ２≥０，３４（ｂ－４） ２≥０，所以（ａ＋１２ｂ） ２＋３４（ｂ－ ４）２＋２≥２，所以当ａ＝－１２ｂ，ｂ＝４时，ａ ２＋ｂ２＋ａｂ－ ６ｂ＋１４有最小值，为２． ４．３用公式法解一元二次方程 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．３±槡１１； ５．３－槡１７４ ；　６．０． ７．（１）ｘ１ ＝ －５＋槡１７ ４ ，ｘ２ ＝ －５－槡１７ ４ ； （２）ｘ１ ＝槡 ２ ２，ｘ２ ＝－ 槡２２． 能力提高　８．（１）此方程的根为ｋ－２和 －１． （２）ｋ＞２． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ 书 重点集训营 １．近两年某县县委、县政府将课后服务列入为民办 实事项目，全县多所小学、初中课后服务全面启动．预计 两年后参与课后服务学生可由最初的 ２万人增加至 ２．８８万人，如果每年的平均增长率相同，那么这两年课 后服务人数的平均增长率为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１．４４％ Ｂ．１０％ Ｃ．１４．４％ Ｄ．２０％ ２．如图，某农家乐老 板计划在一块长１３０ｍ，宽 ６０ｍ的空地开挖两块形状 大小相同的垂钓鱼塘，它 们的面积之和为５７５０ｍ２，两块垂钓鱼塘之间及周边留 有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 （　　） Ａ．４．５ｍ Ｂ．５ｍ Ｃ．５．５ｍ Ｄ．６ｍ ３．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各 种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近 几年销售量全球第一，某年一款新能源车销售量为１５万 辆，销售量逐年增加，到第三年销售量为２１．６万辆，则这 款新能源汽车销售量的年平均增长率是 ． ４．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物，进价 为每个１５元，第一天以每个２５元的价格售出３０个，为了 让更多的消费者拥有吉祥物，从第二天起降价销售，根 据市场调查，单价每降低１元，可多售出３个．设销售单 价定为ｘ元． （１）超市从第二天起日销售量增加 个，每 个吉祥物盈利 元（用含ｘ的代数式表示）； （２）针对这种吉祥物的销售情况，该商店要保证每 天盈利２２５元，同时又要使顾客得到实惠，那么吉祥物的 销售单价应定为多少元                               ？ 书 辅助线周周线 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．如图１，矩形ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝８，ＡＤ＝４，Ｅ，Ｈ 分别为 ＡＢ，ＤＣ的中点，Ｆ 为 ＥＣ上一动点，连接 ＡＨ，交 ＤＥ，ＤＦ分别为点 Ｏ，Ｐ，连接ＰＢ，则ＰＢ的最 小值是 ． ２．如图 ２，在正方形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝３，点Ｍ在ＣＤ的边上，且 ＤＭ ＝１，△ＡＥＭ与 △ＡＤＭ关于 ＡＭ所在的直线对称，将△ＡＤＭ按 顺时针方向绕点 Ａ旋转９０°得到 △ＡＢＦ，连接ＥＦ，则线段 ＥＦ的长 为 ． 书 一、增长率问题 例１　建设美丽城市，改造老旧小区．某市第一年投 入资金１０００万元，第三年投入资金１４４０万元，现假定每 年投入资金的增长率相同． （１）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长 率； （２）若第三年老旧小区改造的平均费用为每个 ８０万元．第四年为提高老旧小区品质，每个小区改造 费用增加１５％．如果投入资金年增长率保持不变，求 该市在第四年最多可以改造多少个老旧小区？ 解：（１）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增 长率为ｘ， 依题意，得１０００（１＋ｘ）２ ＝１４４０，解得ｘ１ ＝０．２＝ ２０％，ｘ２ ＝－２．２（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ２０％． （２）设该市在第四年可以改造ｙ个老旧小区， 依题意，得８０×（１＋１５％）ｙ≤１４４０×（１＋２０％）， 解得ｙ≤４３２２３， 又因为ｙ为整数，所以ｙ的最大值为１８． 答：该市在第四年最多可以改造１８个老旧小区． 二、面积问题 例２　 如图，某小区矩 形绿地的长宽分别为３５ｍ， １５ｍ．现计划对其进行扩充， 将绿地的长、宽增加相同的 长度后，得到一个新的矩形绿地． （１）若扩充后的矩形绿地面积为８００ｍ，求新的矩形 绿地的长与宽； （２）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长是宽 的 ５ ３倍，求新的矩形绿地面积． 解：（１）设将绿地的长、宽增加ｘｍ，则新的矩形绿地 的长为（３５＋ｘ）ｍ，宽为（１５＋ｘ）ｍ， 根据题意，得（３５＋ｘ）（１５＋ｘ）＝８００，整理得ｘ２＋ ５０ｘ－２７５＝０， 解得ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝－５５（不符合题意，舍去），所以３５ ＋ｘ＝３５＋５＝４０，１５＋ｘ＝１５＋５＝２０． 答：新的矩形绿地的长为４０ｍ，宽为２０ｍ． （２）设将绿地的长、宽增加ｙｍ，则新的矩形绿地的 长为（３５＋ｙ）ｍ，宽为（１５＋ｙ）ｍ， 根据题意，得３５＋ｙ＝ ５３（１５＋ｙ），解得ｙ＝１５， 所以（３５＋ｙ）（１５＋ｙ）＝（３５＋１５）×（１５＋１５）＝ １５００． 答：新的矩形绿地面积为１５００ｍ２． 三、营销问题 例３　某公司为了提高公司经济效益，进行了科技 攻关．最近研发出一种新型高科技设备，每台设备成本 价为３０万元，经过市场调研发现，每台售价为４５万元 时，年销售量为５５０台；每台售价为５０万元时，年销售量 为５００台．假定该设备的年销售量ｙ（单位：台）和销售单 价ｘ（单位：万元）成一次函数关系． （１）求年销售量ｙ与销售单价ｘ的函数关系式； （２）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于６５万 元，如果该公司想获得１２０００万元的年利润，则该设备 的销售单价应是多少万元？ 解：（１）设年销售量ｙ与销售单价ｘ的函数关系式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， 将（４５，５５０），（５０，５００）代入 ｙ＝ ｋｘ＋ｂ，得 ４５ｋ＋ｂ＝５５０， ５０ｋ＋ｂ＝５００{ ，解得 ｋ＝－１０， ｂ＝１０００{ ． 故年销售量ｙ与销售单价 ｘ的函数关系式为 ｙ＝ －１０ｘ＋１０００． （２）设此设备的销售单价为ｘ万元／台，则每台设备 的利润为（ｘ－３０）万元，销售数量为（－１０ｘ＋１０００）台， 根据题意，得（ｘ－３０）（－１０ｘ＋１０００）＝１２０００， 整理，得ｘ２－１３０ｘ＋４２００＝０，解得ｘ１＝６０，ｘ２＝７０． 因为此设备的销售单价不得高于６５万元，所以ｘ＝６０． 答：该设备的销售单价应是６０万元 ／台． 【对应练习见《重点集训营》】 书 一元二次方程是初中数学的重要知识之一，也是 每年中考必考的考点之一．在考查时，常常将一元二次 方程与其他数学知识联系在一起，赋予一元二次方程 崭新的背景，使得考题更加新颖．下面举例说明，以便 同学们学习时参考． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、与不等式交朋友 例１　已知不等式组 ｘ－ａ＞０①， １ ２ｘ－３＜１ { ②有３个整数 解，则关于ｘ的方程ａｘ２＋（２ａ－１）ｘ＋ａ＝０根的情况 为 （　　） Ａ．无法判断 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根 Ｄ．无实数根 解：解不等式①得ｘ＞ａ，解不等式②得ｘ＜８， 因为不等式组有解， 所以ａ＜ｘ＜８， 因为不等式组有３个整数解， 所以４≤ａ＜５， 因为ａ≠０， 所以方程ａｘ２＋（２ａ－１）ｘ＋ａ＝０为一元二次方 程， 因为Δ＝（２ａ－１）２－４ａ２ ＝－４ａ＋１，而４≤ａ＜ ５， 所以Δ＜０，所以方程没有实数根． 故选Ｄ． 二、与菱形交朋友 例２　已知菱形ＡＢＣＤ的两条对角线长是方程 ｘ２ －７ｘ＋１２＝０的两个根，则菱形ＡＢＣＤ的面积为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７．５ Ｃ．１０ Ｄ．１２．５ 解：因为ｘ２－７ｘ＋１２＝０， 解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝４， 所以菱形ＡＢＣＤ的面积为 １２×３×４＝６． 故选Ａ． 三、与函数图象交朋友 例３　若实数ｋ，ｂ是一元二次方程（ｘ＋３）（ｘ－１） ＝０的两个根，且ｋ＜ｂ，则一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象 不经过 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 解：因为实数ｋ，ｂ是一元二次方程（ｘ＋３）（ｘ－１） ＝０的两个根，且ｋ＜ｂ， 所以ｋ＝－３，ｂ＝１， 所以函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象经过第一、二、四象限， 不经过第三象限． 故选Ｃ． 书 解一元二次方程时究竟采用哪种解法呢？这就要求 同学们仔细观察，捕捉方程的系数特点和结构特征，灵 活选择适当的方法，力求解题过程简捷明快，也能提高 准确率． 一、方程中无一次项或满足（ｘ－ｍ）２ ＝ｎ结构时优 先考虑直接开平方法 例１　解方程：３ｘ２－２７＝０． 分析：整理方程后，利用直接开平方法求解即可． 解：方程整理，得ｘ２ ＝９， 解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－３． 二、方程缺少常数项或方程的两边有公因式时，优 先考虑因式分解法 例２　解方程：３（ｘ－３）＝（ｘ－３）２． 分析：注意到方程两边都有公因式ｘ－３，用因式分 解法求解即可． 解：方程移项，得３（ｘ－３）－（ｘ－３）２ ＝０， 整理，得（ｘ－３）（６－ｘ）＝０， 所以ｘ－３＝０或６－ｘ＝０， 解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝６． 三、当方程的二次项系数为１，一次项的系数是偶数 时，优先考虑配方法 例３　解方程：ｘ２－４ｘ＋２＝０． 分析：注意到原方程中二次项系数和一次项系数的 特征，考虑用配方法求解． 解：因为ｘ２－４ｘ＋２＝０，所以ｘ２－４ｘ＝－２， 所以ｘ２－４ｘ＋４＝－２＋４，即（ｘ－２）２ ＝２， 所以ｘ－２＝－槡２或ｘ－２＝槡２， 解得ｘ１ ＝２－槡２，ｘ２ ＝２＋槡２． 四、以上三种方法都不易求解时，考虑用公式法求解 例４　解方程２ｘ２－３ｘ＝１－２ｘ． 分析：原方程既不能运用因式分解法，又不能运用 配方法，所以考虑用公式法． 解：原方程化为２ｘ２－ｘ－１＝０， 因为ａ＝２，ｂ＝－１，ｃ＝－１， 所以Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（－１）２－４×２×（－１）＝９＞０， 所以ｘ＝１±槡９２×２ ＝ １±３ ４ ， 所以ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－ １ ２． 书 对于二次三项式ｘ２＋ｐｘ＋ｑ，如果能够把常数项ｑ分 解成两个因数ａ，ｂ的积，并且ａ＋ｂ等于一次项的系数ｐ， 那么它就可以分解因式，即ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）． 当ｑ＞０时，ｑ分解的因数ａ，ｂ同号，且ａ，ｂ符号与ｐ 符号相同，如ｘ２＋１４ｘ＋４５＝（ｘ＋５）（ｘ＋９），ｘ２－９ｘ＋ １４＝（ｘ－２）（ｘ－７）． 当ｑ＜０时，ｑ分解的因数ａ，ｂ异号，且其中绝对值较 大的因数符号与 ｐ符号相同，如 ｘ２－７ｘ－６０＝（ｘ－ １２）（ｘ＋５），ｘ２＋ｘ－７２＝（ｘ－８）（ｘ＋９）． 一般地，（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）＝ａ１ａ２ｘ ２＋ａ１ｃ２ｘ＋ ａ２ｃ１ｘ＋ｃ１ｃ２ ＝ａ１ａ２ｘ ２＋（ａ１ｃ２＋ａ２ｃ１）ｘ＋ｃ１ｃ２． 反过来，就得到 ａ１ａ２ｘ ２＋（ａ１ｃ２＋ａ２ｃ１）ｘ＋ｃ１ｃ２ ＝ （ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）． 我们发现，二次项ａｘ２分解成ａ１ｘａ２ｘ，常数项ｃ分解 成ｃ１ｃ２，并且把ａ１ｘ，ａ２ｘ，ｃ１，ｃ２排列如下： ａ１ｘ ａ２ｘ ｃ１ ｃ２ 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ａ１ｘｃ２ ＋ ａ２ｘｃ１，如果它们正好等于ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ的一次项ｂｘ，那么 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ就可以分解成（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２），其中 ａ１ｘ，ｃ１位于上图的上一行，ａ２ｘ，ｃ２位于下一行． 像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把 二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． 一般地，我们也可以用这种方法解一元二次方程， 请看下面的例题． 例　用十字相乘法解下列方程： （１）ｘ２＋６ｘ－７＝０；　（２）２ｘ２－５ｘ－３＝０． 分析：先将二次项分解成两个因式的乘积，然后分 解常数项，再验证． 解：（１）ｘ２＋６ｘ－ ７ ＝ ０； 　  　ｘ 　ｘ ７ －１ 或 －７ １ 因为 －ｘ＋７ｘ＝６ｘ，所以（ｘ－１）（ｘ＋７）＝０， 解得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－７． （２）２ｘ２－５ｘ－ ３ ＝ ０． 　  　２ｘ 　ｘ １ －３ 或 －１ ３ 因为２ｘ×（－３）＋ｘ＝－６ｘ＋ｘ＝－５ｘ， 所以（２ｘ＋１）（ｘ－３）＝０，解得ｘ１ ＝－ １ ２，ｘ２ ＝３． 通过上面的例题，可以将十字相乘法解一元二次方 程分为以下步骤：（１）竖分二次项与常数项；（２）交叉相 乘，积相加；（３）检验确定，横写结果． 即拆两头，凑中间，拆分常数项，验证一次项． ! !" #$% """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! ! " #! !!"# " $"% !" !"#$ &'( !)"*+,- .+/0123+45 !" 6 % ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. %&'()* !789:0;< !78:=>?@ABCD !78:EFGHIJKL;M /NOPQRS* PTUVWX YZ[\]^S*_`U!"#$%&'&'(&)a & '( VWX ) & '( bcd ) # * +, efX ) & '( g h ) & '( i j -+./0, e k 12./0, elm *34/5, n o *3467( pqr cst u v w$x y z {|} b~ y€ ‚ q ƒ„x …†W u‡ˆ ‰‡Š bW‹ Œj+ Žv  } ‘’ c“” 80-+( n • 809:( c “ ;<-+( –‡— =>-+, ˜ ™ ?@AB, š›œ #OžŸž* * # ‰žS* #QR¤¥¦U&,+-.+/'#/+0 #O§¨U!7©ª«¬$­®¯°± -,/ `/NOP.+/0Q²¤ #³´QµU&,&&&0 #¬¶¤·O¸¹U&,+-#+/'--/+ &,+-#+/'-/,'&Aºa #·»U¼½O¬¶¤¨¾¿ÀYÁ³ÃÄÅa #³´·»¸¹U---1+ #ÆÇÈÉ·ÊË·ÌÍ· #OÎÀYÁ©Ä¬-Ï=ÐÑÒO #ÓÔGHÕÆÖ`U-2&&&&2&&&--& #ÓÔ¤¥¦U&,+-#+3'-/++ #O×ØÙÚÛABÜÝIJKLÄÞ߬àá®âãäåæ?@ç -- `aèÜéêIÜëìíîïé¼½O¬¶¤¨¾ðñ !ò7 óW’ !ØÙ ˜ ô ,+ 4 -+ 4 !õÙ eör """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! " # $ % & ' ! 3 ( ! $ & ) * + ! - , 书 【提示】 １．连接ＢＨ，易得点Ｐ的运动轨迹为ＯＨ，当ＰＢ⊥ ＡＨ时，ＰＢ有最小值，由矩形的性质可得ＢＨ⊥ＡＨ，所 以ＰＢ的最小值为ＢＨ的长，根据勾股定理即可得出 结果． ２．连接ＢＭ．先判定△ＦＡＥ≌△ＭＡＢ，即可得到 ＥＦ＝ＢＭ．再根据ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＢ＝３，ＣＭ＝２，利用 勾股定理即可得到ＢＭ＝５，进而得出ＥＦ的长． """""""""""""""""""" -,& 4 0& 4 ÷ø#Oùïú &û4üýþ'6a ÿ'( -é2 *+!a &"# 2 *û4üýa 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｘ＋ｋ＝０有两个实 数根，则实数ｋ的取值范围是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｋ≤１ Ｂ．ｋ＞１ Ｃ．ｋ＝１ Ｄ．ｋ≥１ ２．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋２ｘ＋１－２ｍ＝０的 两个实数根之积为负数，则实数ｍ的取值范围是 （　　） Ａ．ｍ＞０ Ｂ．ｍ＞１２ Ｃ．ｍ＜ １ ２ Ｄ．ｍ＜０ ３．某药品原价为１００元，连续两次降价ａ％后，售价 为６４元，则ａ的值为 （　　） Ａ．２０ Ｂ．２３ Ｃ．３０ Ｄ．３６ ４．若一元二次方程ｘ２－８ｘ＋３＝０的两个实数根分 别是ａ，ｂ，则关于ｘ的一次函数ｙ＝ａｂｘ－ａ－ｂ的图象一 定不经过 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ５．三角形的两边长分别是８和６，第三边长是一元 二次方程ｘ２－１６ｘ＋６０＝０的一个实数根，那么该三角 形的面积为 （　　） Ａ．２４或 槡８５ Ｂ．４８ 槡Ｃ．１６ Ｄ．８５ ６．如图１，把小圆形场地的半径 增加５米得到大圆形场地，场地面积 扩大了一倍，则小圆形场地的半径是 （　　） Ａ．（槡５２＋５）米 Ｂ．（槡５２＋２）米 Ｃ．（槡５２－５）米 Ｄ．（槡２５＋５）米 ７．根据图２所示的程序，当输入一元二次方程ｘ２－ ５ｘ＝０的根ｘ时，输出ｙ的值为 （　　） Ａ．－４或 －１ Ｂ．－４ Ｃ．２ Ｄ．－４或１ ８．对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上 的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的 ２倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数２１５６， 因为２×６＝２×（１＋５），所以２１５６是“共生数”．有一 个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数 字相等，百位上的数字比千位上的数字多３，十位上的数 字比个位上数字的一半少１，则这个“共生数”四位数的 个位数字为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．用因式分解法解一元二次方程ｘ２－ｐｘ－６＝０时， 若ｘ－３是该方程左边二次三项式的一个因式，则ｐ的值 是 ． １０．某型号电动汽车，第一年充满电可行驶５００ｋｍ， 第三年充满电可行驶４０５ｋｍ，则该型号电动汽车续航里 程平均每年衰减的百分比为 ． １１．若ｘ１，ｘ２是一元二次方程ｘ ２＋３ｘ－１＝０的两根， 则 １ ｘ１ ＋１ｘ２ ＝ ． １２．已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长，若方程（ａ－ｃ）ｘ２ ＋２ｂｘ＋ａ＋ｃ＝０有两个相等的实数根，则 △ＡＢＣ是 三角形． １３．九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签 平均分成Ａ，Ｂ两组，在每一组中进行单循环的小组赛 （每两个班之间比赛一场），再选出每组的前４名进行比 赛，最后进行决赛得出名次．若Ａ组共进行了２１场小组 赛，则九年级共有 个班． １４．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率 七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问 甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地 点出发，甲的速度为７，乙的速度为３，乙一直向东走，甲 先向南走１０步，后又斜向北偏东走了一段后与乙相遇， 甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１２分）解方程： （１）ｘ（２ｘ＋１）＝２ｘ＋１； （２）ｘ２－１＝２（ｘ＋１）； （３）ｘ（５ｘ＋４）＝２ｘ． １６．（１０分）芯片行业是制约我国工业发展的主要 技术之一．经过大量科研技术人员艰苦攻关，我国芯片 有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降． 原来每片芯片的单价为２００元，准备进行两次降价．如果 该芯片经过两次降价后每片芯片单价为１２８元，求每次 降价的百分率． １７．（１０分）如下表，方程１、方程２、方程３…是按照 一定的规律排列的一列方程，解方程３，并将它的解填在 表中的空白处． 序号 方程 方程的解 １ ｘ２＋２ｘ－３＝０ ｘ１ ＝１ ｘ２ ＝－３ ２ ｘ２＋４ｘ－１２＝０ ｘ１ ＝２ ｘ２ ＝－６ ３ ｘ２＋６ｘ－２７＝０ ｘ１ ＝ ｘ２ ＝ … … … … （１）请写出这列方程中第ｎ个方程，并写出它的解； （２）用你探究的规律求方程ｘ２＋２０ｘ－３００＝０的 解． １８．（１２分）某中学准备利用围墙的一段 ＭＮ，再砌 三面墙围成一个如图３所示的矩形花园 ＡＢＣＤ（围墙最 多可利用２５米）．已知三面围墙的总长度为４０米． （１）要使矩形花园的面积为１５０平方米，则ＡＢ的长 度为多少米？ （２）在条件不变的情况下，有人提议要围成面积为 ２１０平方米的花园，这个提议是否可行？为什么                                                                                                                                                                 ？ 书 ４．４用因式分解法解一元二次方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在解一元二次方程ｘ（ｘ＋１）＝ｘ＋１的过程中， 变形正确的是 （　　） Ａ．（ｘ＋１）（ｘ－１）＝０ Ｂ．ｘ＝１ Ｃ．（ｘ－１）２ ＝０ Ｄ．（ｘ＋１）２ ＝０ ２．一个等腰三角形的两条边长分别是方程ｘ２－６ｘ ＋８＝０的两根，则该等腰三角形的周长是 （　　） Ａ．２ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１０或８ ３．当ｘ＝ 时，多项式３ｘ２＋６ｘ－８的值与１ －２ｘ２的值互为相反数． ４．现定义运算“□”，对于任意实数ａ，ｂ，都有ａ□ｂ ＝ａ２－３ａ＋ｂ，如：３□５＝３２－３×３＋５，若ｘ□２＝６， 则实数ｘ的值是 ． ５．解方程： （１）２ｙ２＋６ｙ＝ｙ＋３； （２）２ｘ（ｘ－３）＝５（ｘ－３）． ６．阅读下面的材料并解答问题： 分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘 法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解 因式４ｘ２－３ｘｙ－ｙ２，方法如下：拆两头，４ｘ２拆为４ｘ，ｘ， －ｙ２拆为ｙ，－ｙ，然后排列如下： ４ｘ ｙ ｘ －ｙ 交叉相乘积相加得－３ｘｙ，凑得中间项，所以分解为 ４ｘ２－３ｘｙ－ｙ２＝（４ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）．参考以上方法解方程 ４ｘ２－５ｘ＋１＝０． ４．５一元二次方程根的判别式 １．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｘ＋ｍ＝０有两个 相等的实数根，则ｍ的值是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．已知函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象 如图所示，则一元二次方程 ｘ２＋ｘ ＋ｋ－１＝０根的存在情况是 （　　） Ａ．没有实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．有两个不相等的实数根 Ｄ．无法确定 ３．如果关于ｘ的一元二次方程ｍｘ２＋２ｘ＋１＝０的 根的判别式的值为１，那么ｍ＝ ． ４．关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋（ｍ＋４）ｘ－２ｍ－１２ ＝０． （１）求证：方程总有两个实数根； （２）如果方程的两根相等，求此时方程的根． ４．６一元二次方程根与系数的关系 １．方程２ｘ２－１＝６ｘ的两根为ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２等于 （　　） Ａ．－１２ Ｂ． １ ２ Ｃ．－３ Ｄ．３ ２．已知ｘ１，ｘ２是一元二次方程ｘ ２＋３ｘ－１＝０的两 个实数根，则ｘ２２＋２ｘ２－ｘ１的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．１ Ｃ．－２ Ｄ．－１ ３．关于ｘ的一元二次方程２ｘ２＋４ｍｘ＋ｍ＝０有两 个不同的实数根 ｘ１，ｘ２，且 ｘ ２ １ ＋ｘ ２ ２ ＝ ３ １６，则 ｍ ＝ ． ４．已知关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｍ＝０的一个根为２ ＋槡３． （１）求ｍ的值及方程的另一个根； （２）设方程的两个根为ｘ１，ｘ２，求ｘ ２ｎ １ｘ ２ｎ＋１ ２ ＋ｘ１的值． ４．７一元二次方程的应用（第一课时） １．如图，有一块试验园地是边长 为６０米的正方形，为了便于管理，现 要在中间开辟一横两纵的等宽小道， 使得剩下的种植面积为 ３４２２平方 米，则小道的宽为 （　　） Ａ．０．５米 　　　　Ｂ．１米 Ｃ．１．５米 　　　　Ｄ．２米 ２．某商场将进价为３０元的台灯以单价４０元售出， 平均每月能售出６００个．调查表明：这种台灯的单价每 上涨１元，其销售量将减少 １０个．为实现平均每月 １００００元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这 种台灯的售价应定为 元． ３．学校秋季运动会上，九年级准备队列表演，一开 始排成８行１２列，后来又有８４名同学积极参加，使得队 列增加的行数比增加的列数多１，现在队列表演时的列 数是 ． ４．劳动节期间，康辉旅行社发布了“南召县五朵山 风景区的旅游信息”，某企业组织一批优秀员工到该风 景区参加一日游活动，依据一日游信息，该企业一共支 付给康辉旅行社２８００元．请你算一算该企业参加这次 旅游的优秀员工一共有多少人？ 南召县五朵山风景区一日游信息表（仅限劳动节期间） 旅游人数 收费标准（含交通费、午餐费） 不超过３０人 人均收费８０元 超过３０人 每增加１人，人均收费降低１元， 但人均收费不低于５５元 ４．７一元二次方程的应用（第二课时） １．李师傅家的超市今年１月盈利３０００元，３月盈利 ３６３０元．若从１月到３月，每月盈利的平均增长率都相 同，则这个平均增长率是 （　　） Ａ．１０．５％ Ｂ．１０％ Ｃ．２０％ Ｄ．２１％ ２．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共 有１４４人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传 染的人数是 （　　） Ａ．２２ Ｂ．２０ Ｃ．１１ Ｄ．１０ ３．如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶 数，则它的周长为 ． ４．随着旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需 求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加． （１）该宾馆床位数从５月的２００个增长到７月的 ２８８个，求该宾馆这两月拥有的床位数的月平均增长 率； （２）根据市场经验发现每床每日收费４０元，２８８张 床可全部租出，若每床每日收费提高１０元，则租出床位 减少２０张，若想平均每天获利１４８８０元，同时又减轻游 客的经济负担，则每张床位应定价为多少元？ 阅读材料：分解因式ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－１６时我们这样 做：ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－１６＝（ｘ－ｙ）２－１６＝（ｘ－ｙ＋４）（ｘ －ｙ－４），这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种 分组的思想方法解决下列问题： 知识运用：（１）试用“分组分解法”分解因式：ｘ２－ ｙ２＋ｘｚ－ｙｚ； 解决问题：（２）①已知 ａ，ｂ，ｃ为 △ＡＢＣ的三边，且 ｂ２＋２ａｂ＝ｃ２＋２ａｃ，试判断△ＡＢＣ的形状； ②已知四个实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ满足ａ≠ｂ，ｃ≠ｄ，并且ａ２ ＋ａｃ＝１２ｋ，ｂ２＋ｂｃ＝１２ｋ，ｃ２＋ａｃ＝２４ｋ，ｄ２＋ａｄ＝２４ｋ 同时成立． Ⅰ．当ｋ＝１时，求ａ＋ｃ的值； Ⅱ．当ｋ≠０时，用含有ａ的代数式分别表示 ｂ，ｃ， ｄ（直接写出答案即可） 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 或 －１． １８．（１）－３；６． （２）当ｘ＜２时，根 据ｘ※２＝３※ｘ，可得４ －２ｘ＝３ｘ－ｘ２，解得ｘ１ ＝１，ｘ２＝４（舍去）；当２ ≤ｘ＜３时，根据 ｘ※２ ＝３※ｘ，可得２ｘ－４＝ ３ｘ－ｘ２，解 得 ｘ１ ＝ １＋槡１７ ２ ，ｘ２ ＝ １－槡１７ ２ （舍去）；当 ｘ ≥ ３时，根据 ｘ※２＝ ３※ｘ，可得２ｘ－４＝ｘ２－ ３ｘ，解得ｘ１＝１（舍去）， ｘ２ ＝４． 综上所述，ｘ的值 为１或１＋槡１７２ 或４． 附加题 　 对于方 程ｘ２－２｜ｘ－２｜－４＝ ０， ①当ｘ－２≥０时， 即ｘ≥２，原方程可变为 ｘ２－２（ｘ－２）－４＝０， 解得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝２，因 为ｘ≥２，所以ｘ＝０舍 去； ②当ｘ－２＜０时， 即ｘ＜２，原方程可变为 ｘ２－２（２－ｘ）－４＝０， 解得ｘ１＝２，ｘ２＝－４，因 为ｘ＜２，所以ｘ＝２舍 去，所以原方程的解为 ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－４． 上期４版 重点集训营 １．（１）ｘ１ ＝－ ２ ３，ｘ２ ＝２； （２）ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝ １ ３； （３）ｘ１ ＝槡２－２，ｘ２ ＝－槡２－２； （４）ｘ１ ＝ ２ ３，ｘ２ ＝－４； （５）ｘ１ ＝ｘ２ ＝槡 ２ ４； （６）ｘ１＝５，ｘ２＝１． ２．（１）因为 ａ ! ｂ ＝ａ（ａ－ｂ）＋１，ｘ ! （－２）＝４，所以 ｘ（ｘ＋ ２）＋１＝４，所以ｘ２＋２ｘ －３＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２ ＝－３，所以 ｘ的值为１ 或 －３． （２）由题意，得２（２ －ａ）＋１＜５，解得ａ＞ ０，所以ｂ２－４×（－１）× ａ＝ｂ２＋４ａ＞０，所以方 程有实数根． !"#$ ! %& !" #$ %& '(")*+,- ./0123"45 # !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 6789:;<70= #$ 4 %&'( ! 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