第10期 3.6 弧长及扇形面积的计算 3.7 正多边形与圆（参考答案见12期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 １６．（１）ＤＥ＝ＢＤ，理 由：因为点 Ｅ是 △ＡＢＣ的 内 心， 所 以 ＡＤ 平 分 ∠ＢＡＣ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所 以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ，∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＥ，所以 ) ) ＢＤ＝ＣＤ， 所以 ∠ＤＢＣ＝∠ＣＡＤ ＝ ∠ＢＡＥ，因 为 ∠ＤＢＥ ＝ ∠ＣＢＥ＋∠ＤＢＣ，∠ＤＥＢ＝ ∠ＡＢＥ ＋ ∠ＢＡＥ， 所 以 ∠ＤＢＥ＝∠ＤＥＢ，所以ＤＥ ＝ＤＢ． （２）连接 ＣＤ，由（１） 得 ) ) ＢＤ＝ＣＤ，所以ＣＤ＝ＢＤ ＝ＤＥ＝２，因为∠ＢＡＣ＝ ９０°，所以 ＢＣ是 ⊙Ｏ的直 径，所以 ∠ＢＤＣ＝９０°，所 以ＢＣ＝ ＢＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ 槡２２，所以△ＡＢＣ外接圆的 半径 ＝ １２ＢＣ＝槡２． １７．（１）证明：连接 ＯＣ，因为 ＯＤ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＤＥＣ＝９０°，所以 ∠Ｄ＋ ∠ＤＣＥ＝９０°，因为∠Ａ＝ ∠Ｄ，所以∠Ａ＋∠ＤＣＥ＝ ９０°，因为 ＯＡ＝ＯＣ，所以 ∠Ａ＝∠ＡＣＯ，所以∠ＡＣＯ ＋∠ＤＣＥ＝９０°，所以 ＯＣ ⊥ＣＤ，因为ＯＣ是⊙Ｏ的半 径，所以 ＣＤ是 ⊙Ｏ的切 线． （２）因为ＡＢ＝ＣＤ＝ 槡２５，所以 ＯＣ＝槡５，所以 在Ｒｔ△ＯＣＤ中，由勾股定 理，得ＯＤ＝ ＣＤ２＋ＯＣ槡 ２ ＝５．因为Ｓ△ＣＯＤ ＝ １ ２ＯＣ· ＣＤ＝ １２ＯＤ·ＣＥ，所以ＣＥ ＝ＯＣ·ＣＤＯＤ ＝２，因为 ＯＤ ⊥ＡＣ，所以ＡＣ＝２ＣＥ＝４． １８．（１）△ＢＤＥ为等腰 直角三角形． 证明：如图，因为点 Ｅ 是△ＡＢＣ的内心，所以∠１ ＝∠２，∠３＝∠６，因为 ∠４＝∠６，所以∠２＋∠３ ＝∠１＋∠４，因为 ∠５＝ ∠２＋∠３，所以∠５＝∠１ ＋∠４，即∠５＝∠ＤＢＥ，所 以ＤＢ＝ＤＥ，因为ＡＢ为直 径，所以 ∠ＡＤＢ＝９０°，所 以△ＢＤＥ为等腰直角三角 形． （２）连接 ＯＤ，因为 △ＢＤＥ为等腰直角三角 形，ＢＥ＝２，所以ＢＤ＝ＤＥ 书 上期２版 ３．４直线与圆的位置关系（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．４或８； ５． 槡２ １３－４． ６．ＡＤ与⊙Ｏ相切，证明：连接ＯＡ并延长与ＢＣ交于 点Ｅ，与⊙Ｏ交于点Ｆ，因为ＡＢ＝ＡＣ，所以 ) ) ＡＢ＝ＡＣ，所 以 ) ) ＢＦ＝ＣＦ，所以ＡＯ⊥ＢＣ，因为ＡＤ∥ＢＣ，所以ＯＡ⊥ ＡＤ，因为ＯＡ为⊙Ｏ的半径，所以ＡＤ与⊙Ｏ相切． 能力提高　７．（１）证明：连接ＯＤ，因为△ＡＢＣ是等 边三角形，所以∠ＢＡＣ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，因为ＯＡ＝ ＯＤ，所以△ＯＡＤ是等边三角形，所以 ∠ＡＯＤ＝∠Ｂ＝ ６０°，所以ＯＤ∥ＢＣ，因为ＤＦ⊥ＢＣ，所以ＯＤ⊥ＤＦ，因为 ＯＤ为⊙Ｏ的半径，所以ＤＦ是⊙Ｏ的切线． （２）由（１）知ＡＤ＝ＯＡ＝ｒ，所以ＣＤ＝ａ－ｒ，因为 ∠Ｃ＝６０°，ＤＦ⊥ ＢＣ，所以 ∠ＣＤＦ＝３０°，所以 ＣＦ＝ １ ２ＣＤ＝ １ ２（ａ－ｒ），所以ＢＦ＝ａ－ １ ２（ａ－ｒ）＝ １ ２（ａ ＋ｒ）．因为ＡＥ＝２ｒ，所以ＢＥ＝ａ－２ｒ．因为ＥＦ是⊙Ｏ的 切线，所以∠ＦＥＢ＝９０°，因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＦＥ＝ ３０°，所以ＢＥ＝１２ＢＦ，即ａ－２ｒ＝ １ ２× １ ２（ａ＋ｒ），解得 ｒ＝ １３ａ．因此，当ＥＦ是⊙Ｏ的切线时，⊙Ｏ的半径ｒ＝ １ ３ａ． ３．４直线与圆的位置关系（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．１４；　４．１０３；　５．１００． ６．（１）△ＰＤＥ的周长是８． （２）∠ＡＦＢ＝６０°． 能力提高　７．（１）ＰＡ＝５． （２）①因为∠Ｐ＝４０°，所以∠ＰＣＤ＋∠ＰＤＣ＝１８０° －４０°＝１４０°，所以 ∠ＡＣＤ＋∠ＢＤＥ＝３６０°－１４０°＝ ２２０°．因为ＰＡ，ＰＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的切线，点Ａ，Ｂ，Ｅ为切点，所 以∠ＡＣＯ ＝∠ＤＣＯ ＝ １２∠ＡＣＤ，∠ＢＤＯ ＝∠ＥＤＯ ＝ １ ２∠ＢＤＥ，所以∠ＯＣＤ＋∠ＯＤＣ＝ １ ２×２２０°＝１１０°，所 以∠ＣＯＤ＝１８０°－１１０°＝７０°． ②∠ＡＥＢ的度数为１１０°． ３．５三角形的内切圆 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｂ；　４．（槡５２－５）； ５． 槡２ １０． ６．ＣＥ的长为３． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ａ 二、９．１；　１０．３２；　１１．５５°；　１２．槡１０；　１３．７０°； １４．６＋槡６１． 三、１５．（１）证明：因为３２＋４２＝５２，所以ＭＥ２＋ＡＥ２ ＝ＡＭ２，所以△ＡＥＭ为直角三角形，即∠ＡＥＭ＝９０°，所 以ＡＥ⊥ＭＮ．又因为ＭＮ∥ＢＣ，所以ＡＢ⊥ＢＣ，因为ＡＢ 为直径，所以ＢＣ是⊙Ｏ的切线． （２）⊙Ｏ的半径为２５８． ! " # $ % & ' ( ! " # $ % & 书 重点集训营 １．如图１，在平面直角坐标系中，已知 ⊙Ｄ经过原 点Ｏ，与 ｘ轴、ｙ轴分别交于 Ａ，Ｂ两点，Ｂ点坐标为（０， 槡２３），ＯＣ与⊙Ｄ交于点Ｃ，∠ＯＣＡ＝３０°，则图中阴影 部分面积为 （结果保留根号和π）． ２．如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的切线，Ｂ为切点，ＯＡ与 ⊙Ｏ 交于点Ｃ，以点Ａ为圆心、以ＯＣ的长为半径作 ) ＥＦ，分别 交ＡＢ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ．若ＯＣ＝２，ＡＢ＝４，则图中阴影部 分的面积为 ． ３．如图３，点 Ａ，Ｂ，Ｃ是 ⊙Ｏ上的点，连接 ＡＢ，ＡＣ， ＢＣ，且∠ＡＣＢ＝１５°，过点Ｏ作ＯＤ∥ＡＢ交⊙Ｏ于点Ｄ， 连接ＡＤ，ＢＤ．已知⊙Ｏ的半径为２，则图中阴影部分的 面积为 ． ４．如图４，在边长为４的正方形ＡＢＣＤ中，以ＡＢ为 直径的半圆交对角线ＡＣ于点Ｅ，以Ｃ为圆心、ＢＣ长为 半径画弧交 ＡＣ于点 Ｆ，则图中阴影部分的面积是 ． 辅助线周周练 １．如图１，已知菱形ＯＡＢＣ的边ＯＡ在ｘ轴上，点Ｂ 的坐标为（８，４），点 Ｐ是对角线 ＯＢ上的一个动点，点 Ｄ（０，２）在ｙ轴上，当 ＣＰ＋ＤＰ最短时，点 Ｐ的坐标为 ． ２．如图２，点Ｐ为边长为２的正方形ＡＢＣＤ外一动 点，且ＰＡ⊥ＰＢ，连接ＡＣ，ＰＣ，则△ＰＡＣ的最大面积为 ． 书 【提示】 １．连接ＡＣ，ＡＤ，分别交ＯＢ于点Ｇ，Ｐ，作ＢＫ⊥ＯＡ 于点Ｋ．因为点Ａ与点Ｃ关于ＯＢ对称，所以当ＣＰ＋ ＤＰ最小时，ＣＰ＋ＤＰ＝ＡＤ，求出Ａ点坐标，再求出直 线ＯＢ，ＤＡ的表达式，列方程组求出交点坐标即为点 Ｐ的坐标． ２．依题意，作以ＡＢ为直径的⊙Ｏ交线段ＡＣ于 点Ｅ，连接ＰＥ，ＯＥ，ＢＥ，可得△ＡＥＢ为等腰直角三角 形；因为Ｓ△ＰＡＣ＝２Ｓ△ＰＡＥ，所以要使得△ＡＰＣ的面积 最大，只需使得△ＡＰＥ面积最大即可，又因为ＡＥ长 度为定值，只需使△ＡＰＥ中ＡＥ边上的高最大即可． 书 求与圆有关的阴影部分的面积这类题目在各地考 试题中时常出现，所给阴影部分的图形一般是不规则 的，需要将不规则图形转化成规则图形求解．现介绍几 种转化方法，供大家学习时参考． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、和差转化法 例１　 如图 １，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ和ＢＤ交于点Ｏ，过 点Ｏ的直线ＥＦ交ＡＢ于点Ｅ（Ｅ 不与Ａ，Ｂ重合），交ＣＤ于点Ｆ． 以点Ｏ为圆心，ＯＣ为半径的圆 交直线 ＥＦ于点 Ｍ，Ｎ．若 ＡＢ＝ １，则图中阴影部分的面积为 （　　） Ａ．π８－ １ ８ Ｂ． π ８－ １ ４ Ｃ． π ２－ １ ８ Ｄ． π ２－ １ ４ 解析：因为在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，所以由勾股 定理，得ＡＣ＝槡２，⊙Ｏ的半径ＯＢ＝ １ ２ＡＣ＝ 槡２ ２． 因为ＥＦ过点Ｏ，根据中心对称的性质，可得四边形 ＥＢＣＦ的面积等于正方形面积的一半，又因为 Ｓ△ＯＢＣ ＝ １ ４Ｓ正方形ＡＢＣＤ， 所以阴影部分面积 ＝ １２×Ｓ⊙Ｏ － １ ２×Ｓ正方形ＡＢＣＤ － （Ｓ扇形ＯＢＣ －Ｓ△ＯＢＣ）＝ １ ２π× １ ２－ １ ２－ ９０ ３６０π× １ ２＋ １ ４ ＝π８－ １ ４．故选Ｂ． 二、等积转化法 例２　如图２，边长为４的正 方形 ＡＢＣＤ的对角线交于点 Ｏ， 以ＯＣ为半径的扇形的圆心角 ∠ＦＯＨ＝９０°．则图中阴影部分面积是 ． 解析：因为四边形ＡＢＣＤ为正方形，所以ＯＢ＝ＯＣ， ∠ＢＯＣ＝９０°，∠ＯＢＥ＝∠ＯＣＧ＝４５°， 因为扇形的圆心角 ∠ＦＯＨ＝９０°，所以 ∠ＢＯＣ－ ∠ＣＯＥ＝∠ＦＯＨ－∠ＣＯＥ，即∠ＢＯＥ＝∠ＣＯＧ． 在△ＯＣＧ和△ＯＢＥ中，∠ＯＢＥ＝∠ＯＣＧ，∠ＢＯＥ＝ ∠ＣＯＧ，ＯＢ＝ＯＣ，所以△ＯＣＧ≌△ＯＢＥ，所以Ｓ△ＯＣＧ ＝ Ｓ△ＯＢＥ． 因为正方形边长为４，所以ＡＣ＝ ４２＋４槡 ２ ＝ 槡４２， 所以ＯＣ＝ 槡２２，因为Ｓ扇形 ＝π（槡２２） ２×９０３６０＝２π， 所以Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形 －（Ｓ△ＯＥＣ＋Ｓ△ＯＣＧ）＝Ｓ扇形 －（Ｓ△ＯＥＣ ＋Ｓ△ＯＢＥ）＝Ｓ扇形 － １ ４Ｓ正方形ＡＢＣＤ ＝２π－４．故填２π－４． 三、容斥原理法 例３　如图３，在矩形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，以Ａ为圆心，ＡＤ长 为半径画弧交ＡＢ于点 Ｅ，以 Ｃ为圆 心，ＣＤ长为半径画弧交 ＣＢ的延长 线于点Ｆ，则图中阴影部分的面积是 ． 解析：因为在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，∠Ａ＝ ∠Ｃ＝９０°，所以ＣＤ＝ＡＢ＝６，ＡＤ＝ＢＣ＝４， 所以 Ｓ阴影 ＝ Ｓ扇形ＦＣＤ －（Ｓ矩形ＡＢＣＤ －Ｓ扇形ＤＡＥ） ＝ ９０π×６２ ３６０ －（６×４－ ９０π×４２ ３６０ ）＝９π－２４＋４π＝１３π－ ２４．故填１３π－２４． 【对应练习见《重点集训营》】 书 以几何图形的滚动或旋转为载体，探求在运动过 程中某个点所经过的路线长度（即弧长）的试题是考 试的常见类型题，也是同学们学习的难点，现对这类问 题的解题思路进行分析，供大家参考． 一、旋转三角形 例１　如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ 的斜边 ＡＢ在直线 ｌ上，ＡＣ ＝１，ＡＢ＝２．将Ｒｔ△ＡＢＣ绕 点Ｂ在平面内按顺时针方 向旋转，使边ＢＣ落在直线ｌ 上，得到△Ａ１ＢＣ１，再将△Ａ１ＢＣ１绕点Ｃ１在平面内按顺 时针方向旋转，使边 Ａ１Ｃ１ 落到直线 ｌ上，得到 △Ａ２Ｂ１Ｃ１，则点Ａ所经过的路线长为 ． 解析：Ａ转到Ａ１所经过路线是以Ｂ为圆心、以２为 半径、圆心角为１５０°的弧长 ＝１５０π×２１８０ ＝ ５π ３；Ａ１转到 Ａ２所经过路线是以Ｃ１为圆心、以１为半径、圆心角为 ９０°的弧长 ＝９０π×１１８０ ＝ π ２，所以Ａ转到Ａ２所经过路线 长为 ５π ３＋ π ２ ＝ １３π ６．故填 １３π ６． 二、滚动正方形 例２　 如图２，将边长为 槡２ｃｍ的正方形ＡＢＣＤ沿直线 ｌ向右翻转（不滑动），当正方 形连续翻转８次后，正方形的 中心Ｏ经过的路线长是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　槡Ａ．８２ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．３πｃｍ Ｄ．４πｃｍ 解析：因为正方形ＡＢＣＤ的边长为槡２ｃｍ，所以对角 线的一半长为１ｃｍ，则连续翻转８次后，正方形的中心 Ｏ经过的路线长 ＝８×９０π×１１８０ ＝４π（ｃｍ）．故选Ｄ． 三、翻转扇形 例３　如图３，扇形ＯＡＢ从图①无滑动旋转到图 ②，再由图②到图③（由图②到图③的过程中，始终 与射线ｌ相切），若∠Ｏ＝６０°，ＯＡ＝１，则Ｏ点运动的路 径长为 ． 解析：如图４，第一段路径为弧长ＯＯ ) １＝ ９０π×１ １８０ ＝ π ２，第二段路径为弧长 ) ＡＢ′＝６０π·１１８０ ＝ π ３，第三段路 径为弧长Ｏ２Ｏ ) ３＝ ９０π·１ １８０ ＝ π ２，即Ｏ点在射线ｌ上运动 的路径长为 π ２＋ π ３＋ π ２ ＝ ４π ３．故填 ４π ３． 书 利用弧长公式可以直接计算弧长，也可以由公式变 形求圆心角和半径．下面就弧长公式的应用举例说明如 下，供同学们学习参考． 一、求弧长 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１　为减少安全隐患，某学校将一批方角型书桌更 换为圆角型书桌．已知此书桌桌角所在圆的半径为５ｃｍ， 所对的圆心角为９０°，则一个桌角的弧长为 ｃｍ． 解析：根据弧长公式，得一个桌角的弧长为 ９０×π×５ １８０ ＝ ５π ２． 故填 ５ ２π． 二、求半径 例２　已知圆上一段弧长为４πｃｍ，它所对的圆心 角为１００°，则该圆的半径为 ｃｍ． 解析：设圆的半径为ｒｃｍ，则１００πｒ１８０ ＝４π， 解得ｒ＝７．２． 故填７．２． 三、求圆心角 例３　已知一个扇形的半径为６，弧长为２π，则这个 扇形的圆心角为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．３０° Ｃ．９０° Ｄ．１２０° 解析：因为ｌ＝ｎπｒ１８０，所以ｎ＝ １８０ｌ πｒ ＝６０°． 故选Ａ． 四、求复杂路径 例４　如图，一个长为 ４，宽为３的长方形木板斜 靠在水平桌面上的一个小 方块上，其长边与水平桌 面成３０°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑 动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面ｌ上，则木板上点 Ａ滚动所经过的路径长为 ． 解析：点Ａ翻滚到Ａ２位置时，共走过的路径长是两 段弧的弧长，第一次的旋转是以 Ｍ为圆心，ＡＭ为半径， 旋转的角度是６０度，第二次是以Ｎ为圆心，矩形的对角 线为半径，旋转的角度是９０度，所以根据弧长公式可得 路径长 ＝６０π１８０×４＋ ９０π １８０× ３ ２＋４槡 ２ ＝２３６π． 故填 ２３ ６π． 书 正六边形与圆联系紧密，在每年各地的考试中，常 常会遇到圆与正六边形有关的试题．下面选择几例加以 说明． 一、求面积 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例 １ 如图 １，正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的边长为２，则该正六边 形的外接圆与内切圆所形成的圆 环面积为 ． 分析：连接 ＯＡ，ＯＢ，作 ＯＭ⊥ ＡＢ于点Ｍ，证明△ＡＯＢ是等边三 角形，得出ＯＡ＝ＡＢ＝２，ＡＭ＝１２ＡＢ＝１，由勾股定理求 出ＯＭ，再由圆的面积公式即可得出圆环的面积． 解：连接ＯＡ，ＯＢ，作ＯＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，则∠ＡＯＢ＝ ６０°．因为ＯＡ＝ＯＢ，所以△ＡＯＢ是等边三角形，所以ＯＡ ＝ＡＢ＝２，ＡＭ ＝ １２ＡＢ＝１， 所以ＯＭ ＝ ２２－１槡 ２ ＝槡３，即正六边形外接圆的 半径为２，它的内切圆的半径为槡３，所以圆环的面积 ＝ π［２２－（槡３） ２］＝π． 故填π． 二、求角度 例 ２　 如图 ２，正六边形 ＡＢＣＤＥＦ内接于⊙Ｏ，点Ｍ在 ) ＡＢ 上，则∠ＣＭＥ的度数为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．３６° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 分析：先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定 理求解即可． 解：连接 ＯＣ，ＯＤ，ＯＥ，因为正六边形 ＡＢＣＤＥＦ内接 于⊙Ｏ，所以∠ＣＯＤ＝３６０°６ ＝６０°，则∠ＣＯＥ＝１２０°， 所以∠ＣＭＥ＝ １２∠ＣＯＥ＝６０°． 故选Ｄ． 三、求边长 例 ３　 如图 ３，正六边形 ＡＢＣＤＥＦ内接于 ⊙Ｏ，若 ⊙Ｏ的 周长等于６π，则正六边形的边长 为 （　　） 槡 槡Ａ．３ Ｂ．６ 槡Ｃ．３ Ｄ．２３ 分析：连接ＯＢ，ＯＣ，由⊙Ｏ的周长等于６π，可得⊙Ｏ 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案． 解：连接ＯＢ，ＯＣ，因为⊙Ｏ的周长等于６π，所以⊙Ｏ 的半径为３，因为∠ＢＯＣ＝１６×３６０°＝６０°，ＯＢ＝ＯＣ， 所以△ＯＢＣ是等边三角形，所以ＢＣ＝ＯＢ＝３， 所以它的内接正六边形ＡＢＣＤＥＦ的边长为３． 故选Ｃ． ! ! " #! !!"# " $"% !" !"#$ !"# !$"%&'( )&*+,-.&/0 !" 1 % ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. %&'()* 23456+78 23469:;<=>?@ 2346ABCDEFGH7I *JKLMNO% LPQRST UVWXYZO%[\Q'(!$)*+*+,!-( & '( RST ) & '( ]^_ ) # * +, `aT ) & '( b c ) & '( d e -+./0, ` f 12./0, `gh *34/5, i j *3467( klm ^no p q rst u v wxy ]z{ u|g } l ~t €S p‚ƒ „‚… ]S† ‡e& ˆ‰q Š y ‹Œ ^Ž 80-+( i  809:( ^ Ž ;<-+( ‘‚’ =>-+, “ ” ?@AB, •–— !˜K™š™% !›„™O% !MNŸ ¡Q/#%!0%"+!"%& !˜K¢£Q23¤¥¦§s¨©ª«¬ !#" \*JKL)&*+MNŸ !­®M¯Q/#///& !§°Ÿ±K²³Q/#%!#%"+!!"% /#%!#%"+!"#+́ =µ( !±¶Q·¸˜K§°Ÿ£¹º»U¼½­¾¿À( !­®±¶²³Q!!!1% !ÁÂÃıÅƱÇȱ !˜KÉ»U¼¤́ §ÊË9ÌÍÎK !ÏÐCDÑÁÒ\Q!$////$///!!/ !ÏП ¡Q/#%!#%"+!"%% !˜KÓÔÕÖ×=>ØÙEFGH́ ÚÛ§ÜÝ©Þßàáâ;<ã !! \ÊäØ$åEØæçèéê$·¸˜K§°Ÿ£¹ëì """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ) # $ & ! " % ! $ & # ! % " ) $ ! " * + "%& , - ! ! & ! % " $ # ) ! 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" !"# !ÿ$ %&'( !!" $ %û/üý( 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．如图１，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，∠Ｃ＝３６°，弦ＡＢ是圆 内接正多边形的一边，则该多边形是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．正五边形 Ｂ．正六边形 Ｃ．正十五边形 Ｄ．正十二边形 ２．如图 ２，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，ＣＤ是弦，∠ＢＣＤ ＝ ３０°，ＯＡ＝２，则阴影部分的面积是 （　　） Ａ．π３ Ｂ． ２π ３ Ｃ．π Ｄ．２π ３．如图３，用一个半径为１０ｃｍ的定滑轮带动重物上 升，滑轮上一点 Ｐ旋转了３６°，假设绳索（粗细不计）与 滑轮之间没有滑动，则重物上升了 （　　） Ａ．３π２ｃｍ Ｂ．２πｃｍ Ｃ． ５π ２ｃｍ Ｄ．３πｃｍ ４．如图 ４，圆形螺帽的内接正六边形的面积为 槡２４３ｃｍ ２，则圆形螺帽的半径是 （　　） 槡Ａ．１ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．２３ｃｍ Ｄ．４ｃｍ ５．如图５，在平面直角坐标系中，以点 Ｏ为旋转中 心，将点Ａ（１，１）按逆时针方向旋转到点Ｂ，点Ｂ在ｙ轴 上，则扇形ＡＯＢ的面积为 （　　） Ａ．π２ Ｂ． π ４ Ｃ． π ６ Ｄ． π ８ ６．如图６，有公共顶点 Ｏ的两个边长为４的正五边 形（不重叠），以点 Ｏ为圆心，４为半径作弧，构成一个 “蘑菇”形图案（阴影部分），则这个“蘑菇”形图案的面 积为 （　　） Ａ．２４５π Ｂ． ２８ ５π Ｃ． ３２ ５π Ｄ． ３６ ５π ７．如图７是一个“不倒翁”的平面示意图，ＯＡ，ＯＢ分 别与 ) ＡＣＢ所在圆相切于点Ａ，Ｂ．若该圆半径是８，∠Ｏ＝ ５４°，则 ) ＡＣＢ的长是 （　　） Ａ．２．４π Ｂ．５．６π Ｃ．１０π Ｄ．１０．４π ８．如图８，两个半径长均为槡２的直角扇形的圆心分 别在对方的圆弧上，扇形ＣＦＤ的圆心Ｃ是 ) ＡＢ的中点，且 扇形ＣＦＤ绕着点 Ｃ旋转，半径 ＡＥ，ＣＦ交于点 Ｇ，半径 ＢＥ，ＣＤ交于点Ｈ，则图中阴影面积等于 （　　） Ａ．π２－１ Ｂ． π ２－２ Ｃ．π－１ Ｄ．π－２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．一条弧所对的圆心角为１２０°，弧长等于６πｃｍ，则 这条弧的半径为 ｃｍ． １０．如图９是一块边长为６ｍ的正 方形草地，在草地上的 Ａ，Ｂ两个角上 分别拴着一只羊，羊能吃到草的最远 距离正好是６ｍ，则这两只羊都能吃 到草的部分的面积是 ｍ２（π ≈３１４，结果保留一位小数）． １１．如图１０，菱形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝３，分别 以Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为圆心，边长为半径画弧，得到一个眼状图 形，则阴影部分的面积为 （结果保留π）． １２．如图１１，已知点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为一个正多边形的顶 点，Ｏ为正多边形的中心，若 ∠ＡＤＢ＝１５°，则这个正多 边形的边数为 ． １３．如图１２，有一个半径为４的圆形时钟，其中每个 刻度间的弧长均相等，过２点和４点的位置作一条线段， 则钟面中阴影部分的面积为 ． １４．如图１３，在每个小正方形的边长均为２的网格 图中，一段圆弧经过格点 Ａ，Ｂ，Ｃ，格点 Ａ，Ｄ的连线交圆 弧于点Ｅ，则图中阴影部分面积为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１０分）如图 １４，已知 ⊙Ｏ内接正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的边长为６ｃｍ，求这个正六边形的面积与边心 距ＯＧ的长． １６．（１０分）如图１５，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ ⊥ＡＢ于点Ｅ，如果∠Ａ＝１５°，ＣＤ＝４． （１）求ＡＢ的长； （２）求 ) ＣＤ的长． １７．（１２分）如图１６，点Ａ，Ｂ，Ｃ在半径为８的⊙Ｏ上， 过点Ｂ作ＢＤ∥ＡＣ，交ＯＡ的延长线于点Ｄ．连接ＢＣ，且 ∠ＢＣＡ＝∠ＯＡＣ＝３０°． （１）求证：ＢＤ是⊙Ｏ的切线； （２）求图中阴影部分的面积． １８．（１２分）如图１７，⊙Ｏ的直径ＡＢ＝１６，半径ＯＣ ⊥ＡＢ，Ｄ为⊙Ｏ上一动点（不包括Ｂ，Ｃ两点），ＤＥ⊥ＯＣ， ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别为Ｅ，Ｆ． （１）求ＥＦ的长； （２）若点Ｅ为ＯＣ的中点， ①求劣弧ＣＤ的长度； ②若点Ｐ为直径ＡＢ上一动点，直接写出ＰＣ＋ＰＤ的 最小值                                                                                                                                                                 ． 书 ３．６弧长及扇形面积的计算（第一课时） １．已知扇形的半径为６，圆心角为１２０°，则此扇形 的弧长是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４ Ｂ．２ Ｃ．４π Ｄ．２π ２．把长度为２π的一根铁丝弯成圆心角是１２０°的 一条弧，那么这条弧所在圆的半径是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ３．如图１，点Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，直径ＡＢ＝２且∠ＡＤＣ ＝１２０°，则弧ＡＣ的长为 （　　） Ａ．π３ Ｂ． ２ ３π Ｃ．π Ｄ． ４ ３π ４．如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝１０，Ｃ，Ｄ在ＡＢ两 侧的圆上，连接ＣＤ，若∠ＡＣＤ∶∠ＢＡＤ＝２∶３，则 ) ＡＤ的 长为 ． ５．如图３，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＢ＝８， 以点Ｃ为圆心，ＣＡ长为半径画 弧，交ＡＢ于点Ｄ，则 ) ＡＤ的长为 ． ６．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以 ＢＣ为直径的 ⊙Ｏ分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ． （１）求证：ＢＤ＝ＣＥ； （２）当△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝７０°且ＢＣ＝１２时，求 ) ＤＥ 的长． ３．６弧长及扇形面积的计算（第二课时） １．半径为６的圆中，一个扇形的圆心角为６０°，则该 扇形的面积为 （　　） Ａ．６π Ｂ．３π Ｃ．２π Ｄ．π ２．如果两个扇形的半径之比为１∶２，圆心角之比也 为１∶２，那么它们的面积之比为 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶１ Ｄ．１∶８ ３．如图１，半圆Ｏ的直径ＡＢ为４，将半圆Ｏ绕点Ｂ顺 时针旋转４５°得到半圆Ｏ′，与ＡＢ交于点Ｐ，则图中阴影 部分的面积为 （　　） Ａ．π－２ Ｂ．π＋２ Ｃ．２π－２ Ｄ．２π＋２ ４．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，分别以ＡＢ， ＢＣ，ＡＣ边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙”．当ＡＢ＝１０，ＢＣ＝６时，阴影部分 的面积为 ． ５．如图３，扇形ＡＯＢ的圆心 角是９０°，半径为 ＯＡ＝６ｃｍ，Ｄ 在 ) ＡＢ上，且ＯＤ平分∠ＡＯＢ，以 ＯＤ为直径作 ⊙Ｃ，分别交 ＯＡ， ＯＢ于点 Ｅ，Ｆ．则图中阴影部分 的面积等于 ｃｍ２． ６．如图４，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以 ＡＢ为直径的 ⊙Ｏ分别与ＢＣ，ＡＣ交于点Ｄ，Ｅ，过点 Ｄ作 ⊙Ｏ的切线 ＤＦ，交ＡＣ于点Ｆ． （１）求证：ＤＦ⊥ＡＣ； （２）若⊙Ｏ的半径为４，∠ＣＤＦ＝２２．５°，求阴影部 分的面积． ３．７正多边形与圆 １．正方形边长为４，则其外接圆半径为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　槡 槡Ａ．２ Ｂ．２２ Ｃ．４ Ｄ．２ ２．如图１，正五边形ＡＢＣＤＥ内接于 ⊙Ｏ，则正五边 形中心角∠ＣＯＤ的度数是 （　　） Ａ．７６° Ｂ．７２° Ｃ．６０° Ｄ．３６° ３．如图２，已知⊙Ｏ的周长等于６π，则它的内接正 六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是 （　　） Ａ． 槡２７３２ Ｂ． 槡２７３ ４ Ｃ． 槡９３ ４ 槡Ｄ．２７３ ４．如图３，五边形ＡＢＣＤＥ是⊙Ｏ的内接正五边形， 则∠ＡＥＢ的度数为 ． ５．如图 ４，△ＡＢＣ是 ⊙Ｏ的内接正三角形，ＢＤ是 ⊙Ｏ的内接正四边形的一边，连接ＣＤ，则ＣＤ是⊙Ｏ的 内接正 边形的一边． ６．如图５，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，ＯＣ ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于点Ｃ．连接ＯＡ，ＯＢ， ＢＣ．若ＡＢ是⊙Ｏ的内接正六边形 的一 边，则 ∠ＡＢＣ的 度 数 为 ． ７．如图６，⊙Ｏ是正方形ＡＢＣＤ与正六边形ＡＥＦＣＧＨ 的外接圆． （１）正方形ＡＢＣＤ与正六边形 ＡＥＦＣＧＨ的边长之 比为 ； （２）连接ＢＥ，ＢＥ是否为⊙Ｏ的内接正ｎ边形的一 边？如果是，请求出ｎ的值；如果不是，请说明理由． 如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，直线ＢＣ与⊙Ｏ相切于点Ｂ， ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，连接ＯＡ，ＯＢ． （１）求证：ＡＢ平分∠ＯＡＤ； （２）当∠ＡＯＢ＝１００°，⊙Ｏ的半径为６ｃｍ时， ①扇形ＡＯＢ的面积约为 ｃｍ２（结果精确 到１ｃｍ２）； ②点Ｅ是 ⊙Ｏ上一动点（点 Ｅ不与点 Ａ，点 Ｂ重 合），连接ＡＥ，ＢＥ，请直接写出∠ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ＡＥＢ＝ ． 书 ＝槡２，因为⊙Ｏ的切线ＰＤ 交ＡＢ的延长线于点 Ｐ，所 以 ∠ＯＤＰ ＝９０°，因为 ∠ＡＰＤ＝３０°，所以∠ＰＯＤ ＝９０°－∠ＯＰＤ＝６０°，所 以∠ＰＡＤ＝ １２∠ＰＯＤ＝ ３０°，在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＡＤＢ ＝９０°，∠ＰＡＤ ＝３０°，ＢＤ ＝槡２，所以ＡＢ＝ 槡２２，由勾 股定理可得ＡＤ＝槡６，所以 ＡＥ＝ＡＤ－ＤＥ＝槡６－槡２． 附加题 　（１）证明： 因为ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ，因 为 ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＣＡＤ，所 以 ∠ＢＡＤ＝∠ＤＢＣ． （２）证明：连接ＣＤ，因 为∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，所以 ) ) ＢＤ＝ＣＤ，所以ＢＤ＝ＤＣ， 因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＥＢＣ．因 为 ∠ＥＢＤ ＝ ∠ＤＢＣ ＋ ∠ＥＢＣ，∠ＢＥＤ＝∠ＤＡＢ＋ ∠ＡＢＥ，由（１）知∠ＢＡＤ＝ ∠ＤＢＣ，所以 ∠ＥＢＤ ＝ ∠ＢＥＤ，所以 ＤＢ＝ＤＥ，所 以ＤＢ＝ＤＥ＝ＤＣ，所以点 Ｂ，Ｅ，Ｃ在以点Ｄ为圆心的 同一个圆上． （３）连接ＯＢ，设ＡＤ与 ＢＣ相交于点Ｈ，因为ＡＢ＝ ＡＣ，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ＡＤ⊥ ＢＣ，所以 ＢＨ ＝ １ ２ＢＣ ＝４，所以 ＡＨ ＝ ＡＢ２－ＢＨ槡 ２ ＝３．设 ＯＢ ＝ｘ，则ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＢ＝ ｘ，ＯＨ＝ＯＡ－ＡＨ＝ｘ－３， 在 Ｒｔ△ＢＨＯ 中，ＯＢ２ ＝ ＢＨ２＋ＯＨ２，即ｘ２＝４２＋（ｘ －３）２，解得ｘ＝２５６，即ＯＡ ＝ＯＤ＝ＯＢ＝２５６．因为 ＡＤ为⊙Ｏ的直径，所以ＡＤ ＝２ＯＡ＝２５３，在Ｒｔ△ＡＢＤ 中，因为 ∠ＡＢＤ＝９０°，所 以 ＢＤ＝ ＡＤ２－ＡＢ槡 ２ ＝ ２０ ３，所以ＤＥ＝ＢＤ＝ ２０ ３， 所以ＯＥ＝ＤＥ－ＯＤ＝５２． 因为∠ＢＡＣ与∠ＡＢＣ的角 平分线相交于点Ｅ，所以点 Ｅ为 △ＡＢＣ的内心，所以 ＯＥ的长即为 △ＡＢＣ内心 与外心之间的距离，所以 △ＡＢＣ内心与外心之间的 距离为 ５ ２． 上期４版 重点集训营 １．证明：连接 ＯＣ，因 为ＯＡ＝ＯＣ，所以 ∠ＯＣＡ ＝∠ＯＡＣ，因为点 Ｃ是 ) ＢＤ 的中点，所以 ) ) ＣＤ＝ＢＣ，所 以 ∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＯＣＡ，所以 ＯＣ ∥ＡＤ，因为ＣＥ⊥ＡＤ，所以 ＣＥ⊥ ＯＣ，所以 ∠ＯＣＥ＝ ９０°，因为 ＯＣ是 ⊙Ｏ的半 径，所以 ＣＥ为 ⊙Ｏ的切 线． ２．证明：连接ＡＦ，因为 ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，所以 ∠ＡＦＢ＝９０°，因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＤ＝ ＡＢ ＝ ＣＤ ＝ ＢＣ，∠Ｂ ＝ ∠Ｄ，ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＦ ＝∠ＡＦＢ＝９０°，因为 ＣＥ ＝ＣＦ，所以ＣＤ－ＣＥ＝ＢＣ －ＣＦ，即 ＤＥ＝ＢＦ，所以 △ＡＥＤ≌△ＡＦＢ（ＳＡＳ），所 以 ∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＦ，所以 ∠ＤＡＥ＋∠ＥＡＦ＝９０°＝ ∠ＢＡＦ ＋ ∠ＥＡＦ， 所 以 ∠ＢＡＥ＝９０°，又因为 ＡＢ 是⊙Ｏ的直径，所以ＡＥ是 ⊙Ｏ的切线． !"#$ ! %& !" #$ %& '(")*+,- ./0123 #! 45 # !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 6789:;<70= #$ 4 %&'( ! 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